精品解析：甘肃省定西市岷县第一中学等4校2026届高三下学期二诊模拟考试数学试卷

2025-2026学年岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学高三二诊模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（      ） A. 43 B. C. D. 42 6. 已知正实数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 0 7. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 10. 设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 4 11. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点逆时针旋转后与圆恰有两个交点，则的取值范围是___________． 13. 在中，若，则的最小值为________. 14. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. （1）估算成绩的中位数； （2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； （3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 16. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角C； （2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长. 18. 已知双曲线与双曲线的焦距相等. （1）求的值及的离心率. （2）设为坐标原点，直线且与交于两点. （i）若，证明：. （ii）若直线的斜率之积为，证明：直线不经过的左焦点. 19. 对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． （1）判断是否为“上界数列”，并说明理由； （2）若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； （3）若，数列的“上界临界值”为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学高三二诊模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性即对数型复合函数的定义域确定集合，再结合交集、并集运算即可求解. 【详解】当时，， 所以， 由得， 所以， 所以，， 故选：D 2. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 3. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 5. 已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（      ） A. 43 B. C. D. 42 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 当时，， 则直线，直线， 联立方程，消去y可得， 则，可得； 联立方程，消去y可得， 则，可得， 所以四边形的面积为. 6. 已知正实数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】， 由基本不等式得，，即， 又因为恒成立，所以， 故即， 所以． 7. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 8. 已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为 ， 因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为. 所以函数的最小正周期为，可得，即， 由可得， 解得或， 当时，， 由可得，可得，解得， 所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解， 令， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简，再计算即可； 【详解】 选项A：，故正确； 选项B：，故正确； 选项C：，实部为，虚部为，故错误； 选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确； 故选:ABD 10. 设点是边长为2的正方形内部及边界上的动点，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】BCD 【解析】 【详解】以为原点，分别为轴建立直角坐标系， 则，设， ， 所以， 又，当时取得最小值为， 因为，所以， 当时取得最大值为， 则的取值范围为，选项BCD符合. 11. 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件可得直线过定点，再结合题设条件，可将问题转化成与直线恰有个交点，求出过点且与相切的直线方程，可得到，再对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为成等差数列，则，代入得到， 整理得到，令，解得， 所以直线过定点，又由，得到， 因为方程组恰有组解，则与直线恰有个交点， 设过点的直线与切于点， 又，则，得到，解得 所以过点且与相切的直线方程为，即， 又的斜率为，由图可知，要使与直线恰有个交点， 则，即，所以，，故A和D正确， 取，显然满足，但，所以B错误， 取，显然满足，但，所以C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点逆时针旋转后与圆恰有两个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】直线的斜率为1，过点， 绕原点逆时针旋转后，斜率为，过点， 得到直线，若该直线与圆存在两个公共点， 则圆心到直线的距离， 解得，即的取值范围是． 13. 在中，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到均为锐角，，利用三角恒等变换，换元后，得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】，若，则，此时均为钝角，不合要求， 故，，即均为锐角，， ， 故 ， 令，因为，所以，， 则， 令，则， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 14. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，易知，利用垂径定理和三角形等面积可得，结合点到直线的距离公式可知当最小时取得最大值，进而求解. 【详解】由题意知，， 则圆心，半径， 如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B， 连接AB，CA，CB，CP，则，易知， 所以，有，， 所以，得， 当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为 ，此时，所以； 又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以， 所以，即线段AB的长度的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. （1）估算成绩的中位数； （2）以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； （3）用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，求得，再由中位数的求法，即可求解； （2）根据题设有，再二项分布的概率公式及期望的计算公式，即可求解； （3）由题可知的可能取值为，再求出相应取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由图知，解得， 设中位数为，则，解得. 【小问2详解】 由题知成绩在内的概率为，， 的可能取值为， 又，， ，， 所以的分布列为 . 【小问3详解】 因为，则抽取的人中，有个成绩在，个在， 由题知的可能取值为， 又，，， 所以的数学期望为. 16. 如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 取中点，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面， 设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 解得， 所以， 因为底面， 所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角C； （2）若的面积为，点D为AB中点，且，求c边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和消去角A，求角C； （2）先利用向量运算及三角形面积公式得到边a，b的关系，再利用余弦定理求边c. 【小问1详解】 由得 ， ， 因为 所以. 【小问2详解】 由已知得， 所以 ， 所以， 所以， 因为的面积为，所以， 即，， 由余弦定理得 ， 所以. 18. 已知双曲线与双曲线的焦距相等. （1）求的值及的离心率. （2）设为坐标原点，直线且与交于两点. （i）若，证明：. （ii）若直线的斜率之积为，证明：直线不经过的左焦点. 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程，解得，然后由离心率的公式求得离心率； （2）设交点坐标，（i）将直线方程代入双曲线方程后得到一元二次方程，利用交点弦长公式及韦达定理求得，即可得证； （ii）将直线方程代入双曲线方程后得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标的和及积，写出，由，建立方程.假设直线经过的左焦点，由点坐标得到的数量关系，代入方程后由方程无解得到矛盾，从而得证. 【小问1详解】 依题意可得，解得， 所以双曲线中，，则， 所以的离心率. 【小问2详解】 设. （i）证明：将代入，得， 则， 所以. （ii）将代入得， 则， . ，∵， ∴， 则整理得. 的左焦点的坐标为，假设直线经过的左焦点，则， 则， 因为，所以，所以，即， 这与矛盾，所以假设不成立，故直线不经过的左焦点. 19. 对于数列，若存在常数满足，则称为“上界数列”，为的“上界”，并把最小的值叫做“上界临界值”，记为．记数列的前项和为，已知，． （1）判断是否为“上界数列”，并说明理由； （2）若，为数列的前项和，求数列的“上界临界值”； （3）若，数列的“上界临界值”为，证明：． 【答案】（1）不是“上界数列”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用的关系先求通项，再根据新定义确定即可； （2）利用裂项相消法求和得，再利用数列的单调性结合新定义计算即可； （3）利用放缩法将，结合等比数列求和公式得，根据新定义证明即可. 【小问1详解】 当时，，作差得， 因为，所以， 又当时，，所以， 即是以1为首项，1为公差的等差数列，， 由于数列是无限递增的，显然不存在常数满足， 所以不是“上界数列”； 【小问2详解】 由上可知， 所以， 因为，所以单调递增，且， 所以， 所以数列的“上界临界值”； 【小问3详解】 易知， 所以， 显然单调递增，且，n越大，该数值越接近0，故， 由于上述不等式取不得等号，所以数列的“上界临界值”. 【点睛】思路点睛：准确理解新定义的概念，利用等比数列的求和公式、错位相减法或裂项相消法，证明数列不等式常用到放缩法，注意精度即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $