专题02 导数中含参单调性讨论与恒（能）成立问题（7大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题02 导数中含参单调性讨论与恒（能）成立问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用导数讨论含参函数的单调性 题型02 利用导数讨论含参函数的极值 题型03 利用导数讨论含参函数的最值 题型04 恒成立求参数问题：分离参数 题型05 恒成立求参数问题：分类讨论思想 题型06 能成立求参数问题 题型07 利用导数证明含参不等式恒成立 模块三、综合实战演练 一、函数恒成立问题的基本原理 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. （3）,均有恒成立,令，则. （4）,均有恒成立, 令，则. （5）, ,均有恒成立,则. （6）, ,均有恒成立,则. 二、恒成立求参数的重要技巧：分离参数 （1）核心逻辑 将参数与自变量彻底分离，转化为参数≥/≤函数最值的形式，即： 若（符号定），则分离为（或），恒成立等价于≥右边函数最大值（或≤最小值）。 核心优势：避开复杂的分类讨论，直接转化为常规的求函数最值问题，计算更直接。 （2）解题四步标准化（必走步骤，避坑） ①移项整理：将含参数的项与含自变量的项移到不等式两侧； ②判断符号：分析含参数一侧的系数的符号是否恒正/恒负（关键：符号必须唯一，不能变号）； ③分离参数：根据符号，将参数单独分离到一侧，注意不等号方向（乘除负数变号）； ④求最值定范围：求分离后右侧函数的最值，结合不等号得参数范围（/）。 （3）适用场景（核心：能分离+分离后函数易求最值） ✅ 含参项的系数符号恒定（恒正/恒负），无变号情况； ✅ 分离后右侧函数的最值易求（可通过单调性、导数、基本不等式等求解）； ✅ 常见题型：一次函数、二次函数（定区间）、指对数函数简单组合的恒成立问题。 三、恒成立求参数的重要技巧：分类讨论思想 （1）核心逻辑 当无法分离参数（系数变号）或分离后函数最值极难求时，以参数的取值范围为分类标准，逐一讨论每种情况下不等式是否恒成立，最终取所有成立情况的并集。 核心原则：不重不漏，分类标准要明确（通常按参数的临界值划分，如二次函数的开口方向、对称轴位置）。 （2）解题五步标准化（清晰不混乱） ①确定分类标准：根据参数对函数性质的影响定临界值（如二次函数，按（一次）、、分；对称轴，按对称轴在区间左/内/右分）； ②逐类讨论：按分类标准，逐一分析每类情况下函数的单调性、最值、图像特征； ③列恒成立条件：针对每类情况，结合函数性质列出不等式恒成立的具体条件； ④求解每类范围：解出每类情况下参数的取值范围； ⑤取并集得最终范围：将所有满足条件的参数范围取并集（分类讨论是“或”的关系）。 （3）适用场景（分离参数的互补场景） ✅ 含参项的系数符号变号，无法直接分离参数； ✅ 分离后右侧函数最值极难求（如含参复合函数、导数后仍有参数的复杂函数）； ✅ 核心题型：二次函数定区间恒成立问题（开口方向、对称轴与区间位置不确定）、含参指对数函数恒成立问题。 四、含参函数单调性的常见讨论点 （1）导数是一次函数、指数函数、对数函数，讨论根是否有意义（自身是否有意义、定义域）； （2）导数是二次函数且不可十字相乘且定义域为，讨论判别式； （3）导数可以因式分解且定义为，讨论根的大小关系（，，）； （4）导数是二次函数且不可十字相乘且定义域为，讨论判别式还有韦达定理的正负； （5）导数可以因式分解且定义为，讨论根的大小关系（，，）和根是否在定义域内. 题型01 利用导数讨论含参函数的单调性 1．已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 3．已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 4．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 5．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 一、解题技巧（四步标准化） 1. 求导化简：求，将其整理为整式/分式/因式分解形式（优先因式分解，便于判断符号）； 2. 找临界值：令，解出根（含参），确定参数的临界划分点（如根的存在性、根的大小、根与定义域的关系）； 3. 分类讨论：按临界值划分参数范围，逐类判断在定义域内的符号（正→增，负→减）； ✅ 常见分类标准：导函数为一次型（参数为斜率）、二次型（开口方向/判别式/根的大小/根与区间位置）、分式型（分子符号）； 4. 写单调区间：根据每类的符号，写出原函数的单调递增/递减区间（注意：区间用逗号分隔，不可并集） 二、注意事项 ① 讨论前先明确原函数定义域（优先标注，避免根落在定义域外）； ② 导函数有多个含参根时，先比根的大小，再结合定义域判断符号。 题型02 利用导数讨论含参函数的极值 1．已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求a的值； (2)讨论函数在区间上的极值点个数； (3)设，证明：当时，对，恒成立． 2．已知函数． (1)求证：不是函数的极值点； (2)设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 3．已知函数，， (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，函数，若存在，，使得，求证：． 4．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 5．已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数a的范围． 一、解题技巧（五步法，极值=单调性突变+变号零点） 1. 求导定域：求并化简，标注原函数定义域； 2. 找导函数零点：令，解出含参零点（讨论零点是否在内）； 3. 分类判“变号”：按参数范围，判断零点两侧的符号是否突变（核心：极值点必为导函数的变号零点，不变号零点非极值点）； 4. 求极值：若零点变号，将代入原函数，得极值（极大值/极小值由两侧单调性定）； 5. 总结极值情况：明确不同参数范围下，函数有几个极值点/无极值/有唯一极值及对应极值大小。 二、注意事项 ① 导函数有零点不一定有极值，必须验证零点两侧符号是否改变； ② 多个含参零点时，先确定零点在定义域内的情况，再逐类讨论变号性。 题型03 利用导数讨论含参函数的最值 1．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 2．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 3．已知函数. (1)若，求的值以及在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)当时，在上恒成立，设是方程的根，求的最大值，并证明：. 4．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 5．已知函数 (1)若，求的单调区间. (2)，求在上的最小值与最大值. 一、解题技巧（六步法，闭区间最值=“单极端”比较） 1. 求导定域：求并化简，确定原函数定义域； 2. 分析单调性：按参数范围，确定在内的单调区间+极值点（同题型01/02）； 3. 求区间内极值：计算定义域内所有变号零点对应的极值（极大/极小值）； 4. 求区间端点值：计算、（端点必算，不可遗漏）； 5. 比较定最值：在每类参数范围内，比较所有极值+端点值，最大的为最大值，最小的为最小值； 6. 总结最值情况：明确不同参数范围下，最值的取值/表达式/存在性。 二、关键避坑 ① 开区间的最值，需验证端点处的极限，若极限趋近于无穷，则无最值； ② 含参函数的最值可能是具体数值或关于参数的表达式，需按范围写清。 题型04 恒成立求参数问题：分离参数 1．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 2．已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 4．已知函数，曲线在处的切线经过点． (1)求； (2)当时，，求的取值范围． 5．已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 一、解题技巧（四步法，核心：分离后求最值） 1. 移项分离：将不等式整理为（或）形式，参数k单独在一侧（核心：分离后另一侧无参数）； 2. 判定义域：确定的定义域（与原函数一致）； 3. 求h(x)的最值：用导数求在定义域内的最大值/最小值（含最值是否存在）； 4. 定参数范围：恒成立等价于（上界）/（下界）。 二、注意事项 ① 分离时注意不等号方向（乘除负数需变号）； ② 若分离后无最值（如趋近于某常数），则取极限值（如且，则）。 题型05 恒成立求参数问题：分类讨论思想 1．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 2．已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 一、解题技巧（五步法学，核心：分类判最值，列条件解参） 1. 构造函数：将不等式整理为（或≤0）恒成立，构造含参函数； 2. 求导分析F(x)性质：求，按参数临界值（如导函数开口/零点/单调性）分类讨论F(x)的单调性+最值（同题型03）； 3. 列恒成立条件：每类参数范围内，恒成立等价于F(x)在定义域内的最小值≥0（≤0则等价于最大值≤0）； 4. 解参求范围：解出每类情况下参数的取值范围； 5. 取并集：将所有满足条件的参数范围取并集（分类为“或”关系，不可取交集）。 二、注意事项 ① 二次型导函数，先讨论二次项系数为0的情况（一次函数），再讨论非0情况； ② 恒成立条件紧扣最值，避免直接令求解。 题型06 能成立求参数问题 1．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 2．已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 3．已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 4．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 5．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 一、解题技巧（三步法，核心：能成立=参数追“存在值”，区别于恒成立的“最值”） 1. 转化等价条件： ✅ 存在，使成立 ⇔ （D内的最大值）； ✅ 存在，使成立 ⇔ （D内的最小值）； ✅ 存在，使成立 ⇔ ； 2. 求函数最值：用导数求（或）在D内的最大值/最小值； 3. 定参数范围：根据等价条件，直接解出参数的取值范围。 二、注意事项 严格区分恒成立与能成立： - 恒成立： ⇔ （参数比所有值都大）； - 能成立： ⇔ （参数比某一个值小即可）。 题型07 利用导数证明含参不等式恒成立 1．已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 2．已知函数． (1)讨论单调性； (2)若恒成立，求的值； (3)当时，证明：当时，恒成立． 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 4．已知函数．（为自然常数） (1)若，证明：． (2)若对任意实数x，均有． ①求a； ②设正整数，证明：． 5．已知函数为无理数且 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 一、解题技巧（两大核心方法，按需选用） 方法1：分离参数法（优先用，简洁） 1. 分离参数：将不等式整理为（或）恒成立； 2. 求h(x)最值：用导数求的，证明（或）（已知k范围时直接验证，未知时推导k范围）； 3. 下结论：故原不等式恒成立。 方法2：构造差函数法（分离失效时用，核心） 1. 构造差函数：令，原不等式等价于（或≤0）恒成立； 1. 求导分析F(x)最值：求，分类讨论F(x)在定义域内的单调性+最小值（关键：证明）； ✅ 若F(x)单调递增，则； ✅ 若F(x)有极小值点，则证明极小值为F(x)的最小值且≥0； 1. 下结论：由，得恒成立，故原不等式成立。 二、注意事项 ① 构造差函数后，优先分析端点值（若端点值为0，只需证明函数在定义域内单调递增/递减）； ② 含参时，若参数范围已知，可结合参数范围简化导函数符号判断。 1．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 2．若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 4．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 5．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 6．若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 7．若存在实数t，使得对于，则m的最大值为______ 8．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 9．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 10．设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 11．已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：（且）． 12．已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 13．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 14．已知函数． (1)若，函数，讨论的单调性； (2)若恒成立，求t的取值范围． 15．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数中含参单调性讨论与恒（能）成立问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 利用导数讨论含参函数的单调性 题型02 利用导数讨论含参函数的极值 题型03 利用导数讨论含参函数的最值 题型04 恒成立求参数问题：分离参数 题型05 恒成立求参数问题：分类讨论思想 题型06 能成立求参数问题 题型07 利用导数证明含参不等式恒成立 模块三、综合实战演练 一、函数恒成立问题的基本原理 （1）,均有恒成立,则. （2）,均有恒成立,则. （3）,均有恒成立,令，则. （4）,均有恒成立, 令，则. （5）, ,均有恒成立,则. （6）, ,均有恒成立,则. 二、恒成立求参数的重要技巧：分离参数 （1）核心逻辑 将参数与自变量彻底分离，转化为参数≥/≤函数最值的形式，即： 若（符号定），则分离为（或），恒成立等价于≥右边函数最大值（或≤最小值）。 核心优势：避开复杂的分类讨论，直接转化为常规的求函数最值问题，计算更直接。 （2）解题四步标准化（必走步骤，避坑） ①移项整理：将含参数的项与含自变量的项移到不等式两侧； ②判断符号：分析含参数一侧的系数的符号是否恒正/恒负（关键：符号必须唯一，不能变号）； ③分离参数：根据符号，将参数单独分离到一侧，注意不等号方向（乘除负数变号）； ④求最值定范围：求分离后右侧函数的最值，结合不等号得参数范围（/）。 （3）适用场景（核心：能分离+分离后函数易求最值） ✅ 含参项的系数符号恒定（恒正/恒负），无变号情况； ✅ 分离后右侧函数的最值易求（可通过单调性、导数、基本不等式等求解）； ✅ 常见题型：一次函数、二次函数（定区间）、指对数函数简单组合的恒成立问题。 三、恒成立求参数的重要技巧：分类讨论思想 （1）核心逻辑 当无法分离参数（系数变号）或分离后函数最值极难求时，以参数的取值范围为分类标准，逐一讨论每种情况下不等式是否恒成立，最终取所有成立情况的并集。 核心原则：不重不漏，分类标准要明确（通常按参数的临界值划分，如二次函数的开口方向、对称轴位置）。 （2）解题五步标准化（清晰不混乱） ①确定分类标准：根据参数对函数性质的影响定临界值（如二次函数，按（一次）、、分；对称轴，按对称轴在区间左/内/右分）； ②逐类讨论：按分类标准，逐一分析每类情况下函数的单调性、最值、图像特征； ③列恒成立条件：针对每类情况，结合函数性质列出不等式恒成立的具体条件； ④求解每类范围：解出每类情况下参数的取值范围； ⑤取并集得最终范围：将所有满足条件的参数范围取并集（分类讨论是“或”的关系）。 （3）适用场景（分离参数的互补场景） ✅ 含参项的系数符号变号，无法直接分离参数； ✅ 分离后右侧函数最值极难求（如含参复合函数、导数后仍有参数的复杂函数）； ✅ 核心题型：二次函数定区间恒成立问题（开口方向、对称轴与区间位置不确定）、含参指对数函数恒成立问题。 四、含参函数单调性的常见讨论点 （1）导数是一次函数、指数函数、对数函数，讨论根是否有意义（自身是否有意义、定义域）； （2）导数是二次函数且不可十字相乘且定义域为，讨论判别式； （3）导数可以因式分解且定义为，讨论根的大小关系（，，）； （4）导数是二次函数且不可十字相乘且定义域为，讨论判别式还有韦达定理的正负； （5）导数可以因式分解且定义为，讨论根的大小关系（，，）和根是否在定义域内. 题型01 利用导数讨论含参函数的单调性 1．已知函数 (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求正整数的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对定义域为的函数，先将导数因式分解为，再对参数分类讨论，通过判断导数在各区间的正负，确定函数的单调区间； （2）先将原不等式变形分离参数，构造函数，通过求导分析的单调性，利用其导函数的零点求出的最小值范围，进而确定正整数的最大值. 【详解】（1）函数定义域为， ， ① 若，则恒成立，时，，单调递减； 时，，单调递增. ② 若，则时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增. ③ 若，则恒成立，在上单调递增. ④ 若，时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，时，单调增区间，单调减区间； 时，单调增区间和，单调减区间； 时，单调增区间，无减区间； 时，单调增区间和，单调减区间. （2）原不等式即 ，两边除以得： 整理得： ，所以， 令，求导得： ， 令， 时，单调递增，且，， 故存在唯一零点，满足，即. 当时，递减；时，递增， 故最小值为： 因，故， 且对任意 都有 ，因此 ，又因为 为正整数，所以 的最大值为 . 2．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性． 【详解】（1）当时，， 所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．已知函数. (1)讨论在上的单调性； (2)若，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用分类讨论可求得函数的单调区间； （2）不等式变形为，设，通过构造函数法可证明不等式； 【详解】（1）由题意得函数定义域为，． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （2）若，则． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 先证明不等式，设，则， 所以在上单调递减，故，即． 再证明不等式，设， 则，所以在上单调递增， 故，即． 综上，原命题得证． 4．已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 5．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 一、解题技巧（四步标准化） 1. 求导化简：求，将其整理为整式/分式/因式分解形式（优先因式分解，便于判断符号）； 2. 找临界值：令，解出根（含参），确定参数的临界划分点（如根的存在性、根的大小、根与定义域的关系）； 3. 分类讨论：按临界值划分参数范围，逐类判断在定义域内的符号（正→增，负→减）； ✅ 常见分类标准：导函数为一次型（参数为斜率）、二次型（开口方向/判别式/根的大小/根与区间位置）、分式型（分子符号）； 4. 写单调区间：根据每类的符号，写出原函数的单调递增/递减区间（注意：区间用逗号分隔，不可并集） 二、注意事项 ① 讨论前先明确原函数定义域（优先标注，避免根落在定义域外）； ② 导函数有多个含参根时，先比根的大小，再结合定义域判断符号。 题型02 利用导数讨论含参函数的极值 1．已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求a的值； (2)讨论函数在区间上的极值点个数； (3)设，证明：当时，对，恒成立． 【答案】(1) (2)当或 时，在上无极值点；当 时， 在上有一个极值点 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是过该点的切线的斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得的值； （2）先求函数的导函数，再分三种情况分类讨论，分析导函数的正负情况，再结合导函数的零点求解，进而判断求出函数极值点的个数； （3）将转化成以为自变量的函数，分析这个二次函数对称轴的范围，进一步得出在上单调递增，问题可转化为证明，再次转化成，研究其最小值即可. 【详解】（1）由已知可得，由题意得，解得. （2），因为 ，所以 ，故， 若 ，则恒成立，所以在上单调递增，无极值点； 若 ，则恒成立，所以 在上单调递减，无极值点； 若，由 得 ， 在上， 单调递减，存在唯一的，使得， 当时，，当时， ， 所以在 上单调递增，在上单调递减，有一个极值点； 综上所述，当或 时，在上无极值点；当时，在 上有一个极值点. （3）因为，令是关于 的二次函数， 对称轴为 ， 令，则， 令，则；，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 综上：当时，恒成立． 2．已知函数． (1)求证：不是函数的极值点； (2)设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)存在，当时，函数的最小值为2 【分析】（1）方法一：利用反证法证明即可. 方法二：对函数求导，分类讨论的单调性，结合函数的极值点定义证明即可. （2）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2. 【详解】（1）方法一：函数的定义域为，， 若为函数的极值点，则必有， 由得， 当时，，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递增，不是的极值点， 当时，，故不是的极值点， 综上，不是函数的极值点， 方法二：函数的定义域为，. 当时，. 令，则. 当时，在上恒成立， 则在上单调递减，即在上单调递减. 当时，；当时，； 因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点. 当时，令，即，解得. 若，即，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 若，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 当时，，在和上各有一个零点，设为，， 在上，，，单调递减； 在和在上，，，单调递增； 所以不是极值点. 综上，不是函数的极值点. （2）由（1）知，，. . 当时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 当时，令，即，解得. 若，即时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，即时，在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以. 令，解得，符合题意. 综上，存在，使得函数的最小值为2. 3．已知函数，， (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若，函数，若存在，，使得，求证：． 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得，再分与讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数，分与讨论求解即可； （3）根据得，进而结合余弦的和差角公式得，故将问题转化为证明，设，令，进一步转化为证明，最后构造函数即可证明. 【详解】（1）解：，定义域为，， 当时，恒成立，故函数在单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值. 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值. （2）解：， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，， ， 令， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立. （3）解：，函数，， 因为存在，，使得， 所以，整理得， 所以 所以， 因为， 所以， 因为，，则， 故要证，只需证， 不妨设，令，故只需证 ，只需证， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即 成立， 所以 成立. 4．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 5．已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数a的范围． 【答案】(1)当时，，无极大值；当时，，无极小值. (2)． 【分析】（1）利用导数分析当和时，的单调性，再根据极值的定义即可求解. （2）令，根据在上恒成立求出，然后再证明其充分性成立即可. 【详解】（1）因为， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值，，无极大值， 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，，无极小值. （2）记， 即，在上恒成立， ， 又恒成立，故，得， 充分性：下面证时原式恒成立，即证，且，， 令， 则， 当时，， 所以单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以成立， 当时，因为 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递减，所以成立， 综上，当时成立， 所以a的取值范围为． 一、解题技巧（五步法，极值=单调性突变+变号零点） 1. 求导定域：求并化简，标注原函数定义域； 2. 找导函数零点：令，解出含参零点（讨论零点是否在内）； 3. 分类判“变号”：按参数范围，判断零点两侧的符号是否突变（核心：极值点必为导函数的变号零点，不变号零点非极值点）； 4. 求极值：若零点变号，将代入原函数，得极值（极大值/极小值由两侧单调性定）； 5. 总结极值情况：明确不同参数范围下，函数有几个极值点/无极值/有唯一极值及对应极值大小。 二、注意事项 ① 导函数有零点不一定有极值，必须验证零点两侧符号是否改变； ② 多个含参零点时，先确定零点在定义域内的情况，再逐类讨论变号性。 题型03 利用导数讨论含参函数的最值 1．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 2．已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 3．已知函数. (1)若，求的值以及在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)当时，在上恒成立，设是方程的根，求的最大值，并证明：. 【答案】(1)， (2)时，最大值为；时，最大值为 (3)的最大值为，证明见解析 【分析】（1）解方程得值，再代入即可求点处的切线方程； （2）因为为二次函数，所以对参数范围进行分类讨论，求在上的最大值； （3）先利用不等式性质变形，再构造函数，找出和的关系，即，再利用放缩法证明时，在上恒成立. 法一：设函数，分别找出，的根，根据这些根的相对位置，作差即可证明； 法二：写出在时最小的根，，因为在上恒成立，所以 【详解】（1）（1）已知函数，则，     ，则.     则，， 在点处的切线方程为，即. （2）（2）由， ①当时，在上恒成立，即在上单调递增， 函数在上的最大值为.     ②当时，在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增. 即函数在上的最大值为，     由 当时，即时，函数在上的最大值为. 当时，即时，函数在上的最大值为0.     ③当时，在上恒成立，即在上单调递减， 即函数在上的最大值为． 综上所述，时，函数在上的最大值为； 时，函数在上的最大值为. （3）由时，在上恒成立， 即，即， 令，则，      由，可知. 当时， 由在上恒成立     可得，     综上，的最大值为. 法一：设函数 设，为时，的两根，不妨令， 则，，，     由的根为， 因为在上恒成立， 所以，故， 即.     法二：设，为时，的两根，不妨令， 则， 而的根为， 因为在上恒成立， 所以， 所以. 4．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 5．已知函数 (1)若，求的单调区间. (2)，求在上的最小值与最大值. 【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求，设，利用导数来研究，求得函数的单调区间； （2）根据函数的单调性最小值易求，可知，令，利用导数比较与，可得函数最大值. 【详解】（1）当时，， 所以， 设，则. ∵，，∴在上单调递增， 从而得在上单调递增，又∵， ∴当时，，当时，， 因此，的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 设，则. ∵，，∴在上单调递增， 从而得在上单调递增，又∵， ∴当时，，当时，， 因此，的单调增区间为，单调减区间为. ，在单调递增，则单调递减， 所以的最小值为， ， ∵，， ∴. 设， 则. 因为，所以，所以， 且，所以， 则函数在单调递增， 所以， 设， 则， 则，所以，即， 所以在上的最大值为，最小值为. 一、解题技巧（六步法，闭区间最值=“单极端”比较） 1. 求导定域：求并化简，确定原函数定义域； 2. 分析单调性：按参数范围，确定在内的单调区间+极值点（同题型01/02）； 3. 求区间内极值：计算定义域内所有变号零点对应的极值（极大/极小值）； 4. 求区间端点值：计算、（端点必算，不可遗漏）； 5. 比较定最值：在每类参数范围内，比较所有极值+端点值，最大的为最大值，最小的为最小值； 6. 总结最值情况：明确不同参数范围下，最值的取值/表达式/存在性。 二、关键避坑 ① 开区间的最值，需验证端点处的极限，若极限趋近于无穷，则无最值； ② 含参函数的最值可能是具体数值或关于参数的表达式，需按范围写清。 题型04 恒成立求参数问题：分离参数 1．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）通过求导判断符号，确定函数单调区间； （2）分离参数转化为函数最值问题，求得参数范围为 【详解】（1）当时，，定义域为. . 令，即，解得. 当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）对，恒成立. 因为，所以分离参数可得恒成立. 则题干问题等价于，令. 求导得. 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此在处取极小值同时也为最小值，. 所以，即的取值范围是. 2．已知函数 (1)若在上不单调，求的取值范围； (2)当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，分类讨论的范围，即可求解； （2）将问题转化为，令，结合导数求出的单调性以及最值即可. 【详解】（1）由题可得：，可知恒成立， 当时，，函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，令，解得：， 要使函数在上不单调，则， 解得：或； 所以在上不单调，则的取值范围为 （2）当时，， 对任意的， 恒成立，即恒成立， 由于，则恒成立，即，所以 令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则当时，若对任意的， 恒成立，则实数a的取值范围 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)证明：在上单调递减． (3)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，即可求出切线的斜率，再求切点坐标，最后利用点斜式计算可得； （2）令，利用导数求得函数的最大值为，则在上恒成立，可得证； （3）关于的不等式恒成立，转化为恒成立，设，利用导数求出的最大值范围，即可求出整数的最小值． 【详解】（1）因为，所以， ，又，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （2）令，， 则， 所以当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 即在上恒成立， 则在上单调递减． （3）关于的不等式恒成立，即恒成立， 由于，所以恒成立， 设，则， 由（2）知在上单调递减，且，， 所以存在唯一，使得，即， 则当时，，因此函数在上单调递增， 当时，，因此函数在上单调递减， 故函数的最大值为， 因为在上单调递增，则， 要使恒成立，且为整数， 所以的最小值为. 4．已知函数，曲线在处的切线经过点． (1)求； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，又因为切线经过点和点，结合直线过两点的斜率公式，建立等式求解即可； （2）当时，；当时，参变分离得，设，利用导数求出函数的最大值，即可得答案. 【详解】（1）因为，， 切线斜率， 又因为切线经过点 所以， 所以， 解得； （2）由题意得对任意的成立． 当时，； 当时，原不等式等价于， 设， 则， 令， 则 令， 则， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 即， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以 所以， 故的取值范围是. 5．已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【详解】（1）当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3）当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 一、解题技巧（四步法，核心：分离后求最值） 1. 移项分离：将不等式整理为（或）形式，参数k单独在一侧（核心：分离后另一侧无参数）； 2. 判定义域：确定的定义域（与原函数一致）； 3. 求h(x)的最值：用导数求在定义域内的最大值/最小值（含最值是否存在）； 4. 定参数范围：恒成立等价于（上界）/（下界）。 二、注意事项 ① 分离时注意不等号方向（乘除负数需变号）； ② 若分离后无最值（如趋近于某常数），则取极限值（如且，则）。 题型05 恒成立求参数问题：分类讨论思想 1．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】由导数的几何意义求出直线斜率，再求切点坐标，最后代入直线的点斜式方程即可； （2）法一：求导，根据导函数与原函数的关系求出实数的取值范围； 法二：分离参数法，转化为函数恒成立问题，再根据导函数与原函数的关系求出函数最值即可； （3）由第二问和对数的运算性质得出结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 所以切线斜率为， 因为，所以切点坐标为， 设切线方程为， 代入得， 整理得：； （2）法一： 令， ①当即时，在上单调递增， 故，满足条件； ②当即或时， 当时，对称轴，且，故时，， 满足条件； 当时，，且， 故存在，使得时，，即在单调递减， 此时，不满足条件； 综上所述：． 法二：（参数分离）恒成立，即在上恒成立 ． 令 令，则 所以在上单调递增，又，所以恒有即， 故在上单调递增 由洛必达法则，得 所以即的取值范围为 （3）由（2）知，取时，恒成立，即； 令，， 有， 故， ， 综上，. 2．已知函数，． (1)若，证明：； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明详见解析. (2). 【分析】（1）根据导数研究函数的最值，进而得证； （2）对进行分类讨论，通过隐零点问题求解. 【详解】（1）因为， 所以的定义域为，且. 当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，由函数的单调性结论知在上单调递增. 综上，在上单调递增， 而， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以是的极小值，也是最小值，所以，即. （2）当时，由（1）知，满足题意； 当时，令， 则，由函数的单调性结论知在上单调递减. ①当时，，即在上，，单调递增，即在上单调递增， 所以，所以在上单调递减，所以，满足题意. ②当时，，当时，， 由函数零点存在定理可知存在，使得. 当时，，所以，即在上单调递增; 当时，，所以，即在上单调递减. 而当时，，， 由函数零点存在定理可知存在，使得， 且当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增，此时，不满足题意. 综上，的取值范围是. 3．已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2). 【分析】（1）构造函数，先利用导数判定其单调性及最值，再确定即可； （2）先化简不等式，构造函数求其导函数，利用分类讨论的思想结合常用的切线放缩判定得；再构造多次求导判定其最小值，结合隐零点验证不满足题意即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， ， 令，易知， 显然时，，即此时单调递增， 时，，此时单调递减，所以， 所以时，，所以函数在上单调递增， 递增区间为，无单调递减区间； （2）易知， 则， 令 再令，则， 易知时，单调递增，时，单调递减， 则，即，在时取得等号， 则， ①若，显然，即在定义域上单调递增， 即，符合题意； ②若，易知， 令， 令， 因为，显然， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，，则此时，使得， 即上，则在此区间单调递减，，不符题意， 综上所述. 4．已知函数，.（注：是自然对数的底数） (1)若无极值点，求实数的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）法一，易知，无变号零点，考虑后参变分离为，原问题等价于的图像与无相交交点；法二，构建，分，，结合根的存在性定理即可求解； （2）法一，式子转化为，即证即可，易知，则，分，， 讨论即可；法二，转化为，求的最大值即可. 【详解】（1）（方法一）易知，由无极值点可知， 无变号零点，令（*）， 显然时，（*）无零点，此时无极值点，满足题意； 故当（*）可变形得， 令，原问题等价于的图像与无相交交点， 又，则，，单调递增； ，，单调递减； 又趋于，趋于；趋于，趋于；. 可得的图象如图： 由图可知，解得， 综上， （方法二）构建，则 ①当时，当时恒成立，在上单调递增， 因为，， 所以有一个零点，即为的一个极值点； ②当时，当时恒成立，即无极值点； ③当时，当，；当，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故， 若，则即. 当时，， 当时，， 设，，故， 故在上为增函数， 故， 故， 故当时，有两个零点，此时有两个极值点. 当时，当时恒成立，即无极值点； 综上所述： （2）（方法一）由可知，， 即， 令，即证， 易知， 则， 若，即时， 则，，单调递增，，不符合题意； 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 又，故令， 解得，即， 若，即时， 则，，单调递减， ，，单调递增， ，，单调递减， 故令 ， 记，则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 即对于任意，恒成立， 综上所述， （方法二）①当时，不等式恒成立，可得； ②当时，可得恒成立，设， 则 . 可设，可得， 设，， 由，可得恒成立，可得在上单调递增， 在上单调递增，所以， 即恒成立，即在上单调递增，所以， 再令，可得， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 所以， 所以，综上可得的取值范围是. 5．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求正实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 由题意先求出，从而可求解. （2）由对任意恒成立，构建，利用导数求出的单调性，从而可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以， 又因为 ，则切线方程为， 即. （2）由题意得对任意，恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，且，， 所以存在使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，不合题意； 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，符合题意； 当时，得在上单调递增， 又， 所以，在上单调递增， 又，， 所以存在使得， 当时，，单调递增，，不符合题意， 综上，正实数的取值集合为. 一、解题技巧（五步法学，核心：分类判最值，列条件解参） 1. 构造函数：将不等式整理为（或≤0）恒成立，构造含参函数； 2. 求导分析F(x)性质：求，按参数临界值（如导函数开口/零点/单调性）分类讨论F(x)的单调性+最值（同题型03）； 3. 列恒成立条件：每类参数范围内，恒成立等价于F(x)在定义域内的最小值≥0（≤0则等价于最大值≤0）； 4. 解参求范围：解出每类情况下参数的取值范围； 5. 取并集：将所有满足条件的参数范围取并集（分类为“或”关系，不可取交集）。 二、注意事项 ① 二次型导函数，先讨论二次项系数为0的情况（一次函数），再讨论非0情况； ② 恒成立条件紧扣最值，避免直接令求解。 题型06 能成立求参数问题 1．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在上单调递减， 所以. （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在上，故在单调递增， 所以，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故在上有解， 综上，的范围是. 2．已知函数． (1)求在上的单调区间； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)减区间，增区间； (2)． 【分析】（1）利用导数的正负判断单调性即可； （2）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可． 【详解】（1）求导得：， 当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）由，可得， 题意等价于在上有解． 设，，求导得， 当时，，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，，在上递增， 时，，在上递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，． 3．已知函数的一个极值点是． (1)求a与b的关系式； (2)求出的单调区间； (3)设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3) 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【详解】（1）因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. （2），由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2          - 0    + 0    - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x      2     - 0    + 0    - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 4．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 5．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，可得，进而利用导数的几何意义及点斜式直线方程求解切线方程； （2）先利用导数法证明当且仅当时等号成立，再利用导数法证明当且仅当时等号成立，即可证明； （3）将整理得，设函数，利用单调性得，即，利用导数法求得函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）由得，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）设，，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 设，定义域为， 则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以； （3）因为，整理可得， 故，设函数，则， 因为，所以函数单调递增，所以， 整理可得，设函数，则， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围. 一、解题技巧（三步法，核心：能成立=参数追“存在值”，区别于恒成立的“最值”） 1. 转化等价条件： ✅ 存在，使成立 ⇔ （D内的最大值）； ✅ 存在，使成立 ⇔ （D内的最小值）； ✅ 存在，使成立 ⇔ ； 2. 求函数最值：用导数求（或）在D内的最大值/最小值； 3. 定参数范围：根据等价条件，直接解出参数的取值范围。 二、注意事项 严格区分恒成立与能成立： - 恒成立： ⇔ （参数比所有值都大）； - 能成立： ⇔ （参数比某一个值小即可）。 题型07 利用导数证明含参不等式恒成立 1．已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数的单调性，分类讨论进行求解即可； （2）构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值，结合新函数的最值进行求解即可； （3）根据（2）的结论，构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，即当时，单调递减； 当时，即当时， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述：当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）， 当， 时， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想对任意的恒成立， 只需， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知：当时，不等式恒成立， 当时，有， 即， 令， 所以， 即， 令， 当时，单调递增， 所以当时，， 即，所以. 2．已知函数． (1)讨论单调性； (2)若恒成立，求的值； (3)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可得到单调性； （2）分和，两种情况讨论，利用导数求解函数的单调性，求得的最小值，构造函数，求得函数的单调性，结合，即可求解； （3）原不等式即为，转化为，构造，利用导数求得的单调性，结合，证得即可. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， ①当时，，故在单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）解：由函数的定义域为． ①若，由（1）知在单调递增， 因为，所以不满足恒成立； ②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，所以，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故所以实数的值为. （3）证明：当，且时，则，可得． 要证明，即证， 而， 令，只需证明即可， 由，再令，可得， 由于函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则，即在上单调递增， 可得，即在上单调递增， 故，得证. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导并因式分解，再根据参数的正负分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间； （2）先求出时函数的最小值，将不等式转化为关于的形式，再通过构造辅助函数，利用函数单调性和最值完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为    ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减，        综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减． （2）证明：时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以，            要证，即证，即证， 因为，即证            ①当时，成立，符合题意；         ②当时，设，则，所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证，             设在上单调递增，上单调递减．又，所以恒成立，得证． 综上所述，时，． 4．已知函数．（为自然常数） (1)若，证明：． (2)若对任意实数x，均有． ①求a； ②设正整数，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）作差函数利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可证明； （2）①作差函数，借助，及函数的单调性，分类讨论的大小得出，再证时，放缩可得时符合题意，在时由及指数函数的单调性即可证明符合题意； ②由①的结论，取结合二倍角公式判定，根据放缩结合裂项相消法计算即可证明. 【详解】（1）当时，，设，则， 所以令可知，令可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时取得极小值，也是最小值， 即，即． （2）①设， 则，，， 若，则存在，当时，， 此时，不符合； 若，则存在，当时，， 此时，不符合 综上，只可能． 下面证明满足要求， 当时，， 所以，满足题目条件． 当时，先证明，（*）． 设，则，故为增函数， 于是时，，故，所以， 同理，有，而时，有，所以， 综上（*）成立， 令（）， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以由函数在R上单调递增， 所以（），当时，成立， 所以当时，，即， 可见满足要求． ②由①知，用代替x，得， 所以，于是取（，3，…，n）， 则， 又因为， 所以， 由于， 所以，在不等式中，令（）， 可得即， 所以， 因此， 所以 ， 至此不等式得证． 5．已知函数为无理数且 (1)求在区间的最值； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)对于，证明：． 【答案】(1)． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间的单调性，即可求解； （2）通过讨论，说明使得 不符合题意，得到，再通过放缩，构造函数，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【详解】（1），可知， 令，则， 易得当时，，当时，， 即在单调递减，在上单调递增， ，则在单调递增， 所以． （2）构造函数， ， 易知，若， 则使得在上单调递减，，与题意矛盾， 则， 此时， 令，只需证在恒成立即可． ， 令，则， 恒成立，即在单调递增， 在单调递增，则恒成立， 所以的取值范围是. （3）由（2）可知在恒成立， 则有在恒成立， 令，则有恒成立， 所以， 又， 则. 一、解题技巧（两大核心方法，按需选用） 方法1：分离参数法（优先用，简洁） 1. 分离参数：将不等式整理为（或）恒成立； 2. 求h(x)最值：用导数求的，证明（或）（已知k范围时直接验证，未知时推导k范围）； 3. 下结论：故原不等式恒成立。 方法2：构造差函数法（分离失效时用，核心） 1. 构造差函数：令，原不等式等价于（或≤0）恒成立； 1. 求导分析F(x)最值：求，分类讨论F(x)在定义域内的单调性+最小值（关键：证明）； ✅ 若F(x)单调递增，则； ✅ 若F(x)有极小值点，则证明极小值为F(x)的最小值且≥0； 1. 下结论：由，得恒成立，故原不等式成立。 二、注意事项 ① 构造差函数后，优先分析端点值（若端点值为0，只需证明函数在定义域内单调递增/递减）； ② 含参时，若参数范围已知，可结合参数范围简化导函数符号判断。 1．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 2．若，且不等式对任意的恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即，. 设，则，当时，，所以在上单调递增. 由，得，因为，所以，即对任意的恒成立. 设，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，则. 3．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 【答案】B 【分析】求导并利用赋值法求出函数，再等价变形给定不等式并构造函数，按分类，利用导数求出最小值，进而求得，然后构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在R上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时， 而，故的最大值是. 4．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 5．关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先分类讨论的范围，再根据题意去绝对值，利用导数即可求解范围． 【详解】，其中， 当时，，所以恒成立， 当时，，即，所以， 当时，， 则或， 设，，则， 所以当时，函数单调递增，且， 同理可得，当时，函数单调递减，且， 所以不等式不满足题意； 则， 设， 则 ， 令， 则， 当时，，则在单调递减，则， 所以，则在单调递减，则， 所以． 6．若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用同构思想将问题转化为恒成立，再构造函数，得出其单调性，进而得出对任意恒成立，再利用参变分离，构造函数，求最大值即可. 【详解】因,则等价于， 即， 令，则，则在上单调递增， 因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，所以，， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，则， 令， 则，则在上单调递减， 因为， 所以，则，即在上单调递减， 则，故， 则正实数t的取值范围是. 7．若存在实数t，使得对于，则m的最大值为______ 【答案】4 【分析】利用特殊值的思路当时，为的公共零点，再利用导数确定单调性并分析的符号求得的范围. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 设函数，，取，则为的公共零点， 函数，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，函数在上单调递增，， 当时，，则； 当时，，则， 因此，，当时，，则， 而恒成立，则，即， 所以的最大值为4. 8．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 9．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 10．设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 11．已知函数． (1)证明：当时，恒成立； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：（且）． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减. (3)证明见解析. 【分析】（1）需先求函数导数，分析单调性确定最大值，证明最大值为0即可； （2）先化简函数表达式，求导后因式分解，根据参数m的取值分类讨论导数符号，确定单调区间； （3）利用(1)的结论构造不等式，通过换元累加不等式，结合对数运算性质证明. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以， 故恒成立. （2）因为， 可得. 因为，所以， 当时，，则， 所以函数在单调递减； 当时，当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上所述：当时，函数在单调递减； 当时，函数在单调递增，在单调递减. （3）由（1）知，用替换得 ，即， 所以，当且仅当，即时，等号成立； 令，此时； 所以. 即（且）． 12．已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 13．已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 14．已知函数． (1)若，函数，讨论的单调性； (2)若恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求导，分和分别求解即可； （2）利用导数及转化思想，求出函数的最小值，利用求解即可. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 且， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当时， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由， 可得， 令， 则， 所以，即在上单调递增， 且当时，；且时，， 故存在，使得， 即存在， 也即， 且当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 15．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当对任意的，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 故当时，在点处的切线方程为. （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $