专题07 矩形、菱形、正方形中最值问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题07 矩形、菱形、正方形中最值问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的最值问题 类型二、菱形中的最值问题 类型三、正方形中最值问题 压轴专练 类型一、矩形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：常利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等几何原理求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数或一次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2. 勾股定理列式：在矩形中常构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1．如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 【变式1-1】如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，利用轴对称解决线段和最小的问题，过点作，交于点，交于点，根据，得到，点是线段上的一个动点，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，则：，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 【变式1-2】如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键． 由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值． 【详解】，点为的中点， ， ∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点 连接 ， ， ∴当共线时，的值最小， ， ， ∴， ， 的最小值为 故答案为： 类型二、菱形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例2．如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质 连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式2-1】如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，则，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，三线合一，即可得出结果； （2）取的中点，的中点，连接，，根据三角形的中位线定理，推出点在上运动，当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵E是中点， ∴平分， ∴； 故答案为：； （2）取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴三点共线， ∴点在线段上运动， ∴当时，最小， ∵菱形， ∴，，， 由（1）知：为等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同法可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 类型三、正方形中最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例3．如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 【变式3-1】如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 【变式3-2】如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、对称性、勾股定理等知识，根据题意，将求的最小值转化为的最小值，然后利用动点最值问题-将军饮马模型得到的最小值为线段，在中，由勾股定理即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型是解决问题的关键． 【详解】解：连接如，如图①所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值； 作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，如图②所示： 根据对称性可知， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴的最小值为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，则，得到m的最小值为， 根据，，得到， ，得到 ，当时，，判断A正确；当时，,，判断B正确；当时，，判断C正确；当时，，,或，判断D不正确． 【详解】如图，根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P， 则， ∴，为m的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴A正确； 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B正确； 当时，， ∴C正确； 当时，， ∴， ∴， ∴,或， ∴D不正确． 故选：D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题 7．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，EF的长度最小值为 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短， （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形； （2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：存在． 理由：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵当时，最短，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， 即的长度最小值为． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点E是边的中点，点P是边上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转，得到点F．连结． (1)求出点F与直线的距离． (2)线段的长度的最小值是______． (3)求线段与长度之和的最小值． (4)直接写出线段与长度之和的最大值． 【答案】(1)2 (2)3 (3) (4) 【分析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及点到直线的距离等知识点，通过作辅助线，利用旋转的性质构造全等三角形来求解点到直线的距离，再根据几何关系求线段长度的最值． （1）过点作于点，根据证明，可得； （2）由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，即； （3）由三点共线时，的最小值为，即的最小值为，由勾股定理得，即可得出结论； （4）当点与点重合时，最大，即最大，也最大，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， 由题意知，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴，即点F与直线的距离为2． （2）解：由（1）可知，点在线段上运动，且之间的距离为2， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，即； 故答案为：3； （3）解：根据题意得，，如图， 当三点共线时，的最小值为， 在中，， 所以，的最小值为，即的最小值为； （4）解：如图，当点与点重合时，点与点重合，与交于点， ∴ 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 当点与点重合时，最大，即最大，也最大，此时，点与点重合，， ∵， ∴， ∴ ∴， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴， 所以，的最大值为，即的最大值为． 9．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 10．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值．    【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【分析】（1）连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （2）过点作，且使得，连接，与交于点，先根据菱形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （3）在上取一点，使得，连接，与交于点，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）如图1，连接，，    ∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． （2）如图2和图3，过点作，且使得，连接，与交于点，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在图2和图3中，都有，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． （3）如图4，在上取一点，使得，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， 即学生训练方阵正方形的边长为16． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07矩形、菱形、正方形中最值问题的三类综合题 型 目录 典例详解 类型一、矩形中的最值问题 类型二、菱形中的最值问题 类型三、正方形中最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、矩形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：常利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等几何原理求最 值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数或一次函数），在自变量取值范围内求 最值。 解题技巧 1.轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2.勾股定理列式：在矩形中常构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1，如图，在矩形ABCD中，E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB与点F, EG⊥BC于点G,连接DE,FG,若AB=3,BC=4,则FG的最小值 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-】如图.矩形BCD中，4B=4,8C=6,点P是矩形4BCD内一动点，且5=25，，则 PC+PD的最小值为一 B 【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点E,F分别为AD、CD边上的动点，且EF的 长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为一· E 0 B 类型二、菱形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例2.如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值是—· 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-I】如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分别 为4C,EF的中点，连接GH.若∠B=45,BC=25,则GH的最小值是一 ABCD 【变式2-2】菱形 ∠B=60,E是BC中点，连接 中， BC 品，DE,点r是DE上一动点，G为中点 连接CG. (1)∠BAE=—-: (2)若AB=2,则CG的最小值为一· 【变式2-3】如图，菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点（不包括端点），连 结AC,过点P作PO∥AC,交边CD于点，点R线段AC上的一点. B B 备用图1 备用图2 (1)若点为菱形 BCD 对角线的交点，P2为△1CD PR+OR 的中位线，求 的值： 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PR+OR R PR+OR (2)当 的值最小时，请确定点的位置，并求出 的最小值： PR+OR PR+OR+PO P Q (3)当 的值最小，且 的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写 出PR+QR+PQ的最小值. 类型三、正方形中最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数（常为二次函数），在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例3.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别为边BC,CD上动点，且BE+DF=4,连接BF, AE交于点G,连接DG,则线段DG长度的最小值为一 B 【变式3-I】如图，在正方形ABCD中，AB=8,点E在CD边上，且CE=3DE,点P是对角线AC上的 动点，则PE+PD的最小值是一· O 【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点.若∠MAW=45°，则MN的 最小值为 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式3-3】如图，在边长为I的正方形ABCD中，E,F分别是AD,CD边上的点，且AE=DF,CE与 AF相交于点G,求AF+CE的最小值. E D 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上·山东青岛月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,点M、N分别是 边BC、CD边上的动点，点P在BD上运动，在运动过程中，存在PM+PN的最小值，则这个最小值是 () A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 ABCD AB=9,AD=12 E,F 2.(25-26九年级上四川内江·期末)如图，在矩形 中， ，动点分别在对角线 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD上（点E在点F左侧），连接 E,CF EF=5 AE+CF ，若 ,则 的最小值为() D A.10W5 B.122 C.2V13 D.43 3.(2024安徽合肥一模)如图，正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别在边AB,BC上，点P在对角 线AC上，EF∥AC,PE+PF=m.下列结论错误的是() A B A.若BE=2,则m的最小值为4 B.若m的最小值为4，则BE=2 C.若BE=0.5,则m的最小值为5 D.若m的最小值为5，则BE=0.5 二、填空题 4.(25-26八年级上四川宜宾·期末)如图，在长方形ABCD中，AD=3,AB-2,BF=DE,则CE+DF 的最小值是 D 5.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，已知菱形ABCD的边长为2，M,N分别是边BC,CD上的 动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN,则MN的最小值为一 D B M 6.(25-26九年级上·北京石景山期末)如图，边长为2的正方形ABCD内有一动点E,满足∠AEB=90°， 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F为边BC上的动点，连接EF,DF (1)当点F为边BC的中点时，EF长的最小值为一： (2)EF+DF的最小值为一. 三、解答题 7.(24-25八年级下江苏连云港·月考)如图，在△ABC中，AC=6,AB=8,BC=10,D为BC边上一 动点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F (I)求证：四边形AEDF是矩形： (2)在点D运动的过程中，EF的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 8.(24-25八年级下·吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点E是边AD的中点，点 P是边AB上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转90°，得到点F.连结 PE、PF、EF、CF B (I)求出点F与直线AD的距离. (2)线段CF的长度的最小值是 (③)求线段CF与PE长度之和的最小值 (4)直接写出线段CF与PE长度之和的最大值 9.(24-25八年级下·福建·期中)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点. 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B C 图① 图② 图③ 0若F为对角线D上对点，E是4D F ① D的中点，请在图①中画出当EF+MF取得最小值时的点F,简单 写出点F的做法，不需要证明： 2如图②，M为对角线BD上一动点，N为边4D上一动点，若W+M的最小值为 W3 ，这个值恰好 与(1)中EF+AF 的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； 6在(2)的条件下，如图国所示，若点'是OB的中点，点P为线段1D上的动点，在△1C 绕着点旋 转过程中，点2的对应点是8，直接写出P、巴丙点间的距离的最大值和最小值。 10.(25-26九年级上陕西西安·月考)【问题提出】 (1)如图1，正方形ABCD的边长为6，M是对角线BD上的一个动点，N是边BC的中点，连接MN, MC,则在点M的运动过程中，MN+MC的最小值为· 【问题探究】 (2)如图2，四边形ABCD是菱形，AB=10,BD=16,M,N是对角线BD上的动点，MN的长度为4且始 终保持不变，连接AM,CN,求AM+CN的最小值。 D A M D M B B 图1 图2 图3 【问题解决】 (3)某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形ABCD，如图3.为了效果更好，站在边 AE处的学生队伍要平分∠DAC,其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边AD 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的点M处和边AE上的点N处指导纠正学生的动作，即M,N分别为边AD,AE上的动点.通过记录并 MN+DN 8√2 计算，得到“ 的最小值为8V2,请你计算学生训练方阵正方形1BCD的边长. 9/9