专题6.3 三元一次方程组及其解法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题6.3 三元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解三元一次方程（组）及解的概念，能识别三元一次方程组。 2.掌握消元法（代入、加减）解三元一次方程组，能选择合适消元方式。 3.会列三元一次方程组解决实际问题，提升建模能力。 4.体会“消元”“转化”思想，提高代数运算的准确性和灵活性。 教学重难点 重点 （1）三元一次方程组的消元解法（代入、加减消元）。 （2）特殊三元一次方程组的解题技巧（比例型、缺元型）。 （3）列三元一次方程组解决实际问题。 难点 （1）选择合适的消元对象和方法，简化运算。 （2）不定三元一次方程组的整数解、非负解求解。 （3）实际应用中挖掘三个独立的等量关系。 知识点01：三元一次方程（组）的相关概念 1.三元一次方程：含有 未知数，且含未知数项的项最高次数为 的 ，形式为ax + by + cz = d（其中 a、b、c 不同时为 0，a、b、c、d 均为常数）。 2.三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程含未知数的项最高次数为 1，且方程组中一共有 未知数的整式方程组。 3.方程组的解：使方程组中每个方程左右两边相 三个未知数的值，即三个方程的公共解。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 知识点02：三元一次方程组的解法 1.核心思想：消元，将“三元”转化为“ ”，再转化为“ ”。 2.消元方法： （用一个未知数表示另两个，代入消元）、 （消去系数成倍数或相反的未知数）。 3.一般步骤：①消元得二元一次方程组； ②解二元一次方程组得两个未知数的值； ③代入原方程求第三个未知数；④联立解并检验。 【即学即练】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 知识点03：三元一次方程组的应用 1.列方程步骤：审（找三个等量关系）→设（三个未知数）→列（方程组）→解（方程组）→验（符合实际）→答。 2.常见题型：行程（上坡、平路、下坡）、工程（三种工作量）、浓度配比、数字问题、几何问题（幻方）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜 场、平 场、负 场． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 题型01识别三元一次方程（组） 方法技巧：紧扣定义，验证“三个未知数+含未知数项次数为1+整式方程”，方程组需满足共含三个未知数，逐一排除不符合条件的选项。 【典例1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型02结合三元一次方程的解求参数 方法技巧：通过将方程组三式相加，再代入含参数的方程或目标代数式，高效求解结果。 【典例2】. （25-26七年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则 ． 【变式1】. （22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【变式3】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 题型03用消元法解三元一次方程组 方法技巧：代入消元法可通过一个未知数表示另外两个，代入其他方程消元；加减消元法优先消去系数成倍数或相反的未知数，通过方程加减转化，均需将“三元”化为“二元”再求解。 【典例3】. （25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解方程组 (1) (2) 【变式1】. （25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知则 ． 【变式2】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组： (1) (2) (3) 【变式3】. （2026八年级上·陕西西安·专题练习）解方程组 (1) (2) 题型04由三元一次方程组求代数式的值 方法技巧：先解方程组得未知数的值，代入代数式计算；或利用整体思想，将方程组变形直接求代数式的值（如两方程相加/减）。 【典例4】. （25-26八年级上·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式1】. （24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 【变式2】. （24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【变式3】. （24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 题型05构造三元一次方程组求值 方法技巧：根据已知条件（如代数式在不同下的值、非负数和为0），列出三个独立方程，组成方程组求解参数。 【典例5】. （25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【变式1】. （25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则 ． 【变式2】. （24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则 ． 【变式3】. （24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 题型06三元一次方程组的应用（行程/工程问题） 方法技巧：审清题意，找出三个等量关系（如路程和、时间和、工作量和），设三个未知数，列方程组求解，检验解的实际意义。 【典例6】. （23-24七年级上·陕西西安·开学考试）某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 工程队． 【变式1】. （24-25七年级下·广东汕头·期末）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算． 食堂提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择． 某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是1 449元． 第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是 人． 【变式2】. （24-25七年级上·重庆·开学考试）某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·假期作业）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 题型07三元一次方程组的应用（销售/数字问题） 方法技巧：利用“每行、每列、对角线和相等”或“数字组成规律”建立等量关系，列方程组求解。 【典例7】. （25-26八年级上·江西九江·月考）为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【变式1】. （24-25八年级上·广东深圳·月考）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【变式3】. （2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 题型08不定三元一次方程组的整数解问题 方法技巧：消元转化为二元一次方程，根据题意（非负、整数）确定其中一个未知数的取值范围，逐一验证得整数解。 