学易金卷：八年级数学下学期期中模拟卷（新教材北京版，范围：八年级下册第14～15章）

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C A D A D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9．x≤2 10． 11．1080° 12. （2，4） 13. 3 14. 15. 2 16. ①②④ 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23~25题每题7分，第26~27题每题8分） 17. （4分） 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF，（2分） 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS），（4分） ∴BE＝DF． 18. （5分） 【解析】解：（1）联立， 解得，（1分） ∴P点坐标为（﹣2，﹣5）．（2分） （2）由y＝2x﹣1和y＝x﹣3可知两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3），（3分） ∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：2＝2．（5分） 19. （6分） 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC．（1分） ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形．（2分） ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形；（3分） （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝5，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA12，（4分） ∴AC＝2OA＝24， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°，（5分） ∴OEAC＝12．（6分） 20. （5分） 【解析】解：（1）y＝（200﹣160）x+（300﹣250）（30﹣x）＝﹣10x+1500， ∴y与x的函数表达式y＝﹣10x+1500．（2分） （2）根据题意，得x≥2（30﹣x）， 解得x≥20， ∵x≤30， ∴20≤x≤30，（3分） ∵﹣10＜0， ∴y随x的减小而增大，（4分） ∴当x＝20时，y值最大，y最大＝﹣10×20+1500＝1300，30﹣20＝10（台）． 答：采购甲型台灯20台、乙型台灯10台才能使得获利最大，最大利润为1300元．（5分） 21. （6分） 【解析】解：（1）设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为y＝kx+b， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为y＝22x+20（0≤x≤10）．（2分） （2）能，设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为y＝mx+n． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为y＝﹣44x+680（10≤x≤15）．（3分） 当0≤x≤10时， 令y＝130，则22 x+20＝130． 解得x＝5．（4分） 当10≤x≤15时， 令y＝130，则130＝﹣44x+680． 解得x＝12.5．（5分） ∵12.5﹣5＝7.5＞6， ∴该模式下烤制的食物能健康食用．（6分） 22．（5分） 【解析】解：（1）函数y的自变量x的取值范围是x≠2． 故答案为：x≠2．（1分） （2）由对称性可知，x＝7时，m．（2分） （3）函数图象如图所示： （3分） （4）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小． 故答案为：当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小．（5分） 23．（7分） 【解析】（1）解：∵矩形ABCD旋转20°得到矩形AEFG， ∴AE＝AB，∠EAB＝20°， ∴∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠EAB）＝80°，（1分） 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝10°；（2分） （2）证明：如图2，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，则∠BHP＝90°， 同（1）得，∠AEB＝∠ABE， ∴∠EBC＝90°﹣∠ABE，（3分） ∵BH⊥AE， ∴， ∴∠EBC＝∠EBH，（4分） ∵∠C＝90°， ∴BH＝BC＝AG，（5分） ∵矩形ABCD（AB＞AD）绕点A逆时针方向旋转α°得到矩形AEFG， ∴∠GAE＝∠C＝90°， 在△APG和△HPB中， ， ∴△APG≌△HPB（AAS），（6分） ∴PG＝PB， ∴P是BG的中点．（7分） 24．（7分） 【解析】解：（1）根据折叠的性质可知： ∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠1＝180°﹣2∠ADE①， ∠2＝180°﹣2∠AED②， 1 +②，得 ∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）， ∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝360°﹣360°+2∠A ＝2∠A， ∴∠A（∠1+∠2）． 故答案为：∠A（∠1+∠2）．（1分） （2）根据折叠的性质可知， ∴∠1＝180°﹣2∠ADE①， ∠2＝2∠AED﹣180°②， ①﹣②，得 ∠1﹣∠2＝180°﹣2∠ADE﹣2∠AED+180° ＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），（2分） ∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣（∠1﹣∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴2（180°﹣∠A）＝360°﹣（∠1﹣∠2），（3分） 360°﹣2∠A＝360°﹣∠1+∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠A，∴∠A（∠1﹣∠2）．（4分） （3）根据折叠的性质可知， ∠AEF（180°﹣∠1）， ∠DFE（180°﹣∠2），（5分） ∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°， ∴∠A+∠D（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝360°，（6分） ∴2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°， ∴∠A+∠D（∠1+∠2+360°）．（7分） 25．（7分） 【解析】解：（1）由联立，解得 ∴E点的坐标为（1，3）；（1分） （2）如图： 由y＝2x+1得：C（0，1），D（，0）， 由y＝﹣x+4得：A（0，4），B（4，0）， ∴AC＝3，BD， ∴，（2分） 设P（n，2n+1）， ∴S△BEP＝S△BDE﹣S△BDP，（3分） ∵S△BEP＝2S△ACE， ∴，即、， 解得n或n， ∴或；（4分） （3）存在，理由如下： 如图： 设M（t，2t+1）， 在y＝﹣x+4中，令y＝2t+1得： 2t+1＝﹣x+4， 解得：x＝3﹣2t， ∴N（3﹣2t，2t+1），（5分） MN＝|t﹣（3﹣2t）|＝|3t﹣3|， ∵MN∥x轴，即MN∥OD， ∴以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，只需MN＝OD，（6分） ∴|3t﹣3|， 解得：t或t， ∴或．（7分） 26．（8分） 【解析】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下： 如图1， ∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形， ∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE， 即∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴AE2+CF2＝EF2， 故答案为：AE2+CF2＝EF2．（1分） ②证明：如图1′，延长EO交DC于点G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，（2分） 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）．（3分） （2）解：结论：AE2+CF2＝EF2， 证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴点O是AC的中点． ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO， ∴△AEO≌△CGO（AAS），（4分） ∴AE＝CG，OE＝OG， ∵四边形A1B1C1O是矩形， ∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG， ∴OF垂直平分EG， ∴EF＝FG， 在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2， ∴AE2+CF2＝EF2；（5分） （3）解：设CF＝xcm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF， ∵AE＝4cm，AC＝5cm，BC＝12cm， ∴CE＝1cm，在Rt△FCE中，∠C＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴12+x2＝EF2，（6分） 又由（2）易知EF2＝AE2十 BF2， ∴EF2＝42+BF2， ∴12+x2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm；（7分） 2 当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF， 同理可证EF2＝AE2+BF2， ∴EF2＝42+（12﹣x）2， 在Rt△FCE中，EF2＝x2+（5+4）2， ∴x2+（5+4）2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm；（8分） 综上所述，线段CF的长度为cm或cm． 27. （8分） 【解析】解：（1）如图， ∵C（4，1），A（3，1）， ∴点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是1； ∵D（1，0），A（3，1）， ∴， ∴点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是； 故答案为：1；；（2分，每空一分） （2）如图，当P在AB左边时， 当PN⊥AB时，P，N两点间距离最小， ∵点P与线段AB的“近点距离”为2， ∴PN＝2， ∵xN＝3， ∴xP＝1， ∴yP＝1+2＝3， ∴P（1，3）， 当P在AB的右边时，如图中的P， ∴AP'＝2， 过B作x轴的平行线，过P′作x轴的垂线，交点为Q， ∵直线P′B为y＝x+2， ∴△BQP'为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：（1，3）或；（4分） （3）如图，过B作BG⊥直线y＝x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵一次函数y＝x+b， ∴∠GMT＝45°＝∠GTM， ∴∠OWT＝∠OTW＝45°， ∴设OT＝OW＝n， ∴W（0，n），T（n，0）， 设直线GT为y＝ex+f， ∴， 解得， ∴直线GT为y＝﹣x+8，（5分） ∴T（8，0）， ∴， 当时，， 过G作GV⊥x轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（6分） 如图，过E作EG⊥直线y＝x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵由平移可得E（6，1）， 同理可得直线GE为y＝﹣x+7， ∴K（0，7）， ∴， 当时，则， 过G作GV⊥y轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴，（7分） ，解得； ∴直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE 的“近点距离”小于或等于，b的取值范围为．（8分） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][W1[/1 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.A1[BJ[C1[D1 5.[A][B][C][D] 2.A1[B][C][DJ 6.[AJ[B1[C1[D] 3.[A][B][C][D] 7.[A1[B1[C1[DJ 4.[A1IB1[C][D] 8.[AJ【BJ[CI[D1 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9 10. 11 2 13. 14 15. 16 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23~25 题每题7分，第26~27题每题8分)。 17.(4分) D E F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) y y1=2x-1 y2x-3 19.(6分) 20.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分) y(℃)A 240 20 0 1015 x(min 22.（5分) 6 5 4 3 2 1 402940 -1 -2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) E G D C Q D E B 图1 图2 24.(7分) 7 AA 1 、D D E 人2 D 1 A Y. B C B 图0 图② 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) y A E B B 备用图 26.(8分) A C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) 465432 B 5 ⊙ 4 3 1 A 1 A -5-4-3-2-10 1234567一x -5-4-3-2-1o 1234567x -2 24567 -3 456 -7 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的： 1[A][BJIC][D] 5[A][B][C][D] 2.[A][BJ[C][D] 6.[AJ[B]ICJID] 3[A][BJ[C][D] 7AJ[BIICIID] 4.[A][B][C][D] 8[A][B]ICJ[D] 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9. 10. 11. 12. 13 14 16. 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23 ~25题每题7分，第26-27题每题8分)。 17.(4分) O F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) y,=2x-1 y2x-3 0 19.(6分) D B C 20.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) y(℃)4 240F---- : 20------} 0 1015x(min) 22.(5分) 6 4 3 . 2 1 -2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(7分) ⊙ E C C G D G D B 图1 图2 24.(7分) A A A D A E D 2 1 D' B B B 图0 图② 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(7分) y E E B D B 备用图 26.(8分) A D A E E D B C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(8分) 654 6↑ B 54 ⊙ 3 2 1 ●A 1 A t -5-4-3-2-10 1234567x -5-4-3-2-101234567 -2 -2 - -4 41 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级下册第14~15章。 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知点P1（a，1）和点P2（4，b﹣2）关于y轴对称，则（a+b）2026的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2026 5．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y＝bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　） A．若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 C．若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形 D．若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 7. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片使边AB落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE＝α，则∠DCG的度数为（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 10．如图，函数y＝x+4和y＝﹣3x+b的图象交于点A，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 11．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　 　 ． 12. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标为 　 　 ． 13. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　 　 厘米． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形OABC的两边相交，已知OA＝3，OC＝4，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 　 　 ． 15. 如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　 ． 16. 如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°．下列结论：①△OCD是等边三角形，②AC＝2DC，③S△AOE＝2S△COE，④∠COE＝45°．其中正确的有 　 （填序号）． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23~25题每题7分，第27~28题每题8分） 17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 18. 如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P， （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图象与y轴围成的图形面积． 19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 20．某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示： 型号 甲 乙 每台进价/元 160 250 每台售价/元 200 300 设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． （1）求y与x的函数表达式： （2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 21. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y℃与加热时间xmin之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式． （2）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 22. 如图是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数y的自变量x的取值范围是 　 ． （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　 ． 23．如图1，将矩形ABCD（AB＞AD）绕点A逆时针方向旋转α°得到矩形AEFG，连接BE． （1）若α＝20°，求∠EBC的度数； （2）如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P．求证：P是BG的中点． 24．（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BDEC的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律 　 　 ； （2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？ （3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 25．如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝﹣x+4与x轴交于点B，两直线相交于点E． （1）直接写出点E的坐标； （2）直线l1上存在一点P，使得S△BEP＝2S△ACE，求点P的坐标； （3）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，点D是边AB的中点，∠EDF＝90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，请直接写出线段CF的长度． 27. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A（3，1），B（3，5）． （1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； 点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； （2）点P在直线y＝x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 　 　 ； （3）如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级下册第14~15章。 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知点P1（a，1）和点P2（4，b﹣2）关于y轴对称，则（a+b）2026的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2026 5．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y＝bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　） A．若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 C．若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形 D．若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 7. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片使边AB落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE＝α，则∠DCG的度数为（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 10．如图，函数y＝x+4和y＝﹣3x+b的图象交于点A，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 11．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　 　 ． 12. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标为 　 　 ． 13. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　 　 厘米． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形OABC的两边相交，已知OA＝3，OC＝4，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 　 　 ． 15. 如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　 ． 16. 如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°．下列结论：①△OCD是等边三角形，②AC＝2DC，③S△AOE＝2S△COE，④∠COE＝45°．其中正确的有 　 （填序号）． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23~25题每题7分，第26~27题每题8分） 17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 18. 如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P， （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图象与y轴围成的图形面积． 19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 20．某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示： 型号 甲 乙 每台进价/元 160 250 每台售价/元 200 300 设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． （1）求y与x的函数表达式： （2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 21. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y℃与加热时间xmin之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式． （2）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 22. 如图是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数y的自变量x的取值范围是 　 ． （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　 ． 23．如图1，将矩形ABCD（AB＞AD）绕点A逆时针方向旋转α°得到矩形AEFG，连接BE． （1）若α＝20°，求∠EBC的度数； （2）如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P．求证：P是BG的中点． 24．（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BDEC的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律 　 　 ； （2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？ （3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 25．如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝﹣x+4与x轴交于点B，两直线相交于点E． （1）直接写出点E的坐标； （2）直线l1上存在一点P，使得S△BEP＝2S△ACE，求点P的坐标； （3）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，点D是边AB的中点，∠EDF＝90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，请直接写出线段CF的长度． 27. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A（3，1），B（3，5）． （1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； 点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； （2）点P在直线y＝x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 　 　 ； （3）如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第9页（共10页） 试题 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 全解全析 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项分析判断如下； A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2．下列曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：由函数的定义可知，选项C中的图象表示y是x的函数． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B． 【解析】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， ∵直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m）， ∴， 解得m＝3． 故选：B． 4．已知点P1（a，1）和点P2（4，b﹣2）关于y轴对称，则（a+b）2026的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2026 【答案】C． 【解析】解：根据题意可知，a＝﹣4，b﹣2＝1， 解得b＝3， ∴（a+b）2026＝（﹣4+3）2026＝1． 故选：C． 5．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y＝bx+k的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx+k图象第一、三、四象限， 故选：A． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是（　　） A．若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形 B．若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 C．若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是菱形 D．若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 【答案】D． 【解析】解：A、若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是正方形，故选项A不符合题意； B、若OA＝OB，OC＝OD，则四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若OA＝OC，OB＝OD，AB⊥BC，则四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、若OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝8，折叠纸片使边AB落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A． 【解析】解：∵长方形纸片ABCD中，AD＝8， ∴BC＝8， ∵折叠纸片使边AB落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，BE＝3， ∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：， 设AB＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴（x+4）2＝x2+82， 解得：x＝6， ∴AB＝6． 故选：A． 8．如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE＝α，则∠DCG的度数为（　　） A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α 【答案】D． 【解析】解：过点C作CH⊥BE于G，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∵点E，F为AD，CD的中点， ∴AE＝DF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠2， ∴∠BAD＝∠1+∠2＝90°， ∴∠1+∠ABE＝90°， ∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠ABE）＝90°， 设AE＝x，则AD＝AB＝2 x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE， 由三角形的面积公式得：S△ABEBE•AEAB•AE， ∴AG， 在Rt△AGB中，由勾股定理得：BG， ∵∠ABC＝90°，CH⊥BE， ∴∠ABE+∠5＝90°，∠3+∠5＝90°， ∴∠ABE＝∠3＝α， ∵∠AGB＝90°，CH⊥BE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△BCH中， ， ∴△ABG≌△BCH（AAS）， ∴AG＝BH， ∴HG＝BG﹣BH， ∴BH＝HG， ∴CH为BG的垂直平分线， ∴BC＝GC， ∴∠3＝∠4＝α， ∴∠BCG＝∠3+∠4＝2α， ∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝90°， 即∠DCG＝90°﹣∠BCG＝90°﹣2α． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．在函数中，自变量x的取值范围是 　 ． 【答案】x≤2． 【解析】解：依题意可得2﹣x≥0且x﹣3≠0， 解得，x≤2且x≠3． 故函数中自变量x的取值范围是x≤2． 故答案为：x≤2． 10．如图，函数y＝x+4和y＝﹣3x+b的图象交于点A，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 【答案】． 【解析】解：关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 11．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　 　 ． 【答案】1080°． 【解析】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8， 多边形的内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°． 故答案为：1080°． 12. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标为 　 　 ． 【答案】（2，4）． 【解析】解：∵点C的坐标为（﹣3，4）， ∴OC5， ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝BC＝5，BC∥OA， ∴点B（2，4）， 故答案为（2，4）． 13. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝　 　 厘米． 【答案】3． 【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC、BD的中点， ∵AC+BD＝24厘米， ∴OB+0A＝12厘米， ∵△OAB的周长是18厘米， ∴AB＝18﹣12＝6厘米， ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴AB＝2EF， ∴EF＝6÷2＝3厘米， 故答案为：3． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线向上平移2个单位长度后与矩形OABC的两边相交，已知OA＝3，OC＝4，则平移后的直线与矩形围成的三角形面积为 　 　 ． 【答案】． 【解析】解：∵OA＝3，OC＝4， ∴A（0，3），B（4，3），C（4，0）， 直线向上平移2个单位长度后得到yx+1， 把x＝0代入yx+1，得y＝1，则直线与y轴的交点D为（0，1）， 把y＝3代入yx+1，得x，则直线与AB轴的交点E为（，3）， ∴OD＝1，AE， ∴AD＝3﹣1＝2， ∴S△ADE． 故答案为：． 15. 如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　 ． 【答案】2． 【解析】解：如图，连接BF， 由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， 在△ACE和△BCF中， ， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAE＝30°，BD＝4， ∴∠CBF＝30°， 即点F的运动轨迹为直线BF， ∴当DF⊥BF时，DF最短， 此时，DFBD4＝2， ∴DF的最小值是2 16. 如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°．下列结论：①△OCD是等边三角形，②AC＝2DC，③S△AOE＝2S△COE，④∠COE＝45°．其中正确的有 　 （填序号）． 【答案】①②④． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AB∥CD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ACD＝∠BAC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°， ∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°， ∴△OCD是等边三角形，故①正确； ∵∠ADC＝90°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2DC，故②正确； ∴∵AO＝CO， ∴S△AOE＝S△COE，故③错误； ∵∠ABC＝90°，∠BAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵OA＝OB，∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝∠ABO＝60°，AB＝OB， ∴∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE＝∠BEO（180°﹣∠OBE）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18、20、22题每题5分，第19、21题每题6分，第23~25题每题7分，第26~27题每题8分） 17．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：BE＝DF． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF． 18. 如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P， （1）求出点P的坐标； （2）求两函数图象与y轴围成的图形面积． 【解析】解：（1）联立， 解得， ∴P点坐标为（﹣2，﹣5）． （2）由y＝2x﹣1和y＝x﹣3可知两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3）， ∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：2＝2． 19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）连接OE，若BD＝10，AD＝13，求线段OE的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC． ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝5，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OA12， ∴AC＝2OA＝24， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝12． 20．某店计划采购甲、乙两种不同型号的台灯共30台，两种型号的台灯每台进价和销售价格如表所示： 型号 甲 乙 每台进价/元 160 250 每台售价/元 200 300 设采购甲型台灯x台，全部售出后获利y元． （1）求y与x的函数表达式： （2）若要求采购甲型台灯数量不小于乙型的2倍，如何采购才能使得获利最大？最大利润为多少？ 【解析】解：（1）y＝（200﹣160）x+（300﹣250）（30﹣x）＝﹣10x+1500， ∴y与x的函数表达式y＝﹣10x+1500． （2）根据题意，得x≥2（30﹣x）， 解得x≥20， ∵x≤30， ∴20≤x≤30， ∵﹣10＜0， ∴y随x的减小而增大， ∴当x＝20时，y值最大，y最大＝﹣10×20+1500＝1300，30﹣20＝10（台）． 答：采购甲型台灯20台、乙型台灯10台才能使得获利最大，最大利润为1300元． 21. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y℃与加热时间xmin之间的函数图象如图所示． （1）求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式． （2）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 【解析】解：（1）设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为y＝kx+b， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为y＝22x+20（0≤x≤10）． （2）能，设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为y＝mx+n． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为y＝﹣44x+680（10≤x≤15）． 当0≤x≤10时， 令y＝130，则22 x+20＝130． 解得x＝5． 当10≤x≤15时， 令y＝130，则130＝﹣44x+680． 解得x＝12.5． ∵12.5﹣5＝7.5＞6， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 22. 如图是小华的探究过程，请补充完整： （1）函数y的自变量x的取值范围是 　 ． （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　 ． 【解析】解：（1）函数y的自变量x的取值范围是x≠2． 故答案为：x≠2． （2）由对称性可知，x＝7时，m． （3）函数图象如图所示： （4）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小． 故答案为：当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小． 23．如图1，将矩形ABCD（AB＞AD）绕点A逆时针方向旋转α°得到矩形AEFG，连接BE． （1）若α＝20°，求∠EBC的度数； （2）如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P．求证：P是BG的中点． 【解析】（1）解：∵矩形ABCD旋转20°得到矩形AEFG， ∴AE＝AB，∠EAB＝20°， ∴∠AEB＝∠ABE（180°﹣∠EAB）＝80°， 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝10°； （2）证明：如图2，过点B作BH⊥AE，垂足为点H，则∠BHP＝90°， 同（1）得，∠AEB＝∠ABE， ∴∠EBC＝90°﹣∠ABE， ∵BH⊥AE， ∴， ∴∠EBC＝∠EBH， ∵∠C＝90°， ∴BH＝BC＝AG， ∵矩形ABCD（AB＞AD）绕点A逆时针方向旋转α°得到矩形AEFG， ∴∠GAE＝∠C＝90°， 在△APG和△HPB中， ， ∴△APG≌△HPB（AAS）， ∴PG＝PB， ∴P是BG的中点． 24．（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BDEC的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律 　 　 ； （2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？ （3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【解析】解：（1）根据折叠的性质可知： ∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠1＝180°﹣2∠ADE①， ∠2＝180°﹣2∠AED②， ①+②，得 ∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）， ∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝360°﹣360°+2∠A ＝2∠A， ∴∠A（∠1+∠2）． 故答案为：∠A（∠1+∠2）． （2）根据折叠的性质可知， ∴∠1＝180°﹣2∠ADE①， ∠2＝2∠AED﹣180°②， ①﹣②，得 ∠1﹣∠2＝180°﹣2∠ADE﹣2∠AED+180° ＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）， ∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣（∠1﹣∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴2（180°﹣∠A）＝360°﹣（∠1﹣∠2）， 360°﹣2∠A＝360°﹣∠1+∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠A， ∴∠A（∠1﹣∠2）． （3）根据折叠的性质可知， ∠AEF（180°﹣∠1）， ∠DFE（180°﹣∠2）， ∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°， ∴∠A+∠D（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝360°， ∴2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°， ∴∠A+∠D（∠1+∠2+360°）． 25．如图，直线l1：y＝2x+1与x轴交于点D，与y轴交于点C，直线l2：y＝﹣x+4与x轴交于点B，两直线相交于点E． （1）直接写出点E的坐标； （2）直线l1上存在一点P，使得S△BEP＝2S△ACE，求点P的坐标； （3）点M为直线l1上一点，过点M作x轴的平行线交直线l2于点N，是否存在以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）由联立，解得 ∴E点的坐标为（1，3）； （2）如图： 由y＝2x+1得：C（0，1），D（，0）， 由y＝﹣x+4得：A（0，4），B（4，0）， ∴AC＝3，BD， ∴， 设P（n，2n+1）， ∴S△BEP＝S△BDE﹣S△BDP， ∵S△BEP＝2S△ACE， ∴，即、， 解得n或n， ∴或； （3）存在，理由如下： 如图： 设M（t，2t+1）， 在y＝﹣x+4中，令y＝2t+1得： 2t+1＝﹣x+4， 解得：x＝3﹣2t， ∴N（3﹣2t，2t+1）， MN＝|t﹣（3﹣2t）|＝|3t﹣3|， ∵MN∥x轴，即MN∥OD， ∴以点O、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，只需MN＝OD， ∴|3t﹣3|， 解得：t或t， ∴或． 26. 【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是 ． ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，点D是边AB的中点，∠EDF＝90°，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE＝4cm时，请直接写出线段CF的长度． 【解析】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下： 如图1， ∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形， ∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE， 即∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴AE2+CF2＝EF2， 故答案为：AE2+CF2＝EF2． ②证明：如图1′，延长EO交DC于点G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°， 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）． （2）解：结论：AE2+CF2＝EF2， 证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴点O是AC的中点． ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO， ∴△AEO≌△CGO（AAS）， ∴AE＝CG，OE＝OG， ∵四边形A1B1C1O是矩形， ∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG， ∴OF垂直平分EG， ∴EF＝FG， 在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2， ∴AE2+CF2＝EF2； （3）解：设CF＝xcm，①当E在线段AC上时，如图3，连接EF， ∵AE＝4cm，AC＝5cm，BC＝12cm， ∴CE＝1cm，在Rt△FCE中，∠C＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴12+x2＝EF2， 又由（2）易知EF2＝AE2+ BF2， ∴EF2＝42+BF2， ∴12+x2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm； ②当点E在CA延长线上时，如图4，过点B作BG⊥BC，交ED的延长线于G，连接EF，GF， 同理可证EF2＝AE2十 BF2， ∴EF2＝42+（12﹣x）2， 在Rt△FCE中，EF2＝x2+（5+4）2， ∴x2+（5+4）2＝42+（12﹣x）2， 解得：x， ∴此时线段CF的长度为cm； 综上所述，线段CF的长度为cm或cm． 27. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P与图形W给出如下定义：N为图形W上任意一点，P，N两点间距离的最小值称为点P与图形W的“近点距离”．特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的“近点距离”为零．如图1，点A（3，1），B（3，5）． （1）点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； 点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是 　 　 ； （2）点P在直线y＝x+2上，如果点P与线段AB的“近点距离”为2，那么点P的坐标是 　 　 ； （3）如图2，将线段AB向右平移3个单位，得到线段EF，连接AE，BF，若直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE的“近点距离”小于或等于，直接写出b的取值范围． 【解析】解：（1）如图， ∵C（4，1），A（3，1）， ∴点C（4，1）与线段AB的“近点距离”是1； ∵D（1，0），A（3，1）， ∴， ∴点D（1，0）与线段AB的“近点距离”是； 故答案为：1；； （2）如图，当P在AB左边时， 当PN⊥AB时，P，N两点间距离最小， ∵点P与线段AB的“近点距离”为2， ∴PN＝2， ∵xN＝3， ∴xP＝1， ∴yP＝1+2＝3， ∴P（1，3）， 当P在AB的右边时，如图中的P， ∴AP'＝2， 过B作x轴的平行线，过P′作x轴的垂线，交点为Q， ∵直线P′B为y＝x+2， ∴△BQP'为等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：（1，3）或； （3）如图，过B作BG⊥直线y＝x+b，则线段GB的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵一次函数y＝x+b， ∴∠GMT＝45°＝∠GTM， ∴∠OWT＝∠OTW＝45°， ∴设OT＝OW＝n， ∴W（0，n），T（n，0）， 设直线GT为y＝ex+f， ∴， 解得， ∴直线GT为y＝﹣x+8， ∴T（8，0）， ∴， 当时，， 过G作GV⊥x轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过E作EG⊥直线y＝x+b，则线段EG的长度为点G与四边形ABFE的“近点距离”， ∵由平移可得E（6，1）， 同理可得直线GE为y＝﹣x+7， ∴K（0，7），∴， 当时，则， 过G作GV⊥y轴于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ，解得； ∴直线y＝x+b上存在点G，使得点G与四边形ABFE 的“近点距离”小于或等于，b的取值范围为． 24 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $