专题01 函数性质综合：奇偶、周期、对称与单调性应用（9大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题01 函数性质综合：奇偶、周期、对称与单调性应用 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 函数的单调性及其应用 题型02 函数的奇偶性及其应用 题型03 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 题型04 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 题型05 函数的周期性及其应用 题型06 函数的对称性及其应用 题型07 函数的对称性与周期性综合 题型08 抽象函数的性质 题型09 原函数与导数的对称性综合 模块三、综合实战演练 一、利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式优先策略： 1.若函数在定义域上单调递增，且，则. 2.若函数在定义域上单调递减，且，则. 3.已知函数为定义域在上的偶函数. （1）若在上单调递增，且，则. （2）若在上单调递减，且，则. 4. 已知函数为定义域在上的奇函数， （1）在上单调递增，且，则. （2）在上单调递减，且，则. 5.注意讨论、. 二、函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 三、函数周期性的重要结论 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 四、函数周期性、奇偶性、对称性的重要技巧 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 题型01 函数的单调性及其应用 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是________. 5．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______． 1. 判定单调性（定义法唯一核心） ① 设：任取定义域，且； ② 拆：将按抽象函数运算形式拆分（加法型拆，乘法型拆）； ③ 作差/作商：求（常用）或（适用于恒正/恒负函数）； ④ 定号：结合已知条件判断差/商的符号，得出单调性。 2. 单调性应用 - 求最值：闭区间上单调函数的最值在区间端点取到； - 求范围：利用单调性将函数值大小转化为自变量大小，结合定义域求解。 3.关键注意 拆分时需贴合抽象函数的运算形式，避免无意义变形。 题型02 函数的奇偶性及其应用 1．若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．曲线在处的切线过点 C．函数有5个零点 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 4．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____． 5．已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 1. 判定奇偶性（赋值法核心，3步走） ① 验定义域：定义域关于原点对称是前提，不对称直接非奇非偶； ② 求：定义域含0时，令赋值，绝大多数情况（奇函数）或常数（偶函数）； ③ 证关系：令替换原式，联立的结果，推与的关系（偶函数，奇函数）。 2. 奇偶性应用 - 转化函数式：将转化为，消去负号（如偶函数/奇函数）； - 求特殊值：利用，由已知值求对称值（如已知，奇函数得）。 3.关键注意 无时（定义域不含0），直接令推导即可，勿强行求。 题型03 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 1．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 1.核心考点：结合奇偶性将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较解题技巧（四步标准化） ①去负号：利用奇偶性，将所有自变量的负号消去（如偶函数/奇函数）； ②定区间：判断转化后所有自变量是否在同一单调区间内； ③比大小：比较单调区间内自变量的大小； ④推函数值：根据单调性，将自变量大小转化为函数值大小（增函数：自变量大→函数值大；减函数相反）。2.关键注意 若有绝对值，优先用偶函数性质转化（），绝对值可直接将自变量转化到非负区间。 题型04 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 1．已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 4．已知函数，则不等式的解集为_______． 5．已知函数则的解集是___________________． 1.核心考点：抽象不等式的核心是去符号，唯一依据是单调性，奇偶性为辅助转化 ①移项：将不等式变形为的标准形式（一边一个，无其他常数/项）； ②去负号：利用奇偶性消去中的负号，转化为（偶函数优先用此方法，简化计算）； ③定单调：明确在对应区间的单调性（核心，无单调性无法去）； ④去符号：根据单调性转化为自变量不等式（增：；减：），带绝对值直接保留（如）； ⑤验定义域：添加均在函数定义域内的限制条件，联立求解最终解集。 2.关键注意 定义域验证是必做步骤，忽略会导致漏解/错解，此为高频易错点。 题型05 函数的周期性及其应用 1．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 2．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（   ） A．50 B．2 C．0 D． 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 5．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 1. 判定周期性（抓特征式，直接定周期） 已知抽象函数恒等式，变形为形式，直接得周期，核心特征式： - →周期； - /→周期； - →周期。 2. 周期性应用 核心：大自变量化小，利用周期，将转化为（），使落在已知函数值/性质的区间内，再求解。 3.关键注意 周期性判定需恒等变形，确保等式两边仅为和，无其他项。 题型06 函数的对称性及其应用 1．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 2．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 3．设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 5．在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称.若，则的值为_____. 1. 判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 2. 对称性应用 - 求函数值：利用对称性，由求对称点的函数值（如与关于对称，则）； - 转化函数式：将自变量转化到对称区间，结合其他性质求解。 3.关键注意 轴对称是函数值相等，中心对称是函数值和为定值，勿混淆特征式。 题型07 函数的对称性与周期性综合 1．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 4．已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D． 5．已知定义在上的奇函数关于对称，当时，，则________． 1. 核心推导：对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 2. 综合应用步骤 ① 由已知对称性，推导周期； ② 先利用周期性将大自变量化小，再利用对称性转化到已知区间； ③ 结合已知条件求函数值/解不等式。 3.关键注意 推导周期时，需严格按特征式变形，结论可直接记忆，节省解题时间。 题型08 抽象函数的性质 1．定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 2．已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递增 3．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 4．若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．是偶函数 D．当时， 5．已知函数 满足 ，，且，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 1. 判定顺序：先定义域→再奇偶性→再单调性→最后周期性/对称性（奇偶性是基础，为单调性/周期性推导铺垫）； 2. 赋值原则：定向赋值，结合目标（求定奇偶，设定单调，令定周期），不盲目试值； 3. 性质联立：判定多性质时，前一个性质的结论作为后一个性质的已知条件（如先判定奇函数，再用辅助判定单调性）； 4. 性质逆用：由已知性质反推抽象函数恒等式（如已知是周期为2的奇函数，可推）。 5.关键注意 所有性质判定的前提是定义域，先验证定义域，再进行后续推导。 题型09 原函数与导数的对称性综合 1．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 2．已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知定义在R上的函数可导，的导数为，若是奇函数，且，则（  ） A． B． C．的图象关于点（2，0）中心对称 D． 4．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 5．已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 一、核心互推结论（必记，无需重复推导） 1. 轴对称互推：若的对称轴为，则的对称中心为；反之亦然； 2. 中心对称互推：若的对称中心为，则的对称轴为；反之亦然； 3. 特殊情况： - 是偶函数（对称）→是奇函数（对称）； - 是奇函数（对称）→是偶函数（对称）。 二、综合应用步骤 1. 找关联：根据已知条件，确定是原函数推导数还是导数推原函数的对称性； 2. 用结论：直接利用上述结论，得到另一函数的对称性质； 3. 结合单调性：由导数的符号确定原函数的单调性，由导数的对称性确定原函数的对称性； 4. 综合求解：结合原函数的对称+单调，求最值/解不等式/求函数值。 三、关键注意 导数的对称性仅反映原函数的单调性变化规律，原函数的对称中心纵坐标对导数对称性无影响（导数仅关注）。 1．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 2．奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 5．函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 6．函数在定义域内可导，若，且，若，，，则a，b，c的大小关系正确的有（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 8．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 9．已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数则函数的单调增区间为______ 11．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 12．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 13．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 14．已知函数，函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，且. (1)求实数的值； (2)求在实数集上的解析式； (3)若是偶函数，求实数的值. 15．已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． (1)设函数，求证是周期函数并求的最大值； (2)给定，证明：对，，使得； (3)若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数性质综合：奇偶、周期、对称与单调性应用 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 函数的单调性及其应用 题型02 函数的奇偶性及其应用 题型03 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 题型04 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 题型05 函数的周期性及其应用 题型06 函数的对称性及其应用 题型07 函数的对称性与周期性综合 题型08 抽象函数的性质 题型09 原函数与导数的对称性综合 模块三、综合实战演练 一、利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式优先策略： 1.若函数在定义域上单调递增，且，则. 2.若函数在定义域上单调递减，且，则. 3.已知函数为定义域在上的偶函数. （1）若在上单调递增，且，则. （2）若在上单调递减，且，则. 4. 已知函数为定义域在上的奇函数， （1）在上单调递增，且，则. （2）在上单调递减，且，则. 5.注意讨论、. 二、函数对称性的重要结论 （1）若函数满足，则函数关于对称. （2）若函数满足，则函数关于对称. （3）若函数满足，则函数关于对称. （4）若函数满足，则函数关于对称. （5）若函数满足，则函数关于对称. 三、函数周期性的重要结论 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 四、函数周期性、奇偶性、对称性的重要技巧 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 题型01 函数的单调性及其应用 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数在上单调递增； 对于B，函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 对于C，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增； 对于D，因为函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 2．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 3．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数， 当时，单调递增，则， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， 当时，单调递增，， 故当时，，此时，，满足， 当时，，此时，， 满足， 当时，，此时可得， 解得， 综上可知，的解集为. 4．函数的单调递增区间是________. 【答案】 【详解】由，得或． 函数的定义域为． 令，其图象开口向上且对称轴方程为，且在上为减函数， 而函数是定义域内的减函数， 函数的单调递增区间是． 5．函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 当时，函数在上单调递减； 当时，函数无单调性； 当时，函数在上单调递增， 由函数在区间上是减函数，得，且， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 1. 判定单调性（定义法唯一核心） ① 设：任取定义域，且； ② 拆：将按抽象函数运算形式拆分（加法型拆，乘法型拆）； ③ 作差/作商：求（常用）或（适用于恒正/恒负函数）； ④ 定号：结合已知条件判断差/商的符号，得出单调性。 2. 单调性应用 - 求最值：闭区间上单调函数的最值在区间端点取到； - 求范围：利用单调性将函数值大小转化为自变量大小，结合定义域求解。 3.关键注意 拆分时需贴合抽象函数的运算形式，避免无意义变形。 题型02 函数的奇偶性及其应用 1．若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 2．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】寻找图象中函数的性质，代入函数式验证. 【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负， 对于A：, ，满足，A正确； 对于B：，不满足，B错误； 对于C：，不满足，C错误； 对于D：， ，不满足，D错误； 故选：A. 3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．曲线在处的切线过点 C．函数有5个零点 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用奇函数性质推导时解析式，需代入并取负，即根据的表达式将自变量替换为后再整体取负，从而可判断A选项的表达式是否正确；B选项通过求导得切线斜率，验证切线是否过定点；C选项结合导数分析正区间单调性及零点存在性，由奇函数对称性得总零点个数；D选项分离参数后构造函数求最值，转化为恒成立问题. 【详解】对于A，当时，， ，A选项错误； 对于B，当时，， 又在处的切线方程为， 令，则，切线过点，B选项正确： 对于C，由可知，在上单减，上单增， 当时，，又 在上有且仅有2个零点， 又是定义在上的奇函数，在上有且仅有2个零点， 又，所以函数在上有5个零点，C选项正确； 对于D，当时，由，得， 设，则， 容易得到当时，取得最小值选项正确， 故选：BCD 4．已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为_____． 【答案】 【分析】由偶函数的性质求解. 【详解】对，则， 所以， 又由为偶函数，得， 所以. 故答案为：. 5．已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 1. 判定奇偶性（赋值法核心，3步走） ① 验定义域：定义域关于原点对称是前提，不对称直接非奇非偶； ② 求：定义域含0时，令赋值，绝大多数情况（奇函数）或常数（偶函数）； ③ 证关系：令替换原式，联立的结果，推与的关系（偶函数，奇函数）。 2. 奇偶性应用 - 转化函数式：将转化为，消去负号（如偶函数/奇函数）； - 求特殊值：利用，由已知值求对称值（如已知，奇函数得）。 3.关键注意 无时（定义域不含0），直接令推导即可，勿强行求。 题型03 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 1．定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 2．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，所以， 即. 3．已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】构造函数，利用导数判断在上的单调性，再由为偶函数，得为奇函数，从而判断出在上的单调性，再结合选项逐一判断即可. 【详解】解：当时，，即， 所以， 构造函数，则， ∴当时，单调递减，又由题意可得是偶函数， ∴是奇函数，则当时，也单调递减． 对于A，∵，∴，∴， 即，∴，故A正确； 对于B，∵，∴，∴，即，可得，故B错误； 对于C，∵，，即，∴， 即，∴，故C错误； 对于D，∵，， ， ，即，∴，故D正确． 故选:AD． 4．设是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】因为是偶函数，化简，，．再利用在上单调递增，得解 【详解】因为是偶函数， 所以， ， ． 因为， ，所以． 因为在上单调递增， 所以． 所以． 故选：AC 5．已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 【答案】 【分析】先根据函数为偶函数求得并验证，判断函数在时的单调性，比较自变量的大小利用单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因是上的偶函数，故，即， 解得，此时，满足，故， 当时，是增函数. 又，则，，， 因，则，即. 故答案为：. 1.核心考点：结合奇偶性将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较解题技巧（四步标准化） ①去负号：利用奇偶性，将所有自变量的负号消去（如偶函数/奇函数）； ②定区间：判断转化后所有自变量是否在同一单调区间内； ③比大小：比较单调区间内自变量的大小； ④推函数值：根据单调性，将自变量大小转化为函数值大小（增函数：自变量大→函数值大；减函数相反）。2.关键注意 若有绝对值，优先用偶函数性质转化（），绝对值可直接将自变量转化到非负区间。 题型04 利用函数的单调性与奇偶性解抽象不等式 1．已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 2．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导得出在上单调递增．由奇偶性定义可知为上的奇函数． 解法1：原不等式可化为，因此求解即可. 解法2： 函数的图象关于点（1，-2）对称，原不等式可化为，求解即可； 【详解】设，则， 当且仅当时取等，因此在上单调递增． 可知为上的奇函数． 解法1：因为，所以． 原不等式可化为，即． 由于在上单调递增，因此，解得， 故选：B． 解法2： 又因为，所以函数的图象关于点（1，-2）对称， 且在上单调递增，． 原不等式可化为，解得， 故选：B． 3．已知函数是奇函数，且，则（    ） A． B． C．在R上单调递增 D．若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项. 【详解】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 4．已知函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 5．已知函数则的解集是___________________． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 1.核心考点：抽象不等式的核心是去符号，唯一依据是单调性，奇偶性为辅助转化 ①移项：将不等式变形为的标准形式（一边一个，无其他常数/项）； ②去负号：利用奇偶性消去中的负号，转化为（偶函数优先用此方法，简化计算）； ③定单调：明确在对应区间的单调性（核心，无单调性无法去）； ④去符号：根据单调性转化为自变量不等式（增：；减：），带绝对值直接保留（如）； ⑤验定义域：添加均在函数定义域内的限制条件，联立求解最终解集。 2.关键注意 定义域验证是必做步骤，忽略会导致漏解/错解，此为高频易错点。 题型05 函数的周期性及其应用 1．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 2．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（   ） A．50 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数性质和给定的对称关系推导出周期为4的结论；再计算一个周期内各整数点的函数值，并得出周期和为零的结果；最后利用周期性和余项求和得出所求总和. 【详解】由题意，是定义在上的奇函数， 有 又，令替换得： 则所以是周期为的周期函数， 计算一个周期内的值：， ，， 一个周期和， 因为， 所以. 3．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和周期性可得答案. 【详解】由是定义在上的偶函数，得； 由是定义在上周期为2的函数， 所以， 又因为， 所以， 故. 4．已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点． 【答案】9 【详解】为上的奇函数，所以，因为函数周期为1， 所以， 又由，且， 可得，即函数关于中心对称，则， 所以函数在区间内至少有9个零点． 5．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 【答案】 【详解】，由知的周期为2，又是偶函数， 所以， 当时，， 所以． 1. 判定周期性（抓特征式，直接定周期） 已知抽象函数恒等式，变形为形式，直接得周期，核心特征式： - →周期； - /→周期； - →周期。 2. 周期性应用 核心：大自变量化小，利用周期，将转化为（），使落在已知函数值/性质的区间内，再求解。 3.关键注意 周期性判定需恒等变形，确保等式两边仅为和，无其他项。 题型06 函数的对称性及其应用 1．已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 2．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出函数的周期和对称性，再化简的值，最后利用指数函数的性质即可求出. 【详解】，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 3．设是定义在上的奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，， 则. 故选：A 4．设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 【答案】1 【分析】根据题意可知在函数的图象上，又根据对称性可知也在函数图象上，代入函数解析式可解得的值，从而得解. 【详解】由题可知点在函数的图象上， 设关于对称中心对称的点为， 则，得， 所以点也在函数图象上， 则， 解得. 故答案为：1 5．在平面直角坐标系中，已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线对称.若，则的值为_____. 【答案】 【分析】依题意反复利用已知的两种对称性可求出当时的解析式，代入计算可得结果. 【详解】由函数的图象关于点中心对称，可得对于，都有； 又因为函数的图象关于直线对称， 易知点关于直线对称的点坐标为， 所以函数的图象关于点中心对称，即对于，都有； 因此可得，也即； 由且关于直线对称， 可得当时，，即可得； 又因为，易知当时，，此时； 所以. 故答案为： 1. 判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 2. 对称性应用 - 求函数值：利用对称性，由求对称点的函数值（如与关于对称，则）； - 转化函数式：将自变量转化到对称区间，结合其他性质求解。 3.关键注意 轴对称是函数值相等，中心对称是函数值和为定值，勿混淆特征式。 题型07 函数的对称性与周期性综合 1．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 2．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 3．已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D．若，则在区间上的零点之和为0 【答案】BC 【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 也即， 当时，成立， 当时，， 又函数是定义在上的偶函数， 所以，故A错误； 对于B，， 由，所以函数的周期为6， 所以，故B正确； 对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数， 由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确； 对于D，令，则或， 此时在区间有一个零点， 因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，， 所以， 此时， 所以在区间共有个零点分别为， 此时，故D不正确. 4．已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据推出的图象关于点对称，根据推出的图象关于直线对称，进而推导出函数的周期，结合函数的周期性及对称性求出、的值，进而求出的值. 【详解】选项A：由得，，则的图象关于直线对称，故A正确. 选项B：由得，，则的图象关于点对称， 又的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称， 由，可得，，即， 所以，即的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确. 选项C：由B知，的图象关于点对称，所以， 又，所以，又的周期为4，所以， 又，所以，， 则，. 当时，，所以，解得， 所以，故C错误. 选项D：因为的周期为4， 所以，故D正确. 5．已知定义在上的奇函数关于对称，当时，，则________． 【答案】 【分析】利用在上是奇函数且关于对称，求出的周期，利用周期得到，利用得到，利用时，，求出，从而得解. 【详解】在上是奇函数， ， 关于对称， ， ， ， ， 是以为周期的周期函数， ， ， ， ， 当时，， ， . 故答案为： 1. 核心推导：对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 2. 综合应用步骤 ① 由已知对称性，推导周期； ② 先利用周期性将大自变量化小，再利用对称性转化到已知区间； ③ 结合已知条件求函数值/解不等式。 3.关键注意 推导周期时，需严格按特征式变形，结论可直接记忆，节省解题时间。 题型08 抽象函数的性质 1．定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【详解】令，则，化简得，又，，故A正确， 令，，化简得，又，，故B正确， 令，则，化简得，故为奇函数，故C错误. 令，则，化简得， 又，， 再令，则， 又为偶函数，，又为奇函数，， 故化简得， ，解得，故D正确. 2．已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值，判断A，令，判断函数的奇偶性；设，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，从而判断C，根据，利用作差法，结合函数的性质，判断D. 【详解】A.令，，再令，得，得，故A正确； B.令，得，，得，所以函数是奇函数，故B错误； C.设，为偶函数，原式两边同时除以， 得，即， 当时，，则， 在中，令，，得， 其中，，则，所以当时，，即当时，， 当时，，，故C正确； D. 由得，且为奇函数，所以为偶函数， 由，可知，当时，，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减，结合C可知此时均有, 设，， 因为，且，所以，， 所以，所以在上单调递增，故D正确. 3．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 4．若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．是偶函数 D．当时， 【答案】BCD 【分析】利用赋值法计算可判断A，B；令可得，根据偶函数定义计算可判断C；利用赋值法结合C可得，分，及三种情况讨论可判断D. 【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B， 令，得， 因为，所以，即， 所以当时，成立， 故，，故B正确； 对于C，令，得， 即，所以， 故函数是定义在上的奇函数， 令， 因为， 所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确； 对于D，令，得， 当时，有， 当时，有， 由C可知，函数是定义在上的奇函数， 所以当时，有， 所以， 当时，由A可知， ，，即， 此时成立， 当时，， 同理，当时，成立， 所以当时，成立，故D正确. 5．已知函数 满足 ，，且，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】根据赋值法即可判断出选项A，B；根据赋值法求出解析式，代入解不等式即可得到选项C；通过构造函数结合函数单调性得到与5的大小，进而得到与的大小，即可判断选项D. 【详解】令，，则，即， 因为，所以，则，故A正确； 令，，则，所以， 又，所以 0，故B错误； 令，得，即，所以， 由，得 ，即， 两边平方并整理得，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 令，则，所以在上单调递减， 又，，所以，所以 ， 取，得，所以， 又在上单调递减，所以，故 正确. 故选：ACD. 1. 判定顺序：先定义域→再奇偶性→再单调性→最后周期性/对称性（奇偶性是基础，为单调性/周期性推导铺垫）； 2. 赋值原则：定向赋值，结合目标（求定奇偶，设定单调，令定周期），不盲目试值； 3. 性质联立：判定多性质时，前一个性质的结论作为后一个性质的已知条件（如先判定奇函数，再用辅助判定单调性）； 4. 性质逆用：由已知性质反推抽象函数恒等式（如已知是周期为2的奇函数，可推）。 5.关键注意 所有性质判定的前提是定义域，先验证定义域，再进行后续推导。 题型09 原函数与导数的对称性综合 1．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解． 【详解】因为为奇函数、则，则， 可知的图象关于点对称、可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数且定义域为R，则，可得， 可知的周期为4，所以，． 所以． 故选：C． 2．已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，根据求导运算，利用赋值法，可得答案； 对于②，取关于已知对称中心的两个点，代入函数解析式建立方程组，整理等式，结合题意，可得答案； 对于③，根据求导运算，结合题目中的等式，可得答案； 对于④，根据等式可得函数的对称性，结合对称性可得点的坐标，可得等差数列，可得答案. 【详解】对于①，由等式，两边求导可得， 则，令，则，解得，故①错误； 对于②，取点在函数的图象上， 易知点关于的对称点为，假设该点也在函数的图象上， 可得，消去可得， 整理可得，故②正确； 对于③，由等式，两边求导可得， 则，显然与题意不符，故③错误； 对于④，由等式，可得函数的对称中心为， 由等式，可得函数的对称中心为， 点关于的对称点为也是对称中心，点关于的对称点为也是对称中心， 归纳可得函数图象的对称中心为， 当时，，成立； 假设当时，成立； 当时， ， 由数学归纳法，则， 所以函数图象的对称点为，则， 易知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，故④正确. 故选：B. 3．已知定义在R上的函数可导，的导数为，若是奇函数，且，则（  ） A． B． C．的图象关于点（2，0）中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，然后由赋值法可判断选项正误；对于B，由两边求导结合赋值可得，由经整理并等式两边求导结合赋值可得，据此可判断选项正误；对于C，由B分析可得，据此可判断选项正误；对于D，由B分析可得的一个周期为6，由此可得，然后由赋值法结合可判断选项正误. 【详解】对于A，因为奇函数，则，令， 则，故A正确； 对于B，由A分析，， 令，可得. ， 令，可得， 又，则，故B正确； 对于C，由B分析可得，则的图象关于点中心对称，故C错误； 对于D，由B分析，， ，则， 即，可得，两式相减可得， 则的一个周期为6，则. 由，令，得，故D正确. 故选：ABD 4．已知是定义在上的可导函数，其中为其导数，，若满足，关于点对称，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．为的一条对称轴 D． 【答案】BCD 【分析】根据关于点对称，可得，将代入即可判断A；根据，利用累加法可判断B；通过证明即可判断C；根据得，可得函数周期为，即可判断D. 【详解】因为关于点对称， 则， 取，则，故A错误； 因为，， 所以，，，， 累加可得， 所以，故B正确； 由得， 两端求导得，即， 所以图象关于直线对称，即为的一条对称轴，故C正确； 由得， 所以函数的周期为， 故，所以，故D正确. 5．已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合函数的对称性、周期性以及利用导数法则求导，通过已知条件找出和的周期性，再利用赋值对选项逐个判断即可. 【详解】由，则①，又②， ①②得③，则④， 则④③可得，即， 故是周期为的函数，则， 由的图象关于直线对称，则⑤， 由③，故可得， 所以，故A正确； 由⑤可得，即， 由③可得，可得，故B错误； 由②可得，又， 则两式相减可得，即有， 则可得，即，故C正确； 由，则，又，则， 由，则，又，则， 由，则，又，则，则， 由，则， 由，则，则， 则， 由，则是周期为的函数， 故， 故选：AC. 一、核心互推结论（必记，无需重复推导） 1. 轴对称互推：若的对称轴为，则的对称中心为；反之亦然； 2. 中心对称互推：若的对称中心为，则的对称轴为；反之亦然； 3. 特殊情况： - 是偶函数（对称）→是奇函数（对称）； - 是奇函数（对称）→是偶函数（对称）。 二、综合应用步骤 1. 找关联：根据已知条件，确定是原函数推导数还是导数推原函数的对称性； 2. 用结论：直接利用上述结论，得到另一函数的对称性质； 3. 结合单调性：由导数的符号确定原函数的单调性，由导数的对称性确定原函数的对称性； 4. 综合求解：结合原函数的对称+单调，求最值/解不等式/求函数值。 三、关键注意 导数的对称性仅反映原函数的单调性变化规律，原函数的对称中心纵坐标对导数对称性无影响（导数仅关注）。 1．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 【答案】B 【详解】，故函数的周期为6， ， 又是定义在上的奇函数， ，即，故，， 又当时，， ， 故. 2．奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解. 【详解】令，当时，，则在上单调递增， 又因分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则由可知函数为奇函数，故在上单调递增， 又因，则， 则由和的单调性可得或. 故不等式的解集是，A正确. 3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 4．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 5．函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项求出对应后，检验是否满足即可得. 【详解】对A：若，则， 由，故A错误； 对B：若，则， 则， ， 即满足，故B正确； 对C：若，则， 由，故C错误； 对D：若，则， 由，故D错误. 6．函数在定义域内可导，若，且，若，，，则a，b，c的大小关系正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由得，则函数关于对称， 当时，由得，函数单调递减； 当时，由得，函数单调递增. 又，，，故. 7．已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】AC 【详解】令，得，所以，A正确. 令，得，，所以， 所以为非奇非偶函数，B错误. 设，则，因为当时，，所以， 又因为， 所以，所以在单调递增 ，C正确. 令，得， 令，得， 所以是的一个解，所以的解集不是，D错误. 8．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，为偶函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据奇偶性可得，，联立解得，结合二次函数的图像与性质依次分析选项即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以，即， 联立，解得：， 对于A，，故A错误； 对于B，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为为开口向下，对称轴为的二次函数，所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，由可得：，即函数的最大值为1，故D正确. 9．已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D． 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以，， 所以，故D正确； 10．已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 11．函数是R上的单调函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为增函数，所以只能是R上的增函数， 所以，解得． 12．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可. 【详解】根据题意，因为函数满足，所以函数的对称轴为直线， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 由得，等价于或， 解得或，所以不等式的解集为. 13．已知函数，则关于t的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】，得， 故为定义在上的奇函数. 所以可写为， 即，根据奇函数易得. 函数的导数为， 而，所以， 故函数在上单调递增，故不等式的解集等价于的解集，解得. 14．已知函数，函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，且. (1)求实数的值； (2)求在实数集上的解析式； (3)若是偶函数，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数奇偶性结合题目条件可求解； （2）利用函数奇偶性定义求解； （3）由偶函数定义并化简求解. 【详解】（1）因为是上的奇函数且， ， 则，又时，， 则，等式两边同时取以为底的对数， 所以，所以； （2）由（1）知时，， 又为奇函数，定义域为，得， 设，则，所以， 因为为奇函数，所以， 综上，； （3）已知是偶函数，则， 所以， 即，即， 即，所以. 15．已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． (1)设函数，求证是周期函数并求的最大值； (2)给定，证明：对，，使得； (3)若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 【答案】(1)证明见解析；最大值为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，得到的周期为，推得，证得是周期函数，设，得到，令，得到，得到在或或或时，取得最大值，结合赋值法，即可求解. （2）根据函数的周期性，不妨设，得到，分，和，三种情况讨论，分别得证得，即可得证； （3）当时，由（1）知，函数；当时，证得，使得恒成立，进而得到，即可求解. 【详解】（1）由，可得函数是偶函数，其图像关于轴对称， 又因为，即，可得的图像关于点对称， 由，可得， 则，所以函数的周期为， 对于函数， 可得， 因为函数的周期为，所以， 所以， 所以函数是周期函数，且周期为， 要考虑函数的最大值，不妨设， 可得， 由函数在区间内上单调递减，可得， 所以令，则， 又因为， 所以或，即或， 所以在或或或时，取得最大值， 因为，可得且， 所以， ， 所以的最大值为. （2）由（1）知，函数是周期为4的偶函数，且的图像关于对称， 且在上单调递减，则在上单调递增， 所以是的最小值， 根据函数的周期性，不妨设，显然的长度， 若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当取时，满足； 若，则且， 当时，取，有； 当时，取，有； 同理可证，当时，，使得， 综上可得，对任意，存在，使得. （3）当时，由（1）知，函数， 当时，下面证明：，使得成立， 令，则，此时恒成立， 由（2）知，，使得， 所以，存在， 使得成立，所以， 综上可得，实数的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $