第5章 一元一次方程（复习讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

该初中数学一元一次方程复习讲义通过知识框架图系统梳理了单元内容，从概念（含定义、注意点）、等式性质（性质1与2及易错点）、解法步骤（五步法及操作要点）到实际应用（行程、工程等类型）层层递进，并用对比提示突出“方程的解与解方程”“除数不为0”等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，基础题巩固解方程与简单应用，中档题涉及参数讨论与代数式结合，压轴题如动态几何问题培养模型意识与几何直观。通过“过桥变号”等口诀强化运算能力，“重审题提炼等量关系”指导提升应用意识，支持不同层次学生发展，助力教师实施分层教学与精准复习。

第5章 一元一次方程（复习讲义） 从生活实例(如行程问题，购物付费)中抽象出一元一次方程的模型，理解其是解决实际问题的有效数学工具。通过等式的性质，掌握方程的同解原理，并运用它求出未知数的值，培养建模思想和应用意识。 基础题：直接解方程，或解简单的应用题(如和差倍分问题)。 中档题：含参数方程的解的讨论，与代数式求直结合，或涉及比例，分配等复杂情境的应用题。 压轴题：一元一次方程在动态几何，方案设计与决策等综合性问题中的应用。 注意： ①概念零混淆(区分"方程的解"与"解方程"，等式性质2中除数不能为0)； ②计算严步骤(严格遵循去分母，去括号，移项，合并，系数化1五步法，避免跳步)； ③应用重审题(从实际问题中准确提炼等量关系是列方程的关键)。 1、一元一次方程概念 含义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。形式一般为。 注意：判断一个式子是否为一元一次方程时，可先看是否为整式方程（分母不含未知数），再数未知数个数和次数。若式子较复杂，可先化简再判断。例如() 化简后是一元一次方程。 容易忽略a≠0这个条件。比如 ax = 3，当未明确 a 的取值时，不能直接认定它是一元一次方程。另外，要注意分母中不能含有未知数，像  就不是一元一次方程。 2、等式的性质 性质 1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 性质 2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 注意：在解方程时，可根据等式性质灵活变形。比如要把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，就利用等式性质 1 进行加减操作。若要消除未知数的系数，就用等式性质 2 乘除。 运用等式性质 2 时，容易忽略除数不能为 0 的条件。另外，在进行等式变形时，要注意对等式两边所有项都进行相同操作，不能漏项。 3、解一元一次方程的步骤 一般步骤为：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）、去括号（运用乘法分配律）、移项（变号）、合并同类项、系数化为 1（等式两边同除以未知数系数）。 注意：去分母时，若分子是多项式，要给分子加上括号；去括号时，注意括号前的符号，若为负号，括号内各项都要变号。移项时，可记住 “过桥变号” 的口诀，即从等号一边移到另一边要改变符号。 去分母时容易漏乘不含分母的项；去括号时括号前是负号容易忘记变号；移项不变号也是常见错误。 4、一元一次方程的实际应用 关键是分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，设未知数，列方程求解。常见类型有行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作量 = 工作效率 × 工作时间）、利润问题（利润 = 售价 - 进价）等。 对于行程问题，可通过画线段图来直观表示路程、速度和时间的关系；工程问题可把工作总量看作单位 “1”；利润问题要明确各个量之间的关系。例如，在追及问题中，画线段图能清晰看出两者路程差。 注意：找等量关系时容易出错，比如在行程问题中，对同时出发、不同时出发等情况分析不清导致等量关系错误。设未知数时，若设得不合理可能会使列方程和求解过程变得复杂。另外，解完方程后要检验答案是否符合实际情况，比如人数不能为负数或小数等。​ 题型一 方程的定义 【例1】下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【变式1-2】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列式子中，（   ）是方程． A． B． C． 题型二 方程的解 【例2】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若是方程的解，则的值是（   ） A． B．4 C． D．2 【变式2-2】某书中一道方程题：，处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是，那么处应该是数字 ． 【变式2-3】观察下列关于的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； … 根据观察得到的规律，解答问题：方程的解为 ． 题型三 一元一次方程 【例3】解是的一元一次方程可以是： ．（写出一个即可） 【变式3-1】已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【变式3-2】若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【变式3-3】写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 题型四 等式的性质 【例4】已知实数，，满足，，，则下列判断错误的是（） A． B． C． D． 【变式4-1】下列等式变形，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】方程变形为，是根据等式的性质一，在等式两边同时 ． 【变式4-3】下列运用等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．，那么 D．如果，那么 题型五 一元一次方程的解法 【例5】解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】当 时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【变式5-2】规定一种新运算：，若，则的值为 ． 【变式5-3】已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 题型六 同解问题 【例6】若关于的方程与的解相同，则的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式6-1】已知方程和方程的解相同，求m的值． 【变式6-2】若式子与的值相等，则x的值是 ． 【变式6-3】已知关于的方程与的解相同，则的值为() A．13 B．-3 C．-7 D．-4 题型七 一元一次方程的应用 【例7】明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，求银子有多少两．设银子有两，则可列方程为 ． 【变式7-1】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量． 【变式7-2】“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【变式7-3】综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？（） 题型八 一元一次方程综合 【例8】如图，小华从下午开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转度，时针每小时旋转度．请你完成小华思考的下列问题： (1)钟面上的分针旋转的速度为 度/分钟，时针旋转的速度为 度/分钟； (2)若钟面上的分针与时针重合，此时为点多少分？（保留准确结果） (3)若钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点多少分？（直接写出结果） 【变式8-1】在一条东西向的双轨铁路上相向驶来一辆高速列车和一辆普快列车，两列火车正行驶在途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，向右为正方向，1米为一个单位长度画数轴，此时高速列车头在数轴上表示的数是，普快列车头在数轴上表示的数是，且满足，已知该高速列车长为200米，速度为100米/秒，普快列车长为400米，速度为50米/秒． (1)填空：、、三点表示的数分别为：______、______、______ (2)从此刻开始算起，再行驶多少秒两列火车头相距800米？ (3)假设你是高速列车上的一名乘客，并且从此时开始从高速列车头向列车尾走去，速度为1米/秒，请问乘客从列车头走到列车尾的过程中是否存在一段时间，使得乘客到、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出时间和这个定值；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】综合与探究 问题情境：小慧、小金、欢欢三人均是某中学的老师，三人都居住在距离学校（记为点）1800米的A小区（记为点）．如图所示，一天傍晚，小慧从小区出发，匀速步行去学校进行课后服务管理，速度为80米／分，同时小金带着数学书从学校出发匀速步行回小区，速度为100米／分，设小慧行走的时间为分钟． (1)数学思考：在上述行走过程中，小慧距点的距离为____________米，小金距点的距离为____________米（均用含的式子表示）； (2)解决问题：欢欢在小金出发3分钟时，骑电动车以200米／分的速度从点出发向点方向骑行，求欢欢追上小慧时的值，并求出此时欢欢和小金之间的距离； (3)欢欢追上小慧后继续按原来的速度向学校行驶，途中遇到了小金，欢欢拿到数学书后即刻调头（拿书和调头的时间忽略不计），以原来的速度返回小区，小金和小慧整个过程中行驶的速度大小方向均不变，当欢欢返回途中且到小区之前与小金或小慧其中一人之间的距离是60米时，的值为___________． 【变式8-3】小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列各式中，一元一次方程有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．笑笑完成一套共题的小测卷，满分分，答对一题记作分，答错或不答一题记作分．若笑笑最后的得分是分，则笑笑最后答对了的题目有（    ） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 4．若是方程的解，则的值（   ） A． B．5 C． D．7 5．《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？大意为：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各多少？设金价为x钱，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的方程是一个一元一次方程，则a等于（    ） A．3 B． C． D．0 7．张叔叔在一块正方形菜园中按如图所示的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是，青菜地的长是，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，则这块正方形菜园的边长是（   ） A． B． C． D． 8．若与的解相同，则k的值为（   ） A．8 B．2 C． D．6 二、填空题 9．当 方程的解．（是或不是） 10．列等式表示“的倍与的差等于的”为 ． 11．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是 ． 12．为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电 度． 三、解答题 13．若一个角的余角的3倍，比这个角的补角多，求这个角的度数． 14．解方程 (1)； (2)； (3) 15．商场以240元/件的价格购进某种商品，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列运用等式的性质进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意为：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？设有家合伙买牛，可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是200元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 6．若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 7．下列方程的变形正确的是（    ） A．将方程去分母，得 B．将方程去括号，得 C．将方程移项，得 D．将方程系数化为，得 8．若关于的方程的解是整数，则非负整数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 二、填空题 9．某商场为了拓展销路决定把进价为120元的商品打8折出售，仍可获利，则该商品的标价为 元． 10．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中a，b，c，d分别表示一个数，则的值为 ． 11．观察下列关于的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； ．．． 根据观察得到的规律，解答问题： 方程的解为 ． 12．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 三、解答题 13．解方程： (1)； (2)． 14．如图，这是一个正方体的展开图，相对的两个面所标注值的和均为6，求的值． 15．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进一批吉祥物“喜洋洋”“乐融融”玩偶，原计划按每套45元的价格销售，恰好能售完所有玩偶，实际销售时，商店决定降价促销，每套售价降低了3元，结果比原计划多卖出20套，且总销售额比原计划增加了120元．求该商店原计划卖出多少套吉祥物玩偶？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（复习讲义） 从生活实例(如行程问题，购物付费)中抽象出一元一次方程的模型，理解其是解决实际问题的有效数学工具。通过等式的性质，掌握方程的同解原理，并运用它求出未知数的值，培养建模思想和应用意识。 基础题：直接解方程，或解简单的应用题(如和差倍分问题)。 中档题：含参数方程的解的讨论，与代数式求直结合，或涉及比例，分配等复杂情境的应用题。 压轴题：一元一次方程在动态几何，方案设计与决策等综合性问题中的应用。 注意： ①概念零混淆(区分"方程的解"与"解方程"，等式性质2中除数不能为0)； ②计算严步骤(严格遵循去分母，去括号，移项，合并，系数化1五步法，避免跳步)； ③应用重审题(从实际问题中准确提炼等量关系是列方程的关键)。 1、一元一次方程概念 含义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。形式一般为。 注意：判断一个式子是否为一元一次方程时，可先看是否为整式方程（分母不含未知数），再数未知数个数和次数。若式子较复杂，可先化简再判断。例如() 化简后是一元一次方程。 容易忽略a≠0这个条件。比如 ax = 3，当未明确 a 的取值时，不能直接认定它是一元一次方程。另外，要注意分母中不能含有未知数，像  就不是一元一次方程。 2、等式的性质 性质 1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 性质 2，等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 注意：在解方程时，可根据等式性质灵活变形。比如要把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，就利用等式性质 1 进行加减操作。若要消除未知数的系数，就用等式性质 2 乘除。 运用等式性质 2 时，容易忽略除数不能为 0 的条件。另外，在进行等式变形时，要注意对等式两边所有项都进行相同操作，不能漏项。 3、解一元一次方程的步骤 一般步骤为：去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）、去括号（运用乘法分配律）、移项（变号）、合并同类项、系数化为 1（等式两边同除以未知数系数）。 注意：去分母时，若分子是多项式，要给分子加上括号；去括号时，注意括号前的符号，若为负号，括号内各项都要变号。移项时，可记住 “过桥变号” 的口诀，即从等号一边移到另一边要改变符号。 去分母时容易漏乘不含分母的项；去括号时括号前是负号容易忘记变号；移项不变号也是常见错误。 4、一元一次方程的实际应用 关键是分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，设未知数，列方程求解。常见类型有行程问题（路程 = 速度 × 时间）、工程问题（工作量 = 工作效率 × 工作时间）、利润问题（利润 = 售价 - 进价）等。 对于行程问题，可通过画线段图来直观表示路程、速度和时间的关系；工程问题可把工作总量看作单位 “1”；利润问题要明确各个量之间的关系。例如，在追及问题中，画线段图能清晰看出两者路程差。 注意：找等量关系时容易出错，比如在行程问题中，对同时出发、不同时出发等情况分析不清导致等量关系错误。设未知数时，若设得不合理可能会使列方程和求解过程变得复杂。另外，解完方程后要检验答案是否符合实际情况，比如人数不能为负数或小数等。​ 题型一 方程的定义 【例1】下列式子是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，不是等式，故不是方程； 选项B：，不是等式，故不是方程； 选项C：，是等式且含有未知数x，故是方程； 选项D：，是等式但不含未知数，故不是方程． 故选：C． 【变式1-1】下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 【变式1-2】下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是解决本题的关键． 根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：，不是等式，故不是方程，不符合题意； B：，是不等式，不是等式，故不是方程，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，故不是方程，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，故是方程，符合题意． 故选D． 【变式1-3】下列式子中，（   ）是方程． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义． 根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：方程必须同时满足两个条件：①含有未知数；②是等式． 选项A：，含有未知数x，但不是等式，不是方程． 选项B：，不是等式，不是方程． 选项C：，含有未知数a，且是等式，是方程． 故选：C． 题型二 方程的解 【例2】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．将 代入各方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项A不符合题意； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项B不符合题意； C．把代入，左边，右边，左边右边，故选项C不符合题意； D．把代入方程，左边，右边，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2-1】若是方程的解，则的值是（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，将代入方程，得出关于k的方程，求解k的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入方程得：， 解得：． 故选：C． 【变式2-2】某书中一道方程题：，处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是，那么处应该是数字 ． 【答案】2 【分析】本题考查方程的解，把方程的解代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 故答案为：2． 【变式2-3】观察下列关于的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； … 根据观察得到的规律，解答问题：方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，方程的解，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键．通过观察前三个方程，发现对于方程(为大于的正整数)，方程的解为；本题中，因此解为． 【详解】解：分析已知方程的规律： 的解为； 的解为； 的解为； 规律总结：对于方程(为大于的正整数)，解为， ∴，此时， ∴． 故答案为：． 题型三 一元一次方程 【例3】解是的一元一次方程可以是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解，只含有一个未知数，未知数的次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程；根据定义结合方程解的定义即可解决． 【详解】解：∵， ∴可列方程如：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-1】已知关于x的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、代数式求值等知识点，掌握一元一次方程定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义可知该方程的二次项系数为零且一次项系数不为零，据此可求出a的值，然后代入多项式求值即可． 【详解】解：∵方程为一元一次方程， ∴二次项系数，且一次项系数， ∴ ∴多项式． 故答案为． 【变式3-2】若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 【变式3-3】写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，利用了待定系数法求方程．设方程是，把代入即可求得的值，从而求解． 【详解】解：设方程是， 把代入，， 解得：， 则方程是：， 故答案是：． 题型四 等式的性质 【例4】已知实数，，满足，，，则下列判断错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，等式的性质，解决本题的关键是根据两个等式求出，． 根据已知等式和，通过相加得到，再代入得，结合可得和，因此错误． 【详解】解：∵， ， 可得， ， ， 将代入①得， ，故D选项正确； ，且， 即，同理可得，故A、B选项正确； ， ，故C选项错误， 故选：C． 【变式4-1】下列等式变形，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立， ∴ A和B正确； ∵ 等式两边同时乘以同一个数，等式仍成立， ∴ C正确； ∵ 等式两边同时除以同一个数时，该数不能为零，但k可能为零， ∴ D不一定正确． 故选：D． 【变式4-2】方程变形为，是根据等式的性质一，在等式两边同时 ． 【答案】加上 【分析】本题考查了等式的性质． 根据等式的性质一，等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立．原方程变形时，在两边同时加上，即可得到变形后的方程． 【详解】解：方程， 两边同时加上，得， 整理得． 故答案为：加上． 【变式4-3】下列运用等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，同时注意等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立． 【详解】解：由等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立， 选项A：与分别加c和减c，不符合等式的性质1，故该选项不符合题意； 选项B：由，得，即，故该选项不符合题意； 选项C：当时，恒成立，但与不一定相等，故该选项不符合题意； 选项D：由，等式两边同时除以，等式成立，故该选项符合题意； 故选D． 题型五 一元一次方程的解法 【例5】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式5-1】当 时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程的应用，相反数的性质；根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为零，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：依题意，得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 故答案为：． 【变式5-2】规定一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】已知是关于x的一元一次方程． (1)求a的值，并求解上述一元一次方程； (2)若上述方程的解是关于x的方程的解2倍，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次方程的定义和绝对值等知识点，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，，求出，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可； （2）先解出，代入即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， 且， ， 将代入方程，得 ， 解得， 答：a的值是，方程的解是； （2）由题意方程的解为：， 将代入方程得 ， 解得：， 答：k的值是2． 题型六 同解问题 【例6】若关于的方程与的解相同，则的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，把解代入中，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程与的解相同， ∴把代入，得，解得； 故选C 【变式6-1】已知方程和方程的解相同，求m的值． 【答案】16 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再根据两个方程的解相同，把代入方程中，求出m的值即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵方程和方程的解相同， ∴把代入方程得， 解得． 【变式6-2】若式子与的值相等，则x的值是 ． 【答案】 // 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得方程 ，再解方程即可 【详解】解：由题可知，， 移项得：， 即 ， 解得 ， 故答案为： 【变式6-3】已知关于的方程与的解相同，则的值为() A．13 B．-3 C．-7 D．-4 【答案】D 【分析】本题考查方程的解与解一元一次方程．先解第一个方程求出的值，再代入第二个方程解关于的方程． 【详解】解：解方程，得， ． 两个方程的解相同， 是方程的解， 代入得，即， ， ． 故选：D． 题型七 一元一次方程的应用 【例7】明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，求银子有多少两．设银子有两，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，掌握根据题意得到等量关系是解题的关键． 设银子有两，根据人数不变列方程，即可求解． 【详解】解：每人分两，剩余两，则人数为， 每人分两，还差两，则人数为， 则． 故答案为：． 【变式7-1】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量． 【答案】(1)要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿 (2)25张 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据等量列出方程是解题关键． （1）设要用立方米的木料制作桌面，那么可以制作个桌面，用立方米的木料制作桌腿，那么可以制作条桌腿，根据配套关系建立方程并解方程即可； （2）由（1）可知，桌子数量为套，设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设要用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套， 根据题意，得， 解得，， ． 答：要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）解：由（1）可知，桌子数量为（套）． 设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张， 根据题意，得， 解得，． ． 答：甲工厂每天加工桌子的数量是张． 【变式7-2】“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)天 (2)甲队万元，乙队万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键． （1）把工程总量设为单位“”，先计算甲单独做天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数； （2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量乙单独做的工作量总工作量”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解． 【详解】（1）解：设还需要天完成，则 ， ， ， ， 答：还需要9天才能完成． （2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天． ， ， ， ， ， 甲工作天数：（天） 设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元． ， ， ， ， 乙每天施工费： 答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元． 【变式7-3】综合与实践 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元；如果按标价的八折出售，将盈利70元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？（） 【答案】(1)400元 (2)7折 【分析】本题考查一元一次方程的应用； （1）设每件服装的标价是元，根据售价与进价的关系：如果每件服装按标价的五折出售，将亏本50元，则进价售价 ；如果按标价的八折出售，将盈利70元，则进价售价 ，据此列出方程求解即可； （2）设打折销售能恰好保证利润率为，先算出进价，再由利润率公式得：售价进价进价利润率，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 由题意得：， 解得：． 答：每件服装的标价是元． （2）解：设打折销售能恰好保证利润率为， 进价为：元， 由题意得：， 解得：． 答：打折销售能恰好保证利润率为． 题型八 一元一次方程综合 【例8】如图，小华从下午开始对钟面进行了一个小时的观察，了解到钟面上的分针每小时旋转度，时针每小时旋转度．请你完成小华思考的下列问题： (1)钟面上的分针旋转的速度为 度/分钟，时针旋转的速度为 度/分钟； (2)若钟面上的分针与时针重合，此时为点多少分？（保留准确结果） (3)若钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点多少分？（直接写出结果） 【答案】(1)， (2)当钟面上的分针与时针重合，此时为点分 (3)当钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点分 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据时针和分针每小时旋转的角度除以分钟，即可求解每分钟所走的角度； （2）设点分时，钟面上的分针与时针重合，分别表示出分针所旋转的角度和时针所旋转的角度，根据“分针与时针重合”列方程求解即可； （3）设点分时，钟面上的分针与时针夹角恰好为，分三种情况讨论：分针未追上时针前；分针追上并超过时针后，第一次钟面上的分针与时针夹角为时；分针追上并超过时针后，第二次钟面上的分针与时针夹角为时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：钟面上的分针旋转的速度为：（度/分钟）， 时针旋转的速度为：（度/分钟）， 故答案为：，； （2）解：设点分时，钟面上的分针与时针重合，则有： ， 解得， 即当钟面上的分针与时针重合，此时为点分； （3）解：设点分时，钟面上的分针与时针夹角恰好为， 分三种情况讨论： 分针未追上时针前，钟面上的分针与时针夹角小于，故此情况不存在； 分针追上并超过时针后，第一次钟面上的分针与时针夹角为时，则有： ， 解得， 分针追上并超过时针后，第二次钟面上的分针与时针夹角为时，则有： ， 解得，此时已点钟，不符合题意； 综上，当钟面上的分针与时针夹角恰好为，则此时为点分． 【变式8-1】在一条东西向的双轨铁路上相向驶来一辆高速列车和一辆普快列车，两列火车正行驶在途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，向右为正方向，1米为一个单位长度画数轴，此时高速列车头在数轴上表示的数是，普快列车头在数轴上表示的数是，且满足，已知该高速列车长为200米，速度为100米/秒，普快列车长为400米，速度为50米/秒． (1)填空：、、三点表示的数分别为：______、______、______ (2)从此刻开始算起，再行驶多少秒两列火车头相距800米？ (3)假设你是高速列车上的一名乘客，并且从此时开始从高速列车头向列车尾走去，速度为1米/秒，请问乘客从列车头走到列车尾的过程中是否存在一段时间，使得乘客到、、、的距离之和为一个定值？若存在，请直接写出时间和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；1600 (2)或秒 (3)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键在于理解题意，找出题中的数量关系分类讨论得到方程． （1）根据绝对值和平方的非负性求出a与c的值，结合题意即可确定点B和D表示的数； （2）设运动时间为t秒，根据的长度列方程求解即可； （3）设乘客为点P，运动时间为x秒，先得到定值为600，再分点P、C相遇时和点P、D相遇时列出方程求解即可得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵高速列车长为200米，普快列车长为400米， ∴B点表示的数为：， 故答案为：；；1600； （2）设运动时间为t秒，则点A表示，点C表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， ∴再行驶或秒两列火车头相距800米； （3）设乘客为点P，运动时间为x秒， ∵普快列车长为400米，点C表示的数是1600， ∴D点表示的数为：， ∵P在线段上运动， ∴， 当P在线段上， 为定值，且， ∴， 即这个定值为600， 点P表示的数为， 点C表示的数为， 点D表示的数为， 当点P、C相遇时，， 解得，， 当点P、D相遇时，， 解得，， ∴（秒）． 【变式8-2】综合与探究 问题情境：小慧、小金、欢欢三人均是某中学的老师，三人都居住在距离学校（记为点）1800米的A小区（记为点）．如图所示，一天傍晚，小慧从小区出发，匀速步行去学校进行课后服务管理，速度为80米／分，同时小金带着数学书从学校出发匀速步行回小区，速度为100米／分，设小慧行走的时间为分钟． (1)数学思考：在上述行走过程中，小慧距点的距离为____________米，小金距点的距离为____________米（均用含的式子表示）； (2)解决问题：欢欢在小金出发3分钟时，骑电动车以200米／分的速度从点出发向点方向骑行，求欢欢追上小慧时的值，并求出此时欢欢和小金之间的距离； (3)欢欢追上小慧后继续按原来的速度向学校行驶，途中遇到了小金，欢欢拿到数学书后即刻调头（拿书和调头的时间忽略不计），以原来的速度返回小区，小金和小慧整个过程中行驶的速度大小方向均不变，当欢欢返回途中且到小区之前与小金或小慧其中一人之间的距离是60米时，的值为___________． 【答案】(1)， (2)900米 (3)8.6或9.5或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题），熟练掌握行程问题中“路程=速度×时间”的关系、分情况讨论的思想是解题的关键． （1）根据速度和时间的关系，用含的式子表示小慧、小金距点的距离； （2）根据欢欢和小慧的路程关系列方程求，再计算此时与小金的距离； （3）分“欢欢与小金距离60米”，“欢欢与小慧距离60米”两种情况，列方程求． 【详解】（1）解：小慧从出发向走，速度80米／分，时间分钟，故距的距离为米， 小金从出发向走，总路程1800米，速度100米／分，故距的距离为米， 故答案为：，； （2）解：欢欢在小金出发3分钟后出发，即欢欢出发时，此时小慧已走米， 设欢欢出发分钟后追上小慧，此时小慧走了分钟，路程为米；欢欢路程为米， 由追上时路程相等，得， 解得，此时． 此时小金走了5分钟，路程为米，距的距离为米； 欢欢距的距离为米， 故欢欢和小金之间的距离为米； （3）解：分两种情况： ①欢欢与小金距离60米： 欢欢追上小慧后，继续向走，遇到小金时，小金走了分钟，欢欢走了分钟，路程和为1800米，得， 解得（相遇时刻）， 相遇后欢欢返回，设返回时间为分钟， 此时欢欢距的距离为， 小金距的距离为． 由距离60米，得， 解得，（或舍去） 此时； ②欢欢与小慧距离60米： 相遇后欢欢返回，设返回时间为分钟， 此时小慧距的距离为，欢欢返回时距的距离为， 得，解得，或 此时或 综上，的值为8.6或9.5或． 故答案为：8.6或9.5或． 【变式8-3】小阳计划用无人机跟拍自己骑行，完成一段视频拍摄． 素材一 自行车始终以的速度匀速运动． 无人机具有以下三种运动模式，各模式下均为匀速运动（忽略加减速过程）： 跟随模式：无人机位于目标后方60米处，以的速度同步跟随． 动能模式：无人机以的速度向前运动． 升降模式：无人机以的速度垂直上升或下降． 素材二 如图，以O为原点，自行车前进方向为正方向，1米为单位长度建立数轴．无人机在数轴上表示的点的位置开始执行拍摄流程． 无人机拍摄流程： ①无人机由“跟随模式”切换至“动能模式”，超越自行车到达点O； ②在O点垂直上升100米到达悬停点，悬停并垂直向下拍摄，可拍摄到地面一个半径为R的圆形区域．无人机到达悬停点时，自行车刚好进入拍摄区域； ③当自行车刚好离开拍摄区域时，无人机立即垂直下降100米； ④无人机降落后，立即切换至“动能模式”追赶自行车，最终恢复到“跟随模式”． (1)开始执行拍摄流程时，自行车在数轴上表示的数为______，经过t秒，自行车在数轴上表示的数为______（用含t的代数式表示）． (2)流程①和②中，无人机从数轴上的位置运动至悬停点用时多少秒？圆形拍摄区域的半径R为多少米？ (3)流程③和④中，在无人机开始下降时计时，经过多少秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式”？ 【答案】(1)， (2)无人机到达悬停点用时40 秒，圆形拍摄区域的半径米 (3)经过28秒无人机能重新追上自行车并恢复到“跟随模式” 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据题意无人机的位置与题目设定的要求求出即可； （2）分别根据路程与速度求出相应的时间，利用无人机计算出时间，得出自行车运动的路程，根据题意得出区域半径； （3）设出追赶的时间，下降的高度与速度都已知，结合跟随模式的要求列出方程，求出时间，两个时间的和即为所求． 【详解】（1）自行车的初始位置与t秒后的位置： 无人机初始在数轴处，“跟随模式”下无人机位于自行车后方60米， 因此自行车初始位置为：； 秒后的位置：自行车速度为，沿正方向匀速运动，故位置为初始位置加移动距离：， 故答案为：，； （2）无人机到悬停点的用时与拍摄半径R无人机到悬停点的总用时： 流程①从到O点：距离300米，动能模式速度，用时秒； 流程②点垂直上升100米：升降模式速度，用时秒； 总用时：秒； 当无人机到达悬停点用时40秒，此时自行车的位置为：，故米； （3）∵无人机开始下降时自行车位置为40， 无人机下降100米用时秒，此过程中自行车移动距离为米，故自行车位置变为：， 经过x秒恢复到跟随模式无人机在自行车后方60米，无人机位置（动能模式）：，自行车位置：， 得到， ， ， 总用时为下降的20秒+追赶的8秒秒． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：对于A，，两边加5得，正确； 对于B，，两边除以a时a可能为0，分母不能为零，变形不一定正确； 对于C，，两边乘6得，而非，错误； 对于D，，两边乘4得，而非，错误； 故选：A． 2．下列各式中，一元一次方程有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②是一元一次方程； ③含两个未知数，不是一元一次方程； ④化简得，是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． ∴ 一元一次方程有②④⑤，共3个． 故选：C． 3．笑笑完成一套共题的小测卷，满分分，答对一题记作分，答错或不答一题记作分．若笑笑最后的得分是分，则笑笑最后答对了的题目有（    ） A．7道 B．6道 C．5道 D．4道 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握“根据得分规则建立等量关系列方程”是解题的关键． 设答对的题目数为未知数，根据得分规则列出方程，求解得到答对题数． 【详解】解：设笑笑答对了道题，则答错或不答的题数为道，根据题意可得 ， 解得， 故选：B． 4．若是方程的解，则的值（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于m和n的等式，然后问题可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， ∴； 故选A． 5．《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问：人数、金价各几何？大意为：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各多少？设金价为x钱，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设金价为x钱，根据每人出钱数及盈余，表示出人数，利用人数相等列方程． 【详解】解：∵每人出400钱，会多出3400钱， ∴总出资金额为，人数为； ∵每人出300钱，会多出100钱， ∴总出资金额为，人数为； ∵人数相等， ∴． 故选：B． 6．若关于x的方程是一个一元一次方程，则a等于（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，且一次项系数不为0的整式方程叫做一元一次方程，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一个一元一次方程， ∴， ∴， 故选：A． 7．张叔叔在一块正方形菜园中按如图所示的方法划分出两块地用来种胡萝卜和青菜，胡萝卜地的宽是，青菜地的长是，这样划分后，青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等，则这块正方形菜园的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设这块正方形菜园的边长是，根据青菜地和胡萝卜地的面积恰好相等列方程求解即可． 【详解】解：设这块正方形菜园的边长是， 由题意得： ， 解得：， 即这块正方形菜园的边长是， 故选：B． 8．若与的解相同，则k的值为（   ） A．8 B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了同解方程，解一元一次方程，先解方程求出的值，再代入方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 将代入∶ ∴， ∴， ∴ ． 故的值为2． 故选B． 二、填空题 9．当 方程的解．（是或不是） 【答案】 不是 【分析】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．通过求解一次方程，可判断不是方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 10．列等式表示“的倍与的差等于的”为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据对数量关系的描述列式，熟练掌握基本运算的各种表述方法是解题关键．根据已知对数量关系的描述列式即可求解． 【详解】解：∵“的倍”表示为，“的”表示为， ∴“的倍与的差等于的”表示为． 故答案为：． 11．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数指数必须为1且系数不为零是解题关键．根据一元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ， 故答案为：3． 12．为节约用电，某市实行“阶梯电价”，收费方法如下：每户每月用电量不超过240度的部分，每度电价0.6元；超过240度但不超过400度的部分，每度电价0.65元；超过400度的部分，每度电价0.9元．若该市某居民12月份共缴纳电费222元，则该居民12月份共用电 度． 【答案】 360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度， 设该居民家12月份的用电量为x，则 ， 解得：． 该居民家12月份用电360度． 故答案为：360． 三、解答题 13．若一个角的余角的3倍，比这个角的补角多，求这个角的度数． 【答案】 这个角的度数为． 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，熟知余角和补角的定义是解题的关键． 设这个角的度数是x，则这个角的余角的度数为，补角的度数为，再根据这个角的余角的3倍比这个角的补角多列出方程求解即可． 【详解】：设这个角的度数是x， 由题意得，， 解得：， ∴这个角的度数为． 14．解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键； （1）利用等式的性质方程两边同时乘以即可求解； （2）先合并同类项，再系数化为1求解即可； （3）先合并同类项，再系数化为1求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．商场以240元/件的价格购进某种商品，销售过程中发现，按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价． 【答案】该商品的原售价为400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为元．利用按原售价销售1件该商品与按原售价打7折销售4件该商品所获得的利润相同，建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的原售价为元． 根据题意，得， 解得． 答：该商品的原售价为400 元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列运用等式的性质进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．根据等式基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； B、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； C、若，则，原结论正确，该选项不符合题意； D、若，则需要时，才成立，原结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 2．若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程，熟练掌握“一元一次方程中未知数的次数为1”是解题的关键． 先根据一元一次方程的定义确定的值，再代入方程求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 解得 将代入原方程，得：， 解得， 故选：A． 3．某旅行团出发旅游，为方便拍照记录，决定租无人机拍摄．若每三人租一架，商店剩2架；若每两人租一架，最终剩余9人没有无人机可拍摄，若设有架无人机，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程． 设商店有架无人机，根据第一种情况，每三人租一架且商店剩2架，可知旅行团人数为；根据第二种情况，每两人租一架且剩余9人，可知旅行团人数为．由于人数相等，列方程． 【详解】解：∵每三人租一架，商店剩2架， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∵每两人租一架，剩余9人， ∴租出无人机为架， ∴旅行团人数为； ∴列方程． 故选：B． 4．我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意为：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？设有家合伙买牛，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键． 根据题意，设家数为，由第一种出钱方式可得：牛价；由第二种出钱方式可得：牛价，即可得到关于的方程． 【详解】每家出钱，不足钱， 牛价， 每家出钱，盈钱， 牛价， ； 故选：D． 5．某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是200元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设A商品成本价为x元，B商品成本价为y元，根据两种商品的售价以及盈亏情况建立方程，通过计算A和B商品的成本价，比较总售价与总成本价，判断商店整体盈亏． 【详解】解：设A商品成本价为x元，B商品成本价为y元， 由题意得，，， 解得，， ∵， ∴总售价总成本价， ∴这个商店在本次交易中亏损， 故选：A． 6．若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，多项式的定义． 先解方程得到，由解为整数知是4的因数，即、、；再根据多项式是二次三项式，要求二次项系数且一次项系数，排除和，得到满足条件的值，最后求这些值的和． 【详解】解：， 化简得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是整数， ∴是4的因数，即、、， ∵多项式是二次三项式， ∴且， ∴且， ∴满足条件的值为、、、、， ∴这些值之和为． 故选：B． 7．下列方程的变形正确的是（    ） A．将方程去分母，得 B．将方程去括号，得 C．将方程移项，得 D．将方程系数化为，得 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的变形规则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项和系数化为等步骤的变形规则，根据等式性质逐一验证各选项的正确性即可求解． 【详解】解∵ 选项A：方程去分母时，应两边同乘最小公倍数6，得 ，但选项为，错误； ∵ 选项B：方程去括号时，应得，但选项为 ，即，错误； ∵ 选项C：方程移项，得，正确； ∵ 选项D：方程系数化为，应得，但选项为，错误； ∴ 变形正确的是C， 故选：C． 8．若关于的方程的解是整数，则非负整数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解与参数的关系，关键是将方程变形后利用整除性求解．通过解方程得到的表达式，根据解为整数确定的可能值． 【详解】解：方程 可化为 ，即 ， ， 为整数，且为非负整数， ，且是的正因数， ，，， ，，． 故选：D． 二、填空题 9．某商场为了拓展销路决定把进价为120元的商品打8折出售，仍可获利，则该商品的标价为 元． 【答案】165 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据利润公式，售价=进价×（利润率），结合折扣，列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元，打8折后售价为元， 获利10%即利润为进价的10%， 所以售价元， 因此， 解得． 故答案为：165． 10．幻方是中国古代传统游戏，多见于官府、学堂．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中a，b，c，d分别表示一个数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幻方问题． 由内、外两圈上的4个数字之和都相等可知内、外两圈上的4个数字之和均为，即可求出的值． 【详解】解：∵内、外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内、外两圈上的4个数字之和均为， 即， 解得：． 故答案为：． 11．观察下列关于的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； ．．． 根据观察得到的规律，解答问题： 方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，通过观察前三个方程，发现方程形式为 时，解为，据此规律求解即可． 【详解】解：的解为； 的解为； 的解为； ……， 以此类推可知，的解为， 当时，， ∴方程的解为， 故答案为：． 12．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的根的应用：通过比较两个方程的形式，直接利用已知解求解． 【详解】解：由关于x的方程，变形得． 关于y的方程为，因此， ∴，代入，得． 故答案为：2026． 三、解答题 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程，正确计算是解题的关键. （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 14．如图，这是一个正方体的展开图，相对的两个面所标注值的和均为6，求的值． 【答案】3 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，列出方程解答即可． 此题主要考查了正方体的表面展开图，根据相对两个面上的数，正确列出方程，求出未知数的值是解题关键． 【详解】解：4与是相对面，与是相对面，与是相对面． 由题意得，，， 解得，，． 所以． 15．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进一批吉祥物“喜洋洋”“乐融融”玩偶，原计划按每套45元的价格销售，恰好能售完所有玩偶，实际销售时，商店决定降价促销，每套售价降低了3元，结果比原计划多卖出20套，且总销售额比原计划增加了120元．求该商店原计划卖出多少套吉祥物玩偶？ 【答案】该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原计划卖出x套玩偶，可知原计划总销售额为元，实际总销售额为元，根据销售额变化建立方程求解． 【详解】解：设原计划卖出x套玩偶， ∵原计划按每套45元的价格销售， ∴原计划总销售额为元． 实际售价为元，卖出套， 实际总销售额为元． ∵实际总销售额比原计划增加120元， ∴， ， ， ， ． 即该商店原计划卖出240套吉祥物玩偶． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $