专题01 抛体运动 匀速圆周运动（考点清单）-2024-2025学年高一物理下学期期中考点大串讲（教科版2019必修第二册）

专题01抛体运动 匀速圆周运动 考点清单 考点1　曲线运动的性质与特点 考点2　物体做曲线运动的条件 考点3　运动的合成与分解 考点4　合运动性质和轨迹的判断 考点5　运动合成与分解的应用 考点6　平抛运动的处理方法和规律 考点7　一般抛体运动的规律 考点8　描述圆周运动的物理量 考点9　常见三种传动方式 考点10　圆周运动的周期性和多解问题 考点11　匀速圆周运动的动力学问题 考点12　火车转弯问题分析 考点13　汽车过拱形桥的动力学分析 考点14　离心运动的理解和应用 考点15　水平面内圆周运动问题 考点16　竖直平面内圆周运动的问题 考点17　实验：研究平抛运动 考点18　实验：探究向心力大小的表达式 知识点一　曲线运动的速度方向 1．曲线运动。 运动轨迹是 的运动称为曲线运动。 2．速度的方向。 质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的 。 3．运动性质。 由于曲线运动中速度 是变化的，所以曲线运动是 运动。 知识点二　物体做曲线运动的条件 1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在 时，物体做曲线运动。 2．当物体加速度的方向与速度的方向 时，物体做曲线运动。 知识点三　一个平面运动的实例 1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示： 。 2．蜡块运动的速度：大小 ，方向满足 。 3．蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条 。 知识点四　运动的合成与分解 1．合运动与分运动。 如果物体同时参与了几个运动，那么物体 就是合运动， 就是分运动。 2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的 ；已知合运动求分运动的过程，叫运动的 。 3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循 法则。 知识点五　平抛运动的速度 将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为： 1．水平方向： 。 2．竖直方向： 。 3．合速度 知识点六　平抛运动的位移与轨迹 将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为： 1．水平方向：x＝ 。 2．竖直方向：y＝ 。 3．合位移 4．轨迹：由水平方向x＝v0t，解出t＝，代入y＝gt2得 ，平抛运动的轨迹是一条 。 知识点七　一般的抛体运动 物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。 1．水平方向：物体做 运动，初速度vox＝ 。 2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度voy＝ 。 知识点八　圆周运动及线速度 1．圆周运动的概念。 运动轨迹为 的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。 2．线速度。 (1)定义：做圆周运动的物体，通过的 与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。 (2)表达式：v＝ ，单位为米/秒，符号是 。 (3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。 (4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与 相同。 (5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小 ，这种运动叫作匀速圆周运动。 知识点九　角速度　周期 1．角速度。 (1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。 (2)表达式：ω＝ 。 (3)国际单位：弧度每秒，符号 。 (4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。 (5)匀速圆周运动是 的圆周运动。 2．周期。 (1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动 所用的时间叫作周期，用 表示，单位为 。 (2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为 或 。 (3)物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。 知识点三　线速度与角速度的关系 1．两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于 。 2．表达式：v＝ 。 知识点十　向心力 1．定义。 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向。 向心力的方向始终沿半径指向 。 3．公式：Fn＝ 或者Fn＝ 。 4．效果力。 向心力是根据力的 来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 知识点十一　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 1．变速圆周运动的合力。 变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的 。合外力一般产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变物体速度的大小。 (2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的 ，改变物体速度的 。 2．一般曲线运动。 (1)曲线运动：运动轨迹既不是 也不是 的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。 (2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 　变速圆周运动与一般曲线运动 1．变速圆周运动合力的作用效果。 (1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 (2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较。 比较项目 匀速圆周运动 变速圆周运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r，都适用 3．一般曲线运动。 (1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 知识点十二　火车转弯 1．火车在弯道上的运动特点。 火车在弯道上运动时实际上在做 ，因而具有 加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 2．火车转弯时向心力的来源分析。 (1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的 提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。 (2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由 和 的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如下图所示。 知识点十二　汽车过拱形桥 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形桥 受力分析 向心力 Fn＝ ＝m Fn＝ ＝m 对桥的压力 FN′＝ FN′＝ 结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力 知识点十三　航天器中的失重现象 1． 向心力分析：宇航员受到的 与 的合力为他提供向心力， 即 ＝m。 2．失重状态：当v＝ 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 知识点十四　离心运动 1．定义：物体沿 方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。 2．原因：向心力突然消失或 以提供所需 。 　对离心运动的理解 1．离心运动的实质。 离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件。 做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断。 如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F与所需向心力的大小关系决定。 (1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。 (2)若F＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。 (3)若F＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动。 [特别提醒] 1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。 2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。 4．离心运动的应用和防止。 (1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 (2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 考点1　曲线运动的性质与特点 1．曲线运动的速度。 (1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致(如图所示)，故其速度的方向时刻改变。 (2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。 2．曲线运动的性质及分类。 (1)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动。 (2)分类。 例1．如图所示为某游乐场中过山车运动轨道的简化图，已知过山车从右侧入口处沿箭头方向水平进入轨道，①、②、③、④为过山车在轨道上先后经过的四个位置，且②为轨道最高点，则在上述四个位置中与入口处速度方向相反的位置是(　　) A．①　 B．②　 C．③　 D．④ 确定某点速度方向的两个关键 (1)明确物体沿轨迹的运动方向。 (2)确定轨迹在该点的切线方向。 变式1.翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法中正确的是(　　) A．过A点时的速度方向沿AB方向 B．过B点时的速度方向沿水平方向 C．过A、C两点时的速度方向相同 D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上 考点2　物体做曲线运动的条件 1．物体做曲线运动的条件。 (1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。 (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。 2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系。 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧，如图所示。 速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系 3．合外力与速率变化的关系。 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　 　　乙　　　　　丙 例2．(2024年德阳外国语学校考试)如图为我国歼击机在大型航展上编队飞行时的情形，若飞机做曲线运动，则(　　) A．飞机受到的合力肯定为零 B．飞机的加速度方向与速度方向在同一条直线上 C．飞机的速度一定发生变化 D．飞机的速度大小一定变化 力和运动轨迹关系的三点提醒 (1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。 (2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。 (3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。 变式2.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点施加沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　) A．因为有Fx，质点一定做曲线运动 B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动 C．质点不可能做直线运动 D．如果Fx>Fycot α，质点向x轴一侧做曲线运动 考点3　运动的合成与分解 1．合运动与分运动。 物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。 2．合运动与分运动的四个特性。 等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 3．运动的合成与分解。 (1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。 (2)运动的合成与分解的方法：①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形定则进行合成与分解。在遵循平行四边形定则的前提下，灵活采用作图法、解析法，可以借鉴力的合成与分解的知识，具体问题具体分析。 例3．如图所示，中学生在雨中打伞行走，从物理学可知当雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少，若雨滴在空中以2 m/s的速度竖直下落，而学生打着伞以1.5 m/s的速度向西走，则能让该学生少淋雨的打伞(伞柄指向)方式为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A B C D 运动合成与分解的思路 (1)确定合运动方向。 (2)根据合运动的效果确定运动的分解方向。 (3)根据平行四边形定则，画出合运动的速度、位移、加速度的分解图。 (4)应用运动学公式分析分运动，应用数学知识确定分矢量与合矢量的关系。 变式3. 如图所示，一架飞机沿与水平方向成37°角的方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是(　　) A．经过t＝4 s，飞机运动的水平位移是800 m B．飞机在竖直方向的分速度大小是100 m/s C．经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升了480 m D．在飞机飞行过程中飞行员处于完全失重状态 考点4　合运动性质和轨迹的判断 1．合运动的性质判断。 2．合运动轨迹的判断。 (1)若a与v0共线，物体做直线运动。 (2)若a与v0不共线，物体做曲线运动。 3．互成角度的两个直线运动的合成。 分运动 合运动 矢量图 条件 两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角 两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0 两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同 匀变速曲线运动 a与v成α角 例4．(2023年珠海质检)如图所示，工厂生产流水线上的玻璃以某一速度连续不断地随流水线向右匀速运动，在切割工序的P处有一玻璃割刀．为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形，图中画出了割刀相对地的四个大致的速度方向，其中1与玻璃运动方向垂直．关于割刀相对地的速度方向，下列说法正确的是(　　) A．割刀相对地的速度方向一定沿方向1 B．割刀相对地的速度方向可能沿方向2 C．割刀相对地的速度方向可能沿方向3 D．割刀相对地的速度方向可能沿方向4 变式4．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v­t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x­t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　) 　　 A．猴子在2 s内做匀变速直线运动 B．t＝2 s时猴子的速度大小为4 m/s C．t＝2 s时猴子的加速度大小为2.5 m/s2 D．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s 考点5　运动合成与分解的应用 1．运动的合成与分解的应用解题思路。 (1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。 (2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。 (3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。 2．两种常见物理模型。 (1)小船渡河问题的常考实例。 情况 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝，对应渡河位移x＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，则合速度垂直于河岸时，小船渡河位移最短(等于河宽d)，对应渡河时间t＝ 当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，此时船头与河岸夹角为，最短渡河位移xmin＝＝ 渡河船速最小 在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)一定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水 sin θ (2)“关联速度”模型。 ①确定合运动的两个效果。 ②常见的速度分解实例。 甲　　　　　　　　乙 丙　　　　　　　　　　丁 例5.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，问： (1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ 变式5．用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度(　　) A．不变　　　　　　　　 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 考点6　平抛运动的处理方法和规律 1．物体做平抛运动的条件。 物体的初速度v0≠0，方向水平，且只受重力作用。 2．平抛运动的性质。 加速度为g的匀变速曲线运动。 3．抛体运动的特点。 特点 理解 理想化特点 物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力 匀变速特点 抛体运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，是一种匀变速运动 速度变化的特点 做抛体运动的物体在任意相等时间内速度的变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下 　平抛运动的处理方法和规律 1．研究方法。 采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。 2．运动规律。 项目 速度 位移 水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t 竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2 合运动 大小： v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小： s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 图示 例6.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 变式6．(多选)(2024年漳州质检)今年贵州“村超”(乡村足球超级联赛)在全网爆火．某运动员在离球门正前方水平距离6 m处头球攻门，足球在1.8 m高处被水平顶出，顶出时速度垂直球门，并恰好落在球门线上．足球视为质点，不计空气阻力，g取10 m/s2，则此过程中(　　) 　 A．球的运动时间为1 s B．球的水平初速度大小为10 m/s C．球落地前瞬间竖直方向的分速度大小为6 m/s D．球落地前瞬间速度方向与水平地面的夹角为45° 考点7　一般抛体运动的规律 1．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处 理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为 两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直 线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 2．斜抛运动的规律： (1)速度规律。 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。 t时刻的速度大小为v＝。 斜抛物体的轨迹 (2)位移规律。 水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。 竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。 t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。 3．射高和射程： (1)斜抛运动的飞行时间： t＝＝。 (2)射高：h＝＝。 (3)射程：s＝v0cos θ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 例7.如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求： (1)物体抛出时速度的大小和方向； (2)物体在空中的飞行时间t。 变式7．2023年3月22日CBA常规赛战罢第38轮，山西男篮在这场关键的“卡位”赛中以119比94大胜吉林队，如图所示，比赛中运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点．若该运动员向前运动到等高的C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需(　　) A．减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ B．增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0 D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0 考点8　描述圆周运动的物理量 1．描述圆周运动的各物理量之间的关系。 2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧。 (1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也就确定了。 (2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。　 例8．(中山二中月考)摩天轮是游乐园中常见的大型游乐设施之一，其绕中心轴在竖直平面内匀速转动．如图所示，为摩天轮的简化示意图，图中a、c分别表示座舱的最低点和最高点，b、d分别表示座舱的中间水平位置的左右两点．已知小明的质量为m，在游乐园乘坐的摩天轮在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，线速度为v，座椅到中心轴半径为R，重力加速度为g.小明坐摩天轮在空中转一周所用的时间是(　　) A．　 B．2πRv C．　 D． 变式8．嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(约20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz 考点9　常见三种传动方式 1．三种传动装置。 项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比： ＝＝ 周期与半径成正比：＝ 2．求解传动问题的思路。 (1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 例9．株洲市时代新材风电项目部可以生产风力发电设备，如图所示的风力发电叶片上有M、N两点，在叶片转动过程中(　　) A．vM>vN　 B．vM＝vN C．ωM>ωN　 D．ωM＝ωN 传动装置的特点 在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。 (1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。 (2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。 变式9．如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮。A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在各轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是(　　) A．va＝2vb　　　　　　　 B．ωa＝2ωc C．ωd＝ωc D．vb＝2vc 考点10　圆周运动的周期性和多解问题 1．问题特点。 (1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 (2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 (3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 2．分析技巧。 (1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 (2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。　 例10.如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是(　　) A．dv＝L2g B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3，…) C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…) 解决圆周运动多解问题的方法 (1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。 (2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。 变式10．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，重力加速度为g，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。 考点11　匀速圆周运动的动力学问题 1．向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 2．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。 3．向心力来源的实例分析。 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 匀速圆周运动的动力学问题解题步骤 (1)明确研究对象(做圆周运动的物体)，确定其做匀速圆周运动的轨道平面。 (2)分析几何关系，目的是确定匀速圆周运动的圆心、轨迹半径；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量；分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 (3)列方程：沿半径方向合力满足Fx＝mrω2＝m＝，垂直半径方向合力满足Fy＝0。 (4)联立方程求出结果。 例11.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求： (1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系； (2)此时钢绳的拉力。 匀速圆周运动问题的求解方法 圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“牛顿运动定律解决问题”一致。 变式11．如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转轴的距离为r，转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的μ倍，细线所能承受的最大拉力为3μmg。求： (1)当转盘角速度为多少时，细线的拉力为零？ (2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？ 考点12　火车转弯问题分析 1．轨迹分析。 火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。 2．向心力分析。 (1)若转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力。 (2)若转弯时外轨略高于内轨，根据弯道的半径和规定的速度，适当选择内、外轨的高度差，则按规定速度转弯时所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供。 3．规定速度分析。 若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力。则mgtan θ＝m，可得v0＝(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。 4．轨道轮缘压力与火车速度的关系。 (1)当火车行驶速率v等于规定速度v0时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力。 (2)当火车行驶速度v大于规定速度v0时，火车有离心运动趋势，故外轨道对轮缘有侧压力。 (3)当火车行驶速度v小于规定速度v0时，火车有向心运动趋势，故内轨道对轮缘有侧压力。 例12.有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 变式12.上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？ 火车转弯问题的两点注意 (1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。 (2)受力分析：火车转弯速率大于或小于规定速率时，火车受到三个力的作用，即重力、轨道的支持力和外轨或内轨对火车的侧向挤压力，侧向挤压力的方向沿轨道平面向里或向外，合力沿水平面指向圆心。 变式13．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘(如图甲所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图乙所示)，但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图丙所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压．设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　) 　　 A．该弯道的半径R＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变 C．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 D．按规定速度行驶时，支持力小于重力 考点13　汽车过拱形桥的动力学分析 两类汽车过拱形桥动力学分析。 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 向心力的来源 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m 对桥的压力 FN′＝FN＝mg－m FN′＝FN＝mg＋m 超重失重 失重 超重 讨论 (1)当v＝时，FN＝0 (2)当0≤v＜时，0＜FN≤mg，v增大，FN减小 (3)当v＞时，汽车脱离桥面，发生危险 v增大，FN、FN′增大 例13．有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥。g取10 m/s2，求： (1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力F的大小； (2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v0； (3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。 对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下： (1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径； (2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源； (3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。 变式14．(2024年佛山七校联考)重庆市巴南区有一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由凹凸路面彼此连接而成如图乙所示．汽车通过路面最低点N和最高点M时速率相等，每一处凹凸路面部分均可看作半径为R的圆弧，汽车经过最低点N时，对路面的压力大小为其所受重力的2倍．已知汽车及车上人的总质量为m，重力加速度大小为g，以下说法正确的是(　　) 　 A．汽车经过N点时的速率为 B．汽车经过M点时对路面恰好无压力 C．汽车经过M点时对路面的压力大于经过N点时对路面的压力 D．汽车经过M点时对路面的压力等于经过N点时对路面的压力 考点14　离心运动的理解和应用 1．离心运动的实质。 离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件。 做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断。 如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F与所需向心力的大小关系决定。 (1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。 (2)若F＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。 (3)若F＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动。 [特别提醒] 1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。 2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。 4．离心运动的应用和防止。 (1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 (2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 例14．如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车(　　) A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动 B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动 C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动 D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动 变式15．如图所示，水平地面上放置一滚筒洗衣机，滚筒的内径为40 cm，滚筒壁上有漏水孔；洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动．某次脱水过程中毛毯紧贴在筒壁，与滚筒一起做匀速圆周运动，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．毛毯在滚筒最高点的速度约为2 m/s B．毛毯在滚筒最低点时处于超重状态 C．毛毯上的水在最高点更容易被甩出 D．毛毯上的水因为受到的向心力太大而被甩出 考点15.水平面内圆周运动问题 1．水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内，多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。 (1)水平面内圆周运动的“摩擦力”模型是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (2)水平面内圆周运动的“弹力”模型是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (3)水平面内圆周运动的“圆锥摆”模型是指依靠弹力(细线拉力或倾斜面弹力)和物体重力的合力使物体在水平面内做圆周运动。 2．两类情况分析。 (1)不滑动。 质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。 (2)绳子被拉断。 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得此时vm＝。 这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 例15.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心距离r1＝20 cm，B离轴心距离r2＝30 cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的，g取10 m/s2，求： (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？ (2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？ (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？ 水平面内圆周运动的临界问题的通解思路 变式16．如图甲所示，游乐园的游戏项目——旋转飞椅，飞椅从静止开始缓慢转动，经过一小段时间，坐在飞椅上的游客的运动可以看作匀速圆周运动．整个装置可以简化为如图乙所示的模型，忽略转动中的空气阻力．设细绳与竖直方向的夹角为θ，则(　　) 　　　　 A．飞椅受到重力、绳子拉力和向心力作用　 B．θ角越大，小球的向心加速度就越大 C．只要线速度足够大，θ角可以达到90°　 D．飞椅运动的周期随着角θ的增大而增大 考点16　竖直平面内圆周运动的问题 1．运动性质。 物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，常见两类模型。 2．模型分析。 (1)轻绳和轻杆模型概述。 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。 (2)两类模型分析对比。 对比项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝ v临＝0 讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时， FN＝0 (4)当v＞时， FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 例16.用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。g取10 m/s2。求： (1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？ 变式17.如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于，则此时杆A端的受力大小和方向； (3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况，若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。 竖直平面内圆周运动的分析方法 (1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。 (3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。 变式18.(多选)如图甲所示，一长度l未知的轻杆，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量m未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，轻杆对小球的弹力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) 甲　　　　　　　乙 A．轻杆长度l＝ B．小球质量m＝－ C．当v2<a时，轻杆中的弹力表现为向下的拉力 D．仅换用长度较短的轻杆做实验，图线b点的位置不变 考点17.实验：研究平抛运动 1．实验思路。 (1)提出问题。 平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？ (2)科学猜想。 由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。 2．进行实验。 方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点 (1)实验目的。 ①探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。 ②探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。 (2)实验原理。 数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖直方向的运动特点。 (3)数据处理。 ①建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向的直角坐标系。 ②测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。 ③根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。 (4)结果分析。 水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。 方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点 (1)实验设计。 实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。 (2)实验器材和步骤。 ①实验器材。 小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等。 ②实验步骤。 a．安装、调整斜槽。 将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所示。 b．调整木板并确定坐标原点。 用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点O，O点即坐标原点。利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴。 c．描点。 使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点。 d．描绘出平抛运动的轨迹。 取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹。 [特别提示]　斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结果。 (3)注意事项。 ①应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。 ②小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。 ③坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。 例17．(1)(多选)在做“研究平抛运动”的实验中，以下操作可能引起实验误差的是(　　) A．安装斜槽时，斜槽末端切线方向不水平 B．确定Oy轴时，没有用重垂线 C．斜槽不是绝对光滑的，有一定摩擦 D．每次从轨道同一位置释放小球 (2)如图所示为某次实验中一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm.如果g取10 m/s2，那么： ①闪光频率是 ______Hz. ②小球平抛时的初速度的大小是______m/s. ③小球经过B点的速度大小是__________m/s. 变式20．图甲是“研究物体的平抛运动”的实验装置图． (1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线________．每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛________． (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________m/s.(g＝9.8 m/s2) (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每个格子的边长L＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为______m/s，B点的竖直分速度为________m/s.(g取10 m/s2) 考点 18.实验：探究向心力大小的表达式 一、实验原理与设计 1．实验的基本思想——控制变量法。 在物理实验中，根据实验需求，要注意使实验过程中的不同变量保持不变。 2．设计思路。 (1)若要讨论向心力与质量的关系，应控制半径、角速度不变。 (2)若要讨论向心力与半径的关系，应控制质量、角速度不变。 (3)若要讨论向心力与角速度的关系，应控制质量、半径不变。 二、实验器材 向心力演示器、天平、质量不等的若干小球等。 三、实验步骤 1．测量质量：分别用天平测量各小球的质量，并做标记。 2．调节两轮角速度：用皮带连接半径相同的两个塔轮，以确保运动过程中角速度不变。 3．放置小球：将两质量不同的小球分别放于长槽和短槽上，调整小球的位置，使两球的转动半径相同。 4．收集数据：转动手柄，观测向心力的大小和质量的关系。 5．改变半径：换成两质量相同的小球，分别放于长槽和短槽上，增大长槽上小球的转动半径。转动手柄，观察向心力的大小和半径的关系。 6．改变小球的角速度：将质量相同的两小球分别置于长槽和短槽上，确保两小球半径相同，用皮带连接半径不同的两个塔轮，根据两个塔轮半径关系求解小球做圆周运动的角速度的关系。 四、数据收集与分析 1．列F、m数据收集表格。 把不同质量的小球放在长槽和短槽内，确保小球的轨道半径和角速度相同，把小球的向心力和质量填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 质量 向心力 2．作F­m图像。 以F为纵坐标、m为横坐标，根据数据作F­m图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与m的关系。 3．列F、r数据收集表格。 量和角速度相同，把小球的向心力和半径填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 半径 向心力 4．作F­r图像。 以F为纵坐标、r为横坐标，根据数据作F­r图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与r的关系。 5．列F、ω数据收集表格。 把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和半径相等，把小球的向心力和角速度以及角速度的二次方填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 角速度ω 角速度的二次方ω2 向心力 6．作F­ω2图像。 以F为纵坐标、ω2为横坐标，根据数据作F­ω2图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与ω2的关系。 五、实验结论 1．在半径和角速度相同时，向心力与质量成正比。 2．在质量和角速度相同时，向心力与半径成正比。 3．在半径和质量相同时，向心力与角速度的二次方成正比。 4．通过归纳和推导，可得向心力的表达式：Fn＝mrω2＝m＝mωv＝mr。 六、注意事项 1．实验前要做好横臂支架的安全检查，螺钉是否有松动。 2．标尺格数比应选择最小格数进行，使学生容易看清格数比。如：F1∶F2＝1∶4，可以选择2格和8格，但最好使用1格和4格。 3．转动转台时，应先让一个套筒的标尺达到预定的整数格，然后观察另一个套筒的标尺。 4．实验时，转速应从慢到快。 例20.如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时， 甲　　　　　　　　乙 (1)两槽转动的角速度ωA ωB(选填“＞”“＝”或“＜”)。 (2)现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球1、2的线速度之比为 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为 时，向心力公式F＝mω2r得到验证。 变式21．(河北石家庄统考)某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与角速度大小关系的实验．水平直杆随竖直转轴一起转动，滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细绳处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得． 　 (1)滑块和角速度传感器的总质量为20 g，保持滑块到竖直转轴的距离不变，多次仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及角速度传感器的示数ω，根据实验数据得到的图像F­ω2如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是__________，滑块到竖直转轴的距离为__________m．(计算结果保留三位有效数字) (2)若去掉细线，仍保持滑块到竖直转轴的距离不变，则转轴转动的最大角速度为__________rad/s. 1．自行车在水平路面上运动的轨迹如图所示，则(　　) A．①可能是合外力的方向 B．②可能是速度的方向 C．③可能是加速度的方向 D．④可能是加速度的方向 2．足球比赛中，如果有球员违规踢球，则会被判罚给对方球队踢任意球的机会．如图为任意球的轨迹示意图．足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能正确的是(　　) A B C D 3．如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在质点B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是(　　) A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90° C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小 4．(汕尾期末)总长约55千米的港珠澳大桥是全球规模最大的跨海工程．如图所示的路段是其中一段半径约为120 m的圆弧形弯道，路面水平，若汽车通过该圆弧形弯道时视为做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力约为正压力的0.8倍，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．汽车转弯过程受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．汽车以108 km/h的速率可以安全通过此弯道 C．汽车速度太大时做离心运动是因为受到了离心力作用 D．下雨天时，汽车应以较小速度转弯，保证其受到的合外力大于需要的向心力 5．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　) A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力有关 D．运动员着地速度与风力无关 6．某品牌的机械鼠标内部构造如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2 cm，某次操作中将鼠标沿直线匀速移动12 cm需要1 s，则定位球的角速度为(　　) A． rad/s　　　　　　 B． rad/s C．6 rad/s D．12 rad/s 7．(多选)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来，a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶3∶2 B．角速度大小之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．周期之比为2∶3∶3 8．(多选)如图所示，质量相等的A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法正确的是(　　) A．线速度vA>vB B．运动周期TA＝TB C．筒壁对它们的弹力NA＝NB D．它们受到的摩擦力fA＝fB 9．(多选)在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．为了避免事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中合理的是(　　) A．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯 B．改进路面设计，减小车轮与路面间的摩擦 C．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高 D．改造此段弯路，使弯道内侧高、外侧低 10．如图所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点、Q点．已知O点是M点在地面上的竖直投影，∶＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．两小球的下落时间之比为1∶3 B．两小球的下落时间之比为1∶4 C．两小球的初速度大小之比为1∶3 D．两小球的初速度大小之比为1∶4 11．如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏．无人机以v0＝2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球(可看作质点).此时释放点到水平地面的距离h＝20 m，空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.小球的落地点到释放点的水平距离为(　　) A．20 m 　 B．10 m　 C．4 m 　 D．2 m 12．如图所示，从水平地面上不同位置斜向上抛出的三个小球沿三条不同的路径运动，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的．若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小 B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长 C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等 D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等 13．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L.假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α.运动员可视为质点，不计空气阻力，则有(　　) A．tan α＝2　 B．tan α＝1　 C．tan α＝　 D．tan α＝ 14.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，火车质量为m(未画出)，下列说法正确的是(　　) A．若转弯时速度小于，则外轨对外侧车轮轮缘有挤压 B．若转弯时速度小于，则内轨对内侧车轮轮缘有挤压 C．若转弯时速度小于，这时铁轨对火车的支持力大于 D．若转弯时速度等于，这时铁轨对火车的支持力等于 15．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　) A．小汽车通过桥顶时处于失重状态 B．小汽车通过桥顶时处于超重状态 C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 16．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法错误的是(　　) A．若v0＝，则小球对管内壁无压力 B．若v0>，则小球对管内上壁有压力 C．若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 17.伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。图中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如右图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触，电路连通，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（　　）    A．停车时也会发光，只是灯光较暗 B．骑行达到一定速度值时灯才会亮 C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 18．(佛山一中月考)荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图甲所示某同学正在荡秋千，图乙中A和B分别为运动过程中的最高点和最低点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　　) 　　 A．在A位置时，该同学速度为零，处于超重状态 B．在A位置时，该同学速度为零，处于平衡状态 C．在A位置时，该同学所受的合外力的方向和指向3相符 D．在A位置时，该同学所受的合外力的方向和指向2相符 20．如图所示，质量相等的甲、乙两人分别站在赤道和纬度为45°的地面上，他们随地球一起绕地轴做匀速圆周运动，则下列物理量相同的是(　　) A．线速度 　 B．角速度 C．向心力 　 D．向心加速度 21．(长春外国语学校期末)如图是生活中常见的厨房水槽，A、B分别是水槽出口上的两点，当出水口绕转轴O转动，如图，v代表线速度，ω代表角速度，a代表向心加速度，T代表周期，则下列说法正确的是(　　) A．vA>vB，TA>TB　 B．ωA>ωB，aA>aB C．vA<vB，aA<aB　 D．aA>aB，TA＝TB 22．如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．线速度vA＝vB 　　　　 B．线速度vA＞vB C．周期TA＜TB 　　　　 D．向心加速度aA＝aB 23．利用图甲装置研究平抛运动规律，用小锤敲击弹性金属片，小球A就沿水平方向飞出做平抛运动；同时B球被松开，做自由落体运动．图乙是该装置某次实验的高速数码连拍照片，该相机每秒钟能拍摄20次，图中背景为边长为l＝0.049 m的正方形，分析照片： (1)能说明A球在竖直方向做自由落体运动的证据是__________________________ ______________________________________________； (2)能说明A球在水平方向做匀速直线运动的证据是_____________________________ ___________________________________________； (3)小球平抛运动的初速度大小为_____m/s.(结果保留到小数点后两位) 　 24．在研究平抛运动的实验中： (1)为减小空气阻力对小球运动的影响，应采用(　　) A．空心小铁球　 B．实心小铁球 C．实心小木球　 D．以上三种小球都可以 (2)安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是(　　) A．保证小球飞出时，初速度水平　 B．保持小球飞出时，速度既不太大，也不太小 C．保证小球在空中运动的时间每次都相等　 D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线 (3)如图所示，某同学在做平抛运动的实验时，小球运动过程中先后经历了轨迹(轨迹未画出)上的a、b、c、d四个点；已知图中每个小方格的边长l＝1.6 cm，g取10 m/s2.请你根据小方格纸上的信息，完成下列问题． ①若已知平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，则小球运动过程中从a→b、b→c、c→d所经历的时间 ________(填“相同”或“不同”). ②小球平抛运动的初速度v0＝________ m/s. ③小球在b点时的速率为vb＝________m/s.(计算结果均保留两位有效数字) 25．(2024年哈尔滨九中校考)用如图所示的实验装置探究影响向心力大小的因素．已知长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．挡板对球的支持力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略估算出两个球所受向心力的比值． (1)本实验所采用的实验探究方法是____________． (2)探究向心力和角速度的关系时，应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的两个小球各自放在挡板________(填“A和B”或“A和C”或“B和C”)处． (3)皮带套左右两个塔轮的半径分别为R1、R2，某次实验使R1＝3R2，则A、C两处的角速度之比为________． 26． (2023年浙江台州统考) (1)如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置． ①下列实验的实验方法与本实验相同的是________； A．探究平抛运动的特点 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 ②当探究向心力的大小F与半径r的关系时，需调整传动皮带的位置使得左右两侧塔轮轮盘半径________(填“相同”或“不同”)； (2)在研究牛顿第三定律时，将两个完全相同的弹簧测力计通过挂钩悬挂对拉，如图所示，甲弹簧测力计在上，乙弹簧测力计在下．若将两个弹簧的位置互换重复实验，则甲弹簧测力计和乙弹簧测力计示数的变化情况为________． A．甲变小　 B．甲不变 C．乙变小　 D．乙不变 27．(2024年深圳联考)离心试验器的原理图如图所示，可以测试人的抗荷能力．被测者坐在椅子上随平台做匀速圆周运动，已知人的质量为m，图中的直线AB的长度为L，与竖直方向成30°角，AC的长度为r，求： (1)人需要的向心力大小； (2)人对椅子的压力； (3)平台做匀速圆周运动周期T. 28．如图所示，已知绳长L＝20 cm，水平杆长L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)求： (1)要使绳子与竖直方向成45°角，该装置必须以多大的角速度转动？ (2)此时绳子的张力为多大？ 29.某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径，最高点为A点；凹弧的半径，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车特技演员穿越桥面，设特技演员与摩托车总质量为，穿越过程中可将车和演员视为质点，取，忽略空气阻力。试求： （1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小； （2）当摩托车以的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小； （3）为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点的最大速度。    30．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h. (1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01抛体运动 匀速圆周运动 考点清单 考点1　曲线运动的性质与特点 考点2　物体做曲线运动的条件 考点3　运动的合成与分解 考点4　合运动性质和轨迹的判断 考点5 运动合成与分解的应用 考点6　平抛运动的处理方法和规律 考点7　一般抛体运动的规律 考点8　描述圆周运动的物理量 考点9　常见三种传动方式 考点10　圆周运动的周期性和多解问题 考点11　匀速圆周运动的动力学问题 考点12　火车转弯问题分析 考点13　汽车过拱形桥的动力学分析 考点14　离心运动的理解和应用 考点15 水平面内圆周运动问题 考点16　竖直平面内圆周运动的问题 考点17 实验：研究平抛运动 考点18 实验：探究向心力大小的表达式 知识点一　曲线运动的速度方向 1．曲线运动。 运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。 2．速度的方向。 质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。 3．运动性质。 由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。 知识点二　物体做曲线运动的条件 1．当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 2．当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 知识点三　一个平面运动的实例 1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。 2．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝。 3．蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条过原点的直线。 知识点四　运动的合成与分解 1．合运动与分运动。 如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。 2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解。 3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则。 知识点五　平抛运动的速度 将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为： 1．水平方向：vx＝v0。 2．竖直方向：vy＝gt。 3．合速度 知识点六　平抛运动的位移与轨迹 将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为： 1．水平方向：x＝v0t。 2．竖直方向：y＝gt2。 3．合位移 4．轨迹：由水平方向x＝v0t，解出t＝，代入y＝gt2得y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 知识点七　一般的抛体运动 物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。 1．水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vox＝v0cos θ。 2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度voy＝v0sin θ。 知识点八　圆周运动及线速度 1．圆周运动的概念。 运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。 2．线速度。 (1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。用v表示。 (2)表达式：v＝，单位为米/秒，符号是m/s。 (3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。 (4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。 (5)匀速圆周运动：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 知识点九　角速度　周期 1．角速度。 (1)定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。 (2)表达式：ω＝。 (3)国际单位：弧度每秒，符号rad/s。 (4)物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。 (5)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 2．周期。 (1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。 (2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。 (3)物理意义：描述物体做圆周运动的快慢。 知识点三　线速度与角速度的关系 1．两者关系：在圆周运动中，线速度大小等于角速度的大小与半径的乘积。 2．表达式：v＝ωr。 知识点十　向心力 1．定义。 做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力。 2．方向。 向心力的方向始终沿半径指向圆心。 3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m。 4．效果力。 向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。 知识点十一　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点 1．变速圆周运动的合力。 变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变物体速度的大小。 (2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。 2．一般曲线运动。 (1)曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。 (2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 　变速圆周运动与一般曲线运动 1．变速圆周运动合力的作用效果。 (1)跟圆周相切的分力Ft：产生切向加速度，此加速度改变线速度的大小。 (2)指向圆心的分力Fn：产生向心加速度，此加速度改变线速度的方向。 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较。 比较项目 匀速圆周运动 变速圆周运动 线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变 受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力 周期性 有 不一定有 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝m＝mω2r，都适用 3．一般曲线运动。 (1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。 (2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。 知识点十二　火车转弯 1．火车在弯道上的运动特点。 火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 2．火车转弯时向心力的来源分析。 (1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。 (2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力，由重力mg和支持力FN的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如下图所示。 知识点十二　汽车过拱形桥 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形桥 受力分析 向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m 对桥的压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m 结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大 知识点十三　航天器中的失重现象 1．向心力分析：宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，即mg－FN＝m。 2．失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。 知识点十四　离心运动 1．定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐远离圆心的运动。 2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需向心力。 　对离心运动的理解 1．离心运动的实质。 离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件。 做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断。 如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F与所需向心力的大小关系决定。 (1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。 (2)若F＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。 (3)若F＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动。 [特别提醒] 1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。 2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。 4．离心运动的应用和防止。 (1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 (2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 考点1　曲线运动的性质与特点 1．曲线运动的速度。 (1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致(如图所示)，故其速度的方向时刻改变。 (2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。 2．曲线运动的性质及分类。 (1)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动。 (2)分类。 例1．如图所示为某游乐场中过山车运动轨道的简化图，已知过山车从右侧入口处沿箭头方向水平进入轨道，①、②、③、④为过山车在轨道上先后经过的四个位置，且②为轨道最高点，则在上述四个位置中与入口处速度方向相反的位置是(　　) A．①　 B．②　 C．③　 D．④ 答案B　 解析过山车做曲线运动，某点的速度方向为该点的切线方向，由图可知②位置的速度方向水平向右，与入口处速度方向相反．故选B. 确定某点速度方向的两个关键 (1)明确物体沿轨迹的运动方向。 (2)确定轨迹在该点的切线方向。 变式1.翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法中正确的是(　　) A．过A点时的速度方向沿AB方向 B．过B点时的速度方向沿水平方向 C．过A、C两点时的速度方向相同 D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上 答案B　 解析 翻滚过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示，由图可判断出B正确，A、C错误；翻滚过山车在圆形轨道AB段上的速度方向偏向左上方，不可能与过M点时速度方向相同，D错误。 考点2　物体做曲线运动的条件 1．物体做曲线运动的条件。 (1)动力学条件是合力方向与速度方向不共线。这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线。 (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线。 2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系。 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧，如图所示。 速度方向、合力方向及运动轨迹三者的关系 3．合外力与速率变化的关系。 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　 　　乙　　　　　丙 例2．(2024年德阳外国语学校考试)如图为我国歼击机在大型航展上编队飞行时的情形，若飞机做曲线运动，则(　　) A．飞机受到的合力肯定为零 B．飞机的加速度方向与速度方向在同一条直线上 C．飞机的速度一定发生变化 D．飞机的速度大小一定变化 答案C　 解析飞机做曲线运动，速度的方向时刻变化，则飞机的速度一定发生变化，合外力肯定不为零，但速度的大小不一定发生变化，A、D错误，C正确；飞机做曲线运动，飞机的加速度方向与速度方向不在同一条直线上，B错误． 力和运动轨迹关系的三点提醒 (1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。 (2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。 (3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。 变式2.光滑平面上一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴正方向成α角(如图所示)，与此同时对质点施加沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　) A．因为有Fx，质点一定做曲线运动 B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动 C．质点不可能做直线运动 D．如果Fx>Fycot α，质点向x轴一侧做曲线运动 答案D　 解析 若Fx＝Fycot α，则合力方向与速度方向在同一条直线上，质点做直线运动，故A、C错；α角大小未知，则Fy＞Fx时，运动方向不能确定，故B错；若Fx＞Fycot α，则合力方向偏向于速度方向下侧，质点向x轴一侧做曲线运动，故D对。 考点3　运动的合成与分解 1．合运动与分运动。 物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。 2．合运动与分运动的四个特性。 等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同 等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同 同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动 独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响 3．运动的合成与分解。 (1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。 (2)运动的合成与分解的方法：①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形定则进行合成与分解。在遵循平行四边形定则的前提下，灵活采用作图法、解析法，可以借鉴力的合成与分解的知识，具体问题具体分析。 例3．如图所示，中学生在雨中打伞行走，从物理学可知当雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少，若雨滴在空中以2 m/s的速度竖直下落，而学生打着伞以1.5 m/s的速度向西走，则能让该学生少淋雨的打伞(伞柄指向)方式为(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A B C D 答案A 解析在水平方向上，雨滴相对于人的速度为1.5 m/s，方向向东，在竖直方向上，雨滴的速度为2 m/s，方向竖直向下，设雨滴相对于人的速度方向与竖直方向的夹角为α，则根据矢量合成法则可知tan α＝＝，解得α＝37°，可见伞柄应向前倾斜，与竖直方向成37°夹角， A正确． 运动合成与分解的思路 (1)确定合运动方向。 (2)根据合运动的效果确定运动的分解方向。 (3)根据平行四边形定则，画出合运动的速度、位移、加速度的分解图。 (4)应用运动学公式分析分运动，应用数学知识确定分矢量与合矢量的关系。 变式3. 如图所示，一架飞机沿与水平方向成37°角的方向斜向上做匀速直线运动(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，速度的大小为v＝200 m/s，下列说法正确的是(　　) A．经过t＝4 s，飞机运动的水平位移是800 m B．飞机在竖直方向的分速度大小是100 m/s C．经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升了480 m D．在飞机飞行过程中飞行员处于完全失重状态 答案C　 解析由于飞机做匀速直线运动，经过4 s，飞机运动的水平位移大小x＝vcos 37°·t＝640 m，A错误；飞机在竖直方向的分速度大小vy＝vsin 37°＝200×0.6 m/s＝120 m/s，B错误；经过t＝4 s，飞机在竖直方向上升的高度h＝vy·t＝120×4 m＝480 m，C正确；由于飞机做匀速直线运动，加速度为零，则竖直方向的加速度也为零，飞行员不处于完全失重状态，D错误． 考点4　合运动性质和轨迹的判断 1．合运动的性质判断。 2．合运动轨迹的判断。 (1)若a与v0共线，物体做直线运动。 (2)若a与v0不共线，物体做曲线运动。 3．互成角度的两个直线运动的合成。 分运动 合运动 矢量图 条件 两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角 两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0 两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同 匀变速曲线运动 a与v成α角 例4．(2023年珠海质检)如图所示，工厂生产流水线上的玻璃以某一速度连续不断地随流水线向右匀速运动，在切割工序的P处有一玻璃割刀．为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形，图中画出了割刀相对地的四个大致的速度方向，其中1与玻璃运动方向垂直．关于割刀相对地的速度方向，下列说法正确的是(　　) A．割刀相对地的速度方向一定沿方向1 B．割刀相对地的速度方向可能沿方向2 C．割刀相对地的速度方向可能沿方向3 D．割刀相对地的速度方向可能沿方向4 答案C　 解析依题意，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则割刀相对于玻璃的运动速度应垂直玻璃，即当割刀沿玻璃运动方向移动的分速度等于玻璃移动的速度时，则每次割下玻璃板都成规定尺寸的矩形，根据题图可知割刀相对地的速度方向可能沿方向3，故选C. 变式4．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v­t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x­t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　) 　　 A．猴子在2 s内做匀变速直线运动 B．t＝2 s时猴子的速度大小为4 m/s C．t＝2 s时猴子的加速度大小为2.5 m/s2 D．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s 答案B　 解析由图乙可知，猴子在竖直方向做匀加速直线运动，加速度竖直向上，由图丙可知，同时猴子在水平方向做匀速直线运动，由运动的合成可知，猴子在2 s内做匀变速曲线运动，A错误；由v­t图像的斜率表示加速度、x­t图像的斜率表示速度可知， t＝2 s时猴子的水平方向速度大小为vx＝＝ m/s＝4 m/s，竖直方向的加速度为ay＝＝ m/s2＝4 m/s2，t＝2 s时竖直方向的速度大小为vy＝ayt＝4×2 m/s＝8 m/s，则可得t＝2 s时猴子的合速度大小为v2＝＝ m/s＝4 m/s，B正确，C错误；t＝0时猴子水平方向的速度大小为4 m/s，竖直方向的速度是零，所以t＝0时猴子的速度大小为4 m/s，D错误． 考点5　运动合成与分解的应用 1．运动的合成与分解的应用解题思路。 (1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。 (2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。 (3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。 2．两种常见物理模型。 (1)小船渡河问题的常考实例。 情况 图示 说明 渡河时间最短 当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝，对应渡河位移x＝ 渡河位移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，则合速度垂直于河岸时，小船渡河位移最短(等于河宽d)，对应渡河时间t＝ 当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，此时船头与河岸夹角为，最短渡河位移xmin＝＝ 渡河船速最小 在水流速度v水和船的航行方向(v合方向)一定的前提下，当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水 sin θ (2)“关联速度”模型。 ①确定合运动的两个效果。 ②常见的速度分解实例。 甲　　　　　　　　乙 丙　　　　　　　　　　丁 例5.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度为v1＝2.5 m/s。船在静水中的速度为v2＝5 m/s，问： (1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？ 答案　(1)36 s　90 m 解析　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 甲 v2＝5 m/s。 t＝＝＝ s＝36 s， v合＝＝ m/s， x＝v合t＝90 m。 (2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。 如图乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短。 乙 x＝d＝180 m， t＝＝＝ s＝24 s。　 变式5．用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子上P点的速度v不变，则小船的速度(　　) A．不变　　　　　　　　 B．逐渐增大 C．逐渐减小 D．先增大后减小 答案B　 解析 小船的运动为实际运动，把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示。小船运动过程中保持绳子上P点速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大。v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大。选项ACD错误，B正确。] 考点6　平抛运动的处理方法和规律 1．物体做平抛运动的条件。 物体的初速度v0≠0，方向水平，且只受重力作用。 2．平抛运动的性质。 加速度为g的匀变速曲线运动。 3．抛体运动的特点。 特点 理解 理想化特点 物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力 匀变速特点 抛体运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，是一种匀变速运动 速度变化的特点 做抛体运动的物体在任意相等时间内速度的变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下 　平抛运动的处理方法和规律 1．研究方法。 采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。 2．运动规律。 项目 速度 位移 水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t 竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2 合运动 大小： v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小： s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝ 图示 例6.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 答案D　 解析 如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。 变式6．(多选)(2024年漳州质检)今年贵州“村超”(乡村足球超级联赛)在全网爆火．某运动员在离球门正前方水平距离6 m处头球攻门，足球在1.8 m高处被水平顶出，顶出时速度垂直球门，并恰好落在球门线上．足球视为质点，不计空气阻力，g取10 m/s2，则此过程中(　　) 　 A．球的运动时间为1 s B．球的水平初速度大小为10 m/s C．球落地前瞬间竖直方向的分速度大小为6 m/s D．球落地前瞬间速度方向与水平地面的夹角为45° 答案BC　 解析 根据平抛运动公式，有h＝gt2，代入数据解得t＝0.6 s，A错误；在水平方向上，有v0＝，代入数据解得球的水平初速度大小为v0＝10 m/s，B正确；根据vy＝gt，可得球落地前瞬间竖直方向的分速度大小为vy＝6 m/s，C正确；落地时速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝＝，所以θ不是45°，D错误． 考点7　一般抛体运动的规律 1．一般抛体运动问题的分析思路：一般抛体运动问题的处 理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为 两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直 线运动和竖直方向的匀变速直线运动。 2．斜抛运动的规律： (1)速度规律。 水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。 竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。 t时刻的速度大小为v＝。 斜抛物体的轨迹 (2)位移规律。 水平位移：x＝v0xt＝v0tcos θ。 竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。 t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。 3．射高和射程： (1)斜抛运动的飞行时间： t＝＝。 (2)射高：h＝＝。 (3)射程：s＝v0cos θ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 例7.如图，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求： (1)物体抛出时速度的大小和方向； (2)物体在空中的飞行时间t。 答案　(1)30 m/s　与水平方向夹角为37°　(2)3.6 s 解析　(1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s， 设与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝， 故θ＝37°。 (2)竖直方向的初速度为 v0y＝＝ m/s＝18 m/s， 故飞行时间t＝＝2× s＝3.6 s。 变式7．2023年3月22日CBA常规赛战罢第38轮，山西男篮在这场关键的“卡位”赛中以119比94大胜吉林队，如图所示，比赛中运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点．若该运动员向前运动到等高的C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，运动员需(　　) A．减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ B．增大抛出速度v0，同时增大抛射角θ C．减小抛射角θ，同时减小抛射速度v0 D．减小抛射角θ，同时增大抛射速度v0 答案A　 解析 根据题意可知，篮球垂直击中篮板上A点，则逆过程就是平抛运动，竖直高度不变，水平方向位移越大，水平速度越大，抛出后落地速度越大，与水平面的夹角则越小，则该运动员向前运动到等高的C点投篮，水平位移减小，还要求垂直击中篮板上A点，则需减小抛出速度v0，同时增大抛射角θ.故选A. 考点8　描述圆周运动的物理量 1．描述圆周运动的各物理量之间的关系。 2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧。 (1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也就确定了。 (2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。　 例8．(中山二中月考)摩天轮是游乐园中常见的大型游乐设施之一，其绕中心轴在竖直平面内匀速转动．如图所示，为摩天轮的简化示意图，图中a、c分别表示座舱的最低点和最高点，b、d分别表示座舱的中间水平位置的左右两点．已知小明的质量为m，在游乐园乘坐的摩天轮在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，线速度为v，座椅到中心轴半径为R，重力加速度为g.小明坐摩天轮在空中转一周所用的时间是(　　) A．　 B．2πRv C．　 D． 答案 A　 解析 小明坐摩天轮在空中转一周所用的时间是T＝，A正确． 变式8．嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(约20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz 答案B　 解析 由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝＝rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝＝Hz，D错误。 考点9　常见三种传动方式 1．三种传动装置。 项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比： ＝＝ 周期与半径成正比：＝ 2．求解传动问题的思路。 (1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。 (3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。 例9．株洲市时代新材风电项目部可以生产风力发电设备，如图所示的风力发电叶片上有M、N两点，在叶片转动过程中(　　) A．vM>vN　 B．vM＝vN C．ωM>ωN　 D．ωM＝ωN 答案D　 解析由于M、N属于同轴转动，故角速度相等ωM＝ωN，C错误，D正确；由v＝ωr，rN>rM，知vM<vN，A、B错误．故选D. 传动装置的特点 在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量。 (1)同轴传动的物体上各点的角速度、转速和周期相等，但在同一轮上半径不同的各点线速度不同。 (2)皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的两轮边缘上各点(或咬合的齿轮边缘的各点)的线速度大小相同，角速度与半径有关。 变式9．如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮。A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在各轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是(　　) A．va＝2vb　　　　　　　 B．ωa＝2ωc C．ωd＝ωc D．vb＝2vc 答案D　 由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相同，所以va＝vb，故A错误；a、c两点同轴转动，角速度相等，所以ωa＝ωc，故B错误；根据v＝ωR可得，ωaRA＝ωbRB，则ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，a、c两点角速度相等，b、d两点角速度相等，所以ωd＝2ωc，故C错误；由于ωa＝ωc，Ra＝2Rc，故va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，又va＝vb，所以vb＝2vc，故D正确。 考点10　圆周运动的周期性和多解问题 1．问题特点。 (1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 (2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 (3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 2．分析技巧。 (1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 (2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。　 例10.如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是(　　) A．dv＝L2g B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3，…) C．v0＝ω D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…) 答案B　 解析 依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝(n＝1,2,3，…)，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，dv＝L2g，A、D错误。 解决圆周运动多解问题的方法 (1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。 (2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。 变式10．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，重力加速度为g，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。 答案　R　2nπ(n＝1,2,3，…) 解析　小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝。又因为水平位移为R， 所以小球的初速度v＝＝R·， 在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)，其中n为圆盘转动的圈数， 又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3，…)。 考点11　匀速圆周运动的动力学问题 1．向心力的特点：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力是变力。其作用不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 2．向心力的来源：匀速圆周运动中，向心力等于物体的合外力，常等效为三种情况：合力充当向心力，某一个力充当向心力，某个力的分力充当向心力。 3．向心力来源的实例分析。 向心力来源 实例分析 重力提供向心力 如图所示，用细绳拴住小球，使小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若细绳的拉力恰好为零，则此时向心力由小球所受的重力提供 弹力提供向心力 如图所示，绳子的一端系在光滑水平桌面上的O点，另一端系一小球，使小球在桌面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供 摩擦力提供向心力 如图所示，木块随圆盘一起做匀速圆周运动，其所需的向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势的方向沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反。但是，当圆盘光滑(无摩擦力)时，木块将沿切线方向飞出，说明木块相对于地面的运动趋势的方向沿切线方向，而相对于圆盘的运动趋势的方向沿半径向外 合力提供向心力 如图所示，细线拉住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时，向心力由细线的拉力和小球重力的合力提供 分力提供向心力 如图所示，小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动时，向心力由细线的拉力在水平方向的分力提供 匀速圆周运动的动力学问题解题步骤 (1)明确研究对象(做圆周运动的物体)，确定其做匀速圆周运动的轨道平面。 (2)分析几何关系，目的是确定匀速圆周运动的圆心、轨迹半径；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量；分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源。 (3)列方程：沿半径方向合力满足Fx＝mrω2＝m＝，垂直半径方向合力满足Fy＝0。 (4)联立方程求出结果。 例11.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求： (1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系； (2)此时钢绳的拉力。 答案　(1)ω＝　(2) 解析　(1)转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为 R＝r＋Lsin θ， ① 对座椅受力分析，如图所示。 根据几何关系可知：Fn＝mgtan θ， 由向心力的公式得： mgtan θ＝mω2R， ② 由①②得：ω＝。 (2)设钢绳的拉力为FT，由三角函数知： FT＝。 匀速圆周运动问题的求解方法 圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是两类基本问题：由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。整体步骤仍与“牛顿运动定律解决问题”一致。 变式11．如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转轴的距离为r，转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的μ倍，细线所能承受的最大拉力为3μmg。求： (1)当转盘角速度为多少时，细线的拉力为零？ (2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？ 答案　(1)w≤　(2)2 解析　(1)当物体仅由静摩擦力提供向心力时，最大的向心力为μmg，此时μmg≥mω2r， 解得：ω≤。 (2)当拉力达到最大时，转盘有最大角速度ωmax， μmg＋Fm＝mωr， 即：μmg＋3μmg＝mωr， 解得：ωmax＝＝2。 考点12　火车转弯问题分析 1．轨迹分析。 火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。 2．向心力分析。 (1)若转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力。 (2)若转弯时外轨略高于内轨，根据弯道的半径和规定的速度，适当选择内、外轨的高度差，则按规定速度转弯时所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供。 3．规定速度分析。 若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力。则mgtan θ＝m，可得v0＝(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。 4．轨道轮缘压力与火车速度的关系。 (1)当火车行驶速率v等于规定速度v0时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力。 (2)当火车行驶速度v大于规定速度v0时，火车有离心运动趋势，故外轨道对轮缘有侧压力。 (3)当火车行驶速度v小于规定速度v0时，火车有向心运动趋势，故内轨道对轮缘有侧压力。 例12.有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 答案　(1)1×105 N　(2)0.1 解析　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有： FN＝m＝ N＝1×105 N， 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。 (2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m， 由此可得tan θ＝＝0.1。 变式12.上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？ 提示：速率变为原来的倍，则由mgtan θ＝m，可知：若只改变轨道半径，则R′变为900 m，若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225。 火车转弯问题的两点注意 (1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。 (2)受力分析：火车转弯速率大于或小于规定速率时，火车受到三个力的作用，即重力、轨道的支持力和外轨或内轨对火车的侧向挤压力，侧向挤压力的方向沿轨道平面向里或向外，合力沿水平面指向圆心。 变式13．火车转弯时，如果铁路弯道的内、外轨一样高，则外轨对轮缘(如图甲所示)挤压的弹力F提供了火车转弯的向心力(如图乙所示)，但是靠这种办法得到向心力，铁轨和车轮极易受损．在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图丙所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压．设此时的速度大小为v，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　) 　　 A．该弯道的半径R＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度也将改变 C．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 D．按规定速度行驶时，支持力小于重力 答案C　 解析设弯道处倾斜的角度为θ，则火车按规定的速度行驶时，根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m，解得R＝，A错误；由A项的分析可知，火车规定行驶速度为v＝，与火车的质量无关，B错误；当火车速率大于v时，火车的重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车将有离心的趋势，则外轨对轮缘产生向里的挤压，C正确；按规定速度行驶时，支持力为FN＝，支持力大于重力，D错误． 考点13　汽车过拱形桥的动力学分析 两类汽车过拱形桥动力学分析。 项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 向心力的来源 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m 对桥的压力 FN′＝FN＝mg－m FN′＝FN＝mg＋m 超重失重 失重 超重 讨论 (1)当v＝时，FN＝0 (2)当0≤v＜时，0＜FN≤mg，v增大，FN减小 (3)当v＞时，汽车脱离桥面，发生危险 v增大，FN、FN′增大 例13．有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥。g取10 m/s2，求： (1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力F的大小； (2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v0； (3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。 答案　(1)7 600 N　(2)10 m/s(或22.4 m/s)　(3)8 000 m/s 解析　(1)当汽车到达桥顶时，重力、支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg－F＝m， 解得F＝7 600 N。 (2)汽车经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，则FN＝0，汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，有mg＝m， 解得v0＝10 m/s≈22.4 m/s。 (3)汽车要在地面上腾空，所受的支持力为零，重力提供向心力，则有 mg＝m， 解得v′＝8 000 m/s。 对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下： (1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径； (2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源； (3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。 变式14．(2024年佛山七校联考)重庆市巴南区有一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由凹凸路面彼此连接而成如图乙所示．汽车通过路面最低点N和最高点M时速率相等，每一处凹凸路面部分均可看作半径为R的圆弧，汽车经过最低点N时，对路面的压力大小为其所受重力的2倍．已知汽车及车上人的总质量为m，重力加速度大小为g，以下说法正确的是(　　) 　 A．汽车经过N点时的速率为 B．汽车经过M点时对路面恰好无压力 C．汽车经过M点时对路面的压力大于经过N点时对路面的压力 D．汽车经过M点时对路面的压力等于经过N点时对路面的压力 答案B　 解析 汽车经过N点时，根据牛顿第二定律，可得2mg－mg＝m，解得v＝，A错误；同理汽车经过M点时，有mg－FN＝m，联立v＝，解得FN＝0，根据牛顿第三定律可知汽车经过M点时对路面恰好无压力．B正确；综上所述汽车经过M点时对路面的压力小于经过N点时对路面的压力，C、D错误． 考点14　离心运动的理解和应用 1．离心运动的实质。 离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．离心运动的条件。 做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断。 如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F与所需向心力的大小关系决定。 (1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。 (2)若F＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。 (3)若F＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动。 [特别提醒] 1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。 2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。 4．离心运动的应用和防止。 (1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。 (2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。 例14．如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车(　　) A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动 B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动 C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动 D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动 答案B　 解析 缓慢起动时，两只箱子都应该处于受力平衡状态，箱子的运动状态不会改变，即两只行李箱会与车子保持相对静止，选项A错误；急刹车时，箱子由于惯性保持原有运动状态，因此行李箱a会相对车子向前运动，选项B正确；根据F向＝m可知，缓慢转弯时，所需要的向心力会很小，因此静摩擦力足够提供两只行李箱转弯的向心力，所以两只行李箱会与车子保持相对静止，选项C错误；根据F向＝m可知，急转弯时，行李箱b需要的向心力较大，如果行李箱b所受最大静摩擦力不足以提供向心力，则会发生离心运动，即可能会相对车子向外侧运动，选项D错误。 变式15．如图所示，水平地面上放置一滚筒洗衣机，滚筒的内径为40 cm，滚筒壁上有漏水孔；洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动．某次脱水过程中毛毯紧贴在筒壁，与滚筒一起做匀速圆周运动，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　) A．毛毯在滚筒最高点的速度约为2 m/s B．毛毯在滚筒最低点时处于超重状态 C．毛毯上的水在最高点更容易被甩出 D．毛毯上的水因为受到的向心力太大而被甩出 答案B　 解析毛毯恰好能过最高点时，重力恰好能够提供向心力mg＝，代入数据解得速度为2 m/s，但脱水时需线速度远大于2 m/s，才能把水甩出，A错误；毛毯在滚筒最低点时加速度指向圆心，即加速度竖直向上，处于超重状态，B正确；根据牛顿第二定律，在最低点FN1－mg＝，在最高点FN2＋mg＝，则FN1>FN2，说明水在最低点需要更大的支持力，如果水的附着力不够，就容易被甩出，C错误；毛毯上的水因为和毛毯之间的附着力不足以提供向心力而被甩出，D错误． 考点15.水平面内圆周运动问题 1．水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内，多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。 (1)水平面内圆周运动的“摩擦力”模型是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (2)水平面内圆周运动的“弹力”模型是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (3)水平面内圆周运动的“圆锥摆”模型是指依靠弹力(细线拉力或倾斜面弹力)和物体重力的合力使物体在水平面内做圆周运动。 2．两类情况分析。 (1)不滑动。 质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。 (2)绳子被拉断。 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得此时vm＝。 这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 例15.如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心距离r1＝20 cm，B离轴心距离r2＝30 cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的，g取10 m/s2，求： (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度ω应满足什么条件？ (2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？ (3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细线，则A、B将怎样运动？ 答案　(1)ω≤ rad/s　(2)4.0 rad/s　(3)A随圆盘一起转动，B做离心运动 解析　(1)当物块B所需向心力FB≤fmax时，细线上张力为零，随着角速度的增大，当FB＝fmax时，有kmg＝mωr2，得ω0＝＝ rad/s＝ rad/s， 当ω≤ω0＝ rad/s时，细线上不会有张力。 (2)当A、B所受静摩擦力均达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度达到最大值ωmax，超过ωmax时，A、B将相对圆盘滑动(设细线中张力为T) 对A：kmg－T＝mω·r1， 对B：kmg＋T＝mω·r2， 解得ωmax＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。 (3)烧断细线时，A做圆周运动所需向心力FA＝mωr1＝0.32 mg，最大静摩擦力为0.4mg，A随盘一起转动。B此时所需向心力为FB＝mωr2＝0.48mg，大于它的最大静摩擦力0.4mg，因此B将做离心运动，离圆心越来越远。 水平面内圆周运动的临界问题的通解思路 变式16．如图甲所示，游乐园的游戏项目——旋转飞椅，飞椅从静止开始缓慢转动，经过一小段时间，坐在飞椅上的游客的运动可以看作匀速圆周运动．整个装置可以简化为如图乙所示的模型，忽略转动中的空气阻力．设细绳与竖直方向的夹角为θ，则(　　) 　　　　 A．飞椅受到重力、绳子拉力和向心力作用　 B．θ角越大，小球的向心加速度就越大 C．只要线速度足够大，θ角可以达到90°　 D．飞椅运动的周期随着角θ的增大而增大 答案B　 解析飞椅受到重力和绳子的拉力作用，二者的合力提供向心力，A错误；根据牛顿第二定律可知mg tan θ＝man，则向心加速度大小为an＝g tan θ，可知θ角越大，小球的向心加速度就越大，B正确；若夹角可以达到90°，则在水平方向绳子的拉力提供向心力，竖直方向合力为零，但是竖直方向只有重力作用，合力不可能为零，C错误；设绳长为L，则根据牛顿第二定律可知mg tan θ＝m(L sin θ＋d)，整理可以得到T＝，当θ增大则T减小，D错误． 考点16　竖直平面内圆周运动的问题 1．运动性质。 物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，常见两类模型。 2．模型分析。 (1)轻绳和轻杆模型概述。 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。 (2)两类模型分析对比。 对比项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝ v临＝0 讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时， FN＝0 (4)当v＞时， FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 例16.用长L＝0.6 m的绳系着装有m＝0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。g取10 m/s2。求： (1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？ 答案　(1)2.45 m/s　(2)2.5 N 解析　(1)水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。当重力恰好提供向心力时，对应的是水不流出的最小速度v0。 以水为研究对象，mg＝m， 解得v0＝＝ m/s≈2.45 m/s。 (2)因为v＝3 m/s>v0，所以重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。 设桶底对水的压力为F，则由牛顿第二定律有mg＋F＝m， 解得F＝m－mg＝0.5×N＝2.5 N 根据牛顿第三定律F′＝－F， 所以水对桶底的压力F′＝－2.5 N，负号表示方向竖直向上。 变式17.如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于，则此时杆A端的受力大小和方向； (3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况，若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。 答案　(1)　(2)2mg，方向竖直向下(3)O轴能不受力　　 解析　(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则 mg＝m，解得v＝。 (2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为， 对A球有TOA′－mg＝m， 解得TOA′＝2mg，方向竖直向上。 由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。 (3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点。 对B球有TOB″＋2mg＝2m， 对A球有TOA″－mg＝m， O轴不受力时，TOA″＝TOB″，又有vA＝vB， 解得vA＝vB＝。 竖直平面内圆周运动的分析方法 (1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。 (3)分析物体在最高点或最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。 变式18.(多选)如图甲所示，一长度l未知的轻杆，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量m未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，轻杆对小球的弹力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) 甲　　　　　　　乙 A．轻杆长度l＝ B．小球质量m＝－ C．当v2<a时，轻杆中的弹力表现为向下的拉力 D．仅换用长度较短的轻杆做实验，图线b点的位置不变 答案BD　 解析 小球在最高点，当速度为零时，向心力为零，小球的重力与轻杆对小球的弹力大小相等，方向相反，据题图乙可知－b＝mg，解得球的质量为m＝－，故B正确；在最高点，重力和杆的作用力的合力充当向心力，由牛顿第二定律可得F＋mg＝m，化简可得F＝m－mg，由F­v2图像的斜率可得k＝＝，解得轻杆的长度为l＝，故A错误；由题图乙可知，当v2＝a时，轻杆中的弹力为零，故由竖直平面内的圆周运动的临界条件可知当v2<a时，轻杆中的弹力表现为向上的支持力，C错误；由于纵轴截距的绝对值等于球的重力大小，故仅换用长度较短的轻杆做实验，图线b点的位置不变，D正确。 考点17.实验：研究平抛运动 1．实验思路。 (1)提出问题。 平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？ (2)科学猜想。 由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用。因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。 2．进行实验。 方案一：利用频闪照相法探究平抛运动的特点 (1)实验目的。 ①探究平抛运动的轨迹是一条什么曲线。 ②探究平抛运动水平方向和竖直方向是什么运动。 (2)实验原理。 数码相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片，将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线，便得到小球的运动轨迹，如图所示，由于相邻两帧照片间的时间间隔相等，只要测出相邻两帧照片上小球位置间的水平距离和竖直距离，就很容易判断平抛运动在水平方向和竖直方向的运动特点。 (3)数据处理。 ①建立以抛出点为坐标原点，以小球水平抛出时的初速度方向为x轴正方向，以竖直向下为y轴正方向的直角坐标系。 ②测出相邻两帧照片中小球移动的水平距离和竖直距离。 ③根据水平位移和竖直位移随时间变化的具体数据分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点。 (4)结果分析。 水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向的分运动是匀加速直线运动。 方案二：利用描迹法探究平抛运动的特点 (1)实验设计。 实验装置如图所示。小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动。每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置。通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹。 (2)实验器材和步骤。 ①实验器材。 小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等。 ②实验步骤。 a．安装、调整斜槽。 将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图所示。 b．调整木板并确定坐标原点。 用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近。把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点O，O点即坐标原点。利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴。 c．描点。 使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，小钢球从斜槽末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点。重复几次实验，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点。 d．描绘出平抛运动的轨迹。 取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹。 [特别提示]　斜槽的粗糙程度对该实验没有影响，因为每次钢球从同一高度滚下，所受摩擦力相同，到达槽口的速度相同，因此轨迹依然重合，不影响实验结果。 (3)注意事项。 ①应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小钢球的运动靠近坐标纸但不接触。 ②小钢球每次必须从斜槽上同一位置无初速度滚下，在斜槽上释放小钢球的高度应适当，使小钢球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。 ③坐标原点(小钢球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小钢球在槽口时球心在坐标纸上的水平投影点。 例17．(1)(多选)在做“研究平抛运动”的实验中，以下操作可能引起实验误差的是(　　) A．安装斜槽时，斜槽末端切线方向不水平 B．确定Oy轴时，没有用重垂线 C．斜槽不是绝对光滑的，有一定摩擦 D．每次从轨道同一位置释放小球 (2)如图所示为某次实验中一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm.如果g取10 m/s2，那么： ①闪光频率是 ______Hz. ②小球平抛时的初速度的大小是______m/s. ③小球经过B点的速度大小是__________m/s. 答案(1)AB　(2)①10　②1.5　③2.5 解析(1)当斜槽末端切线没有调整水平时，小球脱离槽口后并非做平抛运动，但在实验中，仍按平抛运动分析处理数据，会造成较大误差，故斜槽末端切线方向不水平会造成误差；确定Oy轴时，没有用重垂线，就不能调节斜槽末端切线水平，会引起实验误差，A、B均会引起误差．只要让小球从同一高度、无初速度开始运动，在相同的情形下，即使球与槽之间存在摩擦力，仍能保证球做平抛运动的初速度相同，因此，斜槽轨道不必光滑，所以不会引起实验误差．每次从轨道同一位置释放小球不会引起实验误差，故C、D均不会引起误差． (2)在竖直方向上有Δh＝gT2，其中Δh＝10 cm，代入求得T＝0.1 s，因此闪光频率为f＝＝10 Hz.水平方向匀速运动，有s＝v0t，其中s＝3l＝15 cm，t＝T＝0.1 s，代入解得v0＝1.5 m/s.根据匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，在B点有vy＝＝2 m/s. 所以B点速度为vB＝＝2.5 m/s. 变式20．图甲是“研究物体的平抛运动”的实验装置图． (1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线________．每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛________． (2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________m/s.(g＝9.8 m/s2) (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每个格子的边长L＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为______m/s，B点的竖直分速度为________m/s.(g取10 m/s2) 答案(1)水平　初速度相同　(2)1.6(3)1.5　2.0 解析(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线水平，目的是保证小球的初速度水平，从而做平抛运动，每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛初速度相同，从而保证画出的为一条抛物线轨迹． (2)根据y＝gt2，得t＝＝ s＝0.2 s，则小球平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝1.6 m/s. (3)在竖直方向上，根据Δy＝2L＝gT2，则T＝0.1 s. 则小球平抛运动的初速度为v0＝＝1.5 m/s， B点的竖直分速度为vyB＝＝2.0 m/s. 考点 18.实验：探究向心力大小的表达式 一、实验原理与设计 1．实验的基本思想——控制变量法。 在物理实验中，根据实验需求，要注意使实验过程中的不同变量保持不变。 2．设计思路。 (1)若要讨论向心力与质量的关系，应控制半径、角速度不变。 (2)若要讨论向心力与半径的关系，应控制质量、角速度不变。 (3)若要讨论向心力与角速度的关系，应控制质量、半径不变。 二、实验器材 向心力演示器、天平、质量不等的若干小球等。 三、实验步骤 1．测量质量：分别用天平测量各小球的质量，并做标记。 2．调节两轮角速度：用皮带连接半径相同的两个塔轮，以确保运动过程中角速度不变。 3．放置小球：将两质量不同的小球分别放于长槽和短槽上，调整小球的位置，使两球的转动半径相同。 4．收集数据：转动手柄，观测向心力的大小和质量的关系。 5．改变半径：换成两质量相同的小球，分别放于长槽和短槽上，增大长槽上小球的转动半径。转动手柄，观察向心力的大小和半径的关系。 6．改变小球的角速度：将质量相同的两小球分别置于长槽和短槽上，确保两小球半径相同，用皮带连接半径不同的两个塔轮，根据两个塔轮半径关系求解小球做圆周运动的角速度的关系。 四、数据收集与分析 1．列F、m数据收集表格。 把不同质量的小球放在长槽和短槽内，确保小球的轨道半径和角速度相同，把小球的向心力和质量填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 质量 向心力 2．作F­m图像。 以F为纵坐标、m为横坐标，根据数据作F­m图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与m的关系。 3．列F、r数据收集表格。 量和角速度相同，把小球的向心力和半径填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 半径 向心力 4．作F­r图像。 以F为纵坐标、r为横坐标，根据数据作F­r图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与r的关系。 5．列F、ω数据收集表格。 把相同质量的小球分别放在长槽和短槽内，确保小球的质量和半径相等，把小球的向心力和角速度以及角速度的二次方填在下表中： 实验序号 1 2 3 4 5 角速度ω 角速度的二次方ω2 向心力 6．作F­ω2图像。 以F为纵坐标、ω2为横坐标，根据数据作F­ω2图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与ω2的关系。 五、实验结论 1．在半径和角速度相同时，向心力与质量成正比。 2．在质量和角速度相同时，向心力与半径成正比。 3．在半径和质量相同时，向心力与角速度的二次方成正比。 4．通过归纳和推导，可得向心力的表达式：Fn＝mrω2＝m＝mωv＝mr。 六、注意事项 1．实验前要做好横臂支架的安全检查，螺钉是否有松动。 2．标尺格数比应选择最小格数进行，使学生容易看清格数比。如：F1∶F2＝1∶4，可以选择2格和8格，但最好使用1格和4格。 3．转动转台时，应先让一个套筒的标尺达到预定的整数格，然后观察另一个套筒的标尺。 4．实验时，转速应从慢到快。 例20.如图所示，图甲为“利用向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为其俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时， 甲　　　　　　　　乙 (1)两槽转动的角速度ωA ωB(选填“＞”“＝”或“＜”)。 (2)现有两个质量相同的钢球，球1放在A槽的横臂挡板处，球2放在B槽的横臂挡板处，它们到各自转轴的距离之比为2∶1，则钢球1、2的线速度之比为 ；当钢球1、2各自对应的标尺露出的格数之比为 时，向心力公式F＝mω2r得到验证。 答案　(1)＝　(2)2∶1　2∶1 解析　(1)因a、b两轮通过皮带相连，且a、b两轮半径相同，故两轮角速度相同；而A、B槽分别与a、b轮同轴固定，故两槽的角速度分别与两轮的角速度相等，综上可知两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。 (2)钢球1、2的角速度相同，做匀速圆周运动的半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，钢球1、2的线速度之比为2∶1，根据向心力公式F＝mω2r可知，钢球1、2受到的向心力之比为2∶1，则当它们各自对应的标尺露出的格数之比为2∶1时，向心力公式F＝mω2r得到验证。 变式21．(河北石家庄统考)某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与角速度大小关系的实验．水平直杆随竖直转轴一起转动，滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细绳处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得． 　 (1)滑块和角速度传感器的总质量为20 g，保持滑块到竖直转轴的距离不变，多次仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及角速度传感器的示数ω，根据实验数据得到的图像F­ω2如图乙所示，图像没有过坐标原点的原因是__________，滑块到竖直转轴的距离为__________m．(计算结果保留三位有效数字) (2)若去掉细线，仍保持滑块到竖直转轴的距离不变，则转轴转动的最大角速度为__________rad/s. 答案(1)水平杆不光滑　0.257　(2)5 解析(1)若水平杆不光滑，则滑块转动过程中当角速度较小时只有静摩擦力提供向心力，随着角速度增大摩擦力逐渐增大，当摩擦力达到最大值时继续增大转速绳子开始出现拉力，则有F＋fmax＝mrω2，则有F＝mrω2－fmax，图像不过坐标原点．由图像可知斜率为k＝mr＝，解得r≈0.257 m. (2)由图像可知，当F＝0时，fmax＝mrω，则转轴转动的最大角速度为ω＝25 (rad/s)2，解得ω0＝5 rad/s. 1．自行车在水平路面上运动的轨迹如图所示，则(　　) A．①可能是合外力的方向 B．②可能是速度的方向 C．③可能是加速度的方向 D．④可能是加速度的方向 答案C　 解析由图可知①处向左下方弯曲，则受力的方向大体上指向凹侧，不可能沿①的方向，A错误；曲线运动的速度方向是曲线上该点的切线方向，所以②处速度应沿曲线切线方向，B错误；由于受力的方向与曲线弯曲的方向一致，所以加速度的方向也大体上指向曲线弯曲的方向，故③的方向可能为该处的加速度方向，④不可能为加速度的方向，C正确，D错误．故选C. 2．足球比赛中，如果有球员违规踢球，则会被判罚给对方球队踢任意球的机会．如图为任意球的轨迹示意图．足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能正确的是(　　) A B C D 答案D　 解析当合力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动，曲线运动的轨迹特点是：速度方向与轨迹相切，轨迹夹在合力方向与速度方向之间，合力指向轨迹凹的一侧，并且轨迹向合外力方向弯曲．根据该特点知，A、B、C错误，D正确． 3．如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在质点B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是(　　) A．D点的速率比C点的速率大 B．A点的加速度与速度的夹角小于90° C．A点的加速度比D点的加速度大 D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小 答案A　 解析 质点做匀变速曲线运动，合力的大小和方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D的过程中，合力方向与速度方向夹角小于90°，速率增大，A正确；A点的加速度方向与过A的切线，即速度方向夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误。 4．(汕尾期末)总长约55千米的港珠澳大桥是全球规模最大的跨海工程．如图所示的路段是其中一段半径约为120 m的圆弧形弯道，路面水平，若汽车通过该圆弧形弯道时视为做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力约为正压力的0.8倍，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．汽车转弯过程受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．汽车以108 km/h的速率可以安全通过此弯道 C．汽车速度太大时做离心运动是因为受到了离心力作用 D．下雨天时，汽车应以较小速度转弯，保证其受到的合外力大于需要的向心力 答案B　 解析汽车转弯过程受重力、支持力、摩擦力和牵引力，合外力为径向静摩擦力，指向圆心，充当向心力，A错误；汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径R＝120 m，径向静摩擦力提供向心力，根据0.8mg＝m，最大安全速度v＝＝ m/s≈31 m/s＝111.6 km/h>108 km/h，B正确；速度太大时做离心运动是因为实际受到的力不足以提供所需向心力，C错误；雨天时汽车以较小速度转弯做圆周运动，合力等于向心力，D错误． 5．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　) A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力有关 D．运动员着地速度与风力无关 答案B　 解析 运动员同时参与了两个分运动，沿竖直方向下落和水平方向随风飘，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，会对运动员造成伤害，但落地时间仅与下落的高度有关，不变，故B正确。 6．某品牌的机械鼠标内部构造如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2 cm，某次操作中将鼠标沿直线匀速移动12 cm需要1 s，则定位球的角速度为(　　) A． rad/s　　　　　　 B． rad/s C．6 rad/s D．12 rad/s 答案D　 解析 根据线速度定义式有v＝，那么定位球的线速度为v＝＝12 cm/s，而线速度与角速度的关系为v＝ωr，则定位球的角速度为ω＝＝＝12 rad/s，故A、B、C错误，D正确。 7．(多选)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来，a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶3∶2 B．角速度大小之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．周期之比为2∶3∶3 答案AD　 解析 A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点的线速度大小相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝，有Ta∶Tb＝2∶3；B轮、C轮是同轴传动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶Tc＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，na∶nb∶nc＝3∶2∶2，Ta∶Tb∶Tc＝2∶3∶3。故A、D正确，B、C错误。 8．(多选)如图所示，质量相等的A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，且与圆筒保持相对静止，下列说法正确的是(　　) A．线速度vA>vB B．运动周期TA＝TB C．筒壁对它们的弹力NA＝NB D．它们受到的摩擦力fA＝fB 答案BD　 解析A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，ωA＝ωB，RA<RB，根据v＝ωR可知线速度vA<vB，A错误；因为A、B两物体随竖直圆筒一起做匀速圆周运动，ωA＝ωB，根据T＝知运动周期TA＝TB，B正确；筒壁对它们的弹力提供向心力，RA<RB，根据向心力公式N＝mω2R可知筒壁对它们的弹力NA<NB，C错误；A、B两物体与圆筒保持相对静止，竖直方向受力平衡，摩擦力和重力大小相等，mA＝mB，根据平衡条件，f＝mg可知fA＝fB，D正确． 9．(多选)在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．为了避免事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中合理的是(　　) A．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯 B．改进路面设计，减小车轮与路面间的摩擦 C．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高 D．改造此段弯路，使弯道内侧高、外侧低 答案AC　 解析车发生侧翻是因为提供的力不够做圆周运动所需的向心力，发生离心运动，故减小速度可以减小向心力，可以防止侧翻现象，A正确；在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，故可以通过改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦力，B错误；易发生侧翻也可能是路面设计不合理，公路的设计上可能内侧高、外侧低，重力沿斜面方向的分力背离圆心，导致合力不足以提供向心力而致；故应改造路面使内侧低、外侧高，C正确，D错误． 10．如图所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点、Q点．已知O点是M点在地面上的竖直投影，∶＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．两小球的下落时间之比为1∶3 B．两小球的下落时间之比为1∶4 C．两小球的初速度大小之比为1∶3 D．两小球的初速度大小之比为1∶4 答案D　 解析依题意两小球下落高度相同，根据公式h＝gt2，所以两小球的下落时间之比为1∶1，A、B错误；两小球的水平分位移之比为＝＝.又x＝v0t，解得＝， C错误，D正确． 11．如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏．无人机以v0＝2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球(可看作质点).此时释放点到水平地面的距离h＝20 m，空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.小球的落地点到释放点的水平距离为(　　) A．20 m 　 B．10 m　 C．4 m 　 D．2 m 答案C　 解析小球释放后在空中做平抛运动，由竖直方向做自由落体运动h＝gt2，得小球在空中运动时间t＝＝ s＝2 s．小球在水平方向上是匀速直线运动，小球的落地点到释放点的水平距离为x＝v0t＝2×2 m＝4 m，C正确． 12．如图所示，从水平地面上不同位置斜向上抛出的三个小球沿三条不同的路径运动，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的．若忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是(　　) A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小 B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长 C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等 D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等 答案C　 解析 将斜抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动．竖直方向上，根据h＝gt2，且vy＝gt，由于三个小球竖直上升的高度相同，因此运动时间相同，并且抛出的初速度的竖直分量相等，B错误，C正确；由于在相等的时间内，球1的水平位移最大，因此抛出时，球1的初速度的水平分量最大，而落地时竖直分量相等，因此落地时，球1的速率最大，A、D错误． 13．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L.假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α.运动员可视为质点，不计空气阻力，则有(　　) A．tan α＝2　 B．tan α＝1　 C．tan α＝　 D．tan α＝ 答案B　 解析腾空过程中离地面的最大高度为L，从最高点到落地过程中，做平抛运动．根据平抛运动规律，L＝gt2，解得t＝，运动员在空中最高点的速度即为运动员起跳时水平方向的分速度，根据分运动与合运动的等时性，则水平方向的分速度为vx＝＝，根据运动学公式，在最高点竖直方向速度为零，那么运动员落到地面时的竖直分速度为vy＝gt＝，运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角的正切值为tan α＝＝＝1，B正确，A、C、D错误． 14.(多选)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，火车质量为m(未画出)，下列说法正确的是(　　) A．若转弯时速度小于，则外轨对外侧车轮轮缘有挤压 B．若转弯时速度小于，则内轨对内侧车轮轮缘有挤压 C．若转弯时速度小于，这时铁轨对火车的支持力大于 D．若转弯时速度等于，这时铁轨对火车的支持力等于 答案BD　 解析 当火车的侧向压力为零时，重力和支持力提供向心力有：F向＝mgtan θ＝m，解得：v＝，当速度小于时，火车有近心趋势，对内轨有挤压，故A错，B对；当速度小于时，设内轨对火车的支持力为N′，轨道对火车的支持力为N，根据竖直方向平衡有：Ncos θ＋N′sin θ＝mg，所以铁轨对火车的支持力小于，故C错；当速度等于时，侧向弹力为零，根据竖直方向平衡有：Ncos θ＝mg，铁轨对火车的支持力为，故D对。 15．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　) A．小汽车通过桥顶时处于失重状态 B．小汽车通过桥顶时处于超重状态 C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于 答案A　 解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝m，FN≥0解得v1≤，D错误。 16．如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法错误的是(　　) A．若v0＝，则小球对管内壁无压力 B．若v0>，则小球对管内上壁有压力 C．若0<v0<，则小球对管内下壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案D　 解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压力，A正确；若v0>，则有mg＋FN＝m，表明管内上壁对小球有向下的力，则小球对管内上壁有向上的压力，B正确；若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明管内下壁对小球有向上的力，则小球对管内下壁有向下的压力，C正确，D错误． 17.伴随国民物质文化生活的日益丰富，大众的健康意识不断增强，对膝盖损耗较小的骑行运动越来越受欢迎。图中的气嘴灯是下端安装在自行车的气嘴上的饰物，骑行时会自动发光，炫酷异常。一种气嘴灯的感应装置结构如右图所示，一重物套在光滑杆上，并与上端固定在A点的弹簧连接，弹簧处于拉伸状态，触点M与触点N未接触。当车轮转动，弹簧再次拉伸，当重物上的触点M与触点N接触，电路连通，LED灯就会发光。关于此灯下面说法中正确的是（　　）    A．停车时也会发光，只是灯光较暗 B．骑行达到一定速度值时灯才会亮 C．无论车轮转多快，气嘴灯都无法在圆周运动的顶端发亮 D．此感应装置的发光利用重物的向心运动实现 答案B 解析 A．停车时，车轮未转动，重物不能做离心运动，从而使M点与N点不接触，不能发光，故A错误； B．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当骑行达到一定速度值时，转速达到一定值，触点M与触点N接触，气嘴灯可以发光，故B正确； C．触点M做离心运动，转速越大，触点M离圆心越远，当转速足够大时，触点M可以始终与触点N接触，气嘴灯可以一直发光，故C错误； D．离心现象是指做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，感应装置的原理正是利用离心现象，使两触点接触而点亮LED灯，故D错误。 故选B。 18．(佛山一中月考)荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图甲所示某同学正在荡秋千，图乙中A和B分别为运动过程中的最高点和最低点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　　) 　　 A．在A位置时，该同学速度为零，处于超重状态 B．在A位置时，该同学速度为零，处于平衡状态 C．在A位置时，该同学所受的合外力的方向和指向3相符 D．在A位置时，该同学所受的合外力的方向和指向2相符 答案D　 解析在A位置时，该同学速度是零，即沿绳子方向的合力是零，此时其合力等于重力沿圆弧切向分力，即合外力的方向和指向2相符，因此受力不平衡，加速度沿圆弧的切线方向，有竖直向下的分量，则处于失重状态，A、B、C错误，D正确． 20．如图所示，质量相等的甲、乙两人分别站在赤道和纬度为45°的地面上，他们随地球一起绕地轴做匀速圆周运动，则下列物理量相同的是(　　) A．线速度 　 B．角速度 C．向心力 　 D．向心加速度 答案B　 解析 甲、乙两人站在地球上都随地球转动，角速度均与地球自转角速度相等，由v＝rω可知，甲做圆周运动的半径较大，线速度较大，A错误，B正确；做匀速圆周运动的向心力、向心加速度可表示为F＝mrω2、a＝rω2，由于甲、乙做圆周运动的半径r不相等，则向心力、向心加速度大小均不相等，C、D错误． 21．(长春外国语学校期末)如图是生活中常见的厨房水槽，A、B分别是水槽出口上的两点，当出水口绕转轴O转动，如图，v代表线速度，ω代表角速度，a代表向心加速度，T代表周期，则下列说法正确的是(　　) A．vA>vB，TA>TB　 B．ωA>ωB，aA>aB C．vA<vB，aA<aB　 D．aA>aB，TA＝TB 答案C　 解析当出水口绕转轴O转动，A、B的角速度、周期都相等，则ωA＝ωB，TA＝TB.由v＝ωr，又rB>rA，所以vA<vB，由a＝ω2r，rB>rA，所以aB>aA，故选C. 22．如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．线速度vA＝vB 　　　　 B．线速度vA＞vB C．周期TA＜TB 　　　　 D．向心加速度aA＝aB 答案B　 解析 由题意可知A、B两物体角速度相等，A的运动半径比B的运动半径大，根据v＝ωr，T＝，a＝ω2r，可知vA＞vB，TA＝TB，aA＞aB，A、C、D错误，B正确． 23．利用图甲装置研究平抛运动规律，用小锤敲击弹性金属片，小球A就沿水平方向飞出做平抛运动；同时B球被松开，做自由落体运动．图乙是该装置某次实验的高速数码连拍照片，该相机每秒钟能拍摄20次，图中背景为边长为l＝0.049 m的正方形，分析照片： (1)能说明A球在竖直方向做自由落体运动的证据是__________________________ ______________________________________________； (2)能说明A球在水平方向做匀速直线运动的证据是_____________________________ ___________________________________________； (3)小球平抛运动的初速度大小为_____m/s.(结果保留到小数点后两位) 　 答案(1)同一时刻两球处于同一高度　(2)小球A在相邻两个位置的水平距离相等 (3)0.98 解析(1)本实验中A做平抛运动，B做自由落体运动，同一时刻两球处于同一高度，说明竖直方向运动情况相同，所以A竖直方向的分运动是自由落体运动； (2)小球A在相邻两个位置的水平距离相等，说明水平方向做匀速直线运动； (3)相机每秒钟能拍摄20次，则照片中相邻小球间的时间间隔为T＝ s＝0.05 s，由于小球A在水平方向做匀速直线运动，则其水平方向初速度为v0＝＝ m/s＝0.98 m/s. 24．在研究平抛运动的实验中： (1)为减小空气阻力对小球运动的影响，应采用(　　) A．空心小铁球　 B．实心小铁球 C．实心小木球　 D．以上三种小球都可以 (2)安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是(　　) A．保证小球飞出时，初速度水平　 B．保持小球飞出时，速度既不太大，也不太小 C．保证小球在空中运动的时间每次都相等　 D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线 (3)如图所示，某同学在做平抛运动的实验时，小球运动过程中先后经历了轨迹(轨迹未画出)上的a、b、c、d四个点；已知图中每个小方格的边长l＝1.6 cm，g取10 m/s2.请你根据小方格纸上的信息，完成下列问题． ①若已知平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，则小球运动过程中从a→b、b→c、c→d所经历的时间 ________(填“相同”或“不同”). ②小球平抛运动的初速度v0＝________ m/s. ③小球在b点时的速率为vb＝________m/s.(计算结果均保留两位有效数字) 答案(1)B　(2)A　(3)①相同　②0.80　③1.0 解析(1)为了减少空气阻力对小球的影响，要选择体积较小、质量较大的小球，故选实心小铁球，B正确，A、C、D错误． (2)斜槽末端的切线必须是水平的，是为了保证小球抛出后做平抛运动，A正确，B、C、D错误． (3)①小球在水平方向做匀速直线运动，由于a→b、b→c、c→d的水平间距相等，所以所经历的时间相同． ②在竖直方向上有Δy＝gT2，则有T＝＝ s＝0.04 s，可得小球平抛运动的初速度v0＝＝0.80 m/s. ③b点竖直方向的分速度vby＝＝＝0.60 m/s，小球在b点时的速率为vb＝＝1.0 m/s. 25．(2024年哈尔滨九中校考)用如图所示的实验装置探究影响向心力大小的因素．已知长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等，转动手柄使长槽和短槽分别随塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动．挡板对球的支持力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略估算出两个球所受向心力的比值． (1)本实验所采用的实验探究方法是____________． (2)探究向心力和角速度的关系时，应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的两个小球各自放在挡板________(填“A和B”或“A和C”或“B和C”)处． (3)皮带套左右两个塔轮的半径分别为R1、R2，某次实验使R1＝3R2，则A、C两处的角速度之比为________． 答案(1)控制变量法　(2) A和C(3)1∶3 解析(1)实验装置是为了探究影响向心力大小的因素，因此实验所采用的实验探究方法是控制变量法． (2)探究向心力和角速度的关系时，应控制圆周运动的半径不变，即应将皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的两个小球各自放在挡板A和C处． (3)皮带连接的边缘的线速度相等，根据v＝ω1R1＝ω2R2，解得＝＝. 26． (2023年浙江台州统考) (1)如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置． ①下列实验的实验方法与本实验相同的是________； A．探究平抛运动的特点 B．探究加速度与力、质量的关系 C．探究两个互成角度的力的合成规律 ②当探究向心力的大小F与半径r的关系时，需调整传动皮带的位置使得左右两侧塔轮轮盘半径________(填“相同”或“不同”)； (2)在研究牛顿第三定律时，将两个完全相同的弹簧测力计通过挂钩悬挂对拉，如图所示，甲弹簧测力计在上，乙弹簧测力计在下．若将两个弹簧的位置互换重复实验，则甲弹簧测力计和乙弹簧测力计示数的变化情况为________． A．甲变小　 B．甲不变 C．乙变小　 D．乙不变 答案(1)①B　②相同　(2)A 解析(1)①本实验采用的实验方法是控制变量法．探究平抛运动的特点实验采用的实验方法是等效思想，A错误；探究加速度与力和质量的关系实验采用的实验方法是控制变量法，B正确；探究两个互成角度的力的合成规律实验采用的实验方法是等效替代法，C错误． ②当探究向心力的大小F与半径r的关系时，应保证小球的质量和角速度不变，所以需调整传动皮带的位置使得左右两侧塔轮轮盘半径相同． (2)由于弹簧测力计重力的影响，使得上面弹簧测力计的读数大于下面弹簧测力计的读数，所以甲、乙位置互换后，甲的读数减小，乙的读数增大． 27．(2024年深圳联考)离心试验器的原理图如图所示，可以测试人的抗荷能力．被测者坐在椅子上随平台做匀速圆周运动，已知人的质量为m，图中的直线AB的长度为L，与竖直方向成30°角，AC的长度为r，求： (1)人需要的向心力大小； (2)人对椅子的压力； (3)平台做匀速圆周运动周期T. 解析(1)以人为研究对象，人做匀速圆周运动，人所受重力和支持力的合力提供向心力，如图所示． 则人需要的向心力大小Fn＝mgtan 30°＝mg. (2)人受到的支持力FN＝＝mg， 则人对座椅的压力大小为F′N＝FN＝mg，方向垂直于座椅面向下． (3)根据牛顿第二定律有mgtan 30°＝mR， 根据几何关系有R＝r＋Lsin 30°＝r＋， 解得T＝π. 28．如图所示，已知绳长L＝20 cm，水平杆长L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)求： (1)要使绳子与竖直方向成45°角，该装置必须以多大的角速度转动？ (2)此时绳子的张力为多大？ 解 (1)小球绕杆做圆周运动，其轨道平面在水平面内，绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．小球受力如图所示． 则在竖直方向上，F cos θ＝mg， 在水平方向上，F sin θ＝mrω2， r＝L′＋L sin θ， 联立以上三式，得ω＝， 将数值代入，可解得ω≈6.4 rad/s. (2)绳子的张力F＝≈4.24 N． 29.某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径，最高点为A点；凹弧的半径，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车特技演员穿越桥面，设特技演员与摩托车总质量为，穿越过程中可将车和演员视为质点，取，忽略空气阻力。试求： （1）当摩托车以的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小； （2）当摩托车以的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小； （3）为使得越野摩托车始终不脱离桥面，过A点的最大速度。    答案（1）；（2）1800N；（3） 解析（1）摩托车通过凸弧最高点A时，由牛顿第二定律有 解得 （2）摩托车通过凹弧最低点B时，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知，车对桥面的压力大小等于桥面对车的支持力大小，为1800N。 （3）越野摩托车过凹凸桥分析可知，凹桥超重，凸桥失重，过凸桥最高点与桥面的挤压为零时，有 解得 30．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h. (1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围． 解析 (1)打在中点的微粒h＝gt2，解得t＝. (2)打在B点的微粒v1＝，2h＝gt，解得v1＝L. 同理，打在A点的微粒初速度v2＝，h＝gt，解得v2＝L. 所以微粒初速度范围为L≤v≤L. 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$