专题04 二元一次方程组的解法 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（华东师大版）

专题04二元一次方程组的解法&三元一次方程组及其解法 （7知识点+16题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 3 【题型2 加减消元法】 3 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 4 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 4 【题型5 根据实际问题列二元一次方程组】 5 【题型6 构造二元一次方程组求解】 6 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 7 【题型8 方程组相同解问题】 7 【题型9 根据几何图形列二元一次方程组】 8 【题型10 行程问题】 9 【题型11 工程问题】 10 【题型12 分配问题】 10 【题型13 销售利润问题】 11 【题型14 和差倍分问题】 12 【题型15 三元一次方程组的定义及解】 13 【题型16 三元一次方程组的应用】 13 1.理解代入消元法、加减消元法的核心思想（消元，将二元转化为一元），熟练掌握两种解法的具体步骤，能规范求解二元一次方程组。 2.能根据二元一次方程组的特点，灵活选择合适的消元方法（代入法或加减法），提高解题效率，避免不必要的计算错误。 3.理解三元一次方程、三元一次方程组及其解的定义，能准确判断一个方程是否为三元一次方程、一个方程组是否为三元一次方程组。 4.掌握三元一次方程组的核心解法（消元法），能通过代入消元或加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，规范求解。 03 知识•梳理 知识点1：消元思想 解二元一次方程组的核心思想是“消元”，即通过一定的方法，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，进而求解。 常见消元方法：代入消元法、加减消元法，核心都是“减少未知数的个数”，实现“二元→一元”的转化。 知识点2：代入消元法 1. 定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 2. 核心步骤（必记）：① 变：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示（如用x表示y，或用y表示x）；② 代：将表示出的代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③ 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④ 回代：将求出的未知数的值代入第一步表示出的代数式中，求出另一个未知数的值；⑤ 检验：将两个未知数的值代入原方程组，确认左右两边都相等（可选，养成检验习惯）；⑥ 作答：写出方程组的解。 3. 适用场景：方程组中一个方程的某个未知数系数为1或-1（便于表示出一个未知数）；或其中一个方程能轻松转化为“x=... ”“y=... ”的形式。 知识点3：加减消元法 1. 定义：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 2. 核心步骤（必记）：① 找：找出方程组中同一个未知数的系数，观察是否互为相反数（相加消元）或相等（相减消元）；② 配：若系数既不互为相反数，也不相等，找两个系数的最小公倍数，将两个方程的两边分别乘以适当的数，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；③ 加/减：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；④ 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⑤ 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；⑥ 检验（可选）；⑦ 作答。 3. 适用场景：方程组中同一个未知数的系数容易通过乘除转化为互为相反数或相等的形式（如系数为2和4、3和6、-2和3等）。 知识点4：三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做三元一次方程。 核心要点（缺一不可）：① 含三个未知数（通常用x、y、z表示）；② 未知数的项的次数都是1；③ 等号两边都是整式（分母、根号下不含未知数）。 示例：x+y+z=5、2x-y+3z=0是三元一次方程；x+y²+z=3（项的次数为2）、1/x + y+z=2（不是整式）都不是三元一次方程。 知识点5：三元一次方程组的定义 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 核心要点（缺一不可）：① 方程组中一共含有三个未知数；② 每个方程都是一次方程（满足三元一次方程定义，或一元、二元一次方程但含这三个未知数中的部分）；③ 至少有三个方程（通常为三个）。 知识点6：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中各个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 核心特点：① 解是“一组三个数”，单独一个或两个未知数的值不是解；② 解必须同时满足方程组中的每一个方程；③ 一个三元一次方程组通常只有一个解（特殊情况有无数个解或无解，七年级暂不深入）；④ 表示方法：用大括号联立三个未知数的值。 知识点7：三元一次方程组的解法 核心思想：依然是“消元”，遵循“三元→二元→一元”的步骤，将三元一次方程组逐步转化为我们熟悉的二元一次方程组、一元一次方程，进而求解。 核心步骤（必记）：① 消元1：从三元一次方程组中选两个方程，通过代入或加减消元，消去其中一个未知数，得到一个二元一次方程；② 消元2：再选另外两个方程（其中一个可复用第一步的方程），消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程；③ 解二元：将得到的两个二元一次方程组成新的二元一次方程组，求解这个方程组，得到两个未知数的值；④ 回代：将求出的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值；⑤ 检验（可选）；⑥ 作答。 关键提醒：消元时，优先消去系数最简单的未知数（如系数为1、-1的未知数），避免计算复杂。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题思路： 核心：紧扣代入消元法的“变、代、解、回代、检验、作答”六步，优先选择系数为1或-1的未知数进行转化，简化计算。 【典例1】．解方程组：． 跟随训练1．解方程组：． 跟随训练2．解方程组：． 【题型2 加减消元法】 解题思路： 核心：找准同一个未知数的系数，通过配系数，使系数互为相反数或相等，再通过相加/相减消元，转化为一元一次方程。 【典例2】．解下列方程组： (1)； (2)． 跟随训练1．解方程组： 跟随训练2．解方程组： 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 解题思路： 核心：根据方程组的特殊形式，选择简便解法，避免繁琐计算，核心还是消元思想，灵活运用整体、消常数项等技巧。 【典例3】．已知方程组，求的值． 跟随训练1．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 跟随训练2．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 解题思路： 核心：明确“错解的原因”（通常是代入时符号错误、漏看系数等），利用“错解虽错，但满足未看错的方程”这一特点，列方程求解参数，再复原正确方程组。 【典例4】．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 跟随训练1．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 跟随训练2．甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【题型5 根据实际问题列二元一次方程组】 解题思路： 核心：找准题目中的两个等量关系，将实际问题转化为数学方程组，遵循“审题→找等量→设未知数→列方程组”的步骤。 【典例5】．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，设直尺的长度为，纸片的宽度为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 构造二元一次方程组求解】 解题思路： 核心：根据题目给出的条件，提炼出两个关于未知数的等量关系，构造二元一次方程组，进而求解未知数。 【典例6】．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 跟随训练1．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 跟随训练2．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 核心：利用“方程组的解同时满足每个方程”的特点，将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例7】．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 跟随训练1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【题型8 方程组相同解问题】 解题思路： 核心：两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程（两个方程组各两个），先将不含参数的方程组成新的方程组，求出相同的解，再代入含参数的方程，求解参数。 【典例8】．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 跟随训练1．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 跟随训练2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【题型9 根据几何图形列二元一次方程组】 解题思路： 核心：结合几何图形的周长、面积、边长关系等，提炼出两个等量关系，列二元一次方程组求解。 【典例9】．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【题型10 行程问题】 解题思路： 核心：牢记行程问题的核心等量关系（路程=速度×时间），结合相遇、追及等场景，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例10】．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 跟随训练2．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【题型11 工程问题】 解题思路： 核心：将总工作量看作单位“1”，牢记核心等量关系（工作总量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=总工作量），列方程组求解。 【典例11】．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 跟随训练2．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【题型12 分配问题】 解题思路： 核心：根据“分配前后总数量不变”“不同分配方式下的数量关系”，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例12】．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 跟随训练2．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【题型13 销售利润问题】 解题思路： 核心：牢记销售问题的核心等量关系（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，售价=标价×折扣），结合题目中的两种销售情况，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例13】．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 跟随训练2．小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【题型14 和差倍分问题】 解题思路： 核心：根据题目中的“和、差、倍、分”关系，提炼两个等量关系，列方程组求解，这类问题难度较低，关键是找准数量关系。 【典例14】．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 跟随训练1．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 跟随训练2．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【题型15 三元一次方程组的定义及解】 解题思路： 核心：紧扣三元一次方程、三元一次方程组及其解的定义，逐一判断、求解，难度与二元一次方程组的相关题型类似，重点是“三个未知数”的条件。 【典例15】．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【题型16 三元一次方程组的应用】 解题思路： 核心：类比二元一次方程组的应用，提炼三个独立的等量关系，将实际问题转化为三元一次方程组，逐步消元求解。 【典例16】．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 跟随训练1．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 跟随训练2．近期，光明中学食堂推出的餐食预订服务深受同学们的喜爱，初三2班（该班级总人数不超过60人）全体同学决定统一订购一天的午餐和晚餐，根据同学们的预定情况，班委将同学们共分成三组，午餐预定情况为：选择B套餐的是第二组的全体同学，其余同学选择A套餐；晚餐预定情况为：选择A套餐的是第三组的全体同学，其余同学选择B套餐．已知A套餐每份8元，B套餐每份10元，该班级的全天预定餐总额为966元，且第二组的全天预订餐总额比第三组的多20元，实际上在晚餐前，第一组的部分同学每人还加订了一份价值4元的小食，于是第一组的全天实际订餐总额比第三组多10元．第一组的全天实际订餐总额为______元． 05 过关•检测 1．用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果成立，那么的值为（  ） A． B．1 C． D．2 3．方程组的解是（  ） A． B． C． D． 4．方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 5．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 8．解下列方程组： (1) (2) 9．方程组 的解是______． 10．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则的值是______（用含k的式子表示）． 11．若，，则______． 12．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 13．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解为__________． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 15．解下列方程： (1)； (2)． 16．解下列方程组 (1) (2) 17．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 18．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 19．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 20．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 21．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组的解法&三元一次方程组及其解法 （7知识点+16题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 3 【题型2 加减消元法】 4 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 6 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 8 【题型5 根据实际问题列二元一次方程组】 12 【题型6 构造二元一次方程组求解】 13 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 15 【题型8 方程组相同解问题】 16 【题型9 根据几何图形列二元一次方程组】 19 【题型10 行程问题】 22 【题型11 工程问题】 24 【题型12 分配问题】 27 【题型13 销售利润问题】 28 【题型14 和差倍分问题】 30 【题型15 三元一次方程组的定义及解】 32 【题型16 三元一次方程组的应用】 34 1.理解代入消元法、加减消元法的核心思想（消元，将二元转化为一元），熟练掌握两种解法的具体步骤，能规范求解二元一次方程组。 2.能根据二元一次方程组的特点，灵活选择合适的消元方法（代入法或加减法），提高解题效率，避免不必要的计算错误。 3.理解三元一次方程、三元一次方程组及其解的定义，能准确判断一个方程是否为三元一次方程、一个方程组是否为三元一次方程组。 4.掌握三元一次方程组的核心解法（消元法），能通过代入消元或加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程，规范求解。 03 知识•梳理 知识点1：消元思想 解二元一次方程组的核心思想是“消元”，即通过一定的方法，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，进而求解。 常见消元方法：代入消元法、加减消元法，核心都是“减少未知数的个数”，实现“二元→一元”的转化。 知识点2：代入消元法 1. 定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 2. 核心步骤（必记）：① 变：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示（如用x表示y，或用y表示x）；② 代：将表示出的代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③ 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④ 回代：将求出的未知数的值代入第一步表示出的代数式中，求出另一个未知数的值；⑤ 检验：将两个未知数的值代入原方程组，确认左右两边都相等（可选，养成检验习惯）；⑥ 作答：写出方程组的解。 3. 适用场景：方程组中一个方程的某个未知数系数为1或-1（便于表示出一个未知数）；或其中一个方程能轻松转化为“x=... ”“y=... ”的形式。 知识点3：加减消元法 1. 定义：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 2. 核心步骤（必记）：① 找：找出方程组中同一个未知数的系数，观察是否互为相反数（相加消元）或相等（相减消元）；② 配：若系数既不互为相反数，也不相等，找两个系数的最小公倍数，将两个方程的两边分别乘以适当的数，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；③ 加/减：将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；④ 解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⑤ 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；⑥ 检验（可选）；⑦ 作答。 3. 适用场景：方程组中同一个未知数的系数容易通过乘除转化为互为相反数或相等的形式（如系数为2和4、3和6、-2和3等）。 知识点4：三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做三元一次方程。 核心要点（缺一不可）：① 含三个未知数（通常用x、y、z表示）；② 未知数的项的次数都是1；③ 等号两边都是整式（分母、根号下不含未知数）。 示例：x+y+z=5、2x-y+3z=0是三元一次方程；x+y²+z=3（项的次数为2）、1/x + y+z=2（不是整式）都不是三元一次方程。 知识点5：三元一次方程组的定义 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 核心要点（缺一不可）：① 方程组中一共含有三个未知数；② 每个方程都是一次方程（满足三元一次方程定义，或一元、二元一次方程但含这三个未知数中的部分）；③ 至少有三个方程（通常为三个）。 知识点6：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中各个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 核心特点：① 解是“一组三个数”，单独一个或两个未知数的值不是解；② 解必须同时满足方程组中的每一个方程；③ 一个三元一次方程组通常只有一个解（特殊情况有无数个解或无解，七年级暂不深入）；④ 表示方法：用大括号联立三个未知数的值。 知识点7：三元一次方程组的解法 核心思想：依然是“消元”，遵循“三元→二元→一元”的步骤，将三元一次方程组逐步转化为我们熟悉的二元一次方程组、一元一次方程，进而求解。 核心步骤（必记）：① 消元1：从三元一次方程组中选两个方程，通过代入或加减消元，消去其中一个未知数，得到一个二元一次方程；② 消元2：再选另外两个方程（其中一个可复用第一步的方程），消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程；③ 解二元：将得到的两个二元一次方程组成新的二元一次方程组，求解这个方程组，得到两个未知数的值；④ 回代：将求出的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值；⑤ 检验（可选）；⑥ 作答。 关键提醒：消元时，优先消去系数最简单的未知数（如系数为1、-1的未知数），避免计算复杂。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题思路： 核心：紧扣代入消元法的“变、代、解、回代、检验、作答”六步，优先选择系数为1或-1的未知数进行转化，简化计算。 【典例1】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 跟随训练1．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是代入消元法的应用．观察方程组中未知数的系数，发现第二个方程中的系数为，便于用含的式子表示，再将其代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后回代求出的值． 【详解】解： 由②得：③； 将③代入①得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 两边同时除以得：； 将代入③得：； 故方程组的解为． 跟随训练2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 将 代入③得 ， 所以方程组的解为． 【题型2 加减消元法】 解题思路： 核心：找准同一个未知数的系数，通过配系数，使系数互为相反数或相等，再通过相加/相减消元，转化为一元一次方程。 【典例2】．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减消元法求解即可； （）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 由得， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 跟随训练1．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法消去未知数是解题的关键．根据方程组中两个方程的系数互为相反数，通过相加消元求出的值，进而代入求出的值，得到方程组的解． 【详解】解： ①＋②得 将代入①，得 所以方程组的解为． 跟随训练2．解方程组： 【答案】 【分析】根据加减消元法解方程组，即可求解． 【详解】， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 故方程组的解为． 【题型3 二元一次方程组的特殊解法】 解题思路： 核心：根据方程组的特殊形式，选择简便解法，避免繁琐计算，核心还是消元思想，灵活运用整体、消常数项等技巧。 【典例3】．已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 【详解】解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 跟随训练1．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 跟随训练2．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 解题思路： 核心：明确“错解的原因”（通常是代入时符号错误、漏看系数等），利用“错解虽错，但满足未看错的方程”这一特点，列方程求解参数，再复原正确方程组。 【典例4】．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 跟随训练1．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 跟随训练2．甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 【题型5 根据实际问题列二元一次方程组】 解题思路： 核心：找准题目中的两个等量关系，将实际问题转化为数学方程组，遵循“审题→找等量→设未知数→列方程组”的步骤。 【典例5】．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每只雀重量为两，每只燕重量为两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程，据此可得答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两， ∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等， ∴可得第二个方程， 因此所列方程组为． 跟随训练1．现有一把无刻度的直尺和四块一样的矩形纸片，已知纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上，设直尺的长度为，纸片的宽度为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直尺的长度为，纸片的宽度为，则纸片的长度为， 即 跟随训练2．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总工人数为名和1个车架与4个车轮可配成一套，两个等量关系列方程组即可． 【详解】由题意可得． 【题型6 构造二元一次方程组求解】 解题思路： 核心：根据题目给出的条件，提炼出两个关于未知数的等量关系，构造二元一次方程组，进而求解未知数。 【典例6】．在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 跟随训练1．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 跟随训练2．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组．根据表格数据，选取和时的对应值，代入整式中，解方程组求m和n的值，再计算． 【详解】解：由表格可知，当时，，即， 解得； 当时，，即， 代入，得， 解得． 因此． 故答案为：6． 【题型7 已知二元一次方程组的解求参数】 解题思路： 核心：利用“方程组的解同时满足每个方程”的特点，将解代入方程组，转化为关于参数的一元一次方程，求解参数。 【典例7】．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 跟随训练1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 跟随训练2．若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到与的关系，代入第一个方程求出和的值，再将，代入第二个方程求解的值． 【详解】解：∵方程组的解和互为相反数， ∴，即， 将代入得： ， 解得， 则， 把，代入得： ， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为得． 【题型8 方程组相同解问题】 解题思路： 核心：两个方程组有相同的解，说明这个解同时满足四个方程（两个方程组各两个），先将不含参数的方程组成新的方程组，求出相同的解，再代入含参数的方程，求解参数。 【典例8】．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 跟随训练1．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 跟随训练2．已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 【题型9 根据几何图形列二元一次方程组】 解题思路： 核心：结合几何图形的周长、面积、边长关系等，提炼出两个等量关系，列二元一次方程组求解。 【典例9】．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 跟随训练1．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 跟随训练2．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【题型10 行程问题】 解题思路： 核心：牢记行程问题的核心等量关系（路程=速度×时间），结合相遇、追及等场景，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例10】．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 跟随训练1．学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前路段为平路，其余路段为坡路．已知汽车在平路上行驶的速度为，在坡路上行驶的速度为．汽车从学校到自然保护区一共行驶了，则汽车在坡路上行驶了______ h． 【答案】5.2 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了，再利用汽车从学校到自然保护区一共行驶了，前路段为平路，建立方程组求解即可． 【详解】解：设汽车在平路上行驶了，在坡路上行驶了， 由题意，得， 解得 故汽车在坡路上行驶了． 故答案为：5.2． 跟随训练2．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【题型11 工程问题】 解题思路： 核心：将总工作量看作单位“1”，牢记核心等量关系（工作总量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和=总工作量），列方程组求解。 【典例11】．抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 跟随训练1．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 跟随训练2．现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【答案】(1)20  180  180  20 工程队用的时间    工程队用的时间 工程队整治河道的米数   工程队整治河道的米数 (2)过程见解析，工程队整治河道的米数为60，工程队整治河道的米数为120． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出基本数量关系并准确解方程是解题的关键． （1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设A工程队用时天，B工程队用时天； 乙所列方程组中未知数为：设A工程队整治米，B工程队整治米，据此不全方程组即可； （2）选择其中一个方程组准确解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲：乙： 故答案为：20；180；180；20． 甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． 故答案为：工程队用的时间 ；工程队用的时间； 工程队整治河道的米数； 工程队整治河道的米数． （2）解：示例：选甲同学所列的方程组．解答如下： ②-①，得，解得． 把代入①，得，所以方程组的解为 所以工程队整治河道的米数为，工程队整治河道的米数为． 【题型12 分配问题】 解题思路： 核心：根据“分配前后总数量不变”“不同分配方式下的数量关系”，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例12】．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 跟随训练1．我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 【答案】310 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 跟随训练2．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 【题型13 销售利润问题】 解题思路： 核心：牢记销售问题的核心等量关系（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%，售价=标价×折扣），结合题目中的两种销售情况，提炼两个等量关系，列方程组求解。 【典例13】．某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 跟随训练1．某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 【答案】2000 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，根据总本数和总花费建立方程组，求解即可． 【详解】解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本， 由题意得，， 解得， 即丁种练习本共买了2000本． 故答案为：2000． 跟随训练2．小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【答案】(1)A的标价60元，B的标价80元 (2)7折 【分析】（1）设A商品的标价是元，B商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A商品的标价是元，B商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：A商品的标价是60元，B商品的标价是80元； （2）解：设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【题型14 和差倍分问题】 解题思路： 核心：根据题目中的“和、差、倍、分”关系，提炼两个等量关系，列方程组求解，这类问题难度较低，关键是找准数量关系。 【典例14】．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 跟随训练1．甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则甲、乙两队分别分到的人数为（　　） A．28，62 B．36，54 C．50，40 D．20，70 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，解题关键是利用等量关系列出方程组． 分别设出甲、乙两队分配人数，利用等量关系列出二元一次方程组，并解出答案． 【详解】设甲队分到x人，乙队分到y人．依题意得， 解得：． 即甲队分到28人，乙队分到62人． 故选A． 跟随训练2．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 【题型15 三元一次方程组的定义及解】 解题思路： 核心：紧扣三元一次方程、三元一次方程组及其解的定义，逐一判断、求解，难度与二元一次方程组的相关题型类似，重点是“三个未知数”的条件。 【典例15】．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 跟随训练1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 跟随训练2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 【题型16 三元一次方程组的应用】 解题思路： 核心：类比二元一次方程组的应用，提炼三个独立的等量关系，将实际问题转化为三元一次方程组，逐步消元求解。 【典例16】．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 跟随训练1．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 跟随训练2．近期，光明中学食堂推出的餐食预订服务深受同学们的喜爱，初三2班（该班级总人数不超过60人）全体同学决定统一订购一天的午餐和晚餐，根据同学们的预定情况，班委将同学们共分成三组，午餐预定情况为：选择B套餐的是第二组的全体同学，其余同学选择A套餐；晚餐预定情况为：选择A套餐的是第三组的全体同学，其余同学选择B套餐．已知A套餐每份8元，B套餐每份10元，该班级的全天预定餐总额为966元，且第二组的全天预订餐总额比第三组的多20元，实际上在晚餐前，第一组的部分同学每人还加订了一份价值4元的小食，于是第一组的全天实际订餐总额比第三组多10元．第一组的全天实际订餐总额为______元． 【答案】 330 【分析】设第一组，第二组，第三组人数分别为，，，第一组加订小食人数为，根据题意列出方程，利用人数为正整数和总人数不超过60的条件，确定各未知数的值，再计算第一组实际订餐总额. 【详解】解：设第一组人数为，第二组人数为，第三组人数为，第一组加订小食的人数为，其中均为正整数，且，， 由题意，第二组全天订餐总额为，第三组全天订餐总额为， ∵由第二组比第三组多20元， ∴， ∴， ∵班级原预定总额为966元，第一组原订餐总额为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵第一组实际总额比第三组多10元， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是9的倍数，， ∴且是9的倍数， ∴符合条件的只有， 当时：则，，解得， ，解得； 总人数，符合条件； 因此第一组实际订餐总额为： . 05 过关•检测 1．用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 把代入得：． 2．如果成立，那么的值为（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据绝对值和平方的非负性得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ∴． 3．方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为：． 4．方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（   ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 5．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可． 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 7．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【详解】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 8．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可 【详解】（1）解： ①得，， ②得，， 得， 解得 将代入①中，解得 ∴原方程组的解为． （2）解： 得，，解得 将③代入①得 将代入④得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． 9．方程组 的解是______． 【答案】 【详解】解：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：． 10．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则的值是______（用含k的式子表示）． 【答案】 【分析】把代入可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一个解， ∴， 由得：， ∴， ∴． 11．若，，则______． 【答案】 【分析】由得，得，然后分当时，当时两种情况分析即可． 【详解】解：由得，， ∴， 由得，， ∴， 当时， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ∴，解得：， ∴． 12．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【答案】 【分析】学生仅看错系数，因此错解和正确解都满足未改动的方程，代入列方程组求出、，将正确解代入，求出，把、、代入即可得出． 【详解】解：错解和正确的解都满足不含的方程，分别代入得 ， 解得， 正确的解满足原方程，代入得， 解得， ∴． 13．若关于的二元一次方程组的解为，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】换元法解方程组即可. 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， ∴方程组即的解满足， 解得. 14．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】4 【分析】将两个方程相加，可得，结合列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解： 得，， ， ， ， ． 15．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此，原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 因此，原方程组的解为． 16．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先将两个小题的原方程组整理为整式二元一次方程组，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解： 、得：， 得：， 解得， 把代入③得：， 解得， 所以原方程组的解为． 17．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 18．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 19．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 20．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 21．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $