专题01 抛体运动（期中知识清单）高一物理下学期教科版

专题01 抛体运动 考点要求 课标要求 曲线运动 · 理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。 小船过河、关联速度 · 会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。 运动的合成与分解 · 理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。 平抛运动 · 掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。 平抛运动中的临界极值 · 会处理平抛运动中的临界、极值问题。 斜抛运动 · 学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 高考对物体做曲线运动的条件考查较少，主要考查运动的合成与分解在实际情境中的应用，也可能结合其他知识进行定性考查，如带电粒子在电场中的偏转等，还可能在计算题中考查运动的合成与分解的方法.预计高考可能会出现结合生产生活情境，考查物体做曲线运动的条件和运动的合成与分解的选择题. 抛体运动与斜面或弧面相关的试题经常考查，平抛运动的临界和极值问题也是高考的热点，多以选择题形式出现，难度不大.预计年高考可能会出现以体育运动、生产生活等实际情境命制的试题，以选择题形式出现的可能较大，也可能作为计算题第1题出现，作为计算题考查时难度相对较小. 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 1.速度方向与运动轨迹相切； 2.合力方向指向曲线的“凹”侧； 3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 平抛运动的规律应用 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 曲线运动　运动的合成与分解 一、曲线运动 1．速度方向 质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的 切线　方向。 2．运动性质 做曲线运动的物体，速度的 方向　时刻改变，故曲线运动一定是 变速　运动，即必然具有加速度。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的 加速度　方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受 合外力　的方向跟速度方向不在同一条直线上。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知 分运动　求合运动。 (2)运动的分解：已知 合运动　求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循 平行四边形定则　。 3．运动分解的原则 根据运动的 效果　分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的 时间　相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 相互独立　，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 效果　。 5．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 6．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 小船渡河问题 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 绳(杆)端的关联速度问题 1．此类问题绳或杆的特点 绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝ vAcos θ vAcos θ ＝v0 vAcos β＝vBcos α vBsin α＝vAcos α 平抛运动基本规律的应用 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 斜抛运动 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【考点题型一】曲线运动 1．（2025高二上·福建泉州·学业考试）如图，当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向是图中的（　　） A．1方向 B．2方向 C．3方向 D．4方向 2．（25-26高一下·宁夏银川·开学考试）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）2026年1月6日上午，航空工业试飞跑道上，一架接近量产标准的歼-35技术验证机伴随着引擎轰鸣腾空而起，圆满完成2026年度“新年第一飞”，这一亮相标志着我国歼-35五代舰载机的量产进程全面提速。已知该战机在某次测试中沿曲线MN加速爬升，图为战机在轨迹上P点的受力分析示意图。战机在P点时所受合力的方向可能是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经M、N、P、Q位置时的速度v和所受合力F，方向如图所示，其中可能正确的是（　　） A．M位置 B．N位置 C．P位置 D．Q位置 5．（25-26高一上·河南洛阳·期末）在庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵（9.3阅兵）式上，歼-20家族以多机编队形式飞越天安门广场上空，接受祖国和人民检阅。由歼-16D、歼-20、歼-20A、歼-20S、歼-35A组成的歼击机梯队编成两个楔队震撼亮相，展示了中国空军隐身战斗机家族的最新发展成果。如图所示，虚线ab是歼-20从水平地面起飞过程中的部分曲线轨迹，关于此过程下列说法正确的是（　　） A．研究歼-20姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．歼-20从a到b飞行过程中的速度时刻在变化 C．歼-20从a到b飞行过程中所受合力沿轨迹的切线方向 D．歼-20从a到b起飞过程中，飞行员处于失重状态 【考点题型二】小船过河 6．（25-26高一下·天津河北·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过60m宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移也为最短 B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 C．该龙舟渡河所用时间最少为12s D．该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s。假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（　　） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为200m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为200m D．无论水速多大，小船过河的最短时间都是50s 8．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）如图所示，某段河流的两岸彼此平行，河水中各处的水流速度均匀且稳定。现有一只小船，其在静水中的航行速度大小为；若小船以与上游河岸成的方向从A处出发渡河，经过一段时间后，恰好能抵达正对岸的B处。则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为6m/s B．河的宽度为240m C．小船渡河的最短时间为40s D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游 9．（25-26高一下·河南开封·开学考试）由于河床底部沉积状态不同形成了不同流速的两个区域，如图所示。河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，t=0时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。则下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从A点运动到B点 B．小船以最短时间过河经历的路程为 C．小船从A点运动到B点的最短路程为 D．小船的最短过河时间为 10．（25-26高三上·安徽亳州·期末）由于强降雨，每年的夏季是长江、淮河等流域的防汛关键期。如图所示，在汛情期间某条河流在C处有一漩涡，漩涡与平直河岸相切于B点，漩涡的半径为r，在漩涡上游河岸有一点A，，漩涡外水流速度大小恒为v，为使小船从A点出发后以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C．v D． 【考点题型三】关联速度 11．（2026·云南昆明·二模）如图所示，工人将长为的杆状货物从货箱里取出时，用机械装置控制着货物的端沿着竖直的箱壁匀速上升，同时货物的端在箱底的水平面上向左滑行。下列说法正确的是（　　） A．端向左加速滑行 B．端向左先加速滑行后减速滑行 C．时端向左滑行的速度最大 D．当端距离货箱左壁时，两端的速度大小之比为 12．（25-26高一上·湖北武汉·月考）曲柄连杆结构是发动机的主要运动结构，其用途是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，同时将作用于活塞上的力转变为曲轴对外输出的转矩，以驱动汽车车轮转动。其结构简化示意图如图所示，曲轴可绕固定的点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的点和活塞上的点。若曲轴绕点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．活塞在水平方向做匀加速直线运动 B．当与共线时，点的速度比点的速度大 C．当与垂直时，若与水平方向夹角为，则 D．当与垂直时，点与点的速度大小相等 13．（25-26高一下·云南昭通·开学考试）如图3所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，当时细杆A端的速度大小为，则B端的速度大小为（　　） A．3m/s B． C． D． 14．（25-26高二上·贵州遵义·月考）物理学中二连杆是一个经典的模型，其基本结构由两根刚性的杆件AB、BC组成。如图，A、B、C处分别装有三个可活动的铰链，且A处铰链固定在地面上，C处铰链连接在一个可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻AB杆与BC杆垂直，BC杆与水平面成37°角，则下列说法正确的是（　　） A．此时B位置处铰链的速度大小为 B．此时B位置处铰链的速度大小为 C．此时B位置处铰链的速度方向竖直向下 D．此时B位置处速度满足关系 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【考点题型四】平抛运动 16．（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 17．（2026·山东日照·一模）如图所示，在倾角为的斜面底端正上方高度H处，以初速度水平向右抛出一小球，最终落在斜面上。已知重力加速度为g，，不计空气阻力。下列说法中正确的是（    ） A．若，小球平抛运动的位移最小 B．若，小球将垂直打在斜面上 C．若，小球落到斜面上的速度最小 D．小球落到斜面上的最小速度为 18．（25-26高三下·河南开封·月考）滑板运动员在倾角的斜面轨道上练习起跳动作，某次起跳时速度大小，速度方向与斜面的夹角，不计空气阻力，重力加速度（已知，）。则运动员腾空过程中离开斜面的最大距离为（    ） A．1.0m B．1.44m C．2.0m D．2.56m 19．（25-26高一下·黑龙江大庆·月考）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为，高为，现有一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的水平方向位移大小 20．（2026·河北石家庄·一模）如图所示，在离地面高度为处先后水平向右抛出两小球和与地面碰撞瞬间水平速度不变，竖直速度大小不变、方向反向，运动过程中不考虑空气阻力，两小球的运动轨迹交点到地面的高度为，则水平抛出小球和的初速度大小之比为（　　） A．3：5 B．1：3 C． D． 【考点题型五】平抛运动的临界极值问题 21．（25-26高三上·河北保定·期末）在网球训练中，发球机从距地面1.3m高的位置水平发射一球，刚好能越过前方6.0m处竖直挡网，如图所示。已知挡网高约为0.9m，网球飞出后做平抛运动，取。球被击出时的水平初速度大小约为（　　） A．6m/s B．12m/s C．14m/s D．22m/s 22．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 24．（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 25．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，P为弹射装置，倾角的足够长斜面固定在水平面上，其上放有长的薄板（厚度忽略不计），薄板上端点与斜面顶端对齐。弹射装置将一滑块以速度水平弹出，滑块恰好从点沿斜面方向滑上薄板，薄板下端底部有一挡板，滑块与挡板碰撞时，滑块和薄板速度交换。已知薄板与斜面的动摩擦因数，与滑块的动摩擦因数，薄板和滑块的质量均为，滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小，求 (1)弹射装置离斜面顶端的竖直高度； (2)滑块落到薄板上后运动的加速度大小为，薄板运动的加速度大小为； (3)滑块第一次运动至挡板时到斜面顶端的距离； (4)滑块滑上薄板后薄板运动的总路程。 【考点题型六】斜抛运动 26．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点。若两次网球从抛出到撞墙的时间分别为t1、t2，撞墙时的速度大小分别为v1、v2，不计空气阻力，则（　　） A．t1>t2 B．v1<v2 C．网球两次运动的速度变化量相同 D．两次打出网球时沿轨迹1的初速度较小 27．（25-26高一上·湖北武汉·月考）如图所示，斜面上点有一抛射装置（图中未画出，高度忽略不计），先后两次抛射相同的小球。第一次以速度大小为水平击中点，第二次以速度大小为垂直于斜面击中点。已知间的距离为，斜面倾角为，小球先后两次落在点的时间分别为、，速度变化量、，先后两次抛出离斜面最远距离分别为、，不计一切阻力，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）将物体（视为质点）沿与水平方向成45°角的方向斜向上抛出，物体在空中的射高为11.25m，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．物体从抛出到最高点的过程用时1.5s B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小为 C．物体在最高点速度的大小为 D．物体到抛出点等高处的水平射程为45m 29．（2026·河南信阳·一模）一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以的速度以一定投射角从离地高度处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接经过篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为。重力加速度，忽略空气阻力，则（　　） A．篮球从投出到进入篮筐的时间为 B．篮球最高点速度大小为 C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离 D．投射角的正切值 30．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示是真实情况下足球飞行轨迹“弹道曲线”和理想情况下抛物线的对比。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点。假定空气阻力大小恒定，忽略空气对足球的浮力，下列说法正确的是（　　） A．足球到达b点时速度最小 B．足球经过a点时的加速度大于经过c点时的加速度 C．足球经过a点时的速率等于经过c点时的速率 D．足球由a点运动到b点的时间等于由b点运动到c点的时间 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 抛体运动 考点要求 课标要求 曲线运动 · 理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。 小船过河、关联速度 · 会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。 运动的合成与分解 · 理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。 平抛运动 · 掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。 平抛运动中的临界极值 · 会处理平抛运动中的临界、极值问题。 斜抛运动 · 学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 高考对物体做曲线运动的条件考查较少，主要考查运动的合成与分解在实际情境中的应用，也可能结合其他知识进行定性考查，如带电粒子在电场中的偏转等，还可能在计算题中考查运动的合成与分解的方法.预计高考可能会出现结合生产生活情境，考查物体做曲线运动的条件和运动的合成与分解的选择题. 抛体运动与斜面或弧面相关的试题经常考查，平抛运动的临界和极值问题也是高考的热点，多以选择题形式出现，难度不大.预计年高考可能会出现以体育运动、生产生活等实际情境命制的试题，以选择题形式出现的可能较大，也可能作为计算题第1题出现，作为计算题考查时难度相对较小. 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 1.速度方向与运动轨迹相切； 2.合力方向指向曲线的“凹”侧； 3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 平抛运动的规律应用 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 曲线运动　运动的合成与分解 一、曲线运动 1．速度方向 质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的 切线　方向。 2．运动性质 做曲线运动的物体，速度的 方向　时刻改变，故曲线运动一定是 变速　运动，即必然具有加速度。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的 加速度　方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受 合外力　的方向跟速度方向不在同一条直线上。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知 分运动　求合运动。 (2)运动的分解：已知 合运动　求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循 平行四边形定则　。 3．运动分解的原则 根据运动的 效果　分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的 时间　相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 相互独立　，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 效果　。 5．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 6．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 小船渡河问题 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 绳(杆)端的关联速度问题 1．此类问题绳或杆的特点 绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝ vAcos θ vAcos θ ＝v0 vAcos β＝vBcos α vBsin α＝vAcos α 平抛运动基本规律的应用 1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4.规律 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 斜抛运动 1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3.研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4.基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【考点题型一】曲线运动 1．（2025高二上·福建泉州·学业考试）如图，当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向是图中的（　　） A．1方向 B．2方向 C．3方向 D．4方向 【答案】B 【详解】当秋千从高处荡到图示位置时，秋千座椅的速度方向沿切线方向，与半径方向垂直，所以秋千座椅的速度方向是图中的2方向。 故选B。 2．（25-26高一下·宁夏银川·开学考试）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“嫦娥号”探月卫星从点运动到，做曲线运动，速度逐渐减小，故合力指向凹侧，且合力与速度的方向的夹角要大于，故ABC错误，D正确。 故选D。 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）2026年1月6日上午，航空工业试飞跑道上，一架接近量产标准的歼-35技术验证机伴随着引擎轰鸣腾空而起，圆满完成2026年度“新年第一飞”，这一亮相标志着我国歼-35五代舰载机的量产进程全面提速。已知该战机在某次测试中沿曲线MN加速爬升，图为战机在轨迹上P点的受力分析示意图。战机在P点时所受合力的方向可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】战机做曲线运动，合力的方向指向运动轨迹的凹侧，其中、指向曲线凹侧；战机沿曲线MN加速爬升，则合力方向与运动方向的夹角为锐角，其中与运动方向的夹角为锐角。 故选A。 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）一只可视为质点的蜜蜂沿弯曲轨迹做匀速率运动，蜜蜂在途经M、N、P、Q位置时的速度v和所受合力F，方向如图所示，其中可能正确的是（　　） A．M位置 B．N位置 C．P位置 D．Q位置 【答案】B 【详解】AD．做曲线运动的物体合外力不为0，且合外力与速度方向不共线，故AD错误； BC．做曲线运动的物体速度方向沿轨迹的切线方向，受力方向指向轨迹的里侧（轨迹的凹面侧），故B正确，C错误。 故选B。 5．（25-26高一上·河南洛阳·期末）在庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵（9.3阅兵）式上，歼-20家族以多机编队形式飞越天安门广场上空，接受祖国和人民检阅。由歼-16D、歼-20、歼-20A、歼-20S、歼-35A组成的歼击机梯队编成两个楔队震撼亮相，展示了中国空军隐身战斗机家族的最新发展成果。如图所示，虚线ab是歼-20从水平地面起飞过程中的部分曲线轨迹，关于此过程下列说法正确的是（　　） A．研究歼-20姿态调整时可以把战斗机看成质点 B．歼-20从a到b飞行过程中的速度时刻在变化 C．歼-20从a到b飞行过程中所受合力沿轨迹的切线方向 D．歼-20从a到b起飞过程中，飞行员处于失重状态 【答案】B 【详解】A．研究歼-20姿态调整时，战斗机的形状大小不能忽略不计，不可以把战斗机看成质点，A错误； B．歼-20从a到b飞行过程中，速度的方向不断变化，则速度时刻在变化，B正确； C．歼-20从a到b飞行过程中做曲线运动，则所受合力指向轨迹的凹向，C错误； D．歼-20从a到b起飞过程中，加速度有竖直向上的分量，则飞行员处于超重状态，D错误。 故选B。 【考点题型二】小船过河 6．（25-26高一下·天津河北·月考）端午赛龙舟是中华民族的传统，若某龙舟在比赛前划向比赛点的途中要渡过60m宽两岸平直的河，龙舟在静水中划行的速率为，河水的流速，下列说法中正确的是（　　） A．该龙舟以最短时间渡河通过的位移也为最短 B．该龙舟渡河时船头垂直河岸，若水速突然变大，则渡河时间会变长 C．该龙舟渡河所用时间最少为12s D．该龙舟不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 【答案】C 【详解】A．最短时间渡河时船头垂直河岸，此时沿河岸方向会被水流冲向下游，根据矢量合成法则可知，合位移大于河宽60m，因此最短时间对应的位移不是最短，故A错误； B．船头垂直河岸时，渡河时间 仅由河宽和船在静水中的速率决定，与水速无关，水速变大时渡河时间不变，故B错误； C．当船头垂直河岸时渡河时间最短，此时，故C正确； D．由于船在静水中的速率（5m/s）大于水速（4m/s），可将船速分解，使其沿河岸方向的分量与水速等大反向，从而抵消水流影响，合速度垂直河岸，因此能沿垂直河岸的航线抵达对岸，故D错误。 故选C。 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为3m/s。假设小船从P点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的是（　　） A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为200m B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为200m D．无论水速多大，小船过河的最短时间都是50s 【答案】D 【详解】A．已知河宽，船在静水中速度，原水流速度，若想以最短时间过河，则船头垂直河岸，最短时间 船会随水流向下游漂移，沿水流位移 合位移，故A错误； B．​，最小位移为河宽，此时垂直河岸的分速度 渡河时间，故B错误； C．水流速度增大到后，此时船在静水中的速度小于水流速度，小船无法抵消水流速度的影响，无法垂直河岸过河，小船以最短位移过河时小船轨迹是向下游的，所以此时小船的位移大于河宽，故C错误； D．水速只影响沿河岸的运动，不改变垂直河岸的速度，因此无论水速多大，最短时间都是，故D正确。 故选D。 8．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）如图所示，某段河流的两岸彼此平行，河水中各处的水流速度均匀且稳定。现有一只小船，其在静水中的航行速度大小为；若小船以与上游河岸成的方向从A处出发渡河，经过一段时间后，恰好能抵达正对岸的B处。则下列说法中正确的是（　　） A．河中水流速度为6m/s B．河的宽度为240m C．小船渡河的最短时间为40s D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游 【答案】AC 【详解】A．小船垂直渡河，由平行四边形定则，故A正确； B．由小船在垂直河岸方向做匀速直线运动可知，河宽为，故B错误； C．小船船头指向正对岸时，渡河时间最短，最短时间为，故C正确； D．小船以最短的时间渡河时，到达河对岸时被冲向下游，故D错误。 故选AC。 9．（25-26高一下·河南开封·开学考试）由于河床底部沉积状态不同形成了不同流速的两个区域，如图所示。河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，t=0时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。则下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从A点运动到B点 B．小船以最短时间过河经历的路程为 C．小船从A点运动到B点的最短路程为 D．小船的最短过河时间为 【答案】C 【详解】A．由于 可知，沿河岸的分速度能够恰好与大小相等，方向相反，此时小船的合速度方向垂直于河岸，即小船在区域Ⅰ能够从A点垂直于河岸运动。由于 可知，沿河岸的分速度大小小于，此时小船的合速度方向不可能垂直于河岸，即小船在区域Ⅱ不能够垂直于河岸运动，即小船不能够沿直线从A点运动到B点，故A错误； D．当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知，故D错误； B．结合上述可知，小船以最短时间过河时，船在区域Ⅰ、Ⅱ内沿河岸的分位移分别为， 则小船以最短时间过河经历的路程 解得 故B错误； C．若小船能够从A点运动到B点，令船头指向与河岸夹角为，则小船在区域Ⅰ运动到河岸中间（虚线）位置进入区域Ⅱ的合速度方向一定指向B点，根据速度合成规律，利用辅助圆，作出动态三角形，如图所示 当的方向与合速度方向垂直时，运动路程最短，根据几何关系有 解得 则 解得，故C正确。 故选C。 10．（25-26高三上·安徽亳州·期末）由于强降雨，每年的夏季是长江、淮河等流域的防汛关键期。如图所示，在汛情期间某条河流在C处有一漩涡，漩涡与平直河岸相切于B点，漩涡的半径为r，在漩涡上游河岸有一点A，，漩涡外水流速度大小恒为v，为使小船从A点出发后以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C．v D． 【答案】A 【详解】如下图所示，当小船相对地面的速度恰好与漩涡边界相切，且小船在静水中的速度与其相对地面的速度垂直时，小船在静水中的速度最小 设小船相对地面的速度与水流速度v的夹角为，由几何关系有 故选A。 【考点题型三】关联速度 11．（2026·云南昆明·二模）如图所示，工人将长为的杆状货物从货箱里取出时，用机械装置控制着货物的端沿着竖直的箱壁匀速上升，同时货物的端在箱底的水平面上向左滑行。下列说法正确的是（　　） A．端向左加速滑行 B．端向左先加速滑行后减速滑行 C．时端向左滑行的速度最大 D．当端距离货箱左壁时，两端的速度大小之比为 【答案】A 【详解】根据沿杆方向的分速度大小相等可得 解得 减小的过程中，一直增大，B端向左加速滑行。当端距离货箱左壁时 两端的速度大小之比为 故选A。 12．（25-26高一上·湖北武汉·月考）曲柄连杆结构是发动机的主要运动结构，其用途是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，同时将作用于活塞上的力转变为曲轴对外输出的转矩，以驱动汽车车轮转动。其结构简化示意图如图所示，曲轴可绕固定的点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的点和活塞上的点。若曲轴绕点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．活塞在水平方向做匀加速直线运动 B．当与共线时，点的速度比点的速度大 C．当与垂直时，若与水平方向夹角为，则 D．当与垂直时，点与点的速度大小相等 【答案】D 【详解】A．活塞的运动由曲柄的匀速圆周运动转化而来，其加速度随位置周期性变化，并非恒定的匀加速直线运动，故A错误。 B．当与共线时，在沿杆方向的分量为零，此时点速度为零，点的速度比点的速度大，故B错误； C．设点的线速度大小为，当与垂直时，设与水平方向的夹角为，则，故C错误； D．当与垂直时，设与水平方向的夹角为，则，即，故D正确； 故选D。 13．（25-26高一下·云南昭通·开学考试）如图3所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，当时细杆A端的速度大小为，则B端的速度大小为（　　） A．3m/s B． C． D． 【答案】A 【详解】当细杆与水平面间夹角为时，细杆A端与B端的速度沿杆方向的分速度相等，可得 解得 故选A。 14．（25-26高二上·贵州遵义·月考）物理学中二连杆是一个经典的模型，其基本结构由两根刚性的杆件AB、BC组成。如图，A、B、C处分别装有三个可活动的铰链，且A处铰链固定在地面上，C处铰链连接在一个可移动的木块上。木块沿水平方向以的速度向右匀速运动，某时刻AB杆与BC杆垂直，BC杆与水平面成37°角，则下列说法正确的是（　　） A．此时B位置处铰链的速度大小为 B．此时B位置处铰链的速度大小为 C．此时B位置处铰链的速度方向竖直向下 D．此时B位置处速度满足关系 【答案】B 【详解】ABC．分析B点速度方向： AB杆绕固定铰链A转动，B点做圆周运动，因此B点速度方向一定垂直于AB杆。由题意，该时刻，因此B点速度方向平行于BC杆（沿BC向下）。 利用刚性杆沿杆分速度相等计算： 刚性杆长度不变，杆两端点沿杆方向的分速度大小相等：C点速度水平向右，将其沿BC杆方向分解，沿BC杆的分速度为 B点速度方向沿BC杆，因此B沿BC杆的分速度等于，即 根据沿杆分速度相等得： 代入， 得，因此A、C错误，B正确。 D．关系式是错误假设B速度竖直向下推导得到的，实际B速度方向沿BC杆不是竖直方向，该关系不成立，故D错误。 故选B。 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】BD 【详解】A．设轻杆与水平方向的夹角为θ，甲、乙两球的速度大小分别为和，将和分别沿杆和垂直杆方向分解，则有 由图可知时刻有 解得，故A错误； B．由受力分析可得，杆对乙球的作用先是推力，后是拉力，时刻乙球速率最大，即此时杆恰好对乙球无作用力，则时刻乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小，故B正确； C．时刻乙球速率最大，杆对乙球为推力，时刻杆对乙球推力为零，则杆对甲也是斜向左上的推力，对甲由牛顿第二定律有 则过程，甲球的加速度只能小于等于，故C错误； D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积即为该过程中甲、乙两球的位移，甲球的位移 乙球的位移 面积之比为，故D正确。 故选BD。 【考点题型四】平抛运动 16．（25-26高一下·湖北十堰·月考）如图所示，在地面上Q点正上方P点处以大小为的初速度斜向下抛出一个小球甲，与竖直方向夹角为，同时在Q点以大小为的初速度斜向上抛出一个小球乙，与水平方向的夹角，且。若两球速度大小相等时相遇，不计空气阻力，则P点离地面的高度h及夹角满足的条件正确的是（重力加速度为g）（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．甲球做斜下抛运动，乙球做斜上抛运动，要使两球在空中相遇，则水平方向速度相同，即 其中，得，故A错误，B正确； CD．两球速度大小相等时相遇，两球水平方向速度相同，根据速度合成可知两球的竖直方向速度大小相等，则有 距离关系为 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 17．（2026·山东日照·一模）如图所示，在倾角为的斜面底端正上方高度H处，以初速度水平向右抛出一小球，最终落在斜面上。已知重力加速度为g，，不计空气阻力。下列说法中正确的是（    ） A．若，小球平抛运动的位移最小 B．若，小球将垂直打在斜面上 C．若，小球落到斜面上的速度最小 D．小球落到斜面上的最小速度为 【答案】ABD 【详解】A．由于小球做平拋运动的位移最小，即小球做平拋运动的合位移垂直于斜面，根据平抛运动规律有， 又知，即， 联立解得，故A正确； B．小球做平拋运动， 小球垂直打到斜面上，小球落在斜面上时速度与竖直方向成，分解小球落在斜面上时的速度 根据几何关系有 联立解得，故B正确； D．小球落在斜面上时的竖直分速度 小球落在斜面上时的水平分速度 几何关系 小球落在斜面上时的合速度 又知，联立解得 根据数学知识可知，与的乘积一定，当二者相等时和有最小值，故 整理得 所以小球落到斜面上的最小速度，故D正确； C．小球做平拋运动， 几何关系 又知 联立解得，故时小球落到斜面上的速度最小，C错误。 故选ABD。 18．（25-26高三下·河南开封·月考）滑板运动员在倾角的斜面轨道上练习起跳动作，某次起跳时速度大小，速度方向与斜面的夹角，不计空气阻力，重力加速度（已知，）。则运动员腾空过程中离开斜面的最大距离为（    ） A．1.0m B．1.44m C．2.0m D．2.56m 【答案】B 【详解】由题意可知运动员水平跳出，在垂直斜面方向上的分速度为 沿着斜面方向上的分速度 垂直斜面方向上的分加速度为 沿着斜面方向上的分加速度为 离开斜面的距离最大时，有 解得 由运动学公式得 故选B。 19．（25-26高一下·黑龙江大庆·月考）如图，一光滑宽阔的斜面，倾角为，高为，现有一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹可能为圆弧 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的水平方向位移大小 【答案】BC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A错误； B．对小球受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得小球的加速度，故B正确； C．小球沿斜面方向上的位移为 结合匀变速直线运动规律可得 联立解得，故C正确； D．小球到达处的水平方向位移大小，故D错误。 故选BC。 20．（2026·河北石家庄·一模）如图所示，在离地面高度为处先后水平向右抛出两小球和与地面碰撞瞬间水平速度不变，竖直速度大小不变、方向反向，运动过程中不考虑空气阻力，两小球的运动轨迹交点到地面的高度为，则水平抛出小球和的初速度大小之比为（　　） A．3：5 B．1：3 C． D． 【答案】C 【详解】设A初速度为，B初速度为，重力加速度为。B直接从高度平抛到交点（高度），竖直方向下落距离为 由自由落体规律 解得 A先下落到地面，再竖直上抛到交点。下落到地面的时间满足 得 落地时竖直速度大小 竖直上抛到的时间，由竖直上抛位移公式 代入整理得 解得上升到的时间（取较小根，对应上升过程） 因此A总运动时间 两球从同一点抛出，交点水平位移相等，即 因此 故选C。 【考点题型五】平抛运动的临界极值问题 21．（25-26高三上·河北保定·期末）在网球训练中，发球机从距地面1.3m高的位置水平发射一球，刚好能越过前方6.0m处竖直挡网，如图所示。已知挡网高约为0.9m，网球飞出后做平抛运动，取。球被击出时的水平初速度大小约为（　　） A．6m/s B．12m/s C．14m/s D．22m/s 【答案】D 【详解】由平抛运动规律可知，网球水平方向做匀速直线运动 网球竖直方向做自由落体运动 解得 故选D。 22．（25-26高一上·辽宁本溪·期末）如图所示为等高等宽的台阶，、、、、均为台阶的边缘点。一同学将甲玻璃珠由最上面台阶的边缘点沿水平方向弹出，经过一段时间甲玻璃珠直接落在点；另一同学将乙玻璃珠由点沿水平方向弹出，乙玻璃珠也刚好直接落在点，不计空气阻力，两玻璃珠均视为质点，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到落至点，甲、乙两玻璃珠的运动时间之比为 B．甲、乙两玻璃珠弹出的初速度大小之比为 C．甲、乙两玻璃珠落在点时的竖直速度大小之比为 D．甲、乙两玻璃珠落在点时的速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．玻璃珠在竖直方向做自由落体运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的竖直位移之比为，则，故A错误； B．玻璃珠在水平方向做匀速直线运动，由得 而甲、乙两玻璃珠的水平位移之比为，则，故B错误； C．由得，故C正确； D．玻璃珠落在点时的速度大小，可得，故D错误。 故选C。 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 【答案】ABC 【详解】A．要让乒乓球能越过球网，则在乒乓球到达球网前下落的高度为 水平方向的位移 解得最小发射速率为，故A错误，符合题意； B．从抛出点到角C、D时水平位移最大，故最大水平位移为 当发射的速率等于时，有 可知发射的速率超过时，如果发球高度满足 则，即乒乓球有可能落在界内，故B错误，符合题意； C．设置好H后，存在乒乓球刚好过网和球刚好不出界的临界条件，由A分析可知，乒乓球刚好过网的速度为 球刚好不出界的速度为 设，解得 则当时，球落在JKCD区域，故C错误，符合题意； D．结合高度求出平抛运动的时间，可以发现调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射擦网而过后直接落到CD边上，球从发射到球网的时间和球从球网到CD边的时间相等，设为T，则H的高度满足 适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球，通过球网的位置仍然是水平方向的位移的中点，即仍然是T时刻通过球网，则只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的，故D正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选ABC。 24．（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2)3~4m/s (3) 【详解】（1）竖直方向有 解得 小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，有 可得小球到达斜面的速度大小 （2）竖直方向有 速度最小时 解得 当小球刚好落到第2块挡板最低处，有， 解得 可得从平台边缘飞出的速度取值范围为3~4m/s。 （3）竖直方向有 与挡板碰撞一次，速度最小时 解得 速度最大时 解得 因此速度取值范围为 25．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，P为弹射装置，倾角的足够长斜面固定在水平面上，其上放有长的薄板（厚度忽略不计），薄板上端点与斜面顶端对齐。弹射装置将一滑块以速度水平弹出，滑块恰好从点沿斜面方向滑上薄板，薄板下端底部有一挡板，滑块与挡板碰撞时，滑块和薄板速度交换。已知薄板与斜面的动摩擦因数，与滑块的动摩擦因数，薄板和滑块的质量均为，滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小，求 (1)弹射装置离斜面顶端的竖直高度； (2)滑块落到薄板上后运动的加速度大小为，薄板运动的加速度大小为； (3)滑块第一次运动至挡板时到斜面顶端的距离； (4)滑块滑上薄板后薄板运动的总路程。 【答案】(1)1.8m (2)2.5m/s2；1.25m/s2 (3)2.35m (4)15.46m 【详解】（1）滑块做平抛运动，恰能沿斜面方向滑上薄板，故在A点处竖直分速度满足vy=v0tan30° 由，代入 解得h=1.8m。 （2）滑块在薄板上滑动时，所受滑动摩擦力f2=μ2mgcos30° 解得f2=7.5N 此力大于重力沿斜面的分力mgsin30°=5N 对滑块应用牛顿第二定律，有f2-mgsin30°=ma1 解得a1=2.5m/s2 薄板受到滑块施加的摩擦力f2方向沿斜面向下，斜面施加的摩擦力 解得f1=11.25N，方向沿斜面向上； 对薄板有f2+mgsin30°-f1=ma2 解得a2=1.25m/s2 （3）滑块滑上薄板时的初速度 解得vA=12m/s 滑块匀减速，薄板匀加速，设经时间t1滑块与挡板相碰，相对位移满足 代入解得t1=0.2s 此时挡板距斜面顶端距离 代入数据解得：x1=2.35m （4）滑块与薄板碰前，滑块的速度 薄板的速度 碰撞瞬间滑块与薄板交换速度，碰后滑块速度v2=0.25m/s，薄板速度v1=11.5m/s 此后滑块加速度变为 方向沿斜面向下，薄板的加速度 方向向上；经分析滑块在从薄板上端滑出前未能与薄板共速，当滑块从上面再次滑出薄板时 解得（另一值舍掉） 其薄板运动位移 此时薄板的速度为 随后薄板在斜面上匀减速至停止， 下滑的位移 薄板的总路程s=x1+x2+x3 =15.46m。 【考点题型六】斜抛运动 26．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点。若两次网球从抛出到撞墙的时间分别为t1、t2，撞墙时的速度大小分别为v1、v2，不计空气阻力，则（　　） A．t1>t2 B．v1<v2 C．网球两次运动的速度变化量相同 D．两次打出网球时沿轨迹1的初速度较小 【答案】C 【详解】A．把网球的运动看成逆向的平抛运动，竖直方向有 由于高度相同，所以从打出到撞墙，1、2两轨迹的网球在空中运动的时间相等，即，故A错误； B．水平方向，由于沿1轨迹网球的水平位移较大，则沿1轨迹网球的水平分速度较大，即1轨迹网球击中墙时的速度较大，即，故B错误； C．速度变化量为 由于网球在空中运动的时间相等，则两次运动的速度变化量相同，故C正确； D．打出网球时的速度大小为 沿1轨迹网球的水平分速度较大，则沿1轨迹网球打出时的初速度比沿2轨迹打出时的初速度大，故D错误。 故选C。 27．（25-26高一上·湖北武汉·月考）如图所示，斜面上点有一抛射装置（图中未画出，高度忽略不计），先后两次抛射相同的小球。第一次以速度大小为水平击中点，第二次以速度大小为垂直于斜面击中点。已知间的距离为，斜面倾角为，小球先后两次落在点的时间分别为、，速度变化量、，先后两次抛出离斜面最远距离分别为、，不计一切阻力，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】ABC．第一次抛出如图所示 根据运动的分解可得， 联立解得， 第二次抛出，根据运动的分解可得， 联立解得， 因此，，，故A正确，BC错误； D．如图所示 第一次离斜面的最大高度，沿斜面方向和垂直斜面方向进行分解，则有 解得 第二次离斜面最大高度，则有 解得 因此，故D正确。 故选AD。 28．（25-26高一下·黑龙江双鸭山·开学考试）将物体（视为质点）沿与水平方向成45°角的方向斜向上抛出，物体在空中的射高为11.25m，不计空气阻力，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．物体从抛出到最高点的过程用时1.5s B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小为 C．物体在最高点速度的大小为 D．物体到抛出点等高处的水平射程为45m 【答案】AD 【详解】A．物体抛出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，根据 代入数据解得从抛出到最高点的过程用时，故A正确； B．抛出时物体在竖直方向的分速度大小，故B错误； C．物体在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小 物体在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度，故C错误； D．根据斜抛运动的对称性可知，到达抛出点等高处时，物体在空中的运动时间为，所以水平射程为，故D正确。 故选AD。 29．（2026·河南信阳·一模）一同学在操场练习定点投篮，他将篮球以的速度以一定投射角从离地高度处投出，篮球从篮筐上方斜向下直接经过篮筐的中心点无碰撞进入篮筐。篮球从投出到进入篮筐的过程中，上升时间与下降时间之比为，篮筐距离地面的高度为。重力加速度，忽略空气阻力，则（　　） A．篮球从投出到进入篮筐的时间为 B．篮球最高点速度大小为 C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离 D．投射角的正切值 【答案】C 【详解】A．设篮球投出到进筐过程中，上升时间为，下降时间为，由题意可得 其中 解得， 则篮球投出到进筐过程总时间故A错误； BD．抛出瞬间篮球速度的水平分量为 篮球速度的竖直分量为 解得，，， 篮球在水平方向做匀速运动，因此篮球最高点速度大小为，故BD错误； C．篮球抛出点到篮筐中心的水平距离满足，故C正确。 故选C。 30．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图所示是真实情况下足球飞行轨迹“弹道曲线”和理想情况下抛物线的对比。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点。假定空气阻力大小恒定，忽略空气对足球的浮力，下列说法正确的是（　　） A．足球到达b点时速度最小 B．足球经过a点时的加速度大于经过c点时的加速度 C．足球经过a点时的速率等于经过c点时的速率 D．足球由a点运动到b点的时间等于由b点运动到c点的时间 【答案】B 【详解】A．是弹道曲线最高点，此时竖直分速度为0，但仍有水平分速度，在上升阶段，竖直方向合力向下且大于重力，竖直分速度减小得比只受重力时更快，水平方向一直受阻力减速；在下落阶段，竖直方向合力向下但小于重力，竖直分速度增加得慢，水平方向仍受阻力继续减速，因此速率最小的点不是最高点，而是落地点附近，A错误； C．足球从a点到c点的过程，重力做功为零，阻力做负功，由动能定理可知，足球经过a点时的速度大于经过c点时的速度，C错误； B．足球经过a点与c点时受力分析如图 由足球在a点与竖直方向的夹角大于足球在c点时，由于阻力大小恒定，则根据牛顿第二定律可知， 可得，B正确； D．从a到b的过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力，由牛顿第二定律可得 解得 在从b到c的过程中，在竖直方向上，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力，由牛顿第二定律可得 解得 对比可得 即上升阶段的加速度总体比下降阶段的加速度大，根据 可定性确定，竖直位移相同，加速度越大，时间就越短，所以足球由a点运动到b点的时间小于由b点运动到c点的时间，D错误。 故选B。 学科网（北京）股份有限公1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $