精品解析：广东高州中学2025-2026学年高二第二学期3月月考数学试题

2025-2026学年度高二级第二学期3月月考 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 2026.3.30 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线与直线垂直，则a=（ ） A. -2 B. 0 C. 0或-2 D. 1 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 5. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（　　） A. 1009 B. C. D. 1010 6. 已知函数，且，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆：交于，两点，为圆心，当的面积最大时，实数的值为（ ） A. B. -3或1 C. 0或1 D. -1或3 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 若函数在上单调递减，则 C. 当时，函数的最大值为，最小值为 D. 若方程有3个不同的解，则 10. 已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 为等差数列 C. 的取值范围是 D. 数列的通项公式 11. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 点坐标为 B. 当直线与直线平行时， C. 动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，那么的公比__________． 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 14. 已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在处切线的方程； （2）求函数的极值． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列，求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． （1）证明：平面BDE； （2）在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数f(x)的单调区间； （2）当时，证明： (其中e为自然对数的底数) 19. 已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． （1）求C的方程； （2）点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二级第二学期3月月考 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 2026.3.30 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线与直线垂直，则a=（ ） A. -2 B. 0 C. 0或-2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解. 【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或. 故选：C 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误， ，D正确. 故选：D 3. 已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等差、等比中项的应用． 【详解】由题可知，，所以． 故选：D． 4. 如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则线段的长为（ ） A. 16 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性表示，然后计算即可. 【详解】由题可知：是棱长都为2的直平行六面体，则，且， 由，所以两边平方可得： 所以，则. 故选：C 5. 数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（　　） A. 1009 B. C. D. 1010 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出数列的和． 【详解】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*）， 所以，，，......， 故数列的周期为3； 所以， 所以． 故选：A． 6. 已知函数，且，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由指数式与对数式互化求出x，接着由对数性质判断的大小关系，再由函数单调性即可求解. 【详解】由题可得，且， 所以，因为函数是上的单调递增函数， 所以函数在上单调递增， 所以. 7. 已知直线与圆：交于，两点，为圆心，当的面积最大时，实数的值为（ ） A. B. -3或1 C. 0或1 D. -1或3 【答案】B 【解析】 【分析】用m表示出圆心到直线的距离和弦长，即可得到三角形面积的表达式，利用基本不等式求出最大值和取最值时的条件. 【详解】圆：的圆心坐标，半径r=2. 由圆心到直线的距离，得：. 直线被圆截得的弦长为， 所以三角形的面积 . 当且仅当，即或1时取“=”. 故选：B 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 若函数在上单调递减，则 C. 当时，函数的最大值为，最小值为 D. 若方程有3个不同的解，则 【答案】A 【解析】 【详解】已知，则. 令，得极值点. 当时，，递增；当时，，递减. 当时，，递增. 选项A：极大值为，极小值为，A正确. 选项B：若在上单调递减，则，故，B错误. 选项C：当时，单调递增，最大值为，最小值为​，C错误. 选项D：方程有3个不同解，等价于在极小值和极大值之间，即，D错误. 10. 已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 为等差数列 C. 的取值范围是 D. 数列的通项公式 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目求出的通项公式，即可判断A 、B选项的正误；求出数列的通项公式，利用裂项相消法结合数列的单调性可判断C、D选项的正误. 【详解】当时，，则， 当时，，两式相减得：，则， 所以是以首项为，公比为3的等比数列. ，所以A错； 又因为， ， 所以是以为首相，为公差的等差数列，所以B对. ，, ，D对； ， ，所以，数列为单调递增数列，则，故，C对. 故选：BCD. 11. 已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 点坐标为 B. 当直线与直线平行时， C. 动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线过定点的求法参变分离，即可列式求解得出定点判断A；由两直线平行时斜率的关系列式得出判断B，注意验证一下，避免两直线重合；通过圆弦长的几何求法列式得出半径，设出所求点，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可通过圆弦长的几何求法列式代入值化简得出轨迹方程，即可判断C；通过圆上点到定点距离的范围求法得出的取值范围，即可通过得出的取值范围判断D. 【详解】对于A，因为直线，可化为， 由，解得， 所以过定点，故A正确； 对于B，当直线与直线平行时，因为直线的斜率为， 所以直线的斜率也为时， 则，解得：， 此时，即与直线平行，故B项正确； 对于C，圆心到直线的距离为， 则，解得， 设的中点为， ，为的中点， ， 点在圆上， ，， ， 即，化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故C错误； 对于D，点到圆心的距离为，在圆内， 的取值范围为， 的取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，那么的公比__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用公式法列方程求解即可. 【详解】设等比数列的通项公式为， 因为， 所以， 化简得， 解得. 故答案为：2. 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 14. 已知椭圆：的右顶点和上顶点分别为A，B，原点O到直线的距离是C的焦距的，则C的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】易得直线AB的方程为，再由原点到直线AB的距离为求解. 【详解】由题意知：，则直线AB的方程为， 所以原点到直线AB的距离为， 又，则，即， 解得，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数在处切线的方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为6，极小值为26 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率和切点的坐标，即可求出切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，判断函数的单调性，确定函数的极值. 【小问1详解】 因为函数， 所以求导得. 所以.又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为. 令，解得或. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列，求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证，进而求出； （2）根据等差数列和等比数列前项和公式，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 所以，所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）有：，令， 所以 . 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，底面ABCD，，E是PC的中点． （1）证明：平面BDE； （2）在AP上是否存在一点F，使得二面角的正弦值为？若存在，求AF；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接AC，交BD于点O，则O为AC的中点．连接OE， 因为E是PC的中点，所以． 又平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE． （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于点O，可得，由线面平行的判断可证结论； （2）以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦值求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点F，使得二面角的正弦值为． 因为底面是菱形，底面，平面， 所以，，， 故以O为坐标原点，分别以OA，OB所在直线为x，y轴，以过点O且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，，， 故，，． 设，， 则，． 设平面的法向量为， 则， 则，令，则，故． 设平面BDF的法向量为， 则，即 则，令得，故． 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 令， 化简得，解得或． 因为，所以或． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数f(x)的单调区间； （2）当时，证明： (其中e为自然对数的底数) 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，的单调递增区间为． 当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 当时，由化简得， 构造函数， ，在上递增， ， 故存在，使得，即． 当时，递减； 当时，递增． 所以时取得极小值，也即是最小值． ， 所以，故． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论的取值范围，求函数的单调区间； （2）不等式化简得，通过构造函数，讨论函数的单调性和最值，即可证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，， ①当，即时，在递增． 在递减 ②当时，，在上递增． ③当，即时，在上，递增． 在上，递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，的单调递增区间为． 当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 略 19. 已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在C上． （1）求C的方程； （2）点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． （i）求点的轨迹方程； （ii）设，，点不在x轴上，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先由点到直线距离公式得右焦点到渐近线距离为，再把点代入双曲线方程，再结合相关条件求出，求出双曲线方程. （2）（i）先根据渐近线设出，坐标，由中点坐标公式得到，坐标与中点坐标关系，根据弦长公式列出关于，坐标的等式，代入化简，得出点轨迹方程. （ii）先利用正切函数定义及二倍角公式建立等式，得出关于的方程，求解得到表达式，根据的范围确定的取值范围. 【小问1详解】 设双曲线的右焦点， 其中一条渐近线为：，即， 又因为右焦点到渐近线的距离为：， 由题意可知：，所以，， 将点代入双曲线方程：， 因此双曲线的方程为：. 【小问2详解】 （i）由（1）可知：，， 所以双曲线的渐近线为和， 设，，中点， 则：， 又因为​，所以，即， 将中点代入化简得， 即：点的轨迹方程为：. （ii）设，则，在中， 由正切函数定义可得：， ​​由二倍角公式​得：， 又因为满足，化简可得：， 即 在中，由大角对大边得，所以​， 又因为，故，得， 因此：，故的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $