第七章 幂的运算【期中复习讲义】基础版-2025-2026学年数学苏科版七年级下册

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第七章 幂的运算【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+12个题型讲练+能力提升训练 共46题】 （原卷版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 同底数幂相乘 题型讲练二 同底数幂乘法的逆用 题型讲练三 用科学记数法表示数的乘法 题型讲练四 幂的乘方运算 题型讲练五 幂的乘方的逆用 题型讲练六 积的乘方运算 题型讲练七 积的乘方的逆用 题型讲练八 同底数幂的除法运算 题型讲练九 同底数幂除法的逆用 题型讲练十 幂的混合运算 知识点一 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【易错点拨】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五 零指数幂的意义 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【易错点拨】 1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六 零指数幂的意义 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七 科学记数法 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 题型讲练一 同底数幂相乘 【例题】（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【变式1】（25-26七年级下·重庆长寿·月考）已知x满足，则___________． 【变式2】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型讲练二 同底数幂乘法的逆用 【例题】（25-26七年级下·全国·课后作业）一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 题型讲练三 用科学记数法表示数的乘法 【例题】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·月考）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 【变式2】数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是___________立方千米． 题型讲练四 幂的乘方运算 【例题】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式2】如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 题型讲练五 幂的乘方的逆用 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 题型讲练六 积的乘方运算 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知实数、、存在数量关系，求________． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 题型讲练七 积的乘方的逆用 【例题】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）计算：______． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 题型讲练八 同底数幂的除法运算 【例题】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·重庆长寿·月考）计算 (1) ； (2)． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）按要求完成下列计算： (1)已知，则______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 题型讲练九 同底数幂除法的逆用 【例题】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式2】按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 题型讲练十 幂的混合运算 【例题】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1) (2) (3)解方程：． 【变式1】计算： (1) ； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1) ； (2) 题型讲练十一 零指数冪 【例题】计算：_____． 【变式1】计算： 【变式2】阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 题型讲练十二 负整数指数幂 【例题】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】计算：． 【变式2】计算 (1) (2) (2) (4) (5)； 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则______． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期中）______． 7．如果等式，则a的值为_____． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2) 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第七章 幂的运算【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+12个题型讲练+能力提升训练 共46题】 （解析版） 题型序列 题型讲练 题型讲练一 同底数幂相乘 题型讲练二 同底数幂乘法的逆用 题型讲练三 用科学记数法表示数的乘法 题型讲练四 幂的乘方运算 题型讲练五 幂的乘方的逆用 题型讲练六 积的乘方运算 题型讲练七 积的乘方的逆用 题型讲练八 同底数幂的除法运算 题型讲练九 同底数幂除法的逆用 题型讲练十 幂的混合运算 知识点一 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 幂的乘方 1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． 2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 积的乘方 1、积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即（ab）n＝an bn（n是正整数） 2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【易错点拨】 ①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． 2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【易错点拨】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点五 零指数幂的意义 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【易错点拨】 1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点六 零指数幂的意义 1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． 2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点七 科学记数法 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 题型讲练一 同底数幂相乘 【例题】（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【思路引导】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·重庆长寿·月考）已知x满足，则___________． 【答案】4 【思路引导】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【规范解答】解：原方程根据同底数幂的乘法法则，变形为， 提取：得， 整理得， 即， 由同底数幂相等，底数为正且不等于1，则指数相等，可得， 解得 ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 题型讲练二 同底数幂乘法的逆用 【例题】（25-26七年级下·全国·课后作业）一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为__________（参考数据：，，）． 【答案】14 【思路引导】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【规范解答】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【规范解答】解： ． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)8 【思路引导】（1）可利用同底数幂的乘除运算法则，将转化为，结合已知条件求出其值，再根据指数的唯一性得到的值； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法则，将转化为，代入已知值计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴ ∵底数相同的幂相等时，指数相等， ∴． （2）解：． 【考点剖析】本题考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方，解题关键是熟练运用幂的运算公式，将所求式子转化为已知幂的组合形式，再代入计算． 题型讲练三 用科学记数法表示数的乘法 【例题】（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：， 故选D． 【变式1】（23-24七年级下·山东青岛·月考）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为_______（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【思路引导】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【规范解答】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【变式2】数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是___________立方千米． 【答案】 【思路引导】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 题型讲练四 幂的乘方运算 【例题】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【思路引导】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【思路引导】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式2】如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由已知得，由幂的乘方和同底数幂的乘法把原式转化为，最后代入计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 题型讲练五 幂的乘方的逆用 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【规范解答】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【思路引导】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【考点剖析】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【思路引导】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【规范解答】解：，， ， ， ． 题型讲练六 积的乘方运算 【例题】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【思路引导】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【规范解答】解：∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【规范解答】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先计算幂的乘方，再合并同类项； （3）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型讲练七 积的乘方的逆用 【例题】（24-25七年级下·宁夏银川·月考）计算：______． 【答案】 【思路引导】将原式利用同底数幂的乘法变形后，逆用积的乘方运算法则进行简便计算即可得到结果． 【规范解答】解： ． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【规范解答】解：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 题型讲练八 同底数幂的除法运算 【例题】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则，逐一判断选项即可. 【规范解答】解：对选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； 对选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B正确， 对选项C：∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再将结果相乘， ∴，故C错误， 对选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D错误. 【变式1】（25-26七年级下·重庆长寿·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项； （2）根据关于幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）按要求完成下列计算： (1)已知，则______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)8 (3) 【思路引导】（1）根据乘方，同底数幂的乘法求解即可； （2）化成以3为底数的幂的乘法求解即可； （3）应用幂的乘方求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：根据题意，得， 由，， 得． 题型讲练九 同底数幂除法的逆用 【例题】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)；②； (2) 【思路引导】（1）根据同底数幂的乘法的计算方法将转化为，将转化为，然后代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法将原式化为，进而得到，求出x的值即可． 【规范解答】（1）解：， ； ②， ； （2）解：， ， 解得 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【思路引导】（1）逆用同底数幂相乘法则计算即可得出结果； （2）逆用同底数幂相除以及幂的乘方法则计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式2】按要求解答下列各小题． (1)已知，，则________； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据同底数幂的除法法则逆用可直接进行求解； （2）根据幂乘方的法则逆用，同底数幂的乘法法则的逆用可直接进行求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 题型讲练十 幂的混合运算 【例题】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）计算： (1) (2) (3)解方程：． 【答案】(1)80 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，幂的混合运算，解一元一次方程： （1）先根据负整数指数幂，零指数幂化简，再计算加减即可； （2）先根据积的乘方和同底数幂乘法计算，再合并即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化为1即可求得结果 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相乘的法则计算乘法，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型讲练十一 零指数冪 【例题】计算：_____． 【答案】 【思路引导】先计算负整数指数幂和零指数幂，然后利用同底数幂的除法逆运算和积的乘方逆运算化简计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【思路引导】先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，再算加减法即可． 【规范解答】解： ． 【变式2】阅读解答 (1)填空（答案填在括号里）： ；；…… (2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)计算：． 【答案】(1)0；1；2 (2)，见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题意即可求解； （2）根据（1）中式子的规律写出第个等式，再逆用同底数幂的乘法说明即可； （3）利用（2）中的规律简便计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）中式子的规律，第个等式为； 说明：左边 右边； （3）解： ． 题型讲练十二 负整数指数幂 【例题】（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法计算即可； （2）利用同底数幂乘法和幂的乘方、负整数指数幂计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，． ∴ （2）解： 【变式1】计算：． 【答案】 【思路引导】先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【规范解答】解： . 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) (5)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】本题考查了幂的运算，涉及零指数幂和负整数指数幂，同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算； （2）先将底数都化为，再运用同底数幂的乘法运算法则计算； （3）先利用交换律和结合律将原式变形，再分别计算有理数的乘法和同底数幂的乘法； （4）先将底数都化为，再运用同底数幂的除法运算法则计算； （5）先计算幂的乘方、同底数幂的乘法和积的乘方，再合并同类项． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，分析每一个选项，由此选出答案． 【规范解答】解：、，本选项正确，故不符合题意； 、，本选项正确，故不符合题意； 、，本选项不正确，故符合题意； 、，本选项正确，故不符合题意， 故选：C． 2．列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，负整数指数幂进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用幂的运算法则及合并同类项法则逐一判断即可. 【规范解答】解：∵， ∴A选项错误； ∵， ∴B选项错误； ∵， ∴C选项正确； ∵， ∴D选项错误； 故选：C ． 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，以及合并同类项的法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. 与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算正确，符合题意． 5．已知，，则______． 【答案】 【规范解答】解：． 6．（24-25七年级下·广东佛山·期中）______． 【答案】 【思路引导】采用积的乘方的逆用进行计算即可． 【规范解答】解：． 7．如果等式，则a的值为_____． 【答案】或或 【思路引导】根据零指数幂，，，分类讨论即可求解． 【规范解答】解：当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 综上，a的值为或或． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【答案】7 【规范解答】 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $