21.2.1 平行四边形及其性质 知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.1 平行四边形及其性质 平行四边形及其性质 看图，分析总结什么是平行四边形？ ①是四边形（一种特殊的四边形）； ②两组对边分别平行，即AD//BC且AB//BC 总结定义： 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．符号：“□”，记为“□ABCD”． 几何语言： ①∵AB//DC，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）． ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AD//BC（性质）． **其中，AD与BC为对边，∠B＝∠D为对角，AC为角平分线 数一数 如图，在□ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（　C ）A．7个　　B．8个　　C．9个　　D．11个 思考并证明： 平行四边形的对边、对角有什么特点？ 已知：如图，四边形ABCD为平行四边形． 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠BAD＝∠1＋∠4，∠BCD＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质1：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2：平行四边形的对角相等． 应用巩固 如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E，F． 求证：AE＝CF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB． 又∠AED＝∠CFB＝90°，∴△AED≌△CFB． ∴AE＝CF． 之前学过点与点之间的距离、点到直线的距离，那两条平行线之间的距离如何？ 如图，若a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点． 由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形， AB＝CD．也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． 如图，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离． 总结定义： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 练一练 如图：四边形ABCD是平行四边形． ①求∠ADC，∠BCD的度数； ②边AB，BC的长度． 拓展训练（变式训练） 在平行四边形ABCD中，BC=7，AE平分∠BAD交BC边于点E，若点E分BC为3︰4两部分，求平行四边形ABCD的周长． 作业1 1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G． （1）求证：AF＝GB； （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件， 使得△EFG是等腰直角三角形，并说明理由． 2．提高题： 如图②，将□ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG． 检测1 1．在□ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠A＝________，∠D＝________． 2．在□ABCD中，如果∠A的外角是50°，那么平行四边形的每个内角________． 3．若□ABCD的周长是30 cm，AB︰CB＝3︰2，则AD＝________ cm，CD＝________ cm． 4．在□ABCD中∠B的平分线将AD分成4 cm和2 cm两段，求□ABCD的周长． 角平分线的性质 继续思考：平行四边形的对角线互相平分嘛？ 已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O． 求证：OA＝OC，OB＝OD． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴△AOD≌△COB． ∴OA＝OC，OB＝OD． 总结得到平行四边形的又一个性质：平行四边形的对角线互相平分． 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分） 或∵□ABCD， ∴OA＝OC，OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分） 或∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO． 例题精析 如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，OA＝OC． ∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理， ， ∴＝BC·AC＝8×6＝48． 又∵OA＝OC， ∴． 总结：平行四边形的面积=底*高（S=ah） 巩固练习 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于点E，交CD于点F．求证：OE＝OF． 练习2 1．平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ）． A．不稳定性 B．对角线互相平分 C．内角和为360° D．外角和为360° 2．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD的取值范围是_________________． 3．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）． A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD 4．如图，□ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A．3 B．6 C．12 D．24 检测2 1． 如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2 cm，AC＋BD＝14 cm，则△OBC的周长是________cm． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）． A．3 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm 3．如图，在□ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠DAB＝30°，点E，F在AC上，且AE＝EF＝FC，则△BEF的面积为（ ） A．8 B．4 C．6 D．12 作业2 1．在□ABCD中，AC，BD交于点O，已知AB＝8cm，BC＝6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是________． 2．□ABCD的对角线交于点O，S△AOB＝2cm2，则S□ABCD＝________． 3．如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，平行四边形ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10． （1）求AB的长度；（2）求平行四边形ABCD的面积． 答案 练一练： 解：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴∠D=∠B=56°，∠B+∠BCD=180°． ∴∠BCD=124°． ②∵四边形ABCD是平行四边形．　∴AB=25，BC=30． 拓展训练： 解：∵BC=7，BE∶EC=3∶4，∴BE=3， EC=4． ∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2． ∵□ABCD中AD∥BC，∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3．∴AB=BE=3． ∴□ABCD的周长=2×（7+3）=20． 同理：如果EC∶BE=3∶4，所以AB=BE=4． ∴□ABCD的周长=2×（7+4）=22． 作业1： 1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD．∴∠AGD＝∠CDG． ∵∠ADG＝∠CDG，∴∠ADG＝∠AGD．∴AD＝AG． 同理可证，BC＝BF． 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC．∴AG＝BF． ∴AG－GF＝BF－GF．即AF＝GB． （2）可添加条件EF＝EG．理由如下： 由（1）证明易知∠AGD＝∠ADG＝∠ADC，∠BFC＝∠BCF＝∠BCD． ∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°．∴∠AGD＋∠BFC＝90°．∴∠GEF＝90°． 又∵EF＝EG，∴△EFG为等腰直角三角形． 2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D． 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B， ∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D． 又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4． ∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6． 在△A1IE与△CGF中， ∴△A1IE≌△CGF（AAS）．∴EI=FG． 检测1 1．∠A＝105°，∠D＝75°． 2．∠A＝130°，∠B＝50°，∠C＝130°，∠D＝50°． 3．AD＝6 cm，CD＝9 cm． 4．□ABCD的周长为20 cm或16 cm． 巩固练习： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，AB//CD．∴∠EAO＝∠FCO． 又∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）． ∴OE＝OF． 练习2： 1．B．2．1＜AD＜9．3．A． 4． C．解析：每一小块阴影三角形都与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半．故S阴影＝S□ABCD＝×6×4＝12． 检测2： 1．11 解析：在□ABCD中，BC＝AD，OA＝OC，OB＝OD． ∵AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2cm，∴AD＝4cm． ∵AC＋BD＝14cm，∴OB＋OC＝7cm． ∴△OBC的周长＝OB＋OC＋BC＝11cm． 2．C．解析：在△ABC中，∵BC－AB＜AC＜AB＋BC，∴2cm＜AC＜8cm． 又∵，∴1cm＜OA＜4cm． 2． B．解析：在□ABCD中，∵AB＝8，AD＝6，∠DAB＝30°，∴AB边上的高h为． ∴S□ABCD＝8×3＝24．∴S△ABC＝S□ABCD＝＝12． 又∵AE＝EF＝FC，∴S△BEF＝． 作业2： 答案：1．16 cm．2．8 cm2． 3．解：（1）设AB＝x，则BC＝24－x． 根据平行四边形的面积公式可得5x＝10（24－x）．解得x＝16，即AB＝16． （2）∵AB＝16，DE＝5， ∴平行四边形ABCD的面积等于5×16＝80． 学科网（北京）股份有限公司 $