2.4 一元二次方程的应用（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.4 一元二次方程的应用 第一课时 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系，提升用数学模型解决实际问题的意识。 掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，能根据题意准确设元、寻找等量关系、列出方程并求解，同时能检验解的合理性。 理解在不同实际情境（如增长率、利润等）中建立一元二次方程模型的方法，学会分析问题、转化问题，提升逻辑思维和数学建模能力。 知识回顾 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解法： 解一元二次方程的指导思想 （） 特殊形式 （） （） 降次与转化 将一元二次方程转化为一元一次方程 直接开平方法：适用于形如(x+m)² = n (n ≥ 0)的方程。 配方法：通过配方将一般式转化为完全平方式，再用直接开平方法求解。 因式分解法：化为AB=0形式 ，转化为一次方程：A=0或B=0。 公式法：一元二次方程的解: 知识回顾 审 设 列 解 验 答 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程 解方程，求出未知数的值 检验方程的解能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 列一元一次方程解应用题的步骤： 导入新课 轮船航线与台风影响区 一艘轮船以30km/h的速度向东航行， 在航行中收到台风预警。台风中心在轮船东南方向500km处，已知台风中心移动的速度为20 km/h，方向正北。 如图，BC＝500 km，BA＝300 km。 距台风中心 200 km 的区域（包括边界）为受台风影响区。如果轮船不改变航速和航向，会进入台风影响区吗？ 这个问题看似复杂，但其实可以通过建立一元二次方程模型来解决。这就是我们今天要学习的内容 —— 一元二次方程在实际生活中的应用。 （3）某商品每件成本 80 元，按 30% 的利润率定价，则每件售价为_____元。 （4）一件商品进价 150 元，卖出后亏损 10%，则售价为______元。 （5）商店购进 50 件文具，每件成本 12 元，全部卖出后总利润 300 元，则每件售价为________元。 （1）某商品进价 200 元，利润率为 15%，则售价为______元。 （2）一件衣服标价 300 元，打八五折出售，实际售价为______元 新知探究 知识点1 利润问题 议一议 你知道商场里商品价格是如何制定的吗？与物品的哪几个价格有关？ 1.完成下列填空 230 255 104 135 18 能整理出与销售有关的数量关系吗? 新知探究 知识点1 利润问题 （1）利润=售价-进价； （2）利润率= ×100％= × 100％； （3）售价=进价×（1+利润率）； （4）总利润=总售价-总成本=单件利润×销售总量. (5)折扣价 = 标价 × 折扣（如八折即 ×0.8） 议一议 2.销售问题中常见的几个等量关系： 典例分析 知识点1 利润问题 例1：某花圃用花盆培育某种花苗，每盆植入4株时，平均单株盈利3元；每盆每增加1株，平均单株盈利减少0.2元。要使每盆盈利18元，每盆应植多少株？ 每盆花苗盈利= 每盆株数 × 平均单株盈利 分 析 （2）每盆花苗盈利如何计算 （3）设每盆增加株，如何表示变化后的株数与单株盈利？ 每盆株数/棵 单株盈利/元 每盆花苗的盈利/元 开始 增加后 3 18 有每盆的花苗株数、平均单株盈利、每盆花苗的盈利 （1）本题涉及的主要数量由哪些？ 典例分析 知识点1 利润问题 例1：某花圃用花盆培育某种花苗，每盆植入4株时，平均单株盈利3元；每盆每增加1株，平均单株盈利减少0.2元。要使每盆盈利18元，每盆应植多少株？ 。 整理：。 解得：，。 经检验： ，都是方程的解，且符合题意 时，株，均符合题意。 时，株，均符合题意。 答：每盆应植9株或10株。 解：设每盆增加株，由题意可得： （1）想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤，与列一元一次方程解应用题相同吗？ 新知探究 知识点2 列一元二次方程解应用题的基本步骤 议一议 审：认真审题，找出已知量、未知量及等量关系。 设：根据题意，设出合适的未知数（直接设或间接设）。 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 解：运用合适的方法（公式法、因式分解法等）解方程。 验：检验解是否符合实际意义，最后写出答案。 基本相同 审设列解双检验， 实际意义要把关， 负根小数全舍完， 单位统一别忘算。 （2）列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ ٭一元二次方程通常会出现两个实数根，而实际问题中长度、人数、时间、面积等不能为负、不能为小数、不能超过限制，因此比一元一次方程更要谨慎：解出两个根后，必须逐一检验是否符合实际意义 新知探究 知识点2 列一元二次方程解应用题的基本步骤 议一议 ٭列方程解应用题整体思路完全相同，都是 “审、设、列、解、验、答” 六步走， ٭列一元二次方程解应用题在 “列方程” 和解出结果后，一元二次方程多了一步 “取舍根” 的关键环节 记住口诀哦！ 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 做一做 根据统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率（精确到0.1%）。 2019～2022年我国风电装机容量统计图 学习任务单 合作学习 (1)2020年我国风电装机容量为 2.8亿千瓦 (2)2022年我国风电装机容量为 3.7亿千瓦 (3)平均增长率是指： (4)从20年到22两年中间连续增长 次 每次增长的百分比相同 两 (5) 设平均年增长率为x, 21年装机容量为 ； 22年装机容量为 ； 2.8(1+x) 2.8(1+x) •(1+x) （6）可列方程为 ； 典例分析 知识点2 平均增长率（降低率）问题 做一做 根据统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率（精确到0.1%）。 2019～2022年我国风电装机容量统计图 解：设从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为，由题意，可以列出方程： 解这个方程，得： 答：从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率约为15.0%。 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 归一归 初始量 × (1 + 增长率)2= 最终量 设为初始量，为增长率，增长次数2，为最终量 a(1+x)2=b​ （1）增长率计算公式 （2）连续两次增长平均增长率问题基本公式 增长率= 初始量 × (1 + 增长率) = 最终量 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 增长率（降低率）问题核心公式： 初始量乘以（1加增长率）的n次方等于最终量，其中n是增长的次数。 平均增长率 设基础量为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为 a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为 a(1+x)n 平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为 a(1-x)2……依此类推，n次降低后的量为 a(1-x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 归一归 设为初始量，为增长率，为增长次数，为最终量 增长： 降低：。 典例分析 例1.某商场销售衬衫，每天售20件，每件盈利40元。每降价1元，多售2件。若每天盈利1200元，每件应降价多少元？ 解：设每件应降价x元，由题意可得： （40- x ）（20+ 2x ）=1200 化简方程得： 解得：， 经检验： ，都是方程的解，且符合题意 答：每件应降价10元或20元 例2.（2024·浙江杭州中考）某商场一月份销售额为50万元，二月份因疫情影响销售额下降了20%，三月份开始恢复，三四月份销售额平均每月增长，四月份销售额达到64.8万元，求三四月份销售额的月平均增长率。 典例分析 解：设三四月份销售额的月平均增长率为x。 根据题意，得：50×(1-20%) (1+x)² = 64.8 化简得：(1+x)² = 1.62 ∴1+x = ±= ± 分析: 初始量 × (1 + 增长率)2= 最终量 二月份销售额 三月份销售额 四月份销售额 1+x = - ≈ -1.2727， 解得x ≈ -2.273(不合题意舍去) ∴1+x =±≈ 1.2727， 解得x ≈ 0.273 = 27.3% 答：三四月份销售额的月平均增长率约为27.3% 新知巩固 1：已知两个连续正奇数的积是195，利用一元二次方程求这两个数。 解：设较小的正奇数为，则较大的为。由题意，得： 整理，得： 得： 解得： 。 答：这两个连续正奇数是13和15。   课内练习 KENEILIANXI 教材P49页 新知巩固 2：学校“明眸皓齿”工程实施以来，某校近视学生人数逐年减少。据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少（精确到1%）？ 解：设平均每年降低的百分率为，前年近视人数为（），则今年近视人数为。 由题意，得： 两边除以，得： 解得： 答：这两年平均每年近视学生人数降低的百分率约为13%。 课内练习 KENEILIANXI 教材P49页 拓展提升 1.（握手问题）（杭州建兰中学八年级期末）某班同学在毕业聚会中，每两位同学之间都握一次手，全班共握手455次，求该班的学生人数。 分析：设该班有名学生，每一位学生都要和其余名学生握手，由于两人握手只算一次，因此总握手次数为，结合总握手次数列方程求解。 解：设该班有名学生。由题意，得： 整理，得： 因式分解，得： 解得： 答：该班有31名学生。 拓展提升 2.某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，两天后发现共有192只鸡发病. (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡? (2)若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗? 分析：设每只发病的鸡平均每天传染x只鸡. 开始 第1天后 第2天后 第3天后 … 3 … 3+3x， 即3(1+x) (3+3x)+(3+3x)x =3(1+x)2=192 3(1+x)3=192(1+x) 拓展提升 2.某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，两天后发现共有192只鸡发病. (1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡? (2)若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗? 解：(1)设每只发病的鸡平均每天传染x只鸡. 依题意，得3(1+x)2=192. 解得x1=7，x2=-9(不合题意，舍去). 答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡. (2)∵192×(1+7)= 1536(只)， 1536>1500， ∴若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只. 真题感知 1（2024·四川成都）某工厂今年投入研发资金120万元，计划今后每年投入的研发资金比上一年增长相同的百分数，预计两年后投入的研发资金达到172.8万元，求每年研发资金的平均增长率。 解：设每年研发资金的平均增长率为。由题意，得： 整理，得： 解得： 答：每年研发资金的平均增长率为20%。   真题感知 2（2024·山东济南）某社区积极推进老旧小区改造，2022年投入改造资金800万元，2024年投入改造资金1024万元，假设这两年投入改造资金的年平均增长率相同，求该年平均增长率。 解：设这两年投入改造资金的年平均增长率为。 由题意，得： 整理，得： 解得： 答：这两年投入改造资金的年平均增长率约为13.1%。 一元二次方程应用的前提： 实际问题中，存在“两个量的乘积关系”“平方关系”或“增长率/下降率”等符合一元二次方程特征的数量关系，且未知数的最高次数为2，可通过设未知数、列方程求解。 2. 常见应用场景： 增长率/下降率问题： 若初始量为a，平均增长率（或下降率）为x，经过n次变化后，最终量为b，则方程为： （增长用“+”，下降用“-”）； 利润问题： 利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量，结合题目中“售价调整”“销量变化”等条件，建立方程求解（注意售价、销量均为正数）； 其他场景： 如握手问题、传播问题等，需结合实际场景分析数量关系，转化为一元二次方程。 课堂小结 核心知识点 易错点提醒 课堂小结 忽略实际意义检验： 求出方程的解后，未检验是否符合题意（如边长为负、增长率大于1等），导致答案错误； 列方程时数量关系混淆： 如增长率问题中，误将写成“a+axn”，混淆“指数增长”与“线性增长”； 单位不统一： 题目中已知量单位不一致时，未先统一单位就列方程 审题不细致： 漏看题目关键条件（如“两次降价”“每件盈利不低于多少”）， 导致列错方程或漏舍不合理解。 课后练习 教材p50页 A组 1.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱。若要使每天销售饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ 解：设每箱降价元。由题意，得： 整理，得： 因式分解，得： 解得： 经检验 答：每箱应降价2元或5元。 作业题 ZUOYETI 课后练习 2：某市加大对绿化的投资力度，投资额逐年增加。据统计，2025年投资的金额是2023年的1.75倍，那么这两年的投资额平均每年增加百分之几？ 解：设平均每年增加的百分率为，2023年投资额为（）。 由题意，得： 两边除以，得： 开方，得： 解得： 答：这两年的投资额平均每年约增加32%。 A组 教材p50页 作业题 ZUOYETI 课后练习 3：对于竖直上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（是物体与起点的高度差，是初速度，是重力系数，取，是抛出后经过的时间）。杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球竖直向上抛出，几秒时球与起点的高度差达到1.8m？ 解：已知，，。代入公式，得： 整理，得： 用求根公式，得： 解得： 答：0.2秒和1.8秒时，球与起点的高度差达到1.8m。 教材p50页 作业题 ZUOYETI B组 课后练习 4：某科研公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元用于生产这种产品。约定两年到期时一次性还清本金和利息，其中利息为本金的8%。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时，除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。 解：设每年资金增长的百分数为。年后需还本息： （万元）。 两年后资金总额：（万元）。 由题意，得： 整理，得： 开方，得： 解得： 答：这个百分数为20%。 教材p50页 作业题 ZUOYETI B组 感谢聆听! $