专题02 万有引力定律（考点清单）-2024-2025学年高一物理下学期期中考点大串讲（教科版2019必修第二册）

专题02 万有引力定律 考点清单 考点1 开普勒定律的理解和应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　计算天体的质量与密度 考点4　天体运动的分析与计算 考点5　宇宙速度的理解与计算 考点6　人造地球卫星 考点7　相对论时空观的理解 考点8　牛顿力学的局限性 考点9　同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较 考点10　卫星变轨问题 考点11　双星问题 知识点一　开普勒定律 1．开普勒定律。 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处 在 的一个 上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在 内扫过的 相等 开普勒第三定律 所有行星轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比都相等 公式： ＝k，k是一个对所有行星都 的常量 2．行星运动的近似处理。 (1)行星绕太阳运动的轨道 圆，太阳处在 。 (2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的 大小不变，即行星 做 运动。 (3)所有行星 跟它的 的比值都相等，即＝k。 知识点二　行星与太阳间的引力 1．模型简化。 行星绕太阳的运动可以看作 运动，太阳对行星的引力提供了行星做 运动的向心力。 2．太阳对行星的引力。 F＝＝m·＝。 结合开普勒第三定律得：F∝ 。 3．行星对太阳的引力。 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝ 。 4．太阳与行星间的引力。 由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝ ，写成等式F＝ ，式中G为比例系数。 5．太阳与行星间的引力方向沿着二者的 。 知识点三　月—地检验 1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“ ”的规律。 2．检验方法： (1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a＝g。 (2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a＝ 。 (3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于 。 3．结论：地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星间的引力，遵从相同的规律。 知识点四　万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 、与它们之间距离r的 成反比。 2．表达式：F＝ 。 3．万有引力的四个特性。 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 4．F＝G的理解。 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 (4)对G值的理解： ①引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 ②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。 ③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力。 知识点五　引力常量 1．测量者： 。 2．数值：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 知识点六　“称量”地球的质量 1．合理假设：不考虑地球自转。 2．“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝ 。 3．结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。 知识点七　计算天体质量 1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝ 。 2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。 3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝ 。 知识点八　发现未知天体　预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现。 英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现。 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了 、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归。 英国天文学家哈雷依据 ，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为 年。 知识点九　宇宙速度 1．第一宇宙速度。 (1)物体绕地球的速度推导：物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，有G＝m，由此解出v＝ (m地为地球质量，r为物体做圆周运动的轨道半径)。 (2)数值：已知地球的质量，近似用地球半径R代替卫星到地心的距离r，得v＝＝ ，这就是卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。 2．第二宇宙速度。 当飞行器的速度等于或大于 时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把 叫作第二宇宙速度。 3．第三宇宙速度。 在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于 ，这个速度叫作第三宇宙速度。 知识点十　相对论时空观 1．爱因斯坦假设。 (1)在不同的 参考系中，物理规律的形式都是 的。 (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是 的。 2．时间和空间的相对性。 (1)时间延缓效应。 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝ 。 由于物体的速度不可能达到光速，所以1－＜1，总有Δt Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 (2)长度收缩效应。 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝ 。 由于1－<1，所以总有l l0，此种情况称为长度收缩效应。 3．相对论时空观。 Δt＝和l＝l0表明运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的 有关。它所反映的时空观称作相对论时空观。 知识点十一　牛顿力学的成就与局限性 1．牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，都服从 的规律。 2．牛顿力学的局限性。 (1)微观世界：电子、质子、中子等微观粒子，它们不 仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。 (2)牛顿力学只适用于 运动，不适用于 运动。 考点1 开普勒定律的理解和应用 1．从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。 2．对速度大小的认识： (1)行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，近日点速度最大，远日点速度最小。 (2)描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化并阐明了速度大小变化的数量关系。 3．对周期长短的认识：行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。 开普勒定律的应用 1．行星运动的近似处理。 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心，行星绕太阳做匀速圆周运动。 2．开普勒第二定律的应用。 行星在近日点和远日点时，速度方向与连线垂直，若行星在近日点和远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，行星与太阳的连线扫过的面积，可看作三角形，由开普勒第二定律有vaΔta＝vbΔtb，所以＝，即速率与行星到太阳的距离成反比。 3．开普勒第三定律的应用。 (1)行星绕中心天体做椭圆运动时，其周期与轨道半长轴的关系满足：＝k。 (2)行星绕中心天体做圆周运动时，其周期与轨道半径的关系满足：＝k。 (3)绕同一中心天体运动的行星，有的轨迹为椭圆，有的轨迹为圆，则满足：＝＝k。 例1．(多选)(2024年德阳外国语学校测试)如图是某行星绕太阳运行的椭圆轨道示意图，下列说法正确的是(　　) A．太阳处在椭圆轨道的一个焦点上 B．图中行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 C．对于任意一个行星，在近日点的速率小于在远日点的速率 D．行星绕太阳运行轨道半长轴越长，行星运行周期越短 例2.如图所示，某行星绕太阳逆时针运动，轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则行星(　　) A．从b到d的时间tbd＝ B．从a到c的时间tac＝ C．从d经a到b的运动时间tab大于从b经c到d的时间tbd D．从a到b的时间tab＞ 开普勒行星运动定律的三点注意 (1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律。 (2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。 (3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的星体，k值相等，即＝＝k。 开普勒定律应用的两点说明 (1)行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而相等时间内扫过的面积与连线的长度(行星到太阳的距离)及行星的速度大小有关，行星到太阳的距离越大，行星的速度越小，反之越大。 (2)如果将椭圆轨道近似按圆轨道处理，那么开普勒第三定律中椭圆的半长轴即近似为圆的半径。 变式1．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为(　　) 行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 公转周期/年 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5 A．1．2亿千米　 B．2.3亿千米 C．4．6亿千米　 D．6.9亿千米 考点2　万有引力和重力的关系 1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G。 2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。 (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 4．重力、重力加速度与高度的关系： (1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝。 例3．设地球表面重力加速度为g0，地球半径为R，物体在距地面2R处，由于地球引力作用而受到的重力加速度为g，则为(　　) A．1 B． C．4 D． 处理万有引力与重力关系的思路 (1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G。 (2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝G； 赤道处：mg＋F向＝G。 变式2．(2024年遂宁二中期中)设宇宙中有一自转角速度为ω，半径为R、质量分布均匀的小行星．在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1；在赤道处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是(　　) A．g2＝g1　 B．F＝mg1 C．F＝mω2R　 D．F＝mω2R 考点3　计算天体的质量与密度 1．天体质量的计算。 (1)重力加速度法。 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法。 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算。 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度： 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度： 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 例4．设“天问一号”距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为(　　) A．　 B． C．　 D． 求解天体质量和密度时的两种常见误区 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 变式3．2020年11月24日，为进一步获取月球的相关数据，我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是(　　) A． B． C． D． 考点4　天体运动的分析与计算 1．一个模型。 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路。 (1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝G，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 3．四个重要结论。 设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大。 (4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。 例5.火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　) 中国行星探测Mars A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为∶ C．角速度大小之比为2∶3 D．向心加速度大小之比为9∶4 解决天体运动问题的关键 (1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 (2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 (3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。 变式4.天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 考点5　宇宙速度的理解与计算 1．宇宙速度。 (1)三个宇宙速度v1、v2、v3。 (2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。 (3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。 2．第一宇宙速度的推导。 (1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s2)，则 (2)其他星球的第一宇宙速度： ①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝或v＝，式中G为引力常量，M星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。 ②第一宇宙速度之值由中心星球决定。 3．对发射速度和环绕速度的理解。 (1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。 (2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。 例6.我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　) A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 处理有关三个宇宙速度的问题时，关键要理解和把握以下两点： (1)发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。近地卫星可认为v发＝v运，其他较高的卫星则有v发>v运。 (2)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度；当16.7 km/s>v≥11.2 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”；当v≥16.7 km/s时，卫星挣脱太阳的引力，逃到太阳系以外的宇宙空间。 变式5.2020年11月24日我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥五号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为(　　) A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s 考点6　人造地球卫星 1．人造地球卫星轨道特点。 (1)卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (2)卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。 (3)卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，可以通过两极上空(极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。 2．地球同步卫星。 (1)地球同步卫星：位于地球赤道上空，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫作同步通信卫星。 (2)地球同步通信卫星的特点： 特点 内容 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量) 向心加速度大小一定 an＝0.23 m/s2 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面 例7．(2024年广州华师附中期中)2023年5月17日，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功发射第五十六颗“北斗”导航卫星，该卫星为地球同步卫星．已知地球半径为R，地球的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．该卫星可以经过华附上空 B．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度 C．地球的第一宇宙速度为v＝ D．该卫星在运行过程中加速度时刻变化 解决同步卫星问题的技巧 (1)同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。 (2)同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。 变式6.(多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(　　) A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 考点7　相对论时空观的理解 1．狭义相对论的两个假设 1905年，爱因斯坦提出了两条基本假设(狭义相对论的基础)。 (1)相对性原理。 物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。 (2)光速不变原理。 在一切惯性参考系中，测得的真空中的光速c都相同。 ①时间延缓效应：如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人，观察与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，那么地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，有Δt＝，c为真空中的光速，总有Δt>Δτ。　 理解：a．对同一物理过程经历的时间，在不同的惯性系中观测，测得的结果不同，时间延缓效应是一种观测效应，不是被测过程的节奏变化了。b．惯性系速度越大，地面上的人观测到的时间越长。c．由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中发生的物理事件，总会感到时间延缓效应。即惯性系中的人观测地面上发生的事件的时间也延缓。 ②长度收缩效应：如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，有l＝l0，总有l＜l0。 理解：a．长度收缩效应也是一种观测效应，不是物体本身发生了收缩。b．在垂直于运动方向上，物体不会发生收缩效应。c．由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中沿杆方向的长度，总有长度收缩效应。即在静止惯性系中的人观测运动的杆，沿杆运动方向的长度发生收缩。 例8.如图所示，a、b、c为三个完全相同的时钟，a放在水平地面上，b、c分别放在以速度vb、vc向同一方向飞行的两枚火箭上，且vb<vc，则地面的观察者认为走得最慢的钟为(　　) A．a　 B．b　　　　 C．c　 D．无法确定 应用相对论的两个效应分析问题的注意点 (1)时间延缓效应是一种观测效应，不是时钟走快了或走慢了，也不是被观测过程的节奏变化了。 (2)长度收缩效应也是一种观测效应，并不是物体本身发生了收缩，另外在垂直于运动方向上不发生长度收缩效应。 (3)在两个惯性参考系中的观测者(相对高速运动)都会发现对方存在时间延缓效应和长度收缩效应。 变式7.一枚静止时长度为20 m的火箭以3 km/s的速度从观察者的身边掠过，观察者测得火箭的长度应为多少？火箭上的人测得火箭的长度应为多少？如果火箭的速度为光速的一半呢？ 考点8　牛顿力学的局限性 经典力学与相对论、量子力学的比较 (1)区别： ①经典力学适用于低速运动的物体；相对论是爱因斯坦假设阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律。 ②经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律。 (2)联系： ①当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别。 ②当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别。 ③相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形。 例9．(多选)(2023年惠州质检)下列运动中，能用牛顿力学规律描述的是(　　) A．小孩用力抛出的石块在空中的运动 B．“和谐号”从深圳向广州飞驰 C．人造卫星绕地球运动 D．粒子接近光速运动 变式8．关于牛顿力学的适用范围和局限性，下列说法正确的是(　　) A．牛顿力学过时了，应该被量子力学所取代 B．由于超音速飞机的速度太大，其运动不能用牛顿力学来解释 C．人造卫星的运动不适合用牛顿力学来描述 D．当物体的速度接近光速时，其运动规律不适合用牛顿力学来描述 考点9　同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较 1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。 2．不同点： (1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。 (2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。 (3)向心加速度：由G＝ma知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由a＝rω2＝r知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。 (4)向心力：同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即G＝m；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G≠。 例10.(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星的线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星的线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面的高度不计，同步卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，则以下结论正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 变式9．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　) A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3 C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2 考点10　卫星变轨问题 1．变轨问题概述。 2．稳定运行。 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝m。 3．变轨运行。 当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况： (1)当卫星的速度突然增大时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时减小了。 (2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时增大了。 卫星变轨原理图如图所示。 例11.2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌发射场用“长征五号”运载火箭成功发射，一步实现火星探测器的“绕、着、巡”。假设该火星探测器探测火星时，经历如图所示的变轨过程。关于该探测器的下列说法正确的是(　　) A．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度小于经过Q点时的速度 B．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于在轨道Ⅲ上运动时经过P点时的速度 C．探测器在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于探测器在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于探测器在轨道Ⅱ上经过P点时的速度 变轨问题相关物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。 (4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。 变式10．(多选)如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器 (　　) A．相对于变轨前运行周期变长 B．变轨后可能沿轨道3运动 C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等 D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等 考点11　双星问题 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 G＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的“公转”周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为： r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导)。 (1)轨道半径：r1＝L，r2＝L。 (2)星体质量：m1＝，m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 例12.(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积　　　　　　 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 变式11．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为＝ D．必有一颗恒星的质量为 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．木星半长轴的立方与公转周期平方之比等于火星半长轴的立方与公转周期平方之比 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 2．(多选)(2024年德阳外国语学校测试)如图是某行星绕太阳运行的椭圆轨道示意图，下列说法正确的是(　　) A．太阳处在椭圆轨道的一个焦点上 B．图中行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 C．对于任意一个行星，在近日点的速率小于在远日点的速率 D．行星绕太阳运行轨道半长轴越长，行星运行周期越短 3．1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月—地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律．那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月—地检验”，需要验证(　　) A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 4．中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征．如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°.经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 5．(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则(　　) A．vb＝va B．vb＝va C．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间　 D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上 6．如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　　) A．天　　B．天　　C．1天　　D．9天 7．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　) A．海王星的运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球的运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比 B．海王星在Q点的角速度大于P点的角速度 C．从P到M所用时间小于T0 D．从P到Q阶段，速率逐渐变小 8．理论研究表明，任意一星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2＝v1.已知某星球的半径为地球半径的一半，其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度的.地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度约为(　　) A．2．8 km/s　 B．3.95 km/s C．5．59 km/s　 D．15.8 km/s 9．“嫦娥四号”是人类历史上首次在月球背面软着陆的勘测器．假定测得月球表面物体自由落体的加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转的周期为T，引力常量为G.根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了，月球质量M为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 10．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量的量可以有(已知引力常量为G)(　　) A．木星绕太阳公转的周期和轨道半径 B．木星绕太阳公转的周期和环绕速度 C．卫星绕木星公转的周期和木星的半径 D．卫星绕木星公转的周期和轨道半径 11．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，登陆舱的质量为m2，则(　　) A．该星球的质量为M＝ B．该星球表面的重力加速度为g1＝ C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动时的速度大小之比为＝ D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 12．有两只对准的标准钟，一只留在地面上，另一只放在高速飞行的飞船上，则下列说法正确的是(　　) A．飞船上的人看到自己的钟比地面上的钟走得慢 B．地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟走得慢 C．地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟走得快 D．因为是两只对准的标准钟，所以两钟走时快慢相同 13．(2023年中山二中月考)在高速行进的火车车厢中点位置的闪光灯发一次闪光向周围传播，闪光到达车厢后壁时，一只小猫在车厢后端出生，闪光到达车厢前壁时，两只小鸡在车厢前端出生．则(　　) A．在火车上的人看来，一只小猫先出生 B．在火车上的人看来，两只小鸡先出生 C．在地面上的人看来，一只小猫先出生 D．在地面上的人看来，两只小鸡先出生 14．如图所示，一颗科学实验卫星绕地球运行的轨道半径比地球同步卫星的轨道半径小，则该科学实验卫星绕地球运行的周期(　　) A．等于24小时 B．等于地球同步卫星的周期 C．小于地球同步卫星的周期 D．大于地球同步卫星的周期 15．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动．经P点时，启动推进器短时间内向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道．则飞行器(　　) A．变轨后将沿轨道2运动 B．相对于变轨前运行周期变长 C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等 D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等 16．假设在宇宙中存在这样三个天体A、B、C，它们在一条直线上，天体A和天体B的高度为某值时，天体A和天体B就会以相同的角速度共同绕天体C运转，且天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，如图所示．则以下说法正确的是(　　) A．天体A做圆周运动的加速度小于天体B做圆周运动的加速度 B．天体A做圆周运动的线速度小于天体B做圆周运动的线速度 C．天体B做圆周运动的向心力大于天体C对它的万有引力 D．天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力 17．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是(　　) A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1 18．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。 19．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。 (1)卫星B的运行周期是多少？ (2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？ 20．(2023年珠海学业质检)一探测器在某个球形行星的近地轨道上绕行星做匀速圆周运动，绕行两圈所需的时间为t.在行星表面用弹簧测力计测量质量为m的物体的重力，弹簧测力计示数为F.已知引力常量为G，不计行星自转的影响，球形行星的体积公式为V＝πR3(其中R为行星的半径且未知)，求： (1)该行星的平均密度； (2)行星的半径． 21．(2024年衡阳一中期中)航天员站在某一质量分布均匀的星球表面用频闪相机拍摄做平抛运动的小球，得到如图所示的照片，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示．已知频闪相机频闪周期为T，每个小方格的边长为L，该星球半径为R，引力常量为G，不考虑星球的自转，忽略空气阻力，求： (1)小球做平抛运动的初速度v0以及该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的密度ρ； (3)该星球的第一宇宙速度v. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 万有引力定律 考点清单 考点1 开普勒定律的理解和应用 考点2 万有引力和重力的关系 考点3　计算天体的质量与密度 考点4　天体运动的分析与计算 考点5　宇宙速度的理解与计算 考点6　人造地球卫星 考点7　相对论时空观的理解 考点8　牛顿力学的局限性 考点9　同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较 考点10　卫星变轨问题 考点11　双星问题 知识点一　开普勒定律 1．开普勒定律。 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 公式：＝k，k是一个对所有行星都相同的常量 2．行星运动的近似处理。 (1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 (2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。 (3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。 知识点二　行星与太阳间的引力 1．模型简化。 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。 2．太阳对行星的引力。 F＝＝m·＝。 结合开普勒第三定律得：F∝。 3．行星对太阳的引力。 根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。 4．太阳与行星间的引力。 由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数。 5．太阳与行星间的引力方向沿着二者的连线。 知识点三　月—地检验 1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。 2．检验方法： (1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a＝g。 (2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a＝。 (3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于月球的向心加速度。 3．结论：地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，太阳与行星间的引力，遵从相同的规律。 知识点四　万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2．表达式：F＝G。 3．万有引力的四个特性。 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 4．F＝G的理解。 (1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 (4)对G值的理解： ①引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 ②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2。 ③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力。 知识点五　引力常量 1．测量者：卡文迪什。 2．数值：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。 知识点六　“称量”地球的质量 1．合理假设：不考虑地球自转。 2．“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。 3．结论：只要知道g、R的值，就可以算出地球的质量。 知识点七　计算天体质量 1．计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。 2．结论：只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r，就可以计算出太阳的质量。 3．计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝。 知识点八　发现未知天体　预言哈雷彗星回归 1．海王星的发现。 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。 2．其他天体的发现。 近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。 3．预言哈雷彗星回归。 英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。 知识点九　宇宙速度 1．第一宇宙速度。 (1)物体绕地球的速度推导：物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，有G＝m，由此解出v＝(m地为地球质量，r为物体做圆周运动的轨道半径)。 (2)数值：已知地球的质量，近似用地球半径R代替卫星到地心的距离r，得v＝＝7.9 km/s，这就是卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。 2．第二宇宙速度。 当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把11.2 km/s叫作第二宇宙速度。 3．第三宇宙速度。 在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。 知识点十　相对论时空观 1．爱因斯坦假设。 (1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。 (2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。 2．时间和空间的相对性。 (1)时间延缓效应。 如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝。 由于物体的速度不可能达到光速，所以1－＜1，总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。 (2)长度收缩效应。 如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。 由于1－<1，所以总有l<l0，此种情况称为长度收缩效应。 3．相对论时空观。 Δt＝和l＝l0表明运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关。它所反映的时空观称作相对论时空观。 知识点十一　牛顿力学的成就与局限性 1．牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，都服从牛顿力学的规律。 2．牛顿力学的局限性。 (1)微观世界：电子、质子、中子等微观粒子，它们不 仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。 (2)牛顿力学只适用于低速运动，不适用于高速运动。 考点1 开普勒定律的理解和应用 1．从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。 2．对速度大小的认识： (1)行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小，近日点速度最大，远日点速度最小。 (2)描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化并阐明了速度大小变化的数量关系。 3．对周期长短的认识：行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。 开普勒定律的应用 1．行星运动的近似处理。 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心，行星绕太阳做匀速圆周运动。 2．开普勒第二定律的应用。 行星在近日点和远日点时，速度方向与连线垂直，若行星在近日点和远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，行星与太阳的连线扫过的面积，可看作三角形，由开普勒第二定律有vaΔta＝vbΔtb，所以＝，即速率与行星到太阳的距离成反比。 3．开普勒第三定律的应用。 (1)行星绕中心天体做椭圆运动时，其周期与轨道半长轴的关系满足：＝k。 (2)行星绕中心天体做圆周运动时，其周期与轨道半径的关系满足：＝k。 (3)绕同一中心天体运动的行星，有的轨迹为椭圆，有的轨迹为圆，则满足：＝＝k。 例1．(多选)(2024年德阳外国语学校测试)如图是某行星绕太阳运行的椭圆轨道示意图，下列说法正确的是(　　) A．太阳处在椭圆轨道的一个焦点上 B．图中行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 C．对于任意一个行星，在近日点的速率小于在远日点的速率 D．行星绕太阳运行轨道半长轴越长，行星运行周期越短 答案AB　 解析 根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道均为椭圆，太阳处在椭圆轨道的一个焦点上，A正确；根据开普勒第二定律，某一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，B正确；根据开普勒第二定律，对于任意一个行星，在近日点的速率大于在远日点的速率，C错误；根据开普勒第三定律，距离太阳越远的行星，轨道的半长轴越大，所以运行周期越长，D错误． 例2.如图所示，某行星绕太阳逆时针运动，轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则行星(　　) A．从b到d的时间tbd＝ B．从a到c的时间tac＝ C．从d经a到b的运动时间tab大于从b经c到d的时间tbd D．从a到b的时间tab＞ 答案B　 解析 根据开普勒第二定律知，在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的，行星逆时针运动，从b到d行星与太阳的连线扫过的面积大于从d到b行星与太阳的连线扫过的面积，所以tbd>，tdb<，同理可知tac＝，则A、C错误，B正确；又因为从a到b行星与太阳的连线扫过的面积小于从b到c行星与太阳的连线扫过的面积，所以tab<，D错误。 开普勒行星运动定律的三点注意 (1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律，它们都是经验定律。 (2)开普勒第二定律与第三定律的区别：前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律，后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。 (3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的星体，k值相等，即＝＝k。 开普勒定律应用的两点说明 (1)行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而相等时间内扫过的面积与连线的长度(行星到太阳的距离)及行星的速度大小有关，行星到太阳的距离越大，行星的速度越小，反之越大。 (2)如果将椭圆轨道近似按圆轨道处理，那么开普勒第三定律中椭圆的半长轴即近似为圆的半径。 变式1．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间的平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为(　　) 行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 公转周期/年 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5 A．1．2亿千米　 B．2.3亿千米 C．4．6亿千米　 D．6.9亿千米 答案B　 解析由开普勒第三定律＝k，知＝，故r火＝r地＝2.3(亿千米). 考点2　万有引力和重力的关系 1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G。 2．万有引力有两个分力：除南北两极外，万有引力有两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体压地面的效果。 3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。 (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。 (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。 4．重力、重力加速度与高度的关系： (1)地球表面的重力约等于地球的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。 (2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg＝G，所以h高度处的重力加速度g＝。 例3．设地球表面重力加速度为g0，地球半径为R，物体在距地面2R处，由于地球引力作用而受到的重力加速度为g，则为(　　) A．1 B． C．4 D． 答案D　 解析 重力近似等于万有引力，在地球表面有mg0＝G，在距地面2R处有mg＝G。联立解得＝。 处理万有引力与重力关系的思路 (1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，mg＝G。 (2)若题目中需要考虑地球自转，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg＝G； 赤道处：mg＋F向＝G。 变式2．(2024年遂宁二中期中)设宇宙中有一自转角速度为ω，半径为R、质量分布均匀的小行星．在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1；在赤道处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是(　　) A．g2＝g1　 B．F＝mg1 C．F＝mω2R　 D．F＝mω2R 答案B　 解析设小行星的质量为M，则在极点有＝mg1，在赤道有＝mg2＋mω2R，由上述两个式子解得g1≠g2，A错误；对极点处物块受力分析，物块受重力和弹簧弹力，且二者合力为零，所以有F＝mg1，B正确；由之前的分析可知＝F，故根据题意有F＝F＋mω2R，解得F＝mω2R，C、D错误． 考点3　计算天体的质量与密度 1．天体质量的计算。 (1)重力加速度法。 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法。 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期 G＝mrω2 M＝ G＝mr M＝ 2．天体密度的计算。 (1)利用天体表面的重力加速度求天体密度： 由mg＝G和M＝ρ·，得ρ＝。 (2)利用天体的卫星求天体密度： 若已知中心天体的半径R，环绕天体的运转周期T，轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝。 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 例4．设“天问一号”距火星表面高度约为火星半径的n倍，其环绕周期为T，引力常量为G，则火星的密度为(　　) A．　 B． C．　 D． 答案B　 解析 当“天问一号”环绕火星做半径为r的圆周运动时，万有引力提供向心力，有G＝mr，又火星的质量为M＝ρ·πR3，轨道半径为r＝(n＋1)R，联立可得火星的密度为ρ＝，A、C、D错误，B正确． 求解天体质量和密度时的两种常见误区 (1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。 (2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。 变式3．2020年11月24日，为进一步获取月球的相关数据，我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是(　　) A． B． C． D． 答案 B　 解析 该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线转过的角度是θ(弧度)，所以该卫星的线速度、角速度分别为v＝，ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为M＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，故月球的密度ρ＝＝＝，故B正确。 考点4　天体运动的分析与计算 1．一个模型。 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动。 2．两条思路。 (1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。 (2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝G，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。该公式通常被称为黄金代换式。 3．四个重要结论。 设质量为m的行星或卫星绕另一质量为m天的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。 (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。 (3)由G＝mr得T＝2π，r越大，T越大。 (4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小。 例5.火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　) 中国行星探测Mars A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为∶ C．角速度大小之比为2∶3 D．向心加速度大小之比为9∶4 答案C　 解析 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳运行可视为做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错误；角速度大小之比为2∶3，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。 解决天体运动问题的关键 (1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。 (2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。 (3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化记忆和解题。 变式4.天文学家发现了一颗“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(　　) A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为 答案B　 解析 由公式G＝mr，可得r＝，由M＝ρV，得＝＝＝，A错，B对；由G＝ma得a＝G，则＝·＝＝＝，C、D错。 考点5　宇宙速度的理解与计算 1．宇宙速度。 (1)三个宇宙速度v1、v2、v3。 (2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。 (3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。 2．第一宇宙速度的推导。 (1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s2)，则 (2)其他星球的第一宇宙速度： ①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝或v＝，式中G为引力常量，M星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。 ②第一宇宙速度之值由中心星球决定。 3．对发射速度和环绕速度的理解。 (1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。 (2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。 例6.我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　) A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 答案A　 解析 火星探测器已经脱离地球的引力束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；由＝m，结合题给信息，可推出火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；由＝mg，结合题给信息，可得出火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误． 处理有关三个宇宙速度的问题时，关键要理解和把握以下两点： (1)发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。因此，第一宇宙速度又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。近地卫星可认为v发＝v运，其他较高的卫星则有v发>v运。 (2)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度；当16.7 km/s>v≥11.2 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”；当v≥16.7 km/s时，卫星挣脱太阳的引力，逃到太阳系以外的宇宙空间。 变式5.2020年11月24日我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥五号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为(　　) A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s 答案 B　 解析 星球的第一宇宙速度即为卫星围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。卫星所需的向心力由万有引力提供，G＝m，得v＝，又由＝、＝，故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，因此B项正确。 考点6　人造地球卫星 1．人造地球卫星轨道特点。 (1)卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律。 (2)卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心。 (3)卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，可以通过两极上空(极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度。 2．地球同步卫星。 (1)地球同步卫星：位于地球赤道上空，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫作同步通信卫星。 (2)地球同步通信卫星的特点： 特点 内容 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量) 向心加速度大小一定 an＝0.23 m/s2 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面 例7．(2024年广州华师附中期中)2023年5月17日，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功发射第五十六颗“北斗”导航卫星，该卫星为地球同步卫星．已知地球半径为R，地球的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．该卫星可以经过华附上空 B．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度 C．地球的第一宇宙速度为v＝ D．该卫星在运行过程中加速度时刻变化 答案 D　 解析 由于第56颗“北斗”导航卫星是地球静止轨道卫星，运行轨道与赤道平面共面，不可以经过处于广州的华附上空，A错误；卫星绕地球运动过程，由地球万有引力提供向心力，有＝，解得卫星的运行速度v＝，第一宇宙速度v1＝，随着轨道半径的增大，运行速度减小，故该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度，又由于第二宇宙速度大于第一宇宙速度，故该卫星的运行速度一定小于第二宇宙速度，B错误；赤道上相对于地球静止的物体随地球自转的线速度为v＝，远小于第一宇宙速度，C错误，卫星围绕地球做圆周运动，速度方向时刻变化，合力方向也时刻变化，加速度时刻变化．D正确． 解决同步卫星问题的技巧 (1)同步卫星与一般的卫星遵循同样的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中。 (2)同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面。 变式6.(多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(　　) A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 答案BD　 解析 由G＝m(R＋h)得卫星距地面的高度为h＝－R，选项A错误；第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，是卫星最大的环绕速度，选项B正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G，选项C错误；由G＝ma得卫星运行的向心加速度为a＝，由G＝mg得地球表面的重力加速度为g＝，选项D正确。 考点7　相对论时空观的理解 1．狭义相对论的两个假设 1905年，爱因斯坦提出了两条基本假设(狭义相对论的基础)。 (1)相对性原理。 物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。 (2)光速不变原理。 在一切惯性参考系中，测得的真空中的光速c都相同。 ①时间延缓效应：如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人，观察与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，那么地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，有Δt＝，c为真空中的光速，总有Δt>Δτ。　 理解：a．对同一物理过程经历的时间，在不同的惯性系中观测，测得的结果不同，时间延缓效应是一种观测效应，不是被测过程的节奏变化了。b．惯性系速度越大，地面上的人观测到的时间越长。c．由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中发生的物理事件，总会感到时间延缓效应。即惯性系中的人观测地面上发生的事件的时间也延缓。 ②长度收缩效应：如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，有l＝l0，总有l＜l0。 理解：a．长度收缩效应也是一种观测效应，不是物体本身发生了收缩。b．在垂直于运动方向上，物体不会发生收缩效应。c．由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中沿杆方向的长度，总有长度收缩效应。即在静止惯性系中的人观测运动的杆，沿杆运动方向的长度发生收缩。 例8.如图所示，a、b、c为三个完全相同的时钟，a放在水平地面上，b、c分别放在以速度vb、vc向同一方向飞行的两枚火箭上，且vb<vc，则地面的观察者认为走得最慢的钟为(　　) A．a　 B．b　　　　 C．c　 D．无法确定 答案C　 解析 根据公式Δt＝可知，相对于观察者的速度v越大，其上的时间进程越慢，由vc>vb>va，知c钟走得最慢． 应用相对论的两个效应分析问题的注意点 (1)时间延缓效应是一种观测效应，不是时钟走快了或走慢了，也不是被观测过程的节奏变化了。 (2)长度收缩效应也是一种观测效应，并不是物体本身发生了收缩，另外在垂直于运动方向上不发生长度收缩效应。 (3)在两个惯性参考系中的观测者(相对高速运动)都会发现对方存在时间延缓效应和长度收缩效应。 变式7.一枚静止时长度为20 m的火箭以3 km/s的速度从观察者的身边掠过，观察者测得火箭的长度应为多少？火箭上的人测得火箭的长度应为多少？如果火箭的速度为光速的一半呢？ 解析　由l＝l0可知v＝3 000 m/s＝c，l≈l0，即火箭上的人测得火箭长度也为l0，为20 m。 如果v＝c，则l＝l0＝17.32 m；地面上的人测得火箭长17.32 m，而火箭上的人测得火箭的长度为20 m。 考点8　牛顿力学的局限性 经典力学与相对论、量子力学的比较 (1)区别： ①经典力学适用于低速运动的物体；相对论是爱因斯坦假设阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律。 ②经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律。 (2)联系： ①当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别。 ②当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别。 ③相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形。 例9．(多选)(2023年惠州质检)下列运动中，能用牛顿力学规律描述的是(　　) A．小孩用力抛出的石块在空中的运动 B．“和谐号”从深圳向广州飞驰 C．人造卫星绕地球运动 D．粒子接近光速运动 答案ABC　 解析小孩用力抛出的石块在空中的运动，属于低速、宏观领域，能用牛顿力学规律描述，A正确；“和谐号”从深圳向广州飞驰，属于低速、宏观领域，能用牛顿力学规律描述，B正确；人造卫星绕地球运动，属于低速、宏观领域，能用牛顿力学规律描述，C正确；粒子接近光速运动，属于微观、高速领域，不能用牛顿力学描述，D错误． 变式8．关于牛顿力学的适用范围和局限性，下列说法正确的是(　　) A．牛顿力学过时了，应该被量子力学所取代 B．由于超音速飞机的速度太大，其运动不能用牛顿力学来解释 C．人造卫星的运动不适合用牛顿力学来描述 D．当物体的速度接近光速时，其运动规律不适合用牛顿力学来描述 答案D　 解析 牛顿力学没有过时，在低速宏观问题中仍然适用，故A错误；超音速飞机的速度远低于光速，其运动能用牛顿力学来解释，故B错误；人造卫星的运动速度远低于光速，适合用牛顿力学来描述，故C错误；当物体的速度接近光速时，其运动规律不适合用牛顿力学来描述，故D正确。 考点9　同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较 1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。 2．不同点： (1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。 (2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。 (3)向心加速度：由G＝ma知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由a＝rω2＝r知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。 (4)向心力：同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即G＝m；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G≠。 例10.(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星的线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星的线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面的高度不计，同步卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，则以下结论正确的是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案CD　 解析 地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，即ω1＝ω3，T1＝T3，比较速度用v＝ωr，比较加速度用a＝ω2r，同步卫星距地心的距离约为地球半径的7倍，则C正确；近地卫星与地球同步卫星都绕地球做圆周运动，所需向心力由万有引力提供，由公式a＝可得加速度a2∶a3＝49∶1，D正确；由公式v＝可得速度v2∶v3＝∶1，A、B错误。 变式9．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　) A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3 C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2 答案D　 解析 赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1<F2，F2>F3，加速度：a1<a3，a2＝g，a3＜a2；线速度：v1＝ω1R，v3＝ω3(R＋h)，其中ω1＝ω3，因此v1＜v3，而v2＞v3；角速度ω＝，故有ω1＝ω3＜ω2。 考点10　卫星变轨问题 1．变轨问题概述。 2．稳定运行。 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，即G＝m。 3．变轨运行。 当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况： (1)当卫星的速度突然增大时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时减小了。 (2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小。当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时增大了。 卫星变轨原理图如图所示。 例11.2020年7月23日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌发射场用“长征五号”运载火箭成功发射，一步实现火星探测器的“绕、着、巡”。假设该火星探测器探测火星时，经历如图所示的变轨过程。关于该探测器的下列说法正确的是(　　) A．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度小于经过Q点时的速度 B．探测器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于在轨道Ⅲ上运动时经过P点时的速度 C．探测器在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度大于探测器在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．探测器在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于探测器在轨道Ⅱ上经过P点时的速度 答案D　 解析 根据开普勒行星运动定律知探测器在椭圆轨道上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度，故A错误；探测器往低轨道运动需要减速，故探测器在轨道Ⅱ上运动时经过P点时的速度小于在轨道Ⅲ上运动时经过P点时的速度，在轨道Ⅰ上经过P时的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，故B错误，D正确；不管在哪个轨道上，探测器在P点受到的万有引力是相等的，所以加速度相等，故C错误。 变轨问题相关物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。 (4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。 变式10．(多选)如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器 (　　) A．相对于变轨前运行周期变长 B．变轨后可能沿轨道3运动 C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等 D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等 答案BD　 解析 由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，v减小，飞行器做圆周运动需要的向心力Fn＝m减小，小于在P点受到的万有引力G，则飞行器将开始做近心运动，轨道半径r减小。根据开普勒行星运动定律知，卫星轨道半径减小，则周期减小，A错；因为飞行器做近心运动，轨道半径减小，故可能沿轨道3运动，B对；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，故是减速过程，所以变轨前后经过P点的速度大小不相等，C错；飞行器在轨道P点都是由万有引力提供加速度，因此在同一点P，万有引力产生的加速度大小相等，D对。 考点11　双星问题 1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 2．特点： (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 G＝m1ωr1，＝m2ωr2。 (2)两颗星的“公转”周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为： r1＋r2＝L。 3．两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比。 4．几个基本结论(建议自行推导)。 (1)轨道半径：r1＝L，r2＝L。 (2)星体质量：m1＝，m2＝。 (3)周期：T＝2πL。 例12.(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积　　　　　　 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 答案 BC　 解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。 变式11．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是(　　) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为＝ D．必有一颗恒星的质量为 答案 BCD　 解析 对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C正确；由上式可得m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝，B正确。 1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．木星半长轴的立方与公转周期平方之比等于火星半长轴的立方与公转周期平方之比 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案C　 解析太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A错误；根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳运行速度的大小不是始终相等，离太阳较近点速度较大，较远点速度较小，B错误；根据开普勒第三定律可知，木星和火星均绕太阳运行，故木星与火星公转周期平方之比等于它们轨道半长轴立方之比，C正确；根据开普勒行星运动第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是不等于木星与太阳连线扫过的面积，D错误． 2．(多选)(2024年德阳外国语学校测试)如图是某行星绕太阳运行的椭圆轨道示意图，下列说法正确的是(　　) A．太阳处在椭圆轨道的一个焦点上 B．图中行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 C．对于任意一个行星，在近日点的速率小于在远日点的速率 D．行星绕太阳运行轨道半长轴越长，行星运行周期越短 答案AB　 解析根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道均为椭圆，太阳处在椭圆轨道的一个焦点上，A正确；根据开普勒第二定律，某一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，B正确；根据开普勒第二定律，对于任意一个行星，在近日点的速率大于在远日点的速率，C错误；根据开普勒第三定律，距离太阳越远的行星，轨道的半长轴越大，所以运行周期越长，D错误． 3．1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月—地检验”证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律．那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月—地检验”，需要验证(　　) A．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 答案D　 解析“月—地检验”是检验地球上的物体受到地球的引力与月球受到地球的引力是否是同一性质的力，在地球表面上G＝mg，在月球所在位置G＝m′a，可得＝＝，因此月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的，故选D. 4．中国天眼发现距地球17光年的地方有一颗“超级地球”，据科学家测算，这颗星球具有和地球一样的自转特征．如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为60°.经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的向心加速度为，则E位置的向心加速度为(　　) A．　 B．　 C．　 D． 答案A　 解析A位置的重力加速度由万有引力提供，得G＝mg，D位置万有引力提供重力加速度和向心加速度，有G＝mg′＋mω2R＝mg′＋m·g，则E位置的向心加速度an＝ω2R cos 60°＝ω2R＝g，A正确． 5．(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则(　　) A．vb＝va B．vb＝va C．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间　 D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上 答案BD　 解析 取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得a·va·Δt＝b·vb·Δt，得到vb＝va，故A错误，B正确；已知题图中的两个阴影部分的面积相等，那么它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。 6．如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　　) A．天　　B．天　　C．1天　　D．9天 答案C　 解析 由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故选项C正确。 7．(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　) A．海王星的运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球的运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比 B．海王星在Q点的角速度大于P点的角速度 C．从P到M所用时间小于T0 D．从P到Q阶段，速率逐渐变小 答案 CD　 解析 海王星运行围绕的中心天体是太阳，而月球运行围绕的中心天体是地球，中心天体不同，运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比就不同，故A错误；由开普勒第二定律和角速度的定义ω＝知，海王星在Q点的角速度小于P点的角速度，故B错误；海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以海王星从P到M所用的时间小于，故C正确；由开普勒第二定律知，海王星从近日点P到远日点Q阶段，速率逐渐变小，故D正确。 8．理论研究表明，任意一星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2＝v1.已知某星球的半径为地球半径的一半，其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度的.地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度约为(　　) A．2．8 km/s　 B．3.95 km/s C．5．59 km/s　 D．15.8 km/s 答案A　 解析设地球的半径为R，表面重力加速度为g，由mg＝m，得v地1＝，该星球的第一宇宙速度v星1＝＝，该星球的第二宇宙速度v星2＝v星1≈2.8 km/s，故选A. 9．“嫦娥四号”是人类历史上首次在月球背面软着陆的勘测器．假定测得月球表面物体自由落体的加速度为g，已知月球半径R和月球绕地球运转的周期为T，引力常量为G.根据万有引力定律，就可以“称量”出月球质量了，月球质量M为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 答案B　 解析 在月球表面物体受到的万有引力大小等于重力，根据＝mg，知M＝，A错误，B正确；月球绕地球运动的周期为T，中心天体是地球，所以求不出月球的质量，C、D错误． 10．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转．如果要通过观测求得木星的质量，需要测量的量可以有(已知引力常量为G)(　　) A．木星绕太阳公转的周期和轨道半径 B．木星绕太阳公转的周期和环绕速度 C．卫星绕木星公转的周期和木星的半径 D．卫星绕木星公转的周期和轨道半径 答案D　 解析根据万有引力提供圆周运动的向心力可知G＝ma，根据表达式可以求出中心天体的质量．木星绕太阳公转的周期和轨道半径可以计算中心天体太阳的质量，因为木星是环绕天体，故不能计算木星的质量，A、B错误；已知木星的半径但不知道卫星轨道半径就不能求出卫星的向心力，故不能求出中心天体木星的质量，C错误；根据G＝mr，已知T和r可以求出木星的质量，D正确． 11．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，登陆舱的质量为m2，则(　　) A．该星球的质量为M＝ B．该星球表面的重力加速度为g1＝ C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动时的速度大小之比为＝ D．登陆舱在半径为r2的轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1 答案D　 解析 研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式 ＝m1r1，得出该星球的质量为M＝，A错误；根据圆周运动知识，a＝只能表示在半径为r1的圆轨道上的向心加速度，而不等于该星球表面的重力加速度，B错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有＝，得出v＝，表达式里M为中心天体星球的质量，R为运动的轨道半径，所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝，C错误；根据万有引力提供向心力，在半径为R的圆轨道上运动，列出等式＝m，得出T＝2π，表达式里M为中心天体的质量，R为运动的轨道半径．所以登陆舱在r1与r2轨道上运动时的周期大小之比为＝，所以T2＝T1，D正确． 12．有两只对准的标准钟，一只留在地面上，另一只放在高速飞行的飞船上，则下列说法正确的是(　　) A．飞船上的人看到自己的钟比地面上的钟走得慢 B．地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟走得慢 C．地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟走得快 D．因为是两只对准的标准钟，所以两钟走时快慢相同 答案C　 解析 根据爱因斯坦的狭义相对论，由钟慢效应知地面上的人看到飞船上的钟变慢了，飞船上的人以自己为参考系，认为地球在高速运动，故看到地球上的钟变慢了，C正确． 13．(2023年中山二中月考)在高速行进的火车车厢中点位置的闪光灯发一次闪光向周围传播，闪光到达车厢后壁时，一只小猫在车厢后端出生，闪光到达车厢前壁时，两只小鸡在车厢前端出生．则(　　) A．在火车上的人看来，一只小猫先出生 B．在火车上的人看来，两只小鸡先出生 C．在地面上的人看来，一只小猫先出生 D．在地面上的人看来，两只小鸡先出生 答案C　 解析火车中的人认为，车厢是个惯性系，光向前向后传播的速度相等，光源在车厢中央，闪光同时到达前后两壁，则在火车上的人看来，小猫和小鸡同时出生，A、B错误；地面上的人认为，地面是一个惯性系，光向前向后传播的速度相等，向前传播的路程长些，到达前壁的时刻晚些，故在地面上的人看来，一只小猫先出生，C正确，D错误． 14．如图所示，一颗科学实验卫星绕地球运行的轨道半径比地球同步卫星的轨道半径小，则该科学实验卫星绕地球运行的周期(　　) A．等于24小时 B．等于地球同步卫星的周期 C．小于地球同步卫星的周期 D．大于地球同步卫星的周期 答案C　 解析 由万有引力提供向心力，有G＝m，T2＝，该科学实验卫星绕地球运行的轨道半径比地球同步卫星的轨道半径小，则该科学实验卫星绕地球运行的周期小于地球同步卫星的周期，A、B、D错误，C正确． 15．如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动．经P点时，启动推进器短时间内向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道．则飞行器(　　) A．变轨后将沿轨道2运动 B．相对于变轨前运行周期变长 C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等 D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等 答案D　 解析推进器短时间向前喷气，飞行器将减速，C错误；此时有G>m，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，A错误；根据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，D正确． 16．假设在宇宙中存在这样三个天体A、B、C，它们在一条直线上，天体A和天体B的高度为某值时，天体A和天体B就会以相同的角速度共同绕天体C运转，且天体A和天体B绕天体C运动的轨道都是圆轨道，如图所示．则以下说法正确的是(　　) A．天体A做圆周运动的加速度小于天体B做圆周运动的加速度 B．天体A做圆周运动的线速度小于天体B做圆周运动的线速度 C．天体B做圆周运动的向心力大于天体C对它的万有引力 D．天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力 答案 D　 解析 由于天体A和天体B绕天体C运动的轨道是同心圆轨道，角速度相同，由a＝ω2r，可知天体A做圆周运动的加速度大于天体B做圆周运动的加速度，A错误；由公式v＝ωr，可知天体A做圆周运动的线速度大于天体B做圆周运动的线速度，B错误；天体B做圆周运动的向心力是A、C的万有引力的合力提供的，所以天体B做圆周运动的向心力小于天体C对它的万有引力，C错误，D正确． 17．如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是(　　) A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1 答案D　 解析 设空间站轨道半径为r1，月球轨道半径为r2，同步卫星轨道半径为r3。空间站受月球引力不能忽略，而同步卫星是不计月球吸引力的，这就说明r2>r1>r3，根据a1＝ωr1，a2＝ωr2，由题意知ω1＝ω2，所以a2>a1，又因为a3＝G，a2＝G，所以a3>a2，因此a3>a2>a1成立，D正确。 18．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。 答案　 解析　飞船沿椭圆轨道返回地面，由题图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′。 根据开普勒第三定律有＝， 解得T′＝T＝。 所以飞船由A点到B点所需要的时间为 t＝＝。 19．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。 (1)卫星B的运行周期是多少？ (2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？ 答案　(1)2π　(2) 解析　(1)由万有引力定律和向心力公式得 G＝m(R＋h)， ① G＝mg， ② 联立①②解得　TB＝2π。 ③ (2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π ④ 由③得　ωB＝ ⑤ 代入④得t＝。 20．(2023年珠海学业质检)一探测器在某个球形行星的近地轨道上绕行星做匀速圆周运动，绕行两圈所需的时间为t.在行星表面用弹簧测力计测量质量为m的物体的重力，弹簧测力计示数为F.已知引力常量为G，不计行星自转的影响，球形行星的体积公式为V＝πR3(其中R为行星的半径且未知)，求： (1)该行星的平均密度； (2)行星的半径． 解析 (1)探测器周期为T＝，设行星质量为M，半径为R，探测器质量为m1， 由＝m1R，且体积V＝πR3， 则密度ρ＝＝. (2)由F＝，解得行星的半径R＝. 21．(2024年衡阳一中期中)航天员站在某一质量分布均匀的星球表面用频闪相机拍摄做平抛运动的小球，得到如图所示的照片，小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示．已知频闪相机频闪周期为T，每个小方格的边长为L，该星球半径为R，引力常量为G，不考虑星球的自转，忽略空气阻力，求： (1)小球做平抛运动的初速度v0以及该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的密度ρ； (3)该星球的第一宇宙速度v. 解析(1)平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动，则小球做平抛运动的初速度为v0＝，在竖直方向上的分运动是自由落体运动，则有Δy＝ybc－yab＝L＝gT2 ，可得g＝ . (2)物体在该星球表面上有G＝mg，可得M＝＝，该星球的密度为ρ＝＝. (3)该星球的第一宇宙速度等于该星球的近地卫星的线速度，则有mg＝m，可得v＝＝. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$