【典例8】. （25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【变式1】. （24-25七年级下·四川眉山·期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【变式2】. （24-25七年级下·重庆·月考）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有 种． 【变式3】. （22-23七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 题型09三元一次方程组中的新定义问题 方法技巧：根据新定义规则，将条件转化为三元一次方程组，按常规解法求解，注意新定义的约束条件。 【典例9】. （23-24七年级下·山东德州·期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【变式1】. （23-24七年级上·重庆开州·月考）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 【变式2】. （23-24七年级下·福建泉州·月考）【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【变式3】. （24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 3．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 二、填空题 5．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 6．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 7．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 8．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 三、解答题 9．解方程组 (1) (2) (3) 10．已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 12．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 三元一次方程组及其解法 教学目标 1.理解三元一次方程（组）及解的概念，能识别三元一次方程组。 2.掌握消元法（代入、加减）解三元一次方程组，能选择合适消元方式。 3.会列三元一次方程组解决实际问题，提升建模能力。 4.体会“消元”“转化”思想，提高代数运算的准确性和灵活性。 教学重难点 重点 （1）三元一次方程组的消元解法（代入、加减消元）。 （2）特殊三元一次方程组的解题技巧（比例型、缺元型）。 （3）列三元一次方程组解决实际问题。 难点 （1）选择合适的消元对象和方法，简化运算。 （2）不定三元一次方程组的整数解、非负解求解。 （3）实际应用中挖掘三个独立的等量关系。 知识点01：三元一次方程（组）的相关概念 1.三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数项的项最高次数为1的整式方程，形式为ax + by + cz = d（其中 a、b、c 不同时为 0，a、b、c、d 均为常数）。 2.三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程含未知数的项最高次数为 1，且方程组中一共有三个未知数的整式方程组。 3.方程组的解：使方程组中每个方程左右两边相等的三个未知数的值，即三个方程的公共解。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 知识点02：三元一次方程组的解法 1.核心思想：消元，将“三元”转化为“二元”，再转化为“一元”。 2.消元方法：代入消元法（用一个未知数表示另两个，代入消元）、加减消元法（消去系数成倍数或相反的未知数）。 3.一般步骤：①消元得二元一次方程组； ②解二元一次方程组得两个未知数的值； ③代入原方程求第三个未知数；④联立解并检验。 【即学即练】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法或代入消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可 【详解】（1）解： ①得，， ②得，， 得， 解得 将代入①中，解得 ∴原方程组的解为． （2）解： 得，，解得 将③代入①得 将代入④得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． 知识点03：三元一次方程组的应用 1.列方程步骤：审（找三个等量关系）→设（三个未知数）→列（方程组）→解（方程组）→验（符合实际）→答。 2.常见题型：行程（上坡、平路、下坡）、工程（三种工作量）、浓度配比、数字问题、几何问题（幻方）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜 场、平 场、负 场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？ 【答案】分． 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数． 先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得： 整理得：① ∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分， ∴，即② 将②代入①得到，， ∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分， ∴， 即调整后一等奖比二等奖平均分数多分． 题型01识别三元一次方程（组） 方法技巧：紧扣定义，验证“三个未知数+含未知数项次数为1+整式方程”，方程组需满足共含三个未知数，逐一排除不符合条件的选项。 【典例1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 题型02结合三元一次方程的解求参数 方法技巧：通过将方程组三式相加，再代入含参数的方程或目标代数式，高效求解结果。 【典例2】. （25-26七年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 【变式1】. （22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出k的值． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 题型03用消元法解三元一次方程组 方法技巧：代入消元法可通过一个未知数表示另外两个，代入其他方程消元；加减消元法优先消去系数成倍数或相反的未知数，通过方程加减转化，均需将“三元”化为“二元”再求解。 