专题05 实践与探索（二元一次方程组的应用） 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

专题05 实践与探索（二元一次方程组的应用） （3知识点+8题型+过关检测） 【题型1 方案问题】 3 【题型2 数字问题】 8 【题型3 年龄问题】 10 【题型4 几何问题】 13 【题型5 图表信息题】 16 【题型6 古代问题】 20 【题型7 开放型问题】 25 【题型8 其他问题】 28 1. 掌握列二元一次方程组解决实际问题的核心步骤，能从实际情境、几何图形、图表信息中抽象出数学问题，建立二元一次方程组模型。 2. 熟练运用代入消元法、加减消元法求解二元一次方程组，并能结合实际意义检验解的合理性，确保答案符合实际场景。 3. 理解方案问题、数字问题、年龄问题等8类题型的核心等量关系，能根据不同场景选择合适的设元方法和解题策略，提升知识应用能力。03 知识•梳理 知识点1：列二元一次方程组解实际问题的通用步骤 1. 审：认真审题，明确题目中的已知量、未知量，理清题意和数量关系，明确解题目标。 2. 设：设两个未知数（优先采用直接设元，复杂问题可采用间接设元），注明未知数的单位，确保设元合理。 3. 找：找出两个独立的等量关系（关键前提，缺一不可，且不能重复），这是列方程组的核心。 4. 列：根据找到的两个等量关系，分别列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 5. 解：选择合适的消元方法（代入消元法或加减消元法），求解二元一次方程组，得出未知数的值。 6. 验：检验所求的解是否同时满足方程组的两个方程，且是否符合实际意义（如人数、长度、价格等不能为负数，方案需具备可行性）。 7. 答：规范写出答案，注明单位，确保答案完整、贴合题意。 知识点2：8类题型核心等量关系模型 题型类别 核心等量关系 方案问题 1. 总费用=单价×数量；2. 总数量=各部分数量之和；3. 约束条件（如总费用≤预算、总数量≥目标值） 数字问题 1. 多位数=数位数字×位权（如两位数=10×十位+个位）；2. 数字间和、差、倍、分关系 年龄问题 1. 年龄差始终不变；2. n年前/后年龄=现在年龄±n；3. 年龄和、倍关系 几何问题 1. 常见图形周长、面积、体积公式；2. 图形拼接/折叠的边长、周长、面积关系 图表信息题 从表格/统计图提取数据，根据数据和、差、倍、比例关系列等量关系 古代问题 将文言表述转化为现代数学语言，提取题目中数量关系（如鸡兔同笼总头数、总脚数） 开放型问题 无固定等量关系，补充合理条件，分类讨论，结合实际筛选可行解 其他问题 套用行程、工程、销售等场景核心等量关系（如路程=速度×时间、利润=售价-进价） 知识点3：常见易错点辨析 1. 错误1：等量关系重复或缺失，两个方程实为同一关系，导致方程组无解或多解，无法求出唯一答案。 2. 错误2：单位不统一，如速度用km/h，时间用分钟，未统一单位就列方程，导致计算错误。 3. 错误3：检验环节遗漏，仅检验解是否满足方程组，忽略解的实际意义，导致答案不符合实际场景（如人数为负数）。 4. 错误4：设元不当，间接设元后未转化为题目所求的量，或设元时未注明单位，导致答案错误。 5. 错误5：消元计算失误，如加减消元时漏乘、移项不变号，代入消元时漏加括号，导致求解错误。 6. 错误6：图表信息提取不全，漏看表格、统计图中的关键数据（如单位、备注），导致等量关系列错。 7. 错误7：开放型问题未分类讨论，遗漏可行情况，或未结合实际意义筛选解，导致答案不完整。 高频易错提示：1. 列方程组的核心是“两个独立的等量关系”，审题时可圈画关键词（和、差、倍、分、共、不超过、至少），避免等量关系遗漏或重复；2. 检验是必备步骤，尤其方案问题、数字问题，需确保解符合实际意义；3. 不同题型优先选择对应的设元方法，如数字问题设数位数字，年龄问题设今年年龄，提升解题效率。 04 题型•汇总 【题型1 方案问题】 解题思路： 核心：围绕“总费用/总数量+约束条件”列方程组，直接设元，结合实际筛选最优方案。 【典例1】．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 跟随训练1．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可； （2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件， 由题意，得， ． ∴． 当，即时，解得，此时两种方案花费一样； 当，即时，解得，此时方案一花费少； 当，即时，解得，此时方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少； 当时，两种方案花费一样； 当时，方案一花费少． 跟随训练2．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【答案】(1) (2)，，， (3)需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块 【分析】（1）用一张该板材的面积除以一块靠背板的面积即可得出结果； （2）一张该板材先靠上裁切靠背板块，设余下的板材可裁切靠背板块，座板块，根据题意可得，表示出，结合，为正整数，求出或或，即可得出结果； （3）分三种情况，分别列出二元一次方程组，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板块； （2）解：如图：一张该板材先靠上裁切靠背板块， 设余下的板材可裁切靠背板块，座板块， 根据题意可得， ∴， ∵，为正整数， ∴或或， ∴方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板块和座板块． 方案三：裁切靠背板块和座板块； （3）解：设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得， 解得：， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块， 设用张板材裁切靠背板块和座板块，用张板材裁切靠背板块和座板块， 根据题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背板块和座板块，用其中94张板材裁切靠背板块和座板块，或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背板块和座板块，用其中111张板材裁切靠背板块和座板块． 【题型2 数字问题】 解题思路： 核心：用位权表示多位数，结合数位关系和和差倍分关系列方程组，注意数位数字取值范围。 步骤：① 设数位数字；② 表示原数、新数；③ 列等量关系；④ 解方程检验数位合理性；⑤ 作答。 【典例2】．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 跟随训练1．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 跟随训练2．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 【题型3 年龄问题】 解题思路 核心：抓住“年龄差不变”，设今年年龄为未知数，结合时间节点列方程组。 步骤：① 设两人今年年龄；② 列等量关系（年龄差+年龄和/倍关系）；③ 解方程检验；④ 作答。 关键提醒：年龄差不随时间变化，年龄为正整数。 【典例3】．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 跟随训练1．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 跟随训练2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 【题型4 几何问题】 解题思路： 核心：套用几何公式，结合图形隐含关系列方程组。 步骤：① 设图形关键边长；② 列等量关系（几何公式+图形关系）；③ 解方程检验几何意义；④ 作答。 关键提醒：准确套用公式，找准拼接/折叠的隐含关系。 【典例4】．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 跟随训练1．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 跟随训练2． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 【题型5 图表信息题】 解题思路： 核心：从图表提取有效数据，转化为等量关系列方程组。 步骤：① 读懂图表，提取关键数据；② 设未知数；③ 列等量关系；④ 解方程检验；⑤ 作答。 关键提醒：不遗漏图表单位、备注等隐藏信息 【典例5】．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 跟随训练1．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 跟随训练2． 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）56个；（3）20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，即可完成表格； （2）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，即可解答； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，设买张正方形铝皮，根据题意列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据素材，完成表格如下： 圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 （2）由题意得， 解得：， 则长方形材料有（张）， 因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料， 所以最多可以做56个罐头； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少， 设买张正方形铝皮，则圆形材料有张，长方形材料有张， 由题意得，， 解得：， 所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完． 故答案为：20． 【题型6 古代问题】 解题思路： 核心：将文言问题转化为现代数学语言，提取数量关系列方程组。 步骤：① 翻译题干，明确题意；② 设未知数；③ 列等量关系；④ 解方程检验；⑤ 作答。 关键提醒：准确理解文言关键词，避免理解偏差。 【典例6】．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 跟随训练1．综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 跟随训练2．阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据“算筹图”利用图3、图4列方程组成方程组，利用加减消元法解二元一次方程组； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是，根据图5列二元一次方程组，把x的值代入解方程组求出m值即可． 【详解】（1）解：由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得，， 将①，②，得，， 得，， 将代入②得，， 这个方程组的解是：， 即这两个方程的公共解是，； （2）解：设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为，， 由题意可知，， 将代入①得，，解得：， 将，代入②得，，解得：， 被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是3． 【题型7 开放型问题】 解题思路： 核心：补充合理条件，分类讨论，结合实际筛选可行解。 步骤：① 明确开放类型，确定解题方向；② 补充条件/列方程组；③ 分类讨论，检验合理性；④ 作答。 关键提醒：全面考虑所有情况，补充条件需合理。 【典例7】．数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 跟随训练1．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 【答案】A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得： 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元． 跟随训练2．2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】(1)小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份 (2)小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． （2）解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 【题型8 其他问题】 解题思路： 核心：回归通用步骤，套用对应场景等量关系，灵活设元消元。 步骤：① 判断场景，找已知量、未知量；② 列等量关系；③ 设元列方程组，求解检验；④ 作答。 关键提醒：拆解复杂场景，紧扣关键词，灵活套用模型。 【典例8】．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解,8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买）,该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元，根据题意，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出篮球和足球每个进价；）设采购m个篮球，n个足球，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：设每个篮球的进价是x元，每个足球的进价是y元， 依题意得：， 解得：， 则每个篮球的进价是150元，每个足球的进价是80元， 设采购m个篮球，n个足球， 依题意得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或或， 答：该班共有3种采购方案． 跟随训练1．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱．设甲持钱为，乙持钱为，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，”列出方程组，即可解题． 【详解】解：根据题意，得． 跟随训练2．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列方程组并求解，最后计算小长方形的面积即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 则每个小长方形的面积． 05 过关•检测 1．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 2．有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意，总重为，互换1只雀和1只燕后，雀堆变为4只雀和1只燕，燕堆变为1只雀和5只燕，两者重量相等，即． 【详解】解：由题意可得方程组为， 故选：A． 3．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（   ） 2 5 7 8 A．9 B．1 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键． 由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程、，最终求出并计算 ． 【详解】解：由题意得： 解得： ∴． 故选：B． 4．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 【答案】 【分析】根据题意列二元一次方程组，解出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 则． 5．如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据图2列方程组求出小长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴每块小矩形的面积为． 6．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 【答案】 纯净水 矿泉水 【分析】本题考查方案选择问题，理解题意并正确计算是关键． （1）计算12瓶每种饮用水的总价，并进行比较； （2）由于酸性水单价较高，故先考虑只购买一瓶，然后考虑碱性水的数量．确定碱性水和酸性水购买数量后，根据剩余的钱，对矿泉水的购买数量进行分类讨论，比较不同方案的购买总数，得出结论． 【详解】解：（1）若买矿泉水，共需元； 若买纯净水，共需元； 若买碱性水，则需要买2箱，共花费元，因需购买12瓶，故不符合题意； 若买酸性水，刚好一箱，共需32元． ∵， ∴买纯净水； （2）设矿泉水购买a瓶，纯净水购买b瓶，碱性水购买c箱，酸性水购买d瓶， 由题意可知，每种饮用水都要买，故，，，． 酸性水单价较高，故只购买一瓶． 当时，剩余元， ①当时，则剩余元，全部买纯净水，可买瓶． 所有饮用水的数量为瓶； ②当时，矿泉水单价变为元， ∴， ∵和都是正整数， ∴必须为10的倍数， 又∵， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ③当时，矿泉水单价变为元， ∴， 同理②可知，必须为5的倍数， 又∵，即， ∴，此时， 所有饮用水数量为瓶； ④当时，，不满足题意． 当时，剩余元， ⑤当时，则剩余元，无法全部购买纯净水，故买4瓶纯净水和多买1瓶酸性水． 所有饮用水数量为瓶； ⑥当时，由②可知，， ∵，不满足题意， ∴当时，矿泉水无法购买超过12瓶． 当时，最少购买量：，不满足题意； 综上所述，方案③用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多，购买量最多的水的种类为矿泉水． 故答案为：纯净水；矿泉水． 7．塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，即可根据3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65列出方程组即可． 【详解】解：设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为， 故答案为：． 8．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 【答案】 7 5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 9．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料（原料全部制成食品，制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费40500元，铁路运费53000元．已知公路运费为3元/（千米·吨），铁路运费为2元/（千米·吨）． (1)求该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，求卖出的食品每吨售价是多少元？ 【答案】(1)这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． (2)该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． (3)卖出的食品每吨售价是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程组或方程． （1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据食品厂到地的距离是到地的2倍且，、两地间的距离为150公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据两次运输第一次：地到食品厂，第二次：食品厂到地共支出公路运费40500元、铁路运费53000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里， 根据题意，得：， 解得：， 答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． （2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨， 由题意得：， 解得：， 答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：卖出的食品每吨售价是元． 10．据国家体育总局报道，2025年全年，我国运动员共在31个项目上获得146个世界冠军，创17项世界纪录．为了落实“健康第一”的教育理念，某校购买了一批跳绳，其中长绳每根25元，短绳每根15元，若学校用550元购买了长绳和短绳共30根，请问长绳和短绳各买了多少根？ 【答案】长绳买了10根，短绳买了20根. 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是找到题目中的两个等量关系：长绳和短绳的总数量为30根，购买长绳和短绳的总费用为550元，据此列方程组求解即可. 【详解】解：设购买长绳根，短绳根， 根据题意，列方程组：， 解得：. 答：长绳买了10根，短绳买了20根. 11．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨 (2)共有3种租车方案，具体见详解 (3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元 【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于的二元一次方程，结合均为整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆A型车的租金租用A型车的数量每辆B型车的租金租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨， 依题意得，解得， 答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨； （2）解：依题意得， ∴， 又均为整数， ∴或或， ∴共有3种租车方案： 方案1：租用A型车8辆，B型车1辆； 方案2：租用A型车5辆，B型车3辆； 方案3：租用A型车2辆，B型车5辆； （3）解：选用方案1所需租车费为（元）； 选用方案2所需租车费为（元）； 选用方案3所需租车费为（元）； ， ∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元． 12．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元； (2)共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； (3)方案1获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、方程的正整数解问题以及利润的计算与最值比较，关键是根据实际购进的资金等量关系建立方程(组)，结合车辆数为正整数的实际意义确定取值，再通过计算比较得出利润最值． （1）先设、两种型号汽车的进价分别为万元、万元，根据题干中两种购进方式的资金总额，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的每辆进价； （2）设购进型辆、型辆，且、均为正整数，根据总购进资金万元列出不定方程，整理化简后结合正整数的限制条件，分析得出未知数的取值需满足的倍数和不等关系，逐一验证求出所有符合条件的、值，进而确定所有购买方案； （3）根据每辆、型汽车的利润，分别计算出（2）中各方案的总利润，通过比较各方案的利润数值，得出获利最大的方案以及对应的最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意列方程组：，解得， 答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元． （2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)， 根据题意得，整理得， ∵、为正整数， ∴需为3的正倍数，且，即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； （3）解：方案1的利润：(万元)； 方案2的利润：(万元)； 方案3的利润：(万元)； ∵， ∴方案1获利最大，最大利润是万元； 答：方案1获利最大，最大利润是万元． 13．某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机．请根据下表信息，解答下列问题． 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款国产耕地机若干台． 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元． 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元． 问题解决 任务（1） （1）求A，B两款国产耕地机每台的进价； 任务（2） （2）要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案． 【答案】任务（1）：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元；任务（2）一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元，根据素材1和素材2建立方程组求解即可； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台，根据一共花费240万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是正整数， ∴m是3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台． 14．综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元；任务2：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． （1）设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，根据买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元建立方程组求解即可； （2）设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯，根据刚好花100元建立方程，解方程求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元， 由题意得， ， 解得， 答：A款奶茶的销售单价为12元，B款奶茶的销售单价为8元； 任务2：设购买A款奶茶a杯，购买B款奶茶b杯， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴必须是大于0的偶数， ∴a必须是奇数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意； 答：一共有4种购买方案：方案一，购买A款奶茶1杯，购买B款奶茶11杯；方案二，购买A款奶茶3杯，购买B款奶茶8杯；方案三，购买A款奶茶5杯，购买B款奶茶5杯；方案四，购买A款奶茶7杯，购买B款奶茶2杯． 15．为响应国家科技兴农的号召，湖北荆州某生态农场采用智能温室种植草莓，并通过直播带货进行销售．农场制定了以下销售方案：草莓每千克成本价为20元，直播期间计划在成本价基础上每千克加价x元销售．已知在“11•11”第一次直播中，销售草莓总量为2400千克，总销售额为67200元． (1)请根据销售信息列出关于x的一元一次方程，并求出每千克草莓的销售定价． (2)配送方案：所有草莓采用精品礼盒包装，每盒净重2千克．配送车辆有两种：大型冷链车每辆可装120盒，小型冷链车每辆可装80盒．实际安排车辆时，大型冷链车与小型冷链车一共用了12辆，且恰好运完所有草莓，求大型冷链车和小型冷链车各用了多少辆． (3)因本次配送所需车辆较多，农场决定优化包装规格，发现每个礼盒还可以在（2）的基础上再加装0.5千克草莓．若下次直播销售总量仍为2400千克，且仍使用（2）中的原车型配送，能否只用8辆车恰好装完？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，每千克草莓的销售定价为元； (2)大型冷链车用了6辆，小型冷链车用了6辆； (3)能只用8辆车恰好装完，理由见解析． 【分析】（1）根据“总销售额=销售单价×销售数量”的基本关系，结合已知的成本价、加价金额、销售总量和总销售额列出一元一次方程，求解得到加价金额后即可算出销售定价； （2）先根据总重量和每盒重量计算出总盒数，再以“大型车装载总盒数+小型车装载总盒数=总盒数”为等量关系，设未知数列出方程求解两种车辆的数量； （3）先计算优化包装后的总盒数，再假设用8辆车恰好装完，设大型车数量为未知数列出方程，通过判断方程的解是否为符合实际的非负整数，确定能否实现该配送方案． 【详解】（1）解：∵每千克草莓的成本价为元，直播期间计划加价元销售， ∴每千克草莓的销售单价为元， 可列方程：， 解得：， ∴每千克草莓的销售定价为(元)． 答：每千克草莓的销售定价为元． （2）解：设大型冷链车用了辆，则小型冷链车用了辆， 根据题意列方程：， 解得：， 则小型冷链车用了(辆)． 答：大型冷链车用了6辆，小型冷链车用了6辆． （3）解：假设能用8辆车恰好装完，设大型冷链车用辆，则小型冷链车用辆， 根据题意列方程：， 解得：， 此时， ∴能只用8辆车恰好装完． 答：能只用8辆车恰好装完，大型冷链车用了8辆，小型冷链车用了0辆. 16．根据下面素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首人民币2元；至部分，每人民币1元可乘坐至部分，每人民币1元可乘坐；超过，每人民币1元可乘坐．例如：单程，普通车厢单人票价（不优惠）为（元）． 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受五折优惠． 素材3 某学校八年级（3）班共40名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从高新园站到科学馆站． 问题解决 任务1 乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站单程，则地铁普通车厢单人票价（不优惠）为_____元． 任务2 若全班同学乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费130元．求使用《深圳通学生卡》和按原价乘坐地铁的学生人数分别为多少． 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从高新园打车到科学馆费用为每辆车40元，每辆车最多可坐4名同学．设打车的同学正好坐满辆车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为元，求与之间的关系式（不要求写自变量的取值范围），并求在单程交通费预算350元时，最多有多少同学可以打车前往． 【答案】任务1：5元 任务2：使用学生卡28人，原价12人 任务3：，最多28人打车 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用； 任务1：分段计算：起步价2元（），至， 至，即可求解； 任务2：设使用学生卡的人数为人，原价人数为人，列出方程组，即可求解； 任务3：费用为，根据预算费用，即可求解． 【详解】任务1： 解：单程，票价计算如下： 起步价2元（）， 至，（元）， 至，（元）（向上取整）， 总票价：（元）， 故答案为5元； 任务2： 解：设使用学生卡的人数为人，原价人数为人，则： ， 解得：， 答：使用学生卡28人，原价12人； 任务3： 解：打车辆，费用为： ， 预算350元时： ， 解得， 最大取， 打车人数：人； 答：，最多28人打车． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实践与探索（二元一次方程组的应用） （3知识点+8题型+过关检测） 【题型1 方案问题】 3 【题型2 数字问题】 5 【题型3 年龄问题】 6 【题型4 几何问题】 6 【题型5 图表信息题】 8 【题型6 古代问题】 10 【题型7 开放型问题】 12 【题型8 其他问题】 14 1. 掌握列二元一次方程组解决实际问题的核心步骤，能从实际情境、几何图形、图表信息中抽象出数学问题，建立二元一次方程组模型。 2. 熟练运用代入消元法、加减消元法求解二元一次方程组，并能结合实际意义检验解的合理性，确保答案符合实际场景。 3. 理解方案问题、数字问题、年龄问题等8类题型的核心等量关系，能根据不同场景选择合适的设元方法和解题策略，提升知识应用能力。03 知识•梳理 知识点1：列二元一次方程组解实际问题的通用步骤 1. 审：认真审题，明确题目中的已知量、未知量，理清题意和数量关系，明确解题目标。 2. 设：设两个未知数（优先采用直接设元，复杂问题可采用间接设元），注明未知数的单位，确保设元合理。 3. 找：找出两个独立的等量关系（关键前提，缺一不可，且不能重复），这是列方程组的核心。 4. 列：根据找到的两个等量关系，分别列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组。 5. 解：选择合适的消元方法（代入消元法或加减消元法），求解二元一次方程组，得出未知数的值。 6. 验：检验所求的解是否同时满足方程组的两个方程，且是否符合实际意义（如人数、长度、价格等不能为负数，方案需具备可行性）。 7. 答：规范写出答案，注明单位，确保答案完整、贴合题意。 知识点2：8类题型核心等量关系模型 题型类别 核心等量关系 方案问题 1. 总费用=单价×数量；2. 总数量=各部分数量之和；3. 约束条件（如总费用≤预算、总数量≥目标值） 数字问题 1. 多位数=数位数字×位权（如两位数=10×十位+个位）；2. 数字间和、差、倍、分关系 年龄问题 1. 年龄差始终不变；2. n年前/后年龄=现在年龄±n；3. 年龄和、倍关系 几何问题 1. 常见图形周长、面积、体积公式；2. 图形拼接/折叠的边长、周长、面积关系 图表信息题 从表格/统计图提取数据，根据数据和、差、倍、比例关系列等量关系 古代问题 将文言表述转化为现代数学语言，提取题目中数量关系（如鸡兔同笼总头数、总脚数） 开放型问题 无固定等量关系，补充合理条件，分类讨论，结合实际筛选可行解 其他问题 套用行程、工程、销售等场景核心等量关系（如路程=速度×时间、利润=售价-进价） 知识点3：常见易错点辨析 1. 错误1：等量关系重复或缺失，两个方程实为同一关系，导致方程组无解或多解，无法求出唯一答案。 2. 错误2：单位不统一，如速度用km/h，时间用分钟，未统一单位就列方程，导致计算错误。 3. 错误3：检验环节遗漏，仅检验解是否满足方程组，忽略解的实际意义，导致答案不符合实际场景（如人数为负数）。 4. 错误4：设元不当，间接设元后未转化为题目所求的量，或设元时未注明单位，导致答案错误。 5. 错误5：消元计算失误，如加减消元时漏乘、移项不变号，代入消元时漏加括号，导致求解错误。 6. 错误6：图表信息提取不全，漏看表格、统计图中的关键数据（如单位、备注），导致等量关系列错。 7. 错误7：开放型问题未分类讨论，遗漏可行情况，或未结合实际意义筛选解，导致答案不完整。 高频易错提示：1. 列方程组的核心是“两个独立的等量关系”，审题时可圈画关键词（和、差、倍、分、共、不超过、至少），避免等量关系遗漏或重复；2. 检验是必备步骤，尤其方案问题、数字问题，需确保解符合实际意义；3. 不同题型优先选择对应的设元方法，如数字问题设数位数字，年龄问题设今年年龄，提升解题效率。 04 题型•汇总 【题型1 方案问题】 解题思路： 核心：围绕“总费用/总数量+约束条件”列方程组，直接设元，结合实际筛选最优方案。 【典例1】．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 跟随训练1．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 跟随训练2．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架．故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 (1)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板（恰好全部用完），则可裁切靠背板______块． (2)在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板（靠背板和座板两者都要有且板材恰好全部用完），请你设计出所有符合要求的裁切方案． 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在（2）中的裁切方案中选定两种，并说出你选定的裁切方案分别需要多少块板材．（选择一种符合实际的组合即可） 【题型2 数字问题】 解题思路： 核心：用位权表示多位数，结合数位关系和和差倍分关系列方程组，注意数位数字取值范围。 步骤：① 设数位数字；② 表示原数、新数；③ 列等量关系；④ 解方程检验数位合理性；⑤ 作答。 【典例2】．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 跟随训练1．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 跟随训练2．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 【题型3 年龄问题】 解题思路 核心：抓住“年龄差不变”，设今年年龄为未知数，结合时间节点列方程组。 步骤：① 设两人今年年龄；② 列等量关系（年龄差+年龄和/倍关系）；③ 解方程检验；④ 作答。 关键提醒：年龄差不随时间变化，年龄为正整数。 【典例3】．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 跟随训练1．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 跟随训练2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【题型4 几何问题】 解题思路： 核心：套用几何公式，结合图形隐含关系列方程组。 步骤：① 设图形关键边长；② 列等量关系（几何公式+图形关系）；③ 解方程检验几何意义；④ 作答。 关键提醒：准确套用公式，找准拼接/折叠的隐含关系。 【典例4】．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 跟随训练1．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 跟随训练2． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【题型5 图表信息题】 解题思路： 核心：从图表提取有效数据，转化为等量关系列方程组。 步骤：① 读懂图表，提取关键数据；② 设未知数；③ 列等量关系；④ 解方程检验；⑤ 作答。 关键提醒：不遗漏图表单位、备注等隐藏信息 【典例5】．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 跟随训练1．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 跟随训练2． 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 【题型6 古代问题】 解题思路： 核心：将文言问题转化为现代数学语言，提取数量关系列方程组。 步骤：① 翻译题干，明确题意；② 设未知数；③ 列等量关系；④ 解方程检验；⑤ 作答。 关键提醒：准确理解文言关键词，避免理解偏差。 【典例6】．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 跟随训练1．综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y的式子表示） ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________； 【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 跟随训练2．阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为4，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【题型7 开放型问题】 解题思路： 核心：补充合理条件，分类讨论，结合实际筛选可行解。 步骤：① 明确开放类型，确定解题方向；② 补充条件/列方程组；③ 分类讨论，检验合理性；④ 作答。 关键提醒：全面考虑所有情况，补充条件需合理。 【典例7】．数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 跟随训练1．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元．求A、B两种型号智能机器人的单价． 跟随训练2．2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【题型8 其他问题】 解题思路： 核心：回归通用步骤，套用对应场景等量关系，灵活设元消元。 步骤：① 判断场景，找已知量、未知量；② 列等量关系；③ 设元列方程组，求解检验；④ 作答。 关键提醒：拆解复杂场景，紧扣关键词，灵活套用模型。 【典例8】．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品.据了解,8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元.该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买）,该班共有（   ）种采购方案 A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练1．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱．设甲持钱为，乙持钱为，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？如果设1只雀重x斤，1只燕重y斤，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把1～9这九个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（   ） 2 5 7 8 A．9 B．1 C．3 D．6 4．《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如表所示的方格内填入了一些数据．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则的值为______． 0 y 4 x 5．如图1是一块长为，宽为的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是______． 6．某超市销售四种包装饮用水，销售方式如下表所示： 种类 销售方式 矿泉水 3元/瓶，12瓶起售，购买13-24瓶每瓶9折，25-36瓶每瓶8折，37及以上折 纯净水 每瓶2元，每满30瓶送5瓶． 碱性水 25元/箱（10瓶），满14箱送1箱，仅按箱售卖，不单独售卖． 酸性水 32元/箱（12瓶），单独售卖3元/瓶． （1）若小云需购买12瓶同种包装饮用水，从划算角度考虑，你推荐她购买_______． （2）小腾手中有100元，若要用完所有钱且购买包装饮用水的总数最多（四种都要买）则购买量最多的水的种类为_______（以上两空均填水种类的名称）． 7．塑料凳子轻便实用，在生活中随处可见，如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为55，5支塑料凳子叠放在一起的高度为65．假设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，则可列方程组为______． 8．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 9．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料（原料全部制成食品，制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费40500元，铁路运费53000元．已知公路运费为3元/（千米·吨），铁路运费为2元/（千米·吨）． (1)求该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利406500元，求卖出的食品每吨售价是多少元？ 10．据国家体育总局报道，2025年全年，我国运动员共在31个项目上获得146个世界冠军，创17项世界纪录．为了落实“健康第一”的教育理念，某校购买了一批跳绳，其中长绳每根25元，短绳每根15元，若学校用550元购买了长绳和短绳共30根，请问长绳和短绳各买了多少根？ 11．当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮我们设计租车方案； (3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 12．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 13．某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机．请根据下表信息，解答下列问题． 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款国产耕地机若干台． 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元． 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元． 问题解决 任务（1） （1）求A，B两款国产耕地机每台的进价； 任务（2） （2）要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案． 14．综合与实践 问题 如何设计购买奶茶方案？ 背景 为了庆祝“元旦节”，某班级开展知识竞赛活动，对在竞赛活动中取得优异成绩的学生给予奖励，准备去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需260元． 解决问题 任务1：问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2：如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花100元，请问有哪些购买方案？ 15．为响应国家科技兴农的号召，湖北荆州某生态农场采用智能温室种植草莓，并通过直播带货进行销售．农场制定了以下销售方案：草莓每千克成本价为20元，直播期间计划在成本价基础上每千克加价x元销售．已知在“11•11”第一次直播中，销售草莓总量为2400千克，总销售额为67200元． (1)请根据销售信息列出关于x的一元一次方程，并求出每千克草莓的销售定价． (2)配送方案：所有草莓采用精品礼盒包装，每盒净重2千克．配送车辆有两种：大型冷链车每辆可装120盒，小型冷链车每辆可装80盒．实际安排车辆时，大型冷链车与小型冷链车一共用了12辆，且恰好运完所有草莓，求大型冷链车和小型冷链车各用了多少辆． (3)因本次配送所需车辆较多，农场决定优化包装规格，发现每个礼盒还可以在（2）的基础上再加装0.5千克草莓．若下次直播销售总量仍为2400千克，且仍使用（2）中的原车型配送，能否只用8辆车恰好装完？请通过计算说明理由． 16．根据下面素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首人民币2元；至部分，每人民币1元可乘坐至部分，每人民币1元可乘坐；超过，每人民币1元可乘坐．例如：单程，普通车厢单人票价（不优惠）为（元）． 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受五折优惠． 素材3 某学校八年级（3）班共40名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从高新园站到科学馆站． 问题解决 任务1 乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站单程，则地铁普通车厢单人票价（不优惠）为_____元． 任务2 若全班同学乘坐地铁1号线从高新园站到科学馆站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费130元．求使用《深圳通学生卡》和按原价乘坐地铁的学生人数分别为多少． 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从高新园打车到科学馆费用为每辆车40元，每辆车最多可坐4名同学．设打车的同学正好坐满辆车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为元，求与之间的关系式（不要求写自变量的取值范围），并求在单程交通费预算350元时，最多有多少同学可以打车前往． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $