21.2.2 平行四边形的判定 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.2 平行四边形的判定 复习回忆平行四边形的性质 （1）对边相等（2）对角相等（3）对角线互相平分． 思考上述三条性质的逆命题，并判断是否成立？ （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连结AC ∵AB＝CD，BC＝AD（已知），又∵AC＝CA（公共边）， ∴△ABC≌△CDA（SSS）． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴AB∥CD，AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 得到判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB＝CD，AD＝BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（自己证明） 得到判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠C，∠B＝∠D（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB．∴∠OAD＝∠OCB． ∴AD∥BC．同理AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 得到判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言： 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O． ∵OA＝OC，OB＝OD（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 例题精析 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO． ∵AE＝CF， ∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO． 又BO＝DO， ∴四边形BFDE是平行四边形． 巩固练习1 如图，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 思考： “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题成立吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：连接AC．∵AB∥CD，∴∠1＝∠2． 又∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA．∴BC＝DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． 得到判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 例题精析 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，EB∥FD． 又∵EB＝AB，FD＝CD， ∴EB＝FD．∴四边形EBFD是平行四边形． 巩固练习2 如图，四边形ABCD中，AD//BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 练习 1．下面条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）． A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB∥CD，AD＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD 2．在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB//CD，给出以下四种说法： （1）如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； （2）如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； （3）如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； （4）如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． 其中正确的说法是（ ）． A．（1）（2） B．（1）（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（3）（4） 检测 1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD．从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）．A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2． 如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）． A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE 3．点A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 作业 如图，□ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF． 求证：AC与EF互相平分． 答案 巩固练习1： 证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，OA＝OC，AE∥CF． ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO．∴△FDO≌△EBO．∴OD＝OB． 又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形． 巩固练习2： 证明：∵AD//BC，∴∠ADB＝∠CBD． ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°．∵AE＝CF， ∴△EAD≌△FCB（AAS）．∴AD＝CB．∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 练习： 1、 C 2、C． 检测： 1、 B．2、D．3、C． 作业： 方法1：连接AF，CE． 在□ABCD中，AB＝CD，AE//CF．∴∠CFE＝∠AEF． 又∵DF＝BE，∴CF＝AE． 而EF＝FE，∴△CFE≌△AEF．∴∠CEF＝∠AFE．∴CE//AF． ∴四边形AECF是平行四边形．∴AC与EF互相平分． 方法2：连接AF，CE． 在□ABCD中，DC//AB，DC＝AB．∵DF＝BE，∴CF＝AE． 又∵CF//AE，∴四边形AECF是平行四边形．∴AC与EF互相平分． 学科网（北京）股份有限公司 $