【典例3】. （25-26七年级上·贵州铜仁·月考）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 【变式1】. （25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 【变式2】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （3）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ∴，得， 解得 ； 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∴，得， 解得， 把代入，得， ∴， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：∵， ∴得， 得， ∴得， 解得， 把代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式3】. （2026八年级上·陕西西安·专题练习）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 题型04由三元一次方程组求代数式的值 方法技巧：先解方程组得未知数的值，代入代数式计算；或利用整体思想，将方程组变形直接求代数式的值（如两方程相加/减）。 【典例4】. （25-26八年级上·广东梅州·月考）已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 【变式1】. （24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【详解】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 【变式3】. （24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 题型05构造三元一次方程组求值 方法技巧：根据已知条件（如代数式在不同下的值、非负数和为0），列出三个独立方程，组成方程组求解参数。 【典例5】. （25-26八年级上·山东济南·月考）如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 【变式1】. （25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 【变式2】. （24-25七年级下·福建泉州·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据题意得： 外圆四数之和： ， 内圆四数之和：， 横向四数之和： ， 纵向四数之和：， 整理得： ①， ②， ③， ④， 由①④可得， 由②④可得，比小， 而没有填入的数只有， ∴ ， ∴． 故答案为：16． 题型06三元一次方程组的应用（行程/工程问题） 方法技巧：审清题意，找出三个等量关系（如路程和、时间和、工作量和），设三个未知数，列方程组求解，检验解的实际意义。 【典例6】. （23-24七年级上·陕西西安·开学考试）某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是 工程队． 【答案】乙 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最后算得总费用，比较即可． 【详解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为x、y、z， ∴．∴． 又甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元， 则． ∴． ∴由甲队单独承包，费用是（元）． 由乙队单独承包，费用是（元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 故答案为：乙． 【变式1】. （24-25七年级下·广东汕头·期末）受新冠疫情影响，学校复学后为尽量减少学生排队打饭的时间，决定采取班级统一预订，学生即领即走的方式，餐费在晚餐后按实际用餐情况进行结算． 食堂提供了6元三明治、12元盒饭和15元盒饭三种选择． 某班根据同学预订情况，将本班同学分成3组，A组：午餐晚餐都吃12元盒饭，B组：午餐晚餐都吃15元盒饭，C组：午餐吃15元，晚餐吃12元盒饭，预计一天的餐费是1 449元． 第一天午餐时，B组有一名同学自带了午餐，A组有一名同学正好没吃饱，就吃了B组同学的那份午餐；晚餐时，C组有部分同学除了预订的晚餐，还每人买了1份三明治；当天统计后发现三个组的实际餐费正好一样多，若C组人数不少于14人，则该班的总人数是 人． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，弄清数量关系，正确列出方程是解题的关键．设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且，得到①，A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元，得到即②，即③，进一步得到，求出，把代入②和③得到，即可得到答案． 【详解】解：设A组有x人，B组有y人，C组有z人， C组有w人另买三明治，则，，且， 预计总餐费为 即① A组实际总餐费为元，B组实际总餐费为元，C组实际总餐费为元， 即② 即③ 把②③代入①得到，， ∴ ∵为整数， ∴为的倍数， ∵为整数， ∴， 把代入②和③得到， ∴ 即总人数为人， 故答案为： 【变式2】. （24-25七年级上·重庆·开学考试）某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天． 【答案】 3 12 15 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键． 设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共有30天”列出一个三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天， 根据题意得：解得：， 所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天． 故答案为：3，12，15． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·假期作业）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶，在某一时刻，货车在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，走了10分钟，小轿车追上了货车；又走了5分钟，小轿车追上客车，问再过几分钟，货车追上了客车？ 【答案】再过15分钟，货车追上了客车 【分析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．要注意本题中的时间和路程之间的关系较复杂，要理清思路，找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关系，用路程之间的关系作为等量关系求解．设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②，可得到，求得与，之间的关系式，代入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中，即可求得时间． 【详解】解：设小轿车速度为，货车为，客车为，某一时刻的相等间距为，则①，②， 由①②可得， 化简得， 即， 所以， 假设再过分钟，货车追上客车， 则 将代入， 得， 解得：． 答：再过15分钟，货车追上了客车． 题型07三元一次方程组的应用（销售/数字问题） 方法技巧：利用“每行、每列、对角线和相等”或“数字组成规律”建立等量关系，列方程组求解。 【典例7】. （25-26八年级上·江西九江·月考）为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 【变式1】. （24-25八年级上·广东深圳·月考）北京2008年奥运会跳水决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，则购票款多出了200元；若购买5张A等票和1张B等票，则购票款还缺100元． (1)若小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请直接写出他购买的门票总数．（该小题直接写出答案，不必写出过程．） 【答案】(1)小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元 (2)他购买的门票总数为8或9或10张 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、三元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元，根据题意列方程组，然后解方程组即可； （2）设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张，根据题意列出方程，然后根据x、y、z是整数，列举符合条件的x、y、z值即可求解． 【详解】（1）解：设购买1张A等票需要x元，1张B等票需花费y元， 根据题意可得：， 解得：， 故（元）， 答：小聪购买1张A等票和7张B等票共需花费2600元； （2）解：设购买A等票x张，购买B等票y张，购买C等票z张， 根据题意可得：， 当，时，； 当，时，； 当，时，，只有这几种方案是整数，符合题意， 故小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，则他购买的门票总数为8或9或10张． 【变式2】. （2025七年级上·全国·专题练习）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【变式3】. （2025九年级下·浙江·学业考试）商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【详解】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 题型08不定三元一次方程组的整数解问题 方法技巧：消元转化为二元一次方程，根据题意（非负、整数）确定其中一个未知数的取值范围，逐一验证得整数解。 【典例8】. （25-26九年级上·江西景德镇·期中）某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【答案】 1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 【变式1】. （24-25七年级下·四川眉山·期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【答案】 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【详解】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·重庆·月考）本周末天气晴朗，小敏和小丽两个家庭共14人相约外出旅游，决定在某特色民宿住宿一晚，该民宿有单人间（可住一人），标间（可住两人），三人间三种房型，她们准备每种房型至少选一间，共预订7间房，如果每个房间都住满，订房方案有 种． 【答案】3 【分析】本题考查了三元一次方程组应用，不等式的整数解的问题，正确理解题意是解题的关键． 设单人间、标间、三人间的数量分别为，由题意得：，然后分类讨论解方程组即可． 【详解】解：设单人间、标间、三人间的数量分别为， 由题意得： 化简得，， 当，，则， ∴订1间单人间，5间标间，1间三人间； 当，，则， ∴订2间单人间，3间标间，2间三人间； 当，，则， ∴订3间单人间，1间标间，3间三人间， ∴订房方案有三种， 故答案为：3． 【变式3】. （22-23七年级下·山西阳泉·期末）综合与实践 课题 设计裁切方案 素材1 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一块该型号板材的所有裁切方法 方法一：裁切椅背15个和椅座0个； 方法二：裁切椅背8个和椅座________个； 方法三：裁切椅背______个和椅座8个 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成多少把学生椅 任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生椅，该工厂仓库现有260个椅座和80个椅背，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案 【答案】任务一：4，1；任务二：最多能制作成600把学生椅；任务三：需要购买该型号板材块，裁切方案为：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【分析】任务一：根据板材长为列式计算即可； 任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成60把学生椅，然后可得答案； 任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需要该型号板材的数量， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数），由题意列出方程组，求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得：（个），（个）， 故方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个； 故答案为：4，1； 任务二：因为方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座8个， 所以方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个， 又因为当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅， 所以方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套， 此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅， 所以若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅； 任务三：由题意得：需裁出个椅座，个椅背， ∵（块）， ∴恰好全部用完时，需要购买该型号板材块， 假设用方法一裁切x块，用方法二裁切y块，用方法三裁切z块（均为自然数）， 由题意得：， 整理可得：， 当时，则，， 答：需要购买该型号板材块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁切1块，用方法三裁切217块． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 题型09三元一次方程组中的新定义问题 方法技巧：根据新定义规则，将条件转化为三元一次方程组，按常规解法求解，注意新定义的约束条件。 【典例9】. （23-24七年级下·山东德州·期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 【变式1】. （23-24七年级上·重庆开州·月考）对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键．根据“互差数”的定义可求解； 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得，再分类求得m值． 【详解】解：； ∵是一个“互差数”， 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，而， ∴， 解得， ∴， 当时，，此时m的值为925； 当时，，此时m的值为824； 当时，，此时m的值为723； 当时，，此时m的值为521； 当时，，因，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”； 当时，，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”， 综上可知：满足条件的所有m的最小值为521． 故答案为：， 【变式2】. （23-24七年级下·福建泉州·月考）【阅读理解】已知实数满足…①，……②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组则___________，___________. (2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元； (3)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，25 (2)共需36元 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用整体思想是解答的关键． （1）两方程相减可求得，两方程相加求得，进而求解即可； （2）设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元，根据题意，列出方程求得，进而求解即可； （3）根据题中新运算结合已知求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得，则， ∴， 故答案为：，25； （2）解：设一支铅笔x元，一块橡皮y元，一本日记本z元， 根据题意，得， 得， ∴， 答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元． （3）解：∵，，， ∴， 得， ∴ 【变式3】. （24-25七年级下·山东潍坊·期中）【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； (2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ (3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】(1)19 (2)30元 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【详解】（1）解：解： 得，， 得，； （2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； （3）解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 一、单选题 1．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 3．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 4．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需31.5元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需42元，则购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（    ） A．12元 B．10.5元 C．9.5元 D．9元 【答案】B 【分析】设铅笔、练习本、圆珠笔的单价分别为、、元，根据题意列出方程组，求出的值． 【详解】解：设铅笔每支元，练习本每本元，圆珠笔每支元． 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：①； 根据“购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元”， 可得：②． 用②①可得： 即：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设出未知数，列出方程组，再通过方程组的变形求出所需的结果． 二、填空题 5．已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 6．在三元一次方程 中， 用含 的代数式表示 ： . 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的变形，掌握移项法则和等式的性质是解题的关键．通过移项和系数化为1，将z用含x、y的代数式表示． 【详解】　解：将方程 移项，得 ； 两边同时除以，得 ，化简得 故答案为： ． 7．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为 分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 8．小华看到如图所示的一幅图片并根据其设计了如下数学问题：若设桌子的高度是，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，则桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据第一图示：桌子高度站立小猫高度趴下小猫高度；第二图示：桌子高度趴下小猫高度站立小猫高度列出方程组进行解答便可． 【详解】解：设桌子的高度为厘米，站立的小猫高度为厘米，趴下的小猫高度为厘米，根据题意得， ， ①②得，， ， 桌子的高度为厘米． 故答案为：． 三、解答题 9．解方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 将代入中得：， 解得：， 把代入中得：， ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入中得：， 解得：， ； （3）解： ①②得：④， ③①得：⑤， ④⑤得：，即， 把代入④得：， 把，代入①得：， 则方程组的解为． 10．已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为的值为的值为3． (2) 【分析】本题考查三元一次方程组，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求解即可； （2）由（1）可得，求出，将代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 将①分别代入②，③，得 ，得 ，即． 将代入④，得 ， 解得， ∴的值为的值为的值为3． （2）由（1）可得 ． ∵， ∴将代入，得 ． 11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 【答案】这辆车将能行3750千米 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．由题意可得    两式相加，得， 则  ． 答：这辆车将能行3750千米． 12．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $