专题01 幂的运算（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 幂的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法 题型02 同底数幂乘法的逆用 题型03 幂的乘方及其逆用 题型04 积的乘方及其逆用 题型05 同底数幂的除法及其逆用 题型06 幂的混合运算 题型07 零指数幂与负整数指数幂 题型08 科学记数法 题型09 利用幂的性质比较大小 题型10 利用幂的运算性质判断指数关系 题型11 幂的运算等于1的分类讨论题 题型11 幂的运算新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 熟记同底数幂乘法法则，避免指数运算与底数运算混淆、符号出错。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 幂的乘方运算 掌握幂的乘方法则，分清与同底数幂乘法的区别，规范运算并减少符号、括号类错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 积的乘方运算 掌握积的乘方法则，分清与幂的乘方、同底数幂乘法的区别，规范运算并避免符号与括号错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 同底数幂的除法 掌握同底数幂除法法则，明确底数不为 0 的条件，区分与乘法法则，避免指数运算混淆及符号错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 幂的混合运算 熟练掌握各类幂运算法则，明确运算顺序，能准确区分并综合运用，避免公式混淆、符号错误、漏乘方等问题，提升规范计算与化简能力。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 零指数幂 理解并记住零指数幂的意义，掌握 a0=1 (a≠0)，能正确进行简单计算，明确底数不能为 0这一关键条件，避免漏写限制条件和计算错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 负整数指数幂 掌握负整数指数幂的运算公式，会将负指数转化为正指数倒数进行计算，牢记底数不为 0，避免符号、倒数颠倒及运算顺序错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 科学记数法 掌握科学记数法表示绝对值小于1的数。 基础必考题，一般在选择题中考查 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 题型一 同底数幂的乘法 易｜错｜点｜拨 底数不变、指数相加，易把指数相乘，忽略底数为负数时的括号与符号，非同类底数不能直接合并。 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【变式1】（2026七年级下·江苏·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的值为________． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 题型二 同底数幂乘法的逆用 易｜错｜点｜拨 逆用同底数幂乘法时，易忽略指数拆分合理性，底数不同不能强行逆用，且负数与括号底数容易符号出错。 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，，则___． 【变式2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知x满足，则___________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【变式4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则x的值为_________． 题型三 幂的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 幂的乘方易把指数相乘算成相加，逆用时指数拆分要统一底数，注意括号与负号，底数不同不可随意逆用。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：______． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知，则__________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知n为正整数，且，求的值． 【变式4】（2026七年级下·江苏·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 题型四 积的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 积的乘方易漏给每个因式乘方，逆用时要找准相同指数再合并底数，注意负号与括号，指数不同不能直接逆用。 【典例】（2026七年级下·江苏·期中）计算下列各式，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式4】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 题型五 同底数幂的除法运算及逆用 易｜错｜点｜拨 同底数幂相除易将指数相减算成相除，逆用时注意底数相同、指数合理拆分，且底数不能为 0，避免负号与括号出错。 【典例】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： ___________． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知，则的值为________． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ________； (2)已知，，，若，求的值． (3)若，，求的值． 题型六 幂的混合运算 易｜错｜点｜拨 幂的混合运算易混淆运算法则与顺序，常出现符号错误、括号处理不当、漏乘方或乱合并，需先算乘方再算乘除，最后算加减。 【典例】（2025八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（2025七年级下·全国·期中）（1）计算： （2）计算： 【变式2】（2025七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 【变式3】（2025八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2) 题型七 零指数幂与负整数指数幂 易｜错｜点｜拨 均要求底数不为 0，易错点是忽略限制条件、负指数忘变倒数、符号与括号处理出错。 【典例】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·海南儋州·期中）计算：_______． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·期中）计算：． 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）计算： 题型八 科学记数法 【典例】世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】据国家统计局公布，2024年我国国内生产总值达到134.9万亿元，增长，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的贡献率保持在左右，数据134.9万亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型九 利用幂的性质比较大小 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·四川乐山·期中）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 【变式2】（24-25六年级下·山东济南·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 题型十 利用幂的运算性质判断指数关系 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期中）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【变式4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 题型十一 幂的运算等于1的分类讨论问题 易｜错｜点｜拨 分三类讨论 ——非零数的 0 次幂、1 的任意次幂、-1 的偶次幂，易漏底数不为 0、指数奇偶性及底数符号限制。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，则________． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知：，则x的值是_________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，求的整数值． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 题型十二 幂的运算中新定义问题 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【变式1】新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【变式3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【变式4】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）化简的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算：_____． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若已知，，则的值为______． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，则______． 9．（24-25七年级下·江苏·期中）规定，若，则x的值是_______ ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则，，的大小关系为__________（用“>”连接）． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）判断能否被9整除，并说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且．求下列各式的值： (1)； (2)． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，则___________． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则________．（用含有a，b的式子表示） 23．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 24．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，则_______． 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 27．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 28．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 30．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 32．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则__________． 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）． 34．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 35．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 36．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 同底数幂的乘法 题型02 同底数幂乘法的逆用 题型03 幂的乘方及其逆用 题型04 积的乘方及其逆用 题型05 同底数幂的除法及其逆用 题型06 幂的混合运算 题型07 零指数幂与负整数指数幂 题型08 科学记数法 题型09 利用幂的性质比较大小 题型10 利用幂的运算性质判断指数关系 题型11 幂的运算等于1的分类讨论题 题型11 幂的运算新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 熟记同底数幂乘法法则，避免指数运算与底数运算混淆、符号出错。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 幂的乘方运算 掌握幂的乘方法则，分清与同底数幂乘法的区别，规范运算并减少符号、括号类错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 积的乘方运算 掌握积的乘方法则，分清与幂的乘方、同底数幂乘法的区别，规范运算并避免符号与括号错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 同底数幂的除法 掌握同底数幂除法法则，明确底数不为 0 的条件，区分与乘法法则，避免指数运算混淆及符号错误。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查； 幂的混合运算 熟练掌握各类幂运算法则，明确运算顺序，能准确区分并综合运用，避免公式混淆、符号错误、漏乘方等问题，提升规范计算与化简能力。 基础必考点，是期中考试计算题必考题，一般在解答题中考查，分值在5分左右； 零指数幂 理解并记住零指数幂的意义，掌握 a0=1 (a≠0)，能正确进行简单计算，明确底数不能为 0这一关键条件，避免漏写限制条件和计算错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 负整数指数幂 掌握负整数指数幂的运算公式，会将负指数转化为正指数倒数进行计算，牢记底数不为 0，避免符号、倒数颠倒及运算顺序错误。 易错常考点，一般在小题中考查； 科学记数法 掌握科学记数法表示绝对值小于1的数。 基础必考题，一般在选择题中考查 知识点01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点02 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点03 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 题型一 同底数幂的乘法 易｜错｜点｜拨 底数不变、指数相加，易把指数相乘，忽略底数为负数时的括号与符号，非同类底数不能直接合并。 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026七年级下·江苏·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法解决此题． 【详解】解：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则的值为________． 【答案】27 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则，将原式转化为指数相加的形式，再代入已知条件求解． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则，， 已知， 所以， 故答案为：27． 【变式4】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算．先变形，再根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 易｜错｜点｜拨 逆用同底数幂乘法时，易忽略指数拆分合理性，底数不同不能强行逆用，且负数与括号底数容易符号出错。 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用． 直接逆用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·重庆长寿·期中）已知x满足，则___________． 【答案】4 【分析】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【详解】解：原方程根据同底数幂的乘法法则，变形为， 提取：得， 整理得， 即， 由同底数幂相等，底数为正且不等于1，则指数相等，可得， 解得 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【变式4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则x的值为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故， 解得： 故答案为：3． 题型三 幂的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 幂的乘方易把指数相乘算成相加，逆用时指数拆分要统一底数，注意括号与负号，底数不同不可随意逆用。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，分别对系数和字母进行乘方运算，再把所得的幂相乘即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知，则__________． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方法则把原式变为，得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】1127 【分析】根据幂的乘方的法则将式子中全部化为的形式，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式4】（2026七年级下·江苏·期中）若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型四 积的乘方运算及其逆用 易｜错｜点｜拨 积的乘方易漏给每个因式乘方，逆用时要找准相同指数再合并底数，注意负号与括号，指数不同不能直接逆用。 【典例】（2026七年级下·江苏·期中）计算下列各式，结果用幂的形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方． （1）根据幂的乘方法则计算即可； （2）根据幂的乘方法则计算即可； （3）根据积的乘方法则计算即可； （4）根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． (1)根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (3)根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算； (4)根据积的乘方的法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （3）根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算； （4）先利用积的乘方逆运算进行简便运算，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行加法运算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 【变式4】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用、幂的乘方的逆用，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据同底数幂相乘法则进行运算即可得解； （2）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （3）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （4）根据积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用进行运算即可得解； （5）根据幂的乘方、同底数幂相乘法则得出即可得解． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式, , ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ， ， ， 解得． 题型五 同底数幂的除法运算及逆用 易｜错｜点｜拨 同底数幂相除易将指数相减算成相除，逆用时注意底数相同、指数合理拆分，且底数不能为 0，避免负号与括号出错。 【典例】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法，代数式求值． 根据幂的乘方将化为，进而根据同底数幂的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ________； (2)已知，，，若，求的值． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的运算，幂的乘方以及逆运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据规定计算即可； （2）根据新定义可得，再根据同底数幂除法法则，即可求解； （3）根据新定义可得，再根据幂的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：因为，所以； 故答案为：4 （2）解：因为，，， 所以， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型六 幂的混合运算 易｜错｜点｜拨 幂的混合运算易混淆运算法则与顺序，常出现符号错误、括号处理不当、漏乘方或乱合并，需先算乘方再算乘除，最后算加减。 【典例】（2025八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】（2025七年级下·全国·期中）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（2025七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】（2025八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方以及同底数幂的乘法，再算减法即可； （2）先计算幂的乘方再算减法即可； （3）先计算幂的乘方再算加、减法即可； （4）观察底数的特征，利用幂的运算法则将底数转化进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型七 零指数幂与负整数指数幂 易｜错｜点｜拨 均要求底数不为 0，易错点是忽略限制条件、负指数忘变倒数、符号与括号处理出错。 【典例】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，乘方求解即可； 【详解】解：，，， 由， 故，，的大小关系是； 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算，根据积的乘方运算法则、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则以及同类项定义逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、积的乘方规则为，负数的偶次幂为正．，故此选项计算正确，符合题意； B、任何非零数的0次幂都等于，，故此选项计算错误，不符合题意； C、负整数指数幂规则为．，故此选项计算错误，不符合题意； D、同类项需所含字母相同且相同字母的指数也相同，与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·海南儋州·期中）计算：_______． 【答案】0 【分析】原式先计算零次幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）计算： 【答案】 【分析】先计算绝对值和乘方，再把除法运算转化为乘法运算，最后算加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 题型八 科学记数法 【典例】世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据“”用科学记数法可表示为． 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·期中）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 【详解】解：， 故选：D； 【变式3】据国家统计局公布，2024年我国国内生产总值达到134.9万亿元，增长，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的贡献率保持在左右，数据134.9万亿用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，科学记数法，将数据134.9万亿用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：134.9万亿， ∴数据134.9万亿用科学记数法表示为， 故选：C 【变式4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 【详解】解：． 故选：A． 题型九 利用幂的性质比较大小 【典例】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方．根据幂的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川乐山·期中）阅读下列解题过程，试比较与的大小． 解：∵ ，，，而，∴． 请根据上述解答过程解答： 若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是： ________________________． 【答案】 d a c b 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，， ，，再由即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ∴， 故答案为：d；a；c；b． 【变式2】（24-25六年级下·山东济南·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）可以将指数都化为2再进行比较； （2）可以将指数都化为15再进行比较． （3）根据整式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解： ∵，， ∴ ∴ 【变式4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读探究题： 【阅读材料】 比较两个底数大于的正数幂的大小，可以在底数或指数相同的情况下，比较指数或底数的大小， 如：，． 在底数或指数不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：， ， ． ． (1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)类比解答：比较，的大小． (3)拓展提高：比较，，的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】根据幂的乘方运算法则判断即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可； 根据幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】（1）上述求解过程中，运用了幂的乘方的运算性质， 故答案为：； （2），， ， ； （3），，， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 题型十 利用幂的运算性质判断指数关系 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期中）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 【变式3】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，探究a，b，c之间满足的等量关系并给出证明过程． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，熟练掌握同底数幂乘法法则和幂的乘方法则成为解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则和幂的乘方法则计算与的关系，进而完成解答． 【详解】解：a，b，c之间满足的等量关系为：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即． 【变式4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 题型十一 幂的运算等于1的分类讨论问题 易｜错｜点｜拨 分三类讨论 ——非零数的 0 次幂、1 的任意次幂、-1 的偶次幂，易漏底数不为 0、指数奇偶性及底数符号限制。 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为(    ) A． B．1或 C．或1或3 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂公式，和1的n次方的结果等知识，可按当时与当时两种情况讨论，掌握乘方结果是的三种情况：即①底数不为0，指数是0，②底数是1，③底数是，指数为偶数是解题的关键． 【详解】解：①当，即时，，即 ∴； ②当，即时，则有(i)；(ii)且为偶数； (i)由解得：， (ii)解得：，此时，为奇数，不合题意， ∴； 综上所述：或， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，则________． 【答案】2 【分析】分三种情况讨论：底数为1、底数为且指数为偶数、底数不为0且指数为0，分别求解并验证． 【详解】解：①当底数为1，指数为任意数， 当底数时，1的任何次幂都等于1， ∴，解得， ∴指数，则，满足条件； ②当底数为，指数为偶数， 当底数时，的偶次幂等于1， ∴，解得， ∴指数，由于是奇数，则，不满足条件； ③当底数不为0，指数为0， 当指数且底数时，非零数的0次幂等于1， ∴，解得，此时底数为，与底数的要求矛盾，故此情况不成立， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）已知：，则x的值是_________． 【答案】或2 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，求的整数值． 【答案】的整数值为或． 【分析】本题考查了零次幂，乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论，即当时，则为整数；当，时；当，为偶数时，进行计算作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，则为整数， ∴， 故，符合题意； ∴当，时， ∴， 故，符合题意； ∴当，为偶数时， ∴， 故，不符合题意； 综上：的整数值为或． 【变式4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【答案】(1)1 (2)1或2025 (3)或或 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据1的任何次幂都等于1解答即可； （2）根据（1）三种情况讨论解答即可； （3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可． 【详解】（1）当时，（n为整数）； 故答案为：1； （2）由， 当时，， 解得； 此时底数为，成立 当时， 解得； 指数，是奇数， 结果为，不成立； 当时， 解得． 此时指数为， 此时结果为 所以x的值是1或2025； （3）由，可知 当时，， 解得； 当时， 解得； 当时，是奇数， 解得． 所以a的值是或或． 题型十二 幂的运算中新定义问题 【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 【变式1】新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 【变式3】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】个a相乘可表示为，再根据幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及合并同类项法则逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）化简的值为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方的逆运算法则计算解题即可． 【详解】解：， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数比较大小．根据题意将三个数统一为相同指数后比较系数即可． 【详解】解：将均转换为以为指数的形式： ，，， ∵， ∴对应的数的大小关系为， 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方运算法则的逆运算进行化简，再根据互为倒数的两个数积是1，即可求解． 【详解】解：． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算，利用指数运算法则，将 转化为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：，， ∵， ∴ ． 故答案为 ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，，则______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，把原式转化为，再代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏·期中）规定，若，则x的值是_______ ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，新定义，根据新定义可得，则，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，则，，的大小关系为__________（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数大的就大比较两个数的大小即可. 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为： 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算积的乘方，同底数幂相乘和幂的乘方，然后计算加减； （2）首先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘法，然后计算加减． 【详解】（1） ． （2） ． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴， ∴… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴________，________， ∴ ∴… (1)阅读上述材料并填空； (2)继续完成小明与小丽的说理． 【答案】(1)；；5；3； (2)见解析 【分析】本题考查幂的运算及逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）小明的做法利用幂的乘法的逆运算即可求解，小丽的做法利用同底数幂的除法的逆用求解即可； （2）利用底数相同，幂相同，则指数相同求解即可． 【详解】（1）小明做如下尝试： ∵，， ∴， 小丽做如下尝试： ∵，， ∴，， ∴ 故答案为：；；5；3；； （2）证明：小明： 两式的左边与左边相乘，右边与右边相乘，得 ∴ ∴． 小丽： ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】能被9整除，理由见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算和同底数幂乘法的逆运算，把先变形为，进一步变形得到，则可最后变形为，据此可得结论． 【详解】解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)96 【分析】本题考查幂的乘方逆用． （1）根据题意可知，继而可得本题答案； （2）将整理得，再将（1）中结果代入其中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故， 则，即． (1)根据上述规定，填空：_______；________． (2)计算______，并说明理由． 【答案】(1)0；3 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，同底数幂乘法计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解即可； （2）设，根据新定义可得，则可得到，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：，理由如下； 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：B． 17．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知，，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法及幂的乘方，将进行正确的变形是解题的关键． 利用同底数幂除法及幂的乘方法则将变形后可得，将已知数值代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）实数ab，c满足，，，则代数式的值为（   ） A．2023 B．2024 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值．正确掌握运算法则是解题关键． 根据，得，，得，代入计算即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴ ． 故选：D． 19．（24-25八年级上·福建漳州·期中）若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）若，均为正整数，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，二元一次方程的解，先把化为，化为，得出，即，因为，均为正整数，求出，即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴或， ∴或， 故选：． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，则___________． 【答案】 16 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，代数式求值． 由已知可得，将 转化为 ，，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ ． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，，其中m，n为正整数，则________．（用含有a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查整式的乘法公式—幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆用，根据幂的乘方逆运算将整式变形，代入，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 23．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 24．（24-25七年级上·上海宝山·期中）通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键． 所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）已知，，求的值； （2）已知，则_______． 【答案】（1）；（2）11或 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据已知条件得出，可求出的值； （2）根据可求出，从而可求出的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或 故答案为：11或 26．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的四则运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方运算法则， （1）先计算同底数幂的乘法及幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （4）利用幂的乘方运算法则计算，再利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 27．（24-25八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）36（2） 【分析】本题主要考查了幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由已知得，，可得，，求出m、n的值即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．规定a，b两数之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：__________，________，__________； (2)小明在研究这种运算时发现一个性质：对任意的正整数n，．证明如下：设，则，即，所以，即，所以．请根据上述内容计算：； (3)求证：． 【答案】(1)3，2，3； (2)0； (3)见解析． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． （1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）设，则，得到，同理得到，则，从而可求解； （3）设，则，从而可得，得到，从而得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故答案为：3，2，3； （2）设，则， ∴， 则， ∴， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， ∴， ∴， 即． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若（且），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)已知，求的值． (2)若，求的值． (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)1 (2)2 (3) 【分析】此题考查了同底数幂相乘、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）根据幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （2）根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方化简，再列方程求解即可； （3）将代入化简为即可求解． 【详解】（1）解：， 由题意得， 解得， ∴的值是1； （2） ， 可得， 解得， ∴的值是2； （3）， ， ， 整理，得， ∴用含的代数式表示为：． 30．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 32．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 33．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【详解】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正确； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正确； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确； ④b＝a+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 34．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 35．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 36．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 37．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $