专题12：通分 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题12：通分 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、通分的基本概念 1.通分的定义 把几个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 例如：将 和 化成同分母分数 和 ，这个过程就是通分。 2.通分的依据 通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 3.公分母与最小公分母 公分母：几个分数通分时化成的相同分母，是原来几个分母的公倍数。 最小公分母：几个分数分母的最小公倍数，通常选择最小公分母进行通分，计算更简便。 例如： 和 的公分母可以是12、24、36等，其中12是最小公分母。 二、通分的方法与步骤 1.通分的基本步骤 第一步：找出原来几个分数分母的最小公倍数，作为公分母。 第二步：根据分数的基本性质，将每个分数的分子分母同时乘以适当的数，使它们的分母都化为公分母。 2.求最小公倍数的方法 列举法：分别列出各分母的倍数，找出第一个共同的倍数。 例如：4的倍数有4、8、12、16...；6的倍数有6、12、18...；最小公倍数是12。 短除法：用短除法求出几个数的最小公倍数，这是最常用的方法。 特殊情况： 如果两个数是倍数关系，较大数就是最小公倍数。 如果两个数是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 3.通分的具体操作 例如：将 和 通分 4和6的最小公倍数是12 三、通分的应用 1.比较异分母分数的大小 通分后，分母相同，只需比较分子的大小。 例如：比较 和 ，通分后为 和 ，所以 。 2.分数加减法的基础 异分母分数相加减时，必须先通分转化为同分母分数，再进行计算。 例如： 3.解决实际问题 在比较不同比例、计算混合物成分等问题时，通分是重要的解题工具。 四、通分与相关知识的联系 1.通分与约分的关系 通分和约分是互逆运算： 约分：把分数化成分子分母较小的分数（保持分数大小不变） 通分：把分数化成同分母的分数（保持分数大小不变） 2.通分与分数单位的关系 通分的本质是统一分数单位，使不同分数的"计数单位"相同，便于比较和运算。 例如： 的分数单位是 ， 的分数单位是 ，通分后都变成以 为单位。 3.通分与最小公倍数的联系 通分过程中寻找的最小公分母，就是原来几个分母的最小公倍数。 掌握求最小公倍数的方法是正确通分的关键。 五、常见错误与注意事项 1.常见错误 找错最小公倍数：导致通分后的分数不相等。 只变分子或只变分母：违反分数的基本性质，改变分数大小。 混淆通分与约分：把通分当作约分，错误地减小分子分母。 2.注意事项 通分后分数大小不变，只是形式变化。 选择最小公分母进行通分，计算更简便。 通分过程中，分子分母必须同时乘以相同的数。 第二部分 典型例题 【例题1】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 【答案】 ①1；84；②15；90；③14；28 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】①7和12是互质数，所以7和12的最大公因数是1，最小公倍数是7×12＝84； ②45＝3×3×5，30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15； 45和30的最小公倍数是：2×3×3×5＝90； ③28和14是倍数关系，所以28和14的最大公因数是14，最小公倍数是28。 【例题2】通分。 和        和        和        和 【答案】；；；；；；； 【分析】通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。 【详解】； ； ； 【例题3】水果店新采购70多个苹果。若将这些苹果装进每盒4个的礼盒箱中，正好能装完；若装进每盒6个的礼盒箱中，也能正好装完。水果店新采购的苹果有多少个？ 【答案】72个 【分析】若将这些苹果装进每盒4个的礼盒箱中，正好能装完；若装进每盒6个的礼盒箱中，也能正好装完，说明苹果的总个数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，再通过最小公倍数找到70多的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（个） 12×6＝72（个） 答：水果店新采购的苹果有72个。 【例题4】2025年3月22日，来自12个国家和地区的1.5万名跑者齐聚“中国水蜜桃之乡”，参加奉化第八届桃花马拉松。5（1）班的小李和小王参加了“欢乐跑”项目。其中小李前19分钟跑了3千米，小王前11分钟跑了2千米。比赛前半段，每千米用的时间谁多？谁跑得更快？ 【答案】小李；小王 【分析】时间÷路程＝每千米用时，根据分数与除法的关系，即分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，表示出结果，比较即可，每千米用时越少速度越快。异分母分数比较大小，先通分再比较。 【详解】小李每千米：19÷3＝＝（分钟）   小王每千米：11÷2＝＝（分钟）    ＞     答：比赛前半段，每千米用的时间小李多，小王跑得更快。 【例题5】有一筐苹果，无论每次拿6个还是每次拿5个都正好拿完。这筐苹果最少有多少个？ 【答案】 30个 【分析】题目要求找到既能被5整除又能被6整除的最小苹果数量，即求5和6的最小公倍数。由于5和6互质（最大公因数为1），最小公倍数为两数的乘积。 【详解】5×6＝30 答：这筐苹果最少有30个。 【例题6】五（1）班有学生49人。 （1）学校举行跳绳比赛，参赛的学生分组进行计数。五（1）班参赛的学生，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。五（1）班参赛人数可能是多少人？ （2）王老师上数学课时，安排全班同学分组进行讨论。如果将同学们分成4组，且每组的人数都是奇数，能做到吗？为什么？ 【答案】（1）可能是18（或36）人。 （2）不能；理由见详解 【分析】（1）由题意可知，参赛人数是6和9的公倍数，且数量等于或小于49。可用短除法求出6和9的最小公倍数，再找出其等于或小于49的倍数。 （2）根据偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。 奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，据此判断。 【详解】（1） 6和9的最小公倍数是： 等于或小于49的18倍数有：18、36 答：五（1）班参赛人数可能是18（或36）人。 （2）答：不能；因为奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，而49是奇数，所以4个组的人数不可能都是奇数。 第三部分 高频真题 1．如果（a和b都是非0的自然数），那么a和b的大小相比较，正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 【答案】A 【分析】当分子相同时，分母越大，分数的值越小，据此解答。 【详解】已知，两个分数的分子都是10， 这说明分母a的数值要大于分母b的数值，即a＞b。 2．君子兰每6天浇一次水，百合花每4天浇一次水。张阿姨今天给两种花同时浇了水，至少（    ）天以后再给这两种花同时浇水。 A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】要再次同时给两种花浇水，经过的天数必须既是6的倍数，也是4的倍数，即需要求6和4的最小公倍数。我们可以用短除法或列举法来求解。 【详解】 6和4的最小公倍数为：2×3×2＝6×2＝12 所以，至少12天以后再给这两种花同时浇水。 故答案为：C 3．森林运动会上，小兔和小猴子进行百米赛跑，小兔用分跑到终点，小猴子用分跑到终点，（    ）跑得快。 A．小兔 B．小猴子 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据同样的路程，用的时间短表示速度快，据此解答即可。 【详解】 所以 小兔用的时间短，小兔跑得快。 故答案为：A 4．有三种面巾纸，甲种纸1元3包，乙种纸2元5包，丙种纸3元8包，那么（    ）最贵。 A．甲种纸 B．乙种纸 C．丙种纸 D．无法比较 【答案】B 【分析】比较三种面巾纸哪种最贵，需要计算每种纸每包的价格（即单价＝总价÷数量），因为总价和包数不同。单价越高，表示越贵。 【详解】甲：1÷3＝（元）＝（元） 乙：2÷5＝（元）＝（元） 丙：3÷8＝（元）＝（元） ＞＞ 乙＞丙＞甲 因此乙是最贵的。 故答案为：B 5．有一杯蜂蜜水，如果再放入一些蜂蜜，蜂蜜水会变甜。根据这个道理，你认为以下式子中正确的是（    ）。（M＞0） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】B 【分析】结合“蜂蜜水加蜂蜜会变甜”的实际意义，本质是真分数的分子和分母同时加一个相同的数（0除外），分数值变大。本题可采用假设法，代入具体的数M计算出分数值，再比较大小即可解答。 【详解】假设M为1。 ，即。 故答案为：B 6．在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 【答案】B 【分析】先求出在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数，即200÷2＝100（个），再求出在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数），即200÷7≈28（个），2和7的最小公倍数是2×7＝14，在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数）是200÷14≈14（个），根据容斥原理，“双七数”的个数＝能被2整除的自然数的个数＋能被7整除的自然数的个数－能同时被2和7整除的自然数的个数，据此解答。 【详解】在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数：200÷2＝100（个） 在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数：200÷7≈28（个） 2和7的最小公倍数是2×7＝14。 在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数：200÷14≈14（个） 在1—200的自然数中“双七数”的个数：100＋28－14 ＝128－14 ＝114（个） 所以，“双七数”共有114个。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查容斥原理的应用，分析题意求出在1—200的自然数中2的倍数的个数、7的倍数的个数、2和7的倍数的个数是解答题目的关键。 7．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是（    ）。 A．6 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，据此用6×36列式求出这两个数的乘积，再除以12就是另一个数。 【详解】6×36÷12 ＝216÷12 ＝18 所以另一个数是18。 故答案为：B 8．妈妈买了一些鸡蛋，10个装一盒刚好装完，15个装一盒也正好装完。这些鸡蛋至少有（    ）个。 A．25 B．30 C．50 D．60 【答案】B 【分析】10个装一盒刚好装完，15个装一盒也正好装完，则鸡蛋的个数至少是10和15的最小公倍数；据此解答。 【详解】10＝2×5 15＝3×5 则10和15的最小公倍数是2×3×5＝30，这些鸡蛋至少有30个。 故答案为：B 9．与下图中的点A表示的数最接近的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，1＜A＜2，且A离2（）更近一些，据此解答。 【详解】A．，不符合题意； B．，离1更近，不符合题意； C．，离2更近，符合题意； D．，不符合题意。 故答案为：C 10．去年暑假期间，佳佳和芳芳去同一个游泳馆游泳。佳佳每4天去一次，芳芳每6天去一次。7月4日两人在游泳馆相遇，她们俩下次相遇的日期是：（    ）。 A．7月7日 B．7月12日 C．7月16日 D．7月28日 【答案】C 【分析】由佳佳4每天去一次游泳馆，芳芳每6天去一次游泳馆，可知：他们再次相遇时是是4、6的最小公倍数，就是再过多少天他们才能再次相遇，再推断日期。. 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12； 7月4日＋12＝7月16日 去年暑假期间，佳佳和芳芳去同一个游泳馆游泳。佳佳每4天去一次，芳芳每6天去一次。7月4日两人在游泳馆相遇，她们俩下次相遇的日期是：7月16日。 故答案为：C 11．文化路小学机器人社团的总人数在30－50人之间，无论是分成4人一组、6人一组还是8人一组，都能恰好分完，机器人社团共有( )人。 【答案】48 【分析】由题意可知，机器人社团的总人数既是4和6的倍数，也是8的倍数，则机器人社团的总人数是4、6、8的公倍数，且在30－50之间，求出这三个数的最小公倍数，再找出符合条件的公倍数，据此解答。 【详解】4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，… 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，… 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，… 4、6、8的公倍数有24，48… 因为30＜48＜50，所以机器人社团共有48人。 12．已知A＝2×3×7，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 210 【分析】这两个数的公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是这两个数的最小公倍数。 由题意知：A和B公有质因数是2和3，A独有质因数是7，B独有质因数是5，据此计算即可。 【详解】A和B的最大公因数是：2×3＝6； A和B的最小公倍数是：2×3×7×5＝6×7×5＝42×5＝210。 13．a÷b＝8（a、b均是不为零的自然数），a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b 【分析】根据题意，a÷b＝8，说明a和b是倍数关系，且a＞b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】a÷b＝8（a、b均是不为零的自然数），a、b的最小公倍数是（a），最大公因数是（b）。 14．小明和爸爸每天围绕兴义街心花园晨跑，小明4分钟跑一圈，爸爸3分钟跑一圈。如果父子两人同时同地起跑，至少( )分钟后两人再次在起点相遇。 【答案】12 【分析】求小明和爸爸再次在起点相遇的最短时间，即求4和3的最小公倍数。两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数，据此解答。 【详解】4和3是互质数，4和3的最小公倍数是4×3＝12；至少12分钟后两人再次在起点相遇。 小明和爸爸每天围绕兴义街心花园晨跑，小明4分钟跑一圈，爸爸3分钟跑一圈。如果父子两人同时同地起跑，至少12分钟后两人再次在起点相遇。 15．一段公路原来每隔40米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有13根电线杆。现在改成每隔30米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中间还有( )根不必移动。 【答案】3 【分析】两端都栽的植树问题，间隔数＝棵数－1，这段公路的总长度＝间隔数×原来的间距，现在改成每隔30米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，不需要移动的电线杆既是原来间距的倍数，也是现在间距的倍数，求不需要移动电线杆的数量就是求这段公路的总长度中40和30的公倍数，先求出这两个数的最小公倍数，再找出符合条件的公倍数，即可求得。 【详解】40×（13－1） ＝40×12 ＝480（米） 40和30的最小公倍数：2×5×4×3＝120 第1根：0米 第2根：120×1＝120（米） 第3根：120×2＝240（米） 第4根：120×3＝360（米） 第5根：120×4＝480（米） 所以，中间还有3根不必移动。 16．乐乐和爸爸在广场上晨练，乐乐每6分钟跑一圈，爸爸每4分钟跑一圈，如果他们同时同地同向出发，至少需要( )分钟才能在起点相遇。 【答案】12 【分析】由题意可知，两人同时同地同向出发，第一次在起点相遇的时间应该是爸爸和乐乐跑一圈所用时间的最小公倍数，用分解质因数的方法求出6和4的最小公倍数，据此解答。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数：2×3×2＝12 所以，至少需要12分钟才能在起点相遇。 17．万载县各小学的一周课表中，每周总课时为30节，各类艺体课程占总课时的多少如下表： 科目名称 音乐 体育 美术 书法 占总课时的多少 通过上表数据，你发现，( )课一周中节数最多，( )和( )每周的节数一样多。 【答案】 体育 音乐 美术 【分析】比较各类艺体课程的对应分率即可，异分母分数比较大小，先通分再比较。 【详解】＝、＝ ＞＞ 体育课一周中节数最多，音乐和美术每周的节数一样多。 18．一座喷泉由内外双层构成。外面每10分钟喷一次，里面每6分钟喷一次。已知12时15分时同时喷过一次，那么下次同时喷水是( )时( )分。 【答案】 12 45 【分析】喷泉外面每10分钟喷一次，里面每6分钟喷一次，那么同时喷的间隔时间就是10和6的公倍数；先求出10和6的最小公倍数，再加上前一次同时喷水的时间，即可求出下一次同时喷水的时间。 【详解】10＝2×5 6＝2×3 10和6的最小公倍数是2×5×3＝30。 即每30分钟同时喷水一次。 12时15分＋30分＝12时45分 因此下次同时喷水是12时45分。 19．端午节同学们包粽子，六个六个数正好数完，如果八个八个数也能正好数完，同学们至少包了( )个粽子。 【答案】24 【分析】根据题意，六个六个数正好数完，如果八个八个数也能正好数完，说明粽子的总个数是6和8的公倍数；求至少包了多少个粽子，就是求6和8的最小公倍数； 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即同学们至少包了24个粽子。 20．学校制作了50多块护树标志牌，每4块分为一组，还多1块；每8块分为一组，也还多1块，一共设计了( )块标志牌。 【答案】57 【分析】因为“每4块分为一组，还多1块；每8块分为一组，也还多1块”，所以标志牌总数减去1块后，是4和8的公倍数；8是4的倍数，所以4和8的最小公倍数是8（有倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数）；由于总数是50多块，在50多的数中找8的倍数，8×7＝56，则总数减1后是56，那么总数为56＋1＝57块，符合“50多块”的条件。 【详解】4和8的最小公倍数是8 8×7＋1 ＝56＋1 ＝57（块） 所以一共设计了57块标志牌。 21．求最大公因数和最小公倍数。 和    和 【答案】最大公因数：6；1；最小公倍数：36；420 【分析】（1）用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。最大公因数等于短除号左边的数相乘，最小公倍数等于所有的除数和最后的商相乘。 （2）用分解质因数的方法，将每个数都写成质数相乘的形式。两个数共同的质因数的乘积就是最大公因数，两个数里出现过的所有质因数的乘积就是最小公倍数。 【详解】（1） 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×3＝36 （2）分解质因数： 15＝3×5 28＝2×2×7 15和28没有共同的质因数，是互质数，最大公因数是1。 互质数的最小公倍数是它们的乘积，15×28＝420。 22．先通分，再比较大小。 和           和        和 【答案】＝；＝；＜； ＝；＞； ＝；＝；＞ 【分析】先找出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此把分数化成以最小公倍数为分母的分数即可；通分后，再对两个分数比较大小，分子大的分数值大，分子小的分数值小。 【详解】＝；＝；＜，所以＜； ＝；＞，所以＞； ＝；＝；＞，所以＞ 23．一包糖果数量在120颗以内，3颗3颗数，余2颗，5颗5颗数，余2颗，7颗7颗数，还是余2颗。这袋糖果共有多少颗？ 【答案】107颗 【分析】根据题意，糖果数量除以3、5、7的余数相同，都是2。这说明糖果数量减去2后，能同时被3、5、7整除，即糖果数量减去2是 3、5、7 的公倍数。先求出 3、5、7 的最小公倍数，再结合糖果数量在120颗以内的条件，即可求出糖果的具体数量。 【详解】因为 3、5、7 两两互质，所以 3、5、7 的最小公倍数是： 3×5×7 ＝15×7 ＝105 因为糖果数量除以 3、5、7 都余 2， 可能的糖果数量有：105＋2＝107，105×2＋2＝210＋2＝212…… 又因为糖果数量在 120 颗以内，212＞120，不符合题意。 所以糖果数量为：105＋2＝107（颗） 答：这袋糖果共有 107 颗。 24．学校图书馆新进一批图书，若每12本一捆或每18本一捆都正好分完，这批图书至少有多少本？ 【答案】36本 【分析】根据题意，图书总数既能被12整除，也能被18整除，因此图书总数是12和18的公倍数；求至少有多少本，就是求12和18的最小公倍数。先通过分解质因数的方法，找出两个数公有的质因数和各自独有的质因数，再将公有的质因数与各自独有的质因数相乘，即可得到两个数的最小公倍数。 【详解】分解质因数：12＝2×2×3；18＝2×3×3 计算最小公倍数：12和18公有的质因数是2和3，12独有的质因数是2，18独有的质因数是3 最小公倍数＝2×3×2×3＝36（本） 答：这批图书至少有36本。 25．育秀小学开展课后服务活动，501班有的同学参加足球课程，有的同学参加艺术课程，参加哪个课程的人数多？ 【答案】 参加足球课程的人数多。 【分析】根据“501班有的同学参加足球课程，有的同学参加艺术课程”可知都把全班人数看作单位“1”。因此直接比较分率即可知道哪个课程人多。异分母分数比较大小先把两个分数都化成以公分母为分母的分数 ，然后比较分子，分子大的分数就大。 【详解】 答：参加足球课程的人数多。 26．张阿姨家的电话号码是个8位数，从前到后依次排列为：8的最大因数、5的最小倍数、最小的奇数、最小的合数、最小的质数、3的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 【答案】85142191 【分析】一个数的最大公因数和最小公倍数都是它本身整数中，一个数的最小因数是1； 是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数； 最大的一位数是9； 0、1既不是质数也不是合数； 依次根据因数、倍数、奇数、合数、质数的定义，分别求出8位电话号码每一位对应的数字，再按从前到后的顺序组合成完整的8位数。 【详解】8的最大因数是8，5的最小倍数是5，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的质数是2，3的最小因数是1，最大的一位数是9，既不是质数也不是合数的非0自然数是1，则这个8位数是85142191。 答：张阿姨家的电话号码是85142191。 27．一盒彩笔不到20支，把它平均分给3个或4个小朋友，都没有剩余，这盒彩笔有多少支？ 【答案】12支 【分析】根据题意，把这盒彩笔平均分给3个或4个小朋友，都没有剩余，那么这盒彩笔的支数是3和4的公倍数；先分别列举出3和4的倍数，再从中找它们的公倍数，最后找出在20以内的公倍数，就是这盒彩笔可能的支数。 【详解】3的倍数：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36…… 4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36…… 3和4的公倍数是：12，24，36…… 20以内3和4的公倍数是：12 答：这盒彩笔有12支。 28．奇思坐11路和25路公交车都可以到学校，11路公交车每10分钟一趟，25路公交车每15分钟一趟。两路公交车早上6：00第一次同时出发，第二次同时发车是什么时间？ 【答案】6时30分（或6：30） 【分析】两车下次同时发车的间隔时间是两车发车间隔时间的最小公倍数，通过求出最小公倍数，再加上首次同时发车时间，即可得到下次同时发车的时间。 最小公倍数等于两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 【详解】10＝2×5 15＝3×5 10和15公有的质因数是5，10独有的质因数是2，15独有的质因数是3，所以10和15的最小公倍数为5×2×3＝30，即两车同时发车的间隔时间30分钟。 6时＋30分＝6时30分 答：它们下次同时发车会是6时30分（或6：30）。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12：通分 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、通分的基本概念 1.通分的定义 把几个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 例如：将 和 化成同分母分数 和 ，这个过程就是通分。 2.通分的依据 通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 3.公分母与最小公分母 公分母：几个分数通分时化成的相同分母，是原来几个分母的公倍数。 最小公分母：几个分数分母的最小公倍数，通常选择最小公分母进行通分，计算更简便。 例如： 和 的公分母可以是12、24、36等，其中12是最小公分母。 二、通分的方法与步骤 1.通分的基本步骤 第一步：找出原来几个分数分母的最小公倍数，作为公分母。 第二步：根据分数的基本性质，将每个分数的分子分母同时乘以适当的数，使它们的分母都化为公分母。 2.求最小公倍数的方法 列举法：分别列出各分母的倍数，找出第一个共同的倍数。 例如：4的倍数有4、8、12、16...；6的倍数有6、12、18...；最小公倍数是12。 短除法：用短除法求出几个数的最小公倍数，这是最常用的方法。 特殊情况： 如果两个数是倍数关系，较大数就是最小公倍数。 如果两个数是互质数，最小公倍数是它们的乘积。 3.通分的具体操作 例如：将 和 通分 4和6的最小公倍数是12 三、通分的应用 1.比较异分母分数的大小 通分后，分母相同，只需比较分子的大小。 例如：比较 和 ，通分后为 和 ，所以 。 2.分数加减法的基础 异分母分数相加减时，必须先通分转化为同分母分数，再进行计算。 例如： 3.解决实际问题 在比较不同比例、计算混合物成分等问题时，通分是重要的解题工具。 四、通分与相关知识的联系 1.通分与约分的关系 通分和约分是互逆运算： 约分：把分数化成分子分母较小的分数（保持分数大小不变） 通分：把分数化成同分母的分数（保持分数大小不变） 2.通分与分数单位的关系 通分的本质是统一分数单位，使不同分数的"计数单位"相同，便于比较和运算。 例如： 的分数单位是 ， 的分数单位是 ，通分后都变成以 为单位。 3.通分与最小公倍数的联系 通分过程中寻找的最小公分母，就是原来几个分母的最小公倍数。 掌握求最小公倍数的方法是正确通分的关键。 五、常见错误与注意事项 1.常见错误 找错最小公倍数：导致通分后的分数不相等。 只变分子或只变分母：违反分数的基本性质，改变分数大小。 混淆通分与约分：把通分当作约分，错误地减小分子分母。 2.注意事项 通分后分数大小不变，只是形式变化。 选择最小公分母进行通分，计算更简便。 通分过程中，分子分母必须同时乘以相同的数。 第二部分 典型例题 【例题1】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 【例题2】通分。 和        和        和        和 【例题3】水果店新采购70多个苹果。若将这些苹果装进每盒4个的礼盒箱中，正好能装完；若装进每盒6个的礼盒箱中，也能正好装完。水果店新采购的苹果有多少个？ 【例题4】2025年3月22日，来自12个国家和地区的1.5万名跑者齐聚“中国水蜜桃之乡”，参加奉化第八届桃花马拉松。5（1）班的小李和小王参加了“欢乐跑”项目。其中小李前19分钟跑了3千米，小王前11分钟跑了2千米。比赛前半段，每千米用的时间谁多？谁跑得更快？ 【例题5】有一筐苹果，无论每次拿6个还是每次拿5个都正好拿完。这筐苹果最少有多少个？ 【例题6】五（1）班有学生49人。 （1）学校举行跳绳比赛，参赛的学生分组进行计数。五（1）班参赛的学生，可以6人一组，也可以9人一组，都正好分完。五（1）班参赛人数可能是多少人？ （2）王老师上数学课时，安排全班同学分组进行讨论。如果将同学们分成4组，且每组的人数都是奇数，能做到吗？为什么？ 第三部分 高频真题 1．如果（a和b都是非0的自然数），那么a和b的大小相比较，正确的是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 2．君子兰每6天浇一次水，百合花每4天浇一次水。张阿姨今天给两种花同时浇了水，至少（    ）天以后再给这两种花同时浇水。 A．6 B．8 C．12 D．24 3．森林运动会上，小兔和小猴子进行百米赛跑，小兔用分跑到终点，小猴子用分跑到终点，（    ）跑得快。 A．小兔 B．小猴子 C．一样快 D．无法判断 4．有三种面巾纸，甲种纸1元3包，乙种纸2元5包，丙种纸3元8包，那么（    ）最贵。 A．甲种纸 B．乙种纸 C．丙种纸 D．无法比较 5．有一杯蜂蜜水，如果再放入一些蜂蜜，蜂蜜水会变甜。根据这个道理，你认为以下式子中正确的是（    ）。（M＞0） A． B． C． D．以上均不正确 6．在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 7．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是（    ）。 A．6 B．18 C．24 D．30 8．妈妈买了一些鸡蛋，10个装一盒刚好装完，15个装一盒也正好装完。这些鸡蛋至少有（    ）个。 A．25 B．30 C．50 D．60 9．与下图中的点A表示的数最接近的是（    ）。 A． B． C． D． 10．去年暑假期间，佳佳和芳芳去同一个游泳馆游泳。佳佳每4天去一次，芳芳每6天去一次。7月4日两人在游泳馆相遇，她们俩下次相遇的日期是：（    ）。 A．7月7日 B．7月12日 C．7月16日 D．7月28日 11．文化路小学机器人社团的总人数在30－50人之间，无论是分成4人一组、6人一组还是8人一组，都能恰好分完，机器人社团共有( )人。 12．已知A＝2×3×7，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 13．a÷b＝8（a、b均是不为零的自然数），a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 14．小明和爸爸每天围绕兴义街心花园晨跑，小明4分钟跑一圈，爸爸3分钟跑一圈。如果父子两人同时同地起跑，至少( )分钟后两人再次在起点相遇。 15．一段公路原来每隔40米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有13根电线杆。现在改成每隔30米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中间还有( )根不必移动。 16．乐乐和爸爸在广场上晨练，乐乐每6分钟跑一圈，爸爸每4分钟跑一圈，如果他们同时同地同向出发，至少需要( )分钟才能在起点相遇。 17．万载县各小学的一周课表中，每周总课时为30节，各类艺体课程占总课时的多少如下表： 科目名称 音乐 体育 美术 书法 占总课时的多少 通过上表数据，你发现，( )课一周中节数最多，( )和( )每周的节数一样多。 18．一座喷泉由内外双层构成。外面每10分钟喷一次，里面每6分钟喷一次。已知12时15分时同时喷过一次，那么下次同时喷水是( )时( )分。 19．端午节同学们包粽子，六个六个数正好数完，如果八个八个数也能正好数完，同学们至少包了( )个粽子。 20．学校制作了50多块护树标志牌，每4块分为一组，还多1块；每8块分为一组，也还多1块，一共设计了( )块标志牌。 21．求最大公因数和最小公倍数。 和    和 22．先通分，再比较大小。 和           和        和 23．一包糖果数量在120颗以内，3颗3颗数，余2颗，5颗5颗数，余2颗，7颗7颗数，还是余2颗。这袋糖果共有多少颗？ 24．学校图书馆新进一批图书，若每12本一捆或每18本一捆都正好分完，这批图书至少有多少本？ 25．育秀小学开展课后服务活动，501班有的同学参加足球课程，有的同学参加艺术课程，参加哪个课程的人数多？ 26．张阿姨家的电话号码是个8位数，从前到后依次排列为：8的最大因数、5的最小倍数、最小的奇数、最小的合数、最小的质数、3的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 27．一盒彩笔不到20支，把它平均分给3个或4个小朋友，都没有剩余，这盒彩笔有多少支？ 28．奇思坐11路和25路公交车都可以到学校，11路公交车每10分钟一趟，25路公交车每15分钟一趟。两路公交车早上6：00第一次同时出发，第二次同时发车是什么时间？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $