专题18：怎样通知最快 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题18：怎样通知最快 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念与原理 1.核心问题：在给定规则下（如每分钟只能通知1人），如何设计通知方案使通知完所有人员的时间最短。 2.数学本质：该问题本质上是倍数关系和优化思想的应用，每分钟新通知的人数通常是前一分钟的2倍（即倍增规律）。 3.关键规律： 第n分钟知道信息的总人数 = 2ⁿ 例如：第1分钟总人数=2¹=2人，第2分钟总人数=2²=4人，第3分钟总人数=2³=8人 4.优化核心：让"知道信息的人都接着打下去"，即不让任何知道信息的人"闲着"，充分利用每个人的时间。 二、通知方案的数学分析 1.最优方案特征： 每分钟新通知人数 = 前一分钟知道信息的总人数 每分钟总通知人数 ≈ 前一分钟总人数 × 2（接近翻倍） 这种方案充分利用了"倍数关系"，使通知效率最大化 2.树状图表示法： 用树状图直观展示通知过程，每个节点代表一个知道信息的人 每一层代表一分钟，节点数量呈指数增长 例如：第1层1个节点（通知者），第2层2个节点，第3层4个节点 3.公式推导： 设第n分钟知道信息的总人数为Tₙ 则：T₁ = 2, T₂ = 4, T₃ = 8, ..., Tₙ = 2ⁿ 该公式体现了指数增长的数学特征 三、实际应用与案例分析 1.典型例题：通知15名学生，每分钟只能通知1人，如何设计最优方案？ 最优方案：第1分钟通知1人（总2人），第2分钟2人各通知1人（总4人），第3分钟4人各通知1人（总8人），第4分钟8人中7人各通知1人（总15人） 总用时：4分钟（比普通方案节省3分钟） 2.表格分析法： 时间(分钟) 新通知人数 总人数 1 1 2 2 2 4 3 4 8 4 7 15 ... ... ... 通过表格可以清晰看出人数增长规律和优化效果 3.与生活实际联系： 类似"打电话通知"的场景：紧急事件通知、活动组织、信息传播等 优化思想在生活中的应用：合理安排任务、提高工作效率 四、易错点与注意事项 1.常见误区： 误认为通知15人需要15分钟（未考虑多人同时通知） 忽略"知道信息的人都接着打"这一优化条件 混淆"新通知人数"与"总人数"的概念 2.解题技巧： 从简单情况入手：先分析通知4人、8人的情况，再推广到15人 画树状图辅助理解：直观展示通知路径和人数增长 利用2的幂次规律：15人介于2³=8和2⁴=16之间，因此至少需要4分钟 3.拓展思考： 如果每分钟可通知2人，规律如何变化？ 如何计算通知n人的最短时间？（答案：⌈log₂(n+1)⌉分钟） 该问题与"分形几何"、"指数增长"等高级数学概念的联系 五、教学重点与学习建议 1.核心目标： 理解"倍数关系"在通知过程中的应用 掌握"优化思想"：让每个人的时间都得到充分利用 培养用数学思维解决实际问题的能力 2.学习方法： 动手实践：用圆形磁铁等学具模拟通知过程 小组讨论：比较不同方案的优劣 图形结合：用树状图、表格等可视化工具辅助理解 3.延伸思考： 该问题与"二进制"表示法的联系 与"分形"、"递归"等计算机科学概念的关联 在信息传播、社交网络等现代场景中的应用 第二部分 典型例题 【例题1】“夕阳红”老年舞蹈队为方便联络，设计了一种联络方式。一旦有演出，先由教练同时通知3位队长，这3位队长再分别同时通知3位队员，依此类推，假定每同时通知3位队员需要1分，4分可以通知（    ）位队员。 A．39 B．110 C．118 D．120 【例题2】蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 【例题3】李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【例题4】原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【例题5】王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 【例题6】某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 第三部分 高频真题 1．学校少先队要进行主题队日活动的节目排练，要通知54名少先队员，如果老师以打电话的方式进行通知，每分钟通知1人，最少要花（    ）分钟。 A．4 B．5 C．6 D．7 2．李老师通知30名同学参加合唱比赛，每分钟通知一人，最少花（    ）分钟能通知完。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．学校合唱团共有54人，疫情期间有一个紧急演出需要大家“云”排练，如果老师以打电话的方式通知到每一个学生，已知每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到所有人。 A．4 B．5 C．6 D．7 4．假期里老师要通知50名合唱队员到校表演，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每个人． A．3 B．6 C．25 D．49 5．悟空西天取经路上又遇到了妖精，他每次拔一根毫毛就能变成一个悟空，变出的悟空也有这样的本领，每次变化需要2秒。如果要变出31个悟空，最短需（     ）秒。 A．8 B．10 C．12 D．14 6．学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急出演，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员至少需要（   ）分钟． A．7 B．6 C．5 D．4 7．少年宫舞蹈队共有60人，因演出提前，王老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么王老师最少需要(　　)分钟让全队队员得到通知． A．2 B．4 C．6 D．7 8．周末，学校要组织合唱队的35名同学参加紧急演出，老师需要尽快通知到每一个同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每一个人． A．5 B．6 C．8 D．9 9．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要( )分钟才能通知到每个队员。 10．学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 11．王队长接到上级命令，现有一项紧急任务要通过“一对一”的方式通知到9名队员。如果每通知一名队员需要3分钟，最快需要( )分钟才能全部通知完。 12．暑期两位音乐老师接到比赛通知，要以打电话的方式通知到30名同学，已知通知一个同学需要1分钟，那么通知30名同学最少需要( )分钟。 13．体育队有31名同学，老师要发一个紧急通知及细节要求，打电话通知1名学生需要2分钟，最快用( )分钟能通知完所有人。 14．一个小组有8个人，暑假中组长需要通知每位组员一起参加一项活动，用打电话的方式，每分钟通知1人，通知完全组的最短时间是( )分钟。 15．儿童画兴趣班共有31人，因疫情影响，本周上课暂停。陈老师要用打微信电话的方式，每1分钟通知一个学生，被通知的人可以再通知其他人，最少( )分钟才能通知到每个学生。 16．五年级一班的舞蹈社团共有15人，周末有个重要活动需要紧急排练，舞蹈老师要尽快通知到每一个人。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少( )分钟就能通知到每个人。 17．孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他拔下毫毛就变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化的时间是1秒钟，如果要变化出15个孙悟空，最短需要( )秒钟。 18．2020年6月6日23时起，永州市江华瑶族自治县普降暴雨，局部大暴雨，7日凌晨3时30分，江华县委，县政府启动一级防汛应急响应。某校校长接到防汛指挥部的紧急通知，要尽快通知到每一个老师，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )人。 19．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 20．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 21．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 22．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 23．消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数（    ），通知的方式及用时（    ），对于通知的要求（    ）。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用（    ）分钟。 24．有一棵奇妙的树，原来只有1个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝分别长出1个新枝，第三年每个树枝又都分别长出1个新枝，照这样计算，第五年这棵树上一共有几个树枝？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18：怎样通知最快 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念与原理 1.核心问题：在给定规则下（如每分钟只能通知1人），如何设计通知方案使通知完所有人员的时间最短。 2.数学本质：该问题本质上是倍数关系和优化思想的应用，每分钟新通知的人数通常是前一分钟的2倍（即倍增规律）。 3.关键规律： 第n分钟知道信息的总人数 = 2ⁿ 例如：第1分钟总人数=2¹=2人，第2分钟总人数=2²=4人，第3分钟总人数=2³=8人 4.优化核心：让"知道信息的人都接着打下去"，即不让任何知道信息的人"闲着"，充分利用每个人的时间。 二、通知方案的数学分析 1.最优方案特征： 每分钟新通知人数 = 前一分钟知道信息的总人数 每分钟总通知人数 ≈ 前一分钟总人数 × 2（接近翻倍） 这种方案充分利用了"倍数关系"，使通知效率最大化 2.树状图表示法： 用树状图直观展示通知过程，每个节点代表一个知道信息的人 每一层代表一分钟，节点数量呈指数增长 例如：第1层1个节点（通知者），第2层2个节点，第3层4个节点 3.公式推导： 设第n分钟知道信息的总人数为Tₙ 则：T₁ = 2, T₂ = 4, T₃ = 8, ..., Tₙ = 2ⁿ 该公式体现了指数增长的数学特征 三、实际应用与案例分析 1.典型例题：通知15名学生，每分钟只能通知1人，如何设计最优方案？ 最优方案：第1分钟通知1人（总2人），第2分钟2人各通知1人（总4人），第3分钟4人各通知1人（总8人），第4分钟8人中7人各通知1人（总15人） 总用时：4分钟（比普通方案节省3分钟） 2.表格分析法： 时间(分钟) 新通知人数 总人数 1 1 2 2 2 4 3 4 8 4 7 15 ... ... ... 通过表格可以清晰看出人数增长规律和优化效果 3.与生活实际联系： 类似"打电话通知"的场景：紧急事件通知、活动组织、信息传播等 优化思想在生活中的应用：合理安排任务、提高工作效率 四、易错点与注意事项 1.常见误区： 误认为通知15人需要15分钟（未考虑多人同时通知） 忽略"知道信息的人都接着打"这一优化条件 混淆"新通知人数"与"总人数"的概念 2.解题技巧： 从简单情况入手：先分析通知4人、8人的情况，再推广到15人 画树状图辅助理解：直观展示通知路径和人数增长 利用2的幂次规律：15人介于2³=8和2⁴=16之间，因此至少需要4分钟 3.拓展思考： 如果每分钟可通知2人，规律如何变化？ 如何计算通知n人的最短时间？（答案：⌈log₂(n+1)⌉分钟） 该问题与"分形几何"、"指数增长"等高级数学概念的联系 五、教学重点与学习建议 1.核心目标： 理解"倍数关系"在通知过程中的应用 掌握"优化思想"：让每个人的时间都得到充分利用 培养用数学思维解决实际问题的能力 2.学习方法： 动手实践：用圆形磁铁等学具模拟通知过程 小组讨论：比较不同方案的优劣 图形结合：用树状图、表格等可视化工具辅助理解 3.延伸思考： 该问题与"二进制"表示法的联系 与"分形"、"递归"等计算机科学概念的关联 在信息传播、社交网络等现代场景中的应用 第二部分 典型例题 【例题1】“夕阳红”老年舞蹈队为方便联络，设计了一种联络方式。一旦有演出，先由教练同时通知3位队长，这3位队长再分别同时通知3位队员，依此类推，假定每同时通知3位队员需要1分，4分可以通知（    ）位队员。 A．39 B．110 C．118 D．120 【答案】D 【分析】根据题目中的通知方式可知： 第一分钟，教练通知3位队长； 第二分钟，3位队长再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知； 第三分钟，上一分钟通知的9位队员再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知； 第四分钟，上一分钟通知的27位队员再分别通知3位队员，在这一分钟有位队员接到通知；据此解答。 【详解】第一分钟，教练通知3名队长，共通知到3位队长； 第二分钟，3名队长再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 第三分钟，上一分钟通知的9位队员再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 第四分钟，上一分钟通知的27位队员再分别通知3位队员，共通知到：位队员； 所以4分可以通知120位队员 故答案为：D 【例题2】蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 【答案】B 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个5秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个5秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个5秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个5秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘，据此解答。 【详解】15＋1＝16（只） 16＝2×2×2×2 5×4＝20（秒） 蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要20秒。 故答案为：B 【例题3】李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【答案】5 【分析】第1分钟，老师通知1名学生； 第2分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为2人，接到通知的学生总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为3＋1＝4（人），接到通知的学生总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为7＋1＝8（人），接到通知的学生总人数为8＋7＝15（人）； 第5分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为15＋1＝16（人），接到通知的学生总人数为15＋16＝31（人）；由此可知，5分钟可以通知到位。 【详解】根据分析可知，李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要5分钟才能通知每个学生。 【例题4】原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【答案】6 【分析】根据题意，老师首先用1分钟通知1名学生；第2分钟，老师和已通知的1名学生分别通知1名学生；第3分钟，老师和已通知的3名学生分别通知1名学生；第4分钟，老师和已通知的7名学生分别通知1名学生；第5分钟，老师和已通知的15名学生分别通知1名学生；第6分钟，老师和已通知的31名学生分别通知1名学生。通过这样的方式逐步分析每分钟通知的人数情况，进而判断通知完45名同学所需的时间，据此解答。 【详解】第1分钟：通知1人，共1人接到通知。 第2分钟：1＋2＝3（人），共3人接到通知。 第3分钟：3＋4＝7（人），共7人接到通知。 第4分钟：7＋8＝15（人），共15人接到通知。 第5分钟：15＋16＝31（人），共31人接到通知。 第6分钟：31＋32＝63（人），共63人接到通知。 因为31＜45＜63，所以至少要6分钟全部接到通知。 【例题5】王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 【答案】7人 【分析】老师先用1分钟通知1个学生； 再用1分钟让老师和这名学生同时通知两名学生； 最后再利用1分钟让老师和这三名学生同时通知四名学生。 最后相加即可。 【详解】1＋2＋4＝7（人） 第一分钟：； 第二分钟： 第三分钟： 答：3分钟最多通知7个同学。 【例题6】某医院的一个医疗救护队共有7人，新冠疫情期间有一个紧急救援任务，值班领导需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花几分钟就能通知到每个人？请你画图表示打电话的方案。 【答案】3分钟；画图见详解。 【分析】如下图，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和值班领导的总人数看：第1分钟，共有2人，2＝21；第2分钟，共有4人，4＝22；第3分钟共有8人，8＝23；第4分钟，共有16人，16＝24；第5分钟，共有32人，32＝25；……由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和值班领导的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n－1）人。 【详解】解：设最少花n分钟就能通知到每个人。 2n－1＝7 2n＝7＋1 2n＝8 n＝3 答：最少花3分钟就能通知到每个人。 画图如下：    【点睛】明确打电话的最优方案及其中蕴涵的规律是解决此题的关键。 第三部分 高频真题 1．学校少先队要进行主题队日活动的节目排练，要通知54名少先队员，如果老师以打电话的方式进行通知，每分钟通知1人，最少要花（    ）分钟。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】老师首先用1分钟通知第一个学生； 第二分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的少先队员一共2＋2－1＝3名，即22－1； 第三分钟通知的少先队员一共4＋4－1＝7名，即23－1； 第四分钟通知的少先队员一共8＋8－1＝15名，即24－1； 以此类推，由此问题解决。 【详解】25－1＜54＜26－1，31＜54＜63， 因此5分钟通知不完，只能6分钟；所以最少要花6分钟。 故选：C。 【点睛】解决此题的关键是利用已通知的学生的人数加上老师是下一次要通知的学生人数。 2．李老师通知30名同学参加合唱比赛，每分钟通知一人，最少花（    ）分钟能通知完。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】第一分钟老师和学生－共有2人； 第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟老师和学生－共有： 2＋2＝4＝2×2人； 第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第三分钟老师和学生－共有： 4＋4＝8＝2×2×2人； 同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，所以2×2×2×2＝16人，4分钟通知不完，只能5分钟，所以最少用5分钟就能通知到每个人。 【详解】根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍； 所以2×2×2×2＜30＋1＜2×2×2×2×2，即16＜ 30＋1 ＜32； 因此，4分钟通知不完，只能5分钟； 所以最少用5分钟就能通知每个人； 故答案为：C。 【点睛】在“打电话"的优化问题中：“相互通知"这种方法最省时，所以它是最优方案；规律是：新接到通知的人数等于前一分钟通知到的师生的总人数，新接到通知的队员数是总人数的一半。 3．学校合唱团共有54人，疫情期间有一个紧急演出需要大家“云”排练，如果老师以打电话的方式通知到每一个学生，已知每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到所有人。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】“打电话”最优方案的规律：到第n分钟，所有接到通知的师生总人数是n个2的积，据此解答即可。 【详解】A．第4分钟时，2×2×2×2＝16（人）；      B．第5分钟时，2×2×2×2×2＝32（人）； C．第6分钟时，2×2×2×2×2×2＝64（人）；     D．第7分钟时，2×2×2×2×2×2×2＝128（人）； 故答案为：C。 【点睛】明确“打电话”的规律并能灵活利用是解答本题的关键。 4．假期里老师要通知50名合唱队员到校表演，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每个人． A．3 B．6 C．25 D．49 【答案】B 【解析】第1分钟，老师给1名学生打电话， 第2分钟，老师和接到通知的1名学生一起打电话，又可有2名学生得到通知； 第3分钟，老师和接到通知的3名学生一起打电话，又可有4名学生得到通知； …… 以此类推即可解答。 【详解】第1分钟，老师给1名学生打电话， 第2分钟，老师和接到通知的1名学生一起打电话，又可有2名学生得到通知； 第3分钟，老师和接到通知的3名学生一起打电话，又可有4名学生得到通知； 第4分钟，老师和接到通知的7名学生一起打电话，又可有8名学生得到通知； 第5分钟，老师和接到通知的15名学生一起打电话，又可有16名学生得到通知；    此时，已有15+16=31名学生得到通知．所以还需19个人打电话给最后19个同学 ∴通知到全班的50名同学最短需要6分钟． 故答案为：B 【点睛】要熟练掌握打电话题型的规律。 5．悟空西天取经路上又遇到了妖精，他每次拔一根毫毛就能变成一个悟空，变出的悟空也有这样的本领，每次变化需要2秒。如果要变出31个悟空，最短需（     ）秒。 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】22=4、23=8、24=16、25=32，即第五次变换时能够符合题意，每次变化需要2秒，所以5×2=10（秒） 【详解】第2秒拔出一根毫毛，变出1个孙悟空，总数1+1=2（个）； 第4秒，2个孙悟空拔出2根毫毛，变出2个孙悟空，总数2+2=4（个）； 第6秒，4个孙悟空拔出4根毫毛，变出4个孙悟空，总数4+4=8（个）； 第8秒，8个孙悟空拔出8根毫毛，变出8个孙悟空，总数8+8=16（个）； 第10秒，16个孙悟空拔出16根毫毛，变出16个孙悟空，总数16+16=32（个）； 所以最短需10秒。 故答案为：B 【点睛】每两秒翻一番，即为以4为等比的等比数列，n秒就有2的（n-2）次方个孙悟空出现在妖怪面前，很耐人寻味的一道题。 6．学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急出演，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员至少需要（   ）分钟． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】通知人数翻倍增加 【详解】1+2+4+8+16=31（人） 1+2+4+8+16+32=63（人） 因为31<40<63，所以：6分钟时间就可通知到40个队员。 故答案为：B 【点睛】本题考查了优化问题，翻倍增加。 7．少年宫舞蹈队共有60人，因演出提前，王老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么王老师最少需要(　　)分钟让全队队员得到通知． A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解析】根据下一次通知的人数是上一次的2倍，进行分析。 【详解】1+1×2+2×2+4×2+8×2+16×2=63（人） 6分钟最多可以通知63人。 故答案为：C 【点睛】本题考查了最快打电话，通知人数翻倍增加。 8．周末，学校要组织合唱队的35名同学参加紧急演出，老师需要尽快通知到每一个同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每一个人． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】下一分钟通知到的人数翻倍增加 【详解】1+2+4+8+16+32=63（人） 5分钟便可通知31人,6分钟可通知63人。 故答案为：B 【点睛】本题考查了优化问题，也可用倒推法。 9．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要( )分钟才能通知到每个队员。 【答案】3 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人） 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人） 所以至少需要3分钟才能通知到每个队员。 【点睛】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 10．学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知40人最快需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝40 2n＝40＋1 2n＝41 因为25＝32，26＝64，32＜41＜64，所以n＝6。 要通知到每一位队员最快至少需要6分钟。 【点睛】找出打电话的规律是解题的关键，明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 11．王队长接到上级命令，现有一项紧急任务要通过“一对一”的方式通知到9名队员。如果每通知一名队员需要3分钟，最快需要( )分钟才能全部通知完。 【答案】12 【分析】王队长首先用第一个3分钟通知1个队员，第二个3分钟，由队长和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了一共3个队员，第三个3分钟可以通知一共7个队员，以此类推，来解答此题即可。 【详解】第一个3分钟通知队员：1名 第二个3分钟通知队员：1＋2＝3（名） 第三个3分钟通知队员：3＋4＝7（名） 第四个3分钟通知队员：7＋8＝15（名） 15名＞9名 最快需要4个3分钟，即：3×4＝12（分） 即最快需要12分钟才能全部通知完。 【点睛】解决此题的关键是利用已通知的队员的人数加上队长，是下一次要通知的队员人数。 12．暑期两位音乐老师接到比赛通知，要以打电话的方式通知到30名同学，已知通知一个同学需要1分钟，那么通知30名同学最少需要( )分钟。 【答案】4 【分析】两位老师第1分钟通知2个同学；第2分钟老师和已经接到通知的学生再通知4个同学，此时一共通知（2＋4）个同学；第3分钟老师和已经接到通知的学生再通知8个同学，此时一共通知（2＋4＋8）个同学；第4分钟老师和已经接到通知的学生再通知16个同学，此时一共通知（2＋4＋8＋16＝30个同学；所以最少4分钟能通知到每个同学，据此解答。 【详解】由分析可知： 暑期两位音乐老师接到比赛通知，要以打电话的方式通知到30名同学，已知通知一个同学需要1分钟，那么通知30名同学最少需要4分钟。 【点睛】本题主要考查了打电话问题的解题方法，理解已通知人数加上老师人数是下次接到通知的人数是解答题目的关键。 13．体育队有31名同学，老师要发一个紧急通知及细节要求，打电话通知1名学生需要2分钟，最快用( )分钟能通知完所有人。 【答案】10 【分析】从第2分钟到第2n分钟所有接到通知的队员和值班领导的总人数看：第2分钟，共有2人，2＝21；第4分钟，共有4人，4＝22；第6分钟共有8人，8＝23；第8分钟，共有16人，16＝24；第10分钟，共有32人，32＝25；……由此推得：到第2n分钟，所有接到通知的队员和值班领导的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n－1）人。 【详解】解：设最快用2n分钟能通知完所有人。 n＝5     2n＝2×5＝10（分钟） 所以，最快用10分钟能通知完所有人。 【点睛】明确打电话的最优方案及其中蕴涵的规律是解决此题的关键。 14．一个小组有8个人，暑假中组长需要通知每位组员一起参加一项活动，用打电话的方式，每分钟通知1人，通知完全组的最短时间是( )分钟。 【答案】3 【分析】组长首先用1分钟通知第一个组员，第二分钟由组长和1个组员两人分别通知1个组员，现在通知了共l＋2＝3个组员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个组员，而组长本身就是这个组的人员，所以只需要3分钟就能通知完全。据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 所以组长最短只需要3分钟就能通知完所有的组员。 【点睛】解答本题的关键是明确已通知的组员的人数加上组长是下一次要通知的组员人数。 15．儿童画兴趣班共有31人，因疫情影响，本周上课暂停。陈老师要用打微信电话的方式，每1分钟通知一个学生，被通知的人可以再通知其他人，最少( )分钟才能通知到每个学生。 【答案】5/五 【分析】第1分钟陈老师通知1个人；1＋1＝2人，陈老师与1名学生，第二分钟最多可以通知到2名学生，共有3名学生通知到；第三分钟，陈老师与3名学生，最多可以通知4名学生，此时共通知到7名学生；第4分钟陈老师与7名学生，最多可以通知到8人，此时共通知到15人；第5分钟陈老师与15名学生，最多可以通知到16人，此时共通知到31人；据此解答即可。 【详解】1＋2＋4＋8＋16 ＝3＋4＋8＋16 ＝15＋16 ＝31（人） 所以打电话的方式，每分钟通知1人，最少5分钟就能通知到每个学生。 【点睛】本题考查打电话，解答本题的关键是掌握打电话通知的计算方法。 16．五年级一班的舞蹈社团共有15人，周末有个重要活动需要紧急排练，舞蹈老师要尽快通知到每一个人。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少( )分钟就能通知到每个人。 【答案】4 【分析】第1分钟教师通知1个人；1＋1＝2人，教师与1名学生，第二分钟最多可以通知到2名学生，共有3名学生通知到；第三分钟，教师与3名学生，最多可以通知4名学生，此时共通知到7名学生；第4分钟教师与7名学生，最多可以通知到8人，此时共通知到15人，据此解答即可。 【详解】1＋2＋4＋8＝15（人） 所以打电话的方式，每分钟通知1人，最少4分钟就能通知到每个人。 【点睛】本题考查打电话，解答本题的关键是掌握打电话通知的计算方法。 17．孙悟空在去西天取经的路上遇到了妖怪，他拔下毫毛就变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化的时间是1秒钟，如果要变化出15个孙悟空，最短需要( )秒钟。 【答案】4 【分析】1秒可以由1个孙悟空变成2个孙悟空； 2秒可以由2个孙悟空变成4个孙悟空； 3秒可以由4个孙悟空变成8个孙悟空； 4秒可以由8个孙悟空变成16个孙悟空，减去原来的孙悟空，相当于变出了（16－1）个孙悟空，因此，要变出15个孙悟空，至少需要4秒钟。 【详解】1×2＝2（个） 2×2＝4（个） 4×2＝8（个） 8×2＝16（个） 16－1＝15（个） 所以，如果要变化出15个孙悟空，最短需要4秒钟。 【点睛】解决本题的关键是知道每过1秒孙悟空的个数变为原来的2倍。 18．2020年6月6日23时起，永州市江华瑶族自治县普降暴雨，局部大暴雨，7日凌晨3时30分，江华县委，县政府启动一级防汛应急响应。某校校长接到防汛指挥部的紧急通知，要尽快通知到每一个老师，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )人。 【答案】31 【分析】校长首先用1分钟通知第一个老师，第二分钟由校长和1个老师两人分别通知1个老师，现在通知的一共l＋2＝3个老师，第三分钟可以通知的一共3＋4＝7个老师，以此类推，第四分钟通知的一共7＋8＝15个老师，第五分钟最多可通知到15＋16＝31个老师，由此问题解决。 【详解】第一分钟通知到1个老师； 第二分钟最多可通知到3个老师； 第三分钟最多可通知到7个老师； 第四分钟最多可通知到15个老师； 第五分钟最多可通知到31个老师。 【点睛】解决此题的关键是利用已通知的老师的人数加上校长是下一次要通知的老师人数。 19．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 【答案】8秒 【分析】为了使时间最短，每次变化时所有的孙悟空都要拔毫毛变出新的孙悟空，这样孙悟空的总数量每次都会扩大到原来的2倍。题干要求“变化出15个孙悟空”，指的是新增的孙悟空数量，因此孙悟空的总数量应为原来的1个加上新增的15个，共16个，求出变化次数，用变化次数×每次变化需要时间＝总时间。 【详解】我们需要变出15个新孙悟空，因此总孙悟空数量需要达到1＋15＝16个： 1次变化：总共有1×2＝2个，变出1个新的 2次变化：总共有2×2＝4个，变出3个新的 3次变化：总共有4×2＝8个，变出7个新的 4次变化：总共有8×2＝16个，刚好变出16－1＝15个新的 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 20．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【答案】3分钟 【分析】按时间阶段分析每分钟通知到的总人数。依次推算每一分钟最多有多少人知道消息，当知道消息的总人数大于或等于需要通知的总人数时，所需时间即为最少时间。 【详解】第1分钟：老师通知1名队员，累计通知到1人，还剩6人未通知； 第2分钟：老师和1名已通知的队员，一共通知2名新队员，累计通知1＋2＝3（人），还剩4人未通知； 第3分钟：共4个知道消息的人（老师＋3名队员），可以同时通知4名新队员，累计通知3＋4＝7（人），刚好通知完所有队员。 答：3分钟可以通知完。 21．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【点睛】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 22．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 【答案】4分钟，表格见详解 【分析】本题可采用如下方案：护士长先通知1名护士，然后再与这名护士生一起给另2名护士打电话，然后这2名护士再与前面已通知的护士（包括护士长）一起给其他护士打电话，依次类推，进行计算即可求解。 【详解】 分钟 1 2 3 4 新接到电话人数 1 2 4 8 接到电话总人数 1 3 7 15 答：需要用时4分钟。 【点睛】根据乘方的知识，让先得到通知的护士与护士长一起通其他护士是最快最好的办法。 23．消防支队在深夜接到抗震救灾任务后，队长需要尽快通知15名队员。如果用打电话的方式。每分钟通知1人，请你设计一个打电话的方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数（    ），通知的方式及用时（    ），对于通知的要求（    ）。 设计用时最短的方案： 电话方案图： 至少用（    ）分钟。 【答案】见详解 【分析】队长首先用1分钟通知第一名队员；1＋1＝2，第二分钟由队长和1名队员两人分别通知1名队员，现在通知的一共2＋2－1＝3名队员；第三分钟可以推出通知的一共4＋4－1＝7名队员；以此类推，第四分钟通知的一共8＋8－1＝15人，减去队长，刚好通知了15人，由此问题解决。 【详解】要通知的人数：15 通知的方式及用时：用打电话的方式，每分钟通知1人 对于通知的要求：尽快通知到每一队员； 电话方案图： 第一分钟通知到1个学生； 第二分钟最多可通知到3个学生； 第三分钟最多可通知到7个学生； 第四分钟最多可通知到15个学生； 答：至少用4分钟。 【点睛】解决此题的关键是利用已通知的队员的人数加上队长是下一次要通知的队员人数。 24．有一棵奇妙的树，原来只有1个树枝，第一年长出1个树枝，第二年每个树枝分别长出1个新枝，第三年每个树枝又都分别长出1个新枝，照这样计算，第五年这棵树上一共有几个树枝？ 【答案】32个 【分析】第一年长出一个共2个，第二年分别长出一个，共4个，下一年树枝的数量是上一年树枝数量的2倍，据此列式解答。 【详解】2×2×2×2×2＝32（个） 答：第五年这棵树上一共有32个树枝。 【点睛】关键是理解题意，每过一年数量就增加到前一年的2倍。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $