第7章 认识概率 单元复习（6大知识点总结+6大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学《认识概率》单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点，涵盖事件分类、概率计算、几何概率等六大模块，明确常考考点与高频易错点，构建清晰知识脉络，直观呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，基础题型如等可能事件概率计算，提升题型如几何概率、游戏公平性判断，结合“事件判断三步法”“两步计算法”等技巧，培养推理意识与几何直观，助力不同层次学生掌握，支持教师精准教学。

第7章 认识概率 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.事件的分类（必然、不可能、随机事件） 1.结合生活、数学情境判断事件类型； 2.识别确定性事件与随机事件； 3.分析事件发生的可能性特征 1.混淆随机事件与确定性事件，误将可能发生的事件判定为必然/不可能事件； 2.忽略事件发生的前提条件，孤立判断事件类型； 3.认为随机事件发生的可能性一定相同 2.事件发生的可能性大小 1.比较多个随机事件发生的可能性大小； 2.结合数量关系判断可能性大小； 3.用0、1及0~1之间的数描述可能性大小 1.仅通过主观判断可能性，未结合客观数量分析； 2.混淆“可能性大”与“一定发生”、“可能性小”与“一定不发生”； 3.忽略试验的等可能性前提 3.概率的定义与计算公式 1.概率的取值范围（0≤P≤1）； 2.等可能事件的概率计算（）； 3.必然/不可能事件的概率求解 1.运用时，未验证试验结果的等可能性； 2.混淆公式中（事件A包含的结果数）和（所有可能的结果数）； 3.概率计算结果超出0~1的范围，未及时检验 4.几何概率 1.几何图形中随机事件的概率计算； 2.利用面积/长度/角度比求概率； 3.结合对称图形分析几何概率 1.计算几何概率时，选错参照量（如用长度比代替面积比）； 2.忽略几何图形的等可能性区域划分； 3.计算图形面积/长度时出错，导致概率计算失误 5.频率与概率的关系 1.用频率估计概率（试验次数足够多时）； 2.分析频率折线图，判断对应试验； 3.结合频率计算总体中某类数量 1.认为频率等于概率，忽略频率的随机性； 2.试验次数较少时，用频率盲目估计概率； 3.混淆“频率的稳定值”与“某次试验的频率” 6.游戏的公平性 1.判断游戏规则是否公平； 2.计算游戏双方获胜的概率； 3.设计公平的游戏规则 1.判断公平性时，未分别计算双方获胜概率； 2.设计游戏规则时，未保证双方获胜概率相等； 3.忽略游戏中的等可能性前提 【易错题型】 【题型1】事件类型判断与概率概念混淆 1.易错点总结 -事件判断：将随机事件误判为必然/不可能事件，如认为“掷骰子点数大于1”是必然事件； -概率认知：认为可能性大的事件一定发生，可能性小的事件一定不发生； -公式误用：运用时，未确认试验结果是否等可能，如摸球时球的质地不均仍套用公式； -频率与概率：将某次试验的频率当作概率，如摸10次球有3次红球，就认为红球概率为0.3。 2.纠错技巧 -事件判断三步法：①找事件发生的前提条件；②判断“一定发生/一定不发生/可能发生”；③结合定义分类（必然/不可能/随机）； -概率认知：牢记“概率表示可能性大小，非必然结果”，0<P<1时事件均为随机事件； -公式使用前提：先验证“所有结果等可能、结果数有限”，再套用； -频率与概率：明确概率是理论值，频率是试验值，只有试验次数足够多时，频率才趋近于概率。 【例题1】.（2026·湖北十堰·一模）在下列事件中，随机事件是（    ） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．从只有白球的袋子中摸出红球 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．水涨船高 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D．了解苏州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 【变式题1-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【基础题型】 【题型2】等可能事件的概率基本计算 1.考点总结 -核心公式：（为所有等可能的结果数，为事件包含的结果数）； -概率取值：，必然事件，不可能事件； -常考模型：掷骰子、摸球、抽卡片、转盘等基础等可能试验。 2.解题技巧 -两步计算法：①列举/计算所有等可能的结果数，确保结果无重复、无遗漏；②找出事件包含的结果数；③代入公式计算概率； -列举法：结果数较少时，用直接列举、树状图法列出所有结果，避免漏数； -检验法：计算后检验概率是否在0~1之间，若超出则说明或数错。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）掷次硬币，有一次正面朝上，有次反面朝下，那么，掷第次硬币反面朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 【变式题2-2】.（2026·安徽芜湖·一模）暑假期间，敏敏和爸爸到合肥旅游，他们决定随机抽签去“三河古镇”“安徽博物院”和“徽园”三个景点中的一个，则敏敏和爸爸抽中不是同一个景点的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·重庆·一模）家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 【题型3】事件发生的可能性大小比较 1.考点总结 -核心：结合客观数量关系比较随机事件发生的可能性大小； -依据：数量越多，发生的可能性越大；数量越少，可能性越小；数量相等，可能性相等； -常考形式：比较多个摸球、抽卡片、掷骰子事件的可能性大小。 2.解题技巧 -数量分析法：先确定每个事件对应的数量（如球的个数、点数的种数），数量比即可能性比； -概率转化法：分别计算每个事件的概率，通过概率大小比较可能性大小； -排序技巧：先将不可能事件（P=0）排最前，必然事件（P=1）排最后，再按概率大小排列随机事件。 【例题3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【变式题3-1】.（2025八年级上·北京·专题练习）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山西朔州·月考）从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 【题型4】频率估计概率的基础应用 1.考点总结 -核心：试验次数足够多时，频率的稳定值≈概率； -常考：根据频率折线图判断试验类型、根据频率估计概率、用概率估计总体数量； -公式：总体中某类数量≈总体总数×频率的稳定值。 2.解题技巧 -折线图分析：看频率是否逐渐稳定在某一数值附近，该数值即为概率的估计值； -频率计算：频率=，牢记公式避免分子分母混淆； -总体估计：先求频率的稳定值（概率），再代入公式计算，结果注明“约”体现估算性。 【例题4】.（25-26九年级下·广东深圳·月考）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【变式题4-1】.（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【提升题型】 【题型5】几何概率的计算 1.考点总结 -核心：几何概率=符合条件的区域度量值÷整个试验区域的度量值（度量值：面积、长度、角度）； -常考模型：太极图、转盘、方格纸、几何图形内随机取点等； -关键：准确计算符合条件的区域和总区域的度量值。 2.解题技巧 -定度量值：先判断用面积、长度还是角度计算（平面图形多为面积，线段/弧线多为长度）； -图形分割法：复杂几何图形可通过分割、补形转化为简单图形，方便计算面积/长度； -对称法：利用图形的轴对称、中心对称简化计算，如太极图中黑白区域面积相等，概率均为0.5。 【例题5】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【题型6】游戏公平性的判断 1.考点总结 -公平性标准：游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平； -核心步骤：分别计算双方获胜的概率，再比较大小； -常考情境：掷硬币、掷骰子、摸球、转盘游戏等。 2.解题技巧 -三步判断法：①确定游戏的所有等可能结果数；②分别计算甲方、乙方获胜的结果数、；③计算概率、，比较和是否相等； -树状图辅助：结果数较多时，画树状图列举所有结果，避免漏数导致概率计算错误； -关键提醒：判断公平性时，必须分别计算双方概率，不能仅凭主观感受判断。 【例题6】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 【变式题6-1】.（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【变式题6-2】.（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【变式题6-3】.（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． B B 同步练习 一、单选题 1．在下列事件中，必然事件是（   ） A．经过路口时，遇到绿灯 B．太阳每天东升西落 C．任意画一个四边形，它的内角和是 D．任意画两条直线，它们平行 2．某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 3．下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 二、填空题 4．学校开展的特色课外活动中，同学们在玩投壶游戏．某数学兴趣小组对游戏过程进行了统计，小贤同学投了300次，投中180次．据此估计，小贤同学第301次投壶时，投中的概率为______． 5．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 6．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 三、解答题 7．在一个不透明的袋里有个红球，从中随机摸出一个球，请你设计摸球游戏． (1)使摸球事件是个不可能事件； (2)使摸球事件是个必然事件． 8．下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 (1)估计这位同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到）． (2)根据此概率，这位同学投篮622次，投中的次数约是多少？ 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率 9．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 认识概率 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.事件的分类（必然、不可能、随机事件） 1.结合生活、数学情境判断事件类型； 2.识别确定性事件与随机事件； 3.分析事件发生的可能性特征 1.混淆随机事件与确定性事件，误将可能发生的事件判定为必然/不可能事件； 2.忽略事件发生的前提条件，孤立判断事件类型； 3.认为随机事件发生的可能性一定相同 2.事件发生的可能性大小 1.比较多个随机事件发生的可能性大小； 2.结合数量关系判断可能性大小； 3.用0、1及0~1之间的数描述可能性大小 1.仅通过主观判断可能性，未结合客观数量分析； 2.混淆“可能性大”与“一定发生”、“可能性小”与“一定不发生”； 3.忽略试验的等可能性前提 3.概率的定义与计算公式 1.概率的取值范围（0≤P≤1）； 2.等可能事件的概率计算（）； 3.必然/不可能事件的概率求解 1.运用时，未验证试验结果的等可能性； 2.混淆公式中（事件A包含的结果数）和（所有可能的结果数）； 3.概率计算结果超出0~1的范围，未及时检验 4.几何概率 1.几何图形中随机事件的概率计算； 2.利用面积/长度/角度比求概率； 3.结合对称图形分析几何概率 1.计算几何概率时，选错参照量（如用长度比代替面积比）； 2.忽略几何图形的等可能性区域划分； 3.计算图形面积/长度时出错，导致概率计算失误 5.频率与概率的关系 1.用频率估计概率（试验次数足够多时）； 2.分析频率折线图，判断对应试验； 3.结合频率计算总体中某类数量 1.认为频率等于概率，忽略频率的随机性； 2.试验次数较少时，用频率盲目估计概率； 3.混淆“频率的稳定值”与“某次试验的频率” 6.游戏的公平性 1.判断游戏规则是否公平； 2.计算游戏双方获胜的概率； 3.设计公平的游戏规则 1.判断公平性时，未分别计算双方获胜概率； 2.设计游戏规则时，未保证双方获胜概率相等； 3.忽略游戏中的等可能性前提 【易错题型】 【题型1】事件类型判断与概率概念混淆 1.易错点总结 -事件判断：将随机事件误判为必然/不可能事件，如认为“掷骰子点数大于1”是必然事件； -概率认知：认为可能性大的事件一定发生，可能性小的事件一定不发生； -公式误用：运用时，未确认试验结果是否等可能，如摸球时球的质地不均仍套用公式； -频率与概率：将某次试验的频率当作概率，如摸10次球有3次红球，就认为红球概率为0.3。 2.纠错技巧 -事件判断三步法：①找事件发生的前提条件；②判断“一定发生/一定不发生/可能发生”；③结合定义分类（必然/不可能/随机）； -概率认知：牢记“概率表示可能性大小，非必然结果”，0<P<1时事件均为随机事件； -公式使用前提：先验证“所有结果等可能、结果数有限”，再套用； -频率与概率：明确概率是理论值，频率是试验值，只有试验次数足够多时，频率才趋近于概率。 【例题1】.（2026·湖北十堰·一模）在下列事件中，随机事件是（    ） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．从只有白球的袋子中摸出红球 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐 【答案】D 【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7是不可能事件； B．从只有白球的袋子中摸出红球是不可能事件； C．任意画一个三角形，其内角和为是必然事件； D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐是随机事件， 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）成语是中国传统文化的一大特色，它包含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（   ） A．不期而遇 B．竹篮打水 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】A 【详解】一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 对选项逐一判断： A 、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，符合随机事件定义． B、 竹篮打水一定不会成功，是不可能事件． C 、水中捞月一定不可能发生，是不可能事件． D、 水涨船高一定发生，是必然事件． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）下列说法正确的是（    ） A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查 D．了解苏州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查 【答案】D 【分析】一定会发生的事件叫必然事件；一定不会发生的事件叫不可能事件；有可能发生，也有可能不发生的事件叫随机事件；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A. 射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 两个负数相乘，积是正数是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； C. 了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意； D. 了解苏州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，故该选项正确，符合题意； 【变式题1-3】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果，那么 D．三角形内角和是 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 【基础题型】 【题型2】等可能事件的概率基本计算 1.考点总结 -核心公式：（为所有等可能的结果数，为事件包含的结果数）； -概率取值：，必然事件，不可能事件； -常考模型：掷骰子、摸球、抽卡片、转盘等基础等可能试验。 2.解题技巧 -两步计算法：①列举/计算所有等可能的结果数，确保结果无重复、无遗漏；②找出事件包含的结果数；③代入公式计算概率； -列举法：结果数较少时，用直接列举、树状图法列出所有结果，避免漏数； -检验法：计算后检验概率是否在0~1之间，若超出则说明或数错。 【例题2】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）掷次硬币，有一次正面朝上，有次反面朝下，那么，掷第次硬币反面朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单事件概率的计算，每次掷硬币的结果互不影响，前三次投掷结果不影响第四次投掷的概率，只需计算单次掷硬币反面朝上的可能性即可． 【详解】解：∵一枚硬币只有正面、反面两种可能的结果，且每种结果发生的可能性相等． ∴单次掷硬币，反面朝上的概率为． ∵每次掷硬币是相互独立的，前3次的结果不改变第4次的概率． ∴掷第4次硬币反面朝上的可能性是． 【变式题2-1】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：袋子中所有等可能的结果总数为， 摸出红球的结果数为， 因此从袋中任意摸出一个球为红球的概率为． 【变式题2-2】.（2026·安徽芜湖·一模）暑假期间，敏敏和爸爸到合肥旅游，他们决定随机抽签去“三河古镇”“安徽博物院”和“徽园”三个景点中的一个，则敏敏和爸爸抽中不是同一个景点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用列表法得到总的可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：令“三河古镇”为A、 “安徽博物院”为B、“徽园”为C，列表如下： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由表可知，共有种等可能的结果，其中敏敏和爸爸抽中不是同一个景点的结果有种， 敏敏和爸爸抽中不是同一个景点的概率是． 【变式题2-3】.（2026·重庆·一模）家住重庆的小高得知2026年春晚有四个分会场（黑龙江哈尔滨、浙江义乌、安徽合肥、四川宜宾）后，打算随机选择一个前往，则他恰好选到离家最近的分会场的概率是__________． 【答案】/0.25 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中他恰好选到离家最近的分会场的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小高恰好选到离家最近的分会场的结果有1种， ∴小高恰好选到离家最近的分会场的概率为． 【题型3】事件发生的可能性大小比较 1.考点总结 -核心：结合客观数量关系比较随机事件发生的可能性大小； -依据：数量越多，发生的可能性越大；数量越少，可能性越小；数量相等，可能性相等； -常考形式：比较多个摸球、抽卡片、掷骰子事件的可能性大小。 2.解题技巧 -数量分析法：先确定每个事件对应的数量（如球的个数、点数的种数），数量比即可能性比； -概率转化法：分别计算每个事件的概率，通过概率大小比较可能性大小； -排序技巧：先将不可能事件（P=0）排最前，必然事件（P=1）排最后，再按概率大小排列随机事件。 【例题3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】 白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 【变式题3-1】.（2025八年级上·北京·专题练习）在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除数字外其余完全相同．从中随机摸出一个小球，摸到标有数字大于3的球的可能性与摸到标有数字小于3的球的可能性相比，哪个大？ 【答案】可能性一样大 【分析】本题考查可能性的判断，分别求出两种情况的可能性，再进行判断即可． 【详解】解：标有数字大于3的球有4和5，共2个；标有数字小于3的球有1和2，共2个．总球数为5个， 所以摸到数字大于3的球的可能性为，摸到数字小于3的球的可能性也为． 因此，两者的可能性一样大． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了概率的计算与可能性大小的比较，掌握计算各事件的概率，再根据概率大小判断可能性大小是解题的关键． 计算各事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，每个面出现的概率均为． 事件①：向上一面的点数为正数，是必然事件，概率为1； 事件②：向上一面的点数是3的倍数，有2种可能（点数为3和6），概率为； 事件③：向上一面的点数是偶数，有3种可能（点数为2，4，6），概率为； 事件④：向上一面的点数是两位数，不可能事件，概率为0． 因此，概率从小到大为0，，，1，对应事件顺序为④，②，③，①． 故答案为：④②③①． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·山西朔州·月考）从一副扑克牌中取出下面四张，将其背面朝上，然后从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是（   ） A．2 B．5 C．9 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据可能性大小的意义求解． 【详解】解：一副扑克牌中取出下面四张，9，2，5，5， 其中5有两张，9，2各一张， 从中任意翻过来一张，翻开的牌上的数字可能性最大的是5， 故选：B． 【题型4】频率估计概率的基础应用 1.考点总结 -核心：试验次数足够多时，频率的稳定值≈概率； -常考：根据频率折线图判断试验类型、根据频率估计概率、用概率估计总体数量； -公式：总体中某类数量≈总体总数×频率的稳定值。 2.解题技巧 -折线图分析：看频率是否逐渐稳定在某一数值附近，该数值即为概率的估计值； -频率计算：频率=，牢记公式避免分子分母混淆； -总体估计：先求频率的稳定值（概率），再代入公式计算，结果注明“约”体现估算性。 【例题4】.（25-26九年级下·广东深圳·月考）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 【变式题4-1】.（25-26九年级上·四川成都·期末）一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【分析】本题考查频率与概率，利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率是0.2，即可估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）． 故答案为：40． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 【提升题型】 【题型5】几何概率的计算 1.考点总结 -核心：几何概率=符合条件的区域度量值÷整个试验区域的度量值（度量值：面积、长度、角度）； -常考模型：太极图、转盘、方格纸、几何图形内随机取点等； -关键：准确计算符合条件的区域和总区域的度量值。 2.解题技巧 -定度量值：先判断用面积、长度还是角度计算（平面图形多为面积，线段/弧线多为长度）； -图形分割法：复杂几何图形可通过分割、补形转化为简单图形，方便计算面积/长度； -对称法：利用图形的轴对称、中心对称简化计算，如太极图中黑白区域面积相等，概率均为0.5。 【例题5】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查概率，掌握概率的公式是解题的关键． 由图形可知，共有9种等可能的结果，阴影区域有5种，根据概率公式，计算即可． 【详解】解：由图可知，投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），共有9种等可能的结果， 击中阴影区域有5种， 击中阴影区域的概率是． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率. 根据概率公式计算即可． 【详解】解：圆被等分成8份，其中白色区域占4份， 指针落在白色区域的概率为． 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，用阴影区域的块数除以总数即可求得答案． 【详解】解：阴影部分的面积为4，总面积为9，飞镖击中阴影部分的概率， 故选：C． 【题型6】游戏公平性的判断 1.考点总结 -公平性标准：游戏双方获胜的概率相等，则游戏公平；否则不公平； -核心步骤：分别计算双方获胜的概率，再比较大小； -常考情境：掷硬币、掷骰子、摸球、转盘游戏等。 2.解题技巧 -三步判断法：①确定游戏的所有等可能结果数；②分别计算甲方、乙方获胜的结果数、；③计算概率、，比较和是否相等； -树状图辅助：结果数较多时，画树状图列举所有结果，避免漏数导致概率计算错误； -关键提醒：判断公平性时，必须分别计算双方概率，不能仅凭主观感受判断。 【例题6】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】列出抛两次硬币所有等可能的结果，分别计算甲班优先与乙班优先的概率，通过比较概率判断方法是否公平. 【详解】解：抛两次硬币，所有等可能的结果共有种，分别为：两次正面朝上，第一次正面朝上第二次反面朝上，第一次反面朝上第二次正面朝上，两次反面朝上. 满足甲班优先的结果有种，满足乙班优先的结果有种. 根据概率公式得：，. ， ∴此方法对两个班级公平. 【变式题6-1】.（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【变式题6-2】.（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 【变式题6-3】.（2026·江西·模拟预测）新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【详解】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 同步练习 一、单选题 1．在下列事件中，必然事件是（   ） A．经过路口时，遇到绿灯 B．太阳每天东升西落 C．任意画一个四边形，它的内角和是 D．任意画两条直线，它们平行 【答案】B 【分析】根据概念对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A 经过路口时，可能遇到绿灯也可能遇到红灯，属于随机事件，不符合要求； B 太阳每天东升西落是自然规律，一定会发生，属于必然事件，符合要求； C 任意四边形的内角和为，内角和为是不可能发生的，属于不可能事件，不符合要求； D 任意画两条直线，可能平行也可能相交，属于随机事件，不符合要求． 2．某校九年级生物兴趣小组在学习概率知识后进行麦粒发芽率的试验，结果如表所示： 麦粒粒数 发芽麦粒粒数 发芽麦粒频率 根据上表数据，任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（结果保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识，根据大量重复试验中频率稳定在概率附近的性质，试验次数越多估计越准确，取稳定频率保留两位小数即可得到结果． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，且试验次数越大，估计越准确， 观察表格数据，随着麦粒粒数增加，发芽频率逐渐稳定在附近，结果保留两位小数，可得任取一粒麦粒发芽的概率约为． 故选：C． 3．下列说法不正确的是（  ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是随机事件 B．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“367人中至少有2人同月同日生”为必然事件 【答案】B 【分析】根据随机事件、必然事件、概率的意义，逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：∵随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，打开电视播放《新闻联播》符合随机事件的定义，∴A说法正确． ∵概率为的事件只是发生的可能性较小，仍有可能在一次试验中发生， ∴“可能性是的事件在一次试验中一定不会发生”的说法错误，即B说法不正确． ∵抛掷一枚均匀硬币，共有两种等可能的结果， ∴正面朝上的概率为，C说法正确． ∵一年最多有366天， ∴367人中一定至少有2人同月同日生，该事件是必然事件，D说法正确． 综上，说法不正确的是B． 二、填空题 4．学校开展的特色课外活动中，同学们在玩投壶游戏．某数学兴趣小组对游戏过程进行了统计，小贤同学投了300次，投中180次．据此估计，小贤同学第301次投壶时，投中的概率为______． 【答案】0.6/ 【分析】本题考查利用频率估计概率. 当试验次数足够大时，可用试验得到的频率估计事件发生的概率，计算出投中频率即可得到概率的估计值. 【详解】解：由题意可得，小贤投壶投中的频率为：； 根据用频率估计概率的原理，估计小贤同学投壶投中的概率为0.6. 5．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 6．某球员在罚球线上投篮的结果如下： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 24 60 78 102 123 151 252 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.5 【分析】大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为该事件发生的概率，计算不同投篮次数对应的投中频率，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：计算各组投中频率如下： ． ． ． ． ． ． ． 由计算结果可知，随着投篮次数不断增加，投中的频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率，可得这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约为． 三、解答题 7．在一个不透明的袋里有个红球，从中随机摸出一个球，请你设计摸球游戏． (1)使摸球事件是个不可能事件； (2)使摸球事件是个必然事件． 【答案】(1)在个红球中随机摸出一个球是白球，是不可能事件 (2)在个红球中随机摸出一个球是红球，是必然事件 【分析】本题考查了不可能事件和必然事件： （1）设计一个客观上无法实现的结果即可； （2）设计一个所有可能的结果都满足的条件． 【详解】（1）解：袋子中只有红球，没有白球， 在个红球中随机摸出一个球是白球，是不可能事件． （2）解：袋子中只有红球， 在个红球中随机摸出一个球是红球，是必然事件． 8．下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据，回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 124 153 252 (1)估计这位同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到）． (2)根据此概率，这位同学投篮622次，投中的次数约是多少？ 【答案】(1) (2)311次 【分析】（1）先计算每次投中的频率，然后根据次数多的投中频率，估计概率即可． （2）根据概率公式计算即可； 【详解】（1）解：根据题意，得 投篮次数n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率 频率稳定在， 故这位同学投篮一次，投中的概率约是； （2）解：根据题意，得投中的次数为：（次）． 9．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 10．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，但第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数不一定为128，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）解：，， 根据表格信息可知，随着转动次数的增加，转到黄色区域的频率稳定在， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $