精品解析：甘肃陇南市成县第一中学等校2025-2026学年高三下学期二诊模拟考试数学试卷

绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 二诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（ ） A. B. C. D. 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 5. 已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 6. 若正实数x满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的零点构成的集合是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 13. 已知的面积为1，，，则_______． 14. 某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 17. 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形，，，四边形PDCE为矩形，平面平面ABCD，F为PA的中点，N为PC与DE的交点，，. （1）求证：平面； （2）若G是线段CD上一点，平面PBC与平面EFG所成角的余弦值为，求DG的长. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，证明：当时，. （3）若有两个零点，求a的取值范围. 19. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学高三 二诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 复数的共轭复数为. 3. 已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 4. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 5. 已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知计算可得所以直线的斜率为，直线的斜率为，设，由，解得，代入双曲线方程计算即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 设，则有，解得， 代入双曲线方程，得， 又，所以， 化简可得：，， 所以，解得或(,舍). 故选：B 6. 若正实数x满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的性质，指数函数、对数函数单调性求出范围. 【详解】依题意，， 同理， 令，则， 因此， 令函数， 而函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 又， 则，即， 因此，解得. 7. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 【答案】AB 【解析】 【分析】由相关系数的概念可判断A，根据独立得到，由事件互斥，可判断B，由卡方计算公式可判断C，通过举反例可判断D. 【详解】由相关系数的概念可知A正确， 对于B选项，若事件相互独立，则， 若事件互斥，则，矛盾， 故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确， 对于C，因为，当扩大到原来的10倍， 则的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响，C错误. 对于D，由总平均数， 可得，即或， 取，数据，得； 取，数据，得， 此时满足， 计算总方差， 而，显然，不等式不成立，D错误. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A. B. 与所成角的正弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 多面体的内切球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、等体积法求点面距离、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 作的中点，连，， 易得，所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错； 对于C，点是的中点，所以点到平面的距离是点B到平面的距离的一半， 又平面，设垂足为，利用等体积法， ， 高为点到平面的距离，即正方体的棱长 ， ， 底面是等边三角形，边长为，面积为：， 高为点到平面的距离，即，， 令两个体积相等：， 正方体的体对角线，因此：，故， 故点到平面的距离为，C正确； 对于D，易知是正八面体，棱长为， 体积：正八面体可看作两个正四棱锥，底面积，高，， 表面积：每个面是边长为的正三角形，面积，， 对于多面体，内切球半径公式为，，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的零点构成的集合是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由周期函数的定义可判断，对于B，由对称中心的概念可判断，对于C，通过特殊函数值可判断，对于D，通过二倍角公式和三倍角公式化简解析式得到，再通过恒成立，可判断D. 【详解】对于A：，不恒成立，A错误； 对于B：，所以的图象关于点中心对称，B正确； 对于C：因为，， 而， 所以在区间上单调递增不成立，C错误， 对于D：利用三角恒等变换化简： ， ，   对二次式，判别式，且开口向上， 因此该式恒大于0，故当且仅当，即， 所以的零点构成的集合是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 13. 已知的面积为1，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出， 最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径，即可求解. 【详解】，，，. ，，，. ， 设的外接圆半径为，则由正弦定理得，，， ， 即，化简得，. . 14. 某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求两次摸球共有多少种情况，然后讨论一等奖的可能情况，由古典概型计算求解. 【详解】每次摸球的情况有种. 先后两次摸球共有种情况. 两次得分5分的情况有： 第一次1分，第二次4分，共有种； 第一次2分，第二次3分，共有1种； 第一次4分，第二次1分，共有4种； 第一次3分，第二次2分，共有1种； 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 . 16. 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. （1）假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 【答案】（1） 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 期望 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意确定服从二项分布，即可求解； （2）设“任取一个零件为次品”“零件是从第箱取出的”，由全概率公式求得，再由贝叶斯公式即可求解. 【小问1详解】 设，由题意知： 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . 【小问2详解】 设“任取一个零件为次品”， “零件是从第箱取出的”，则且， 由题意知：，， 由全概率公式： ， 由贝叶斯公式知： . 17. 如图所示的几何体中，底面ABCD为直角梯形，，，四边形PDCE为矩形，平面平面ABCD，F为PA的中点，N为PC与DE的交点，，. （1）求证：平面； （2）若G是线段CD上一点，平面PBC与平面EFG所成角的余弦值为，求DG的长. 【答案】（1）因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接， 在中，F，N分别为PA，PC的中点，则有， 而直线平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明，利用线面平行的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，又，，故， 以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 整理可得， 解得或 (舍去)， 即DG的长为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，证明：当时，. （3）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出和，利用点斜式写出切线方程； （2）设，利用导数得在上恒成立，从而可得函数的单调性和最值； （3）设，分情况：，，和研究函数单调性和最值，从而得解. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 设，则. 显然在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 故，即当时，. 【小问3详解】 由题意可得. 设，则. ①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以只有一个零点，故不符合题意. ②若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为. 19. 如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点，，为轨迹上一点（不在坐标轴上），设点，分别为的内心和重心， ①证明：所在的直线与轴平行； ②过作直线与轨迹交于点，，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） ①由（1）知，为椭圆：的焦点，所以，， 由对称性，不妨设点在轴右侧，设内切圆半径为. 则，，所以，即. 又为的重心，所以. 所以与轴平行. ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）①结合三角形内心及重心的性质证明出，横坐标相同即可得到所在的直线与轴平行. ②设出点坐标，求出，根据为重心求出点坐标；结合内心的性质及三角形面积公式得到，进而得到，求出坐标，结合向量关系求出点坐标；设出直线方程及，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出，即可求出三角形面积表达式，结合点范围求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的定义，点的轨迹是以,为焦点，长轴的椭圆. 所以点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设延长线交轴于点. 设点，则，. 则. 同理可得. 因为为的内心，结合三角形面积公式可得，， 即，也即，所以，则. 又，所以. 设，，则，所以. 设，则直线， 即. 设，联立，整理得， 则， 所以，所以. 又， 所以， 又，且，所以，所以，即. 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $