专题03 一元二次方程的实际应用（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年浙教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题03 一元二次方程的实际应用（六大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】.........................................................................1 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】...................................................................2 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】...................................................................3 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】.....................................................................4 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 ...................................................................6 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】.................................................................8 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．某商品经过两次降价，每台零售价由3000元降到2430元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 3．某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． (1)求该充电站10月、11月的月平均增长率； (2)如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 4．推进教育振兴，改善学校设施．某县2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该县改善学校设施投入资金的年平均增长率； (2)2025年该县每所学校设施改善的平均费用为80万元，2026年为提升教育质量，每所学校改善费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2026年最多可以改善多少所学校？ 5．2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 1．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （     ）． A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 4．2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 1.某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 4．四川省城市足球联赛（简称“川超”），赛事采用主客场双循环赛制（每两个队之间进行两场比赛），其中南充丝绸源点队所在的川东赛区有队伍支，预计共比赛30场，列方程为 ． 5．问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2．某服装店销售一款恤衫，已知每件恤衫的成本价为元，当每件售价为元时，每天可以售出件，服装店决定降价销售，经过一段时间销售发现，售价每降低元，每天可多售出件． (1)若每件恤衫的售价降低元，求每天销售恤衫的利润； (2)每件恤衫的最终售价定为多少元时，每天的销售利润最大？求出该利润． 3．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 4．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 5．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】 1．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 2．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 3．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 4．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 5．如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 1．某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了15场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 5．某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 6．某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的实际应用（六大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】.........................................................................1 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】...................................................................4 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】...................................................................7 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】.....................................................................9 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 ...................................................................14 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】.................................................................18 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．某商品经过两次降价，每台零售价由3000元降到2430元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 2．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 3．某新能源汽车充电站9月份的充电服务收入为4万元，随着电动汽车的普及，收入稳步提升，11月份的收入达到万元． (1)求该充电站10月、11月的月平均增长率； (2)如果收入还保持相同的月平均增长率，则该充电站12月份的收入是多少万元？ 【答案】(1)该充电站10月、11月的月平均增长率为． (2)该充电站12月份的收入是6.912万元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设该充电站10月、11月的月平均增长率为，9月份的充电服务收入为4万元， 11月份的收入达到万元进行列式计算，即可作答． （2）结合该充电站10月、11月的月平均增长率为，进行列式计算，得出该充电站12月份的收入是6.912万元，即可作答． 【详解】（1）解：设该充电站10月、11月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（舍去）． 答：该充电站10月、11月的月平均增长率为． （2）解：由（1）得该充电站10月、11月的月平均增长率为． （万元）， 答：该充电站12月份的收入是万元． 4．推进教育振兴，改善学校设施．某县2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该县改善学校设施投入资金的年平均增长率； (2)2025年该县每所学校设施改善的平均费用为80万元，2026年为提升教育质量，每所学校改善费用增加，如果投入资金年增长率保持不变，求该县在2026年最多可以改善多少所学校？ 【答案】(1) (2)15所 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用等知识． （1）设该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为x，根据“2023年投入资金900万元，2025年投入资金1296万元”列方程，求解即可解答； （2）该县在2026年最多可以改善y所学校，根据题意列出不等式，解不等式，取最大整数解即可解答． 【详解】（1）解：设该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得， 解得，不符合题意，舍去 答：该县改善学校设施投入资金的年平均增长率为． （2）解：设该县在2026年最多可以改善y所学校， 根据题意得：， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最大值为 答：该县在2026年最多可以改善15所学校． 5．2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． (2)从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 【答案】(1)该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为 (2)当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润=每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（舍去）， 所以该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款玩偶售价为y元，则月销售量为件， 根据题意得：， 解得：（降价促销，售价应低于58元，舍去）， 所以当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元． 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 1．化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 2．换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 3．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 4．2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出一元二次方程是关键； 设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到． 【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人． 最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为． 由题意，， 即， 解得：（舍去）， 所以． 答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人． 5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 1.某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用-比赛问题．设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：设八年级共有x个班，每个班都要赛场， 但两班之间只有一场比赛，一共有场比赛， 故， 故选：B． 2．快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．一名学生要送张贺卡，x名学生要送张贺卡，根据贺卡总共2256张列方程即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：B． 3．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 4．四川省城市足球联赛（简称“川超”），赛事采用主客场双循环赛制（每两个队之间进行两场比赛），其中南充丝绸源点队所在的川东赛区有队伍支，预计共比赛30场，列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．双循环赛制下，每两支队伍之间进行两场比赛，总比赛场数为队伍数与的乘积． 【详解】解：根据题意，总比赛场数为场， 故列方程为． 故答案为：． 5．问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：由题意得，， 整理得或（舍去）， 答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2．某服装店销售一款恤衫，已知每件恤衫的成本价为元，当每件售价为元时，每天可以售出件，服装店决定降价销售，经过一段时间销售发现，售价每降低元，每天可多售出件． (1)若每件恤衫的售价降低元，求每天销售恤衫的利润； (2)每件恤衫的最终售价定为多少元时，每天的销售利润最大？求出该利润． 【答案】(1)元 (2)每件恤衫的最终售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用及有理数混合运算的应用，正确理解题意找到等量关系列出表达式是解题的关键． （1）根据售价每降低元，每天可多售出件求出每天的销量，根据利润每件利润销量计算即可； （2）设每天的销售利润为，每件降价元，得出，利用二次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）解：∵售价每降低元，每天可多售出件， ∴每件恤衫的售价降低元时，每天可以售出（件）， ∴每天销售恤衫的利润为（元）． （2）解：设每天的销售利润为，每件降价元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为， （元）， ∴每件恤衫的最终售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 3．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 ① ② (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元（纯收入总收入－总维护费用）？ 【答案】(1)①；② (2)每间客房的定价应为300元 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程和代数式是解题的关键． （1）根据题意求出提价后入住的房间数量，进而根据每个房间支出20元/天的维护费用求出总维护费用即可； （2）根据纯收入总收入－总维护费用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，提价后入住的房间数量为， 则提价后的总维护费用为元； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要能吸引更多的游客， ∴， ∴， 答：每间客房的定价应为300元． 4．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 5．2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 (2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 (3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． （2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． （3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 2．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键． 3．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 4.如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 5．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】 1．如图，在中，点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为，几秒后的面积是面积的一半（   ） A． B．9 C．或9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得出，结合运动速度和运动方向得，根据三角形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设秒后的面积是面积的一半， 则， ∵点、同时由、两点出发分别沿、方向向点匀速运动，其速度为， ∴， 故， 即， ∴， 整理得 ∴ 解得或， 当时，则不符合题意； ∴秒后的面积是面积的一半， 故选：A． 2．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 3．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 4．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键． （1）当时，计算出相关线段长度，根据求解； （2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可； （3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 5．如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过4s或6s，的面积为24cm2 (2)不会，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设运动时间为t秒，则，，，根据题意得，解方程即可； （2）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得或， ∵当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止， ∴，即， ∴经过4s或6s，的面积为24cm2． （2）解：不会，理由如下： ， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 1．某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了15场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据单循环比赛的总场数公式为 ，其中x为球队数量，且总场数为15，即可获得答案． 【详解】解：∵每支球队需与其他(x-1)支球队各赛一场，且每场比赛涉及两支球队， ∴总场数为 ， 且根据题意，总场数为15， ∴可列方程为 ． 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据，之间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 【详解】解：，， ． 依题意得：， 即． 故选：D． 3．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品182台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设二、三月份平均每月增长率为x，一月份产量为50台，二月份产量为，三月份产量为，然后根据总产量为三者之和等于182即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 4．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；利用小路的面积加上草地的面积等于矩形地面的总面积，列出方程求解即可，在计算小路面积时，要注意小路面积重合的部分. 【详解】解：设小路的宽度为x米， 小路的面积为： 由题意得： 或 解得：或（舍去） ∴小路的宽度为2m. 故选：B. 5．某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 6．某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】(1), (2)每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元 (3)不能实现．见解析 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． 【详解】（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． （2）解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． （3）解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 1 学科网（北京）股份有限公司 $