专题20：数学广角——找次品 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题20：数学广角——找次品 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念与原理 1.次品的定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（可能偏轻或偏重） 在实际问题中，次品可能是"轻一些"或"重一些"，题目通常会明确说明 待测物品中仅有一个次品，其他均为合格品 2.天平平衡原理 天平平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中 天平不平衡：次品在较轻（或较重，根据题目要求）的一侧 天平虽只有2个托盘，但托盘外剩下的物品也参与比较，因此一次称量可比较3组物品 二、找次品的基本策略 1.分组原则 必须将待测物品分成3份（天平左盘、右盘和未称量部分） 能平均分则平均分：如9个物品分为(3,3,3) 不能平均分时：使多的一份与少的一份只相差1 例：7个物品应分为(2,2,3)，而非(1,1,5)或(3,3,1) 例：10个物品应分为(3,3,4)，而非(2,2,6)或(5,5) 2.称量策略 首次称量：将前两组（数量相等）放在天平两端 判断次品位置： 若天平平衡，次品在第三组（未称量部分） 若天平不平衡，次品在较轻（或较重）的一组中 递归缩小范围：对含次品的组重复上述分组和称量步骤 三、找次品的最优策略与规律 1.最少称量次数规律 2~3个物品：至少称1次 4~9个物品：至少称2次 10~27个物品：至少称3次 28~81个物品：至少称4次 82~243个物品：至少称5次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1，即最少次数 = ⌈log₃(N)⌉ 2.最优策略的数学原理 每次称量可将问题规模缩小到原来的约1/3 平均分成3份能最大程度缩小次品范围 余数处理原则： 余数为1：将多余物品放入其中一份 余数为2：将多余物品分别放入前两份 3.操作步骤详解 步骤1：按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2） 步骤2：首次称量：将前两组放在天平两端 若平衡，次品在第三组 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组 步骤3：对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品 四、易错点与注意事项 1.常见易错点 分组策略错误：未遵循均分三组原则，如将8个物品分成(4,4)而非(3,3,2) 次品方向混淆：未明确次品是轻还是重，导致判断错误 忽略递归分组：首次称量后未对含次品的组继续均分三组 未考虑最不利情况：只考虑理想情况，未按最坏情况计算次数 2.解题技巧 画图辅助：用流程图或树形图表示称量过程，清晰展示推理路径 列表分析：列出所有可能情况，确保不遗漏 逆向思维：从结果反推称量过程，验证策略有效性 五、实际应用与拓展 1.生活应用 质量检测：工厂质检员检测产品合格性 食品安全：检测食品中是否有变质产品 物流管理：快速找出异常重量的包裹 2.思维拓展 多个次品：如何找出2个或多个次品（如1轻1重） 未知次品方向：当题目未明确次品是轻还是重时的应对策略 优化思想：体会"化繁为简"、"分而治之"的数学思想方法 3.数学思想方法 化归思想：将复杂问题转化为简单问题 优化思想：寻找解决问题的最优策略 推理能力：培养逻辑思维和问题解决能力 第二部分 典型例题 【例题1】有3筒羽毛球，每筒有12个，其中有1个次品比正品重一些。现在要求用一个没有砝码的天平来称，只称3次能保证找到这个次品吗？如果不能，至少要称几次？ 【例题2】有5个外观一样的硬币，其中有一个假币比真币轻一些。用天平称的办法去找，至少称几次能把假硬币找出来？请写出过程。 【例题3】某奶粉厂做促销活动，在原有500g一袋的奶粉中赠送50g共550g，还按原价出售。由于工作人员一时疏忽，把一袋没有添加赠送的奶粉混入了包装箱中。在包装箱的6袋中，你能找到没有添加赠送的那一袋奶粉吗？ 【例题4】有12盒糖果，其中11盒质量相同，另一盒少了几颗。如果用天平称，至少几次就可以保证找出这盒糖果？请写出过程。 【例题5】有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 【例题6】装袋标准为的5袋糖中有一袋的重量略有不同，但不知这袋糖是偏轻还是偏重，用一架天平，最快称几次可以找到这袋糖？用你喜欢的方法表示称的过程。 第三部分 高频真题 1．有5个零件，其中1个是次品（重一些），用天平称一次，结果如下图，可以推断出（    ）号零件一定是正品。 A．③ B．③④ C．③④⑤ D．⑤ 2．8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 3．一箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有一袋糖果轻一些。至少称（    ）次才能保证找出这袋糖果来。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，奇奇购买的8个粽子里，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，用最少的次数保证找出这个肉粽，那么最合适的称重分组方法是（    ）。 A． B． C． D． 5．有15个外观相同的糖果，平均分给3个小朋友，其中一个是次品，质量较轻，在没有砝码的情况下，至少称（    ）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．有5个零件，其中1个零件是次品（次品轻一些），如图所示4幅图是同学们用无砝码天平称量的实验情况，图（    ）的实验能表示称一次就找到了次品零件。 A．③和④ B．①和④ C．①和② D．②和③ 7．有18枚金币，其中有一枚是假的（稍重一些），大侦探福尔摩斯想借助没有砝码的天平称，至少称（    ）次能保证将假金币找出来。 A．2 B．4 C．3 D．5 8．有28个外观相同的球，有1个质量略重的次品。可借助天平，快速缩小范围，找出次品，天平称一次后，范围缩小在（    ）个球中一定有次品。 A．1 B．9 C．10 D．14 9．有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如下图，可以推断出（    ）一定是正品。 A．只有⑤ B．①②③ C．③④⑤ D．①②⑤ 10．有8块橡皮，其中7块质量相同，另外一块是次品（稍重一些）。如果用天平秤，至少秤（    ）次可以保证找出这个次品。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 11．有12个乒乓球，其中11个质量相同，另有一个质量稍轻。如果用天平称，至少称( )次才可以保证找到这个乒乓球。 12．在27件物品中有一件次品（次品比正品质量重一些），要想找出次品，至少称( )次就能找到这件次品。 13．有9个乒乓球，其中一个是次品，比其它的轻一些。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出次品。称第一次时，可以将9个乒乓球分为( )组。 14．28个乒乓球，其中有27个质量合格，一个是次品，比质量合格的乒乓球略轻，假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个次品。 15．有16袋盐，其中15袋质量相同，另1袋稍微轻些是次品盐，用天平至少称( )次才能保证将这包盐找出来。 16．有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 17．茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要( )次才能保证找出次品。 18．有19颗外形完全一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗稍重是次品。如果用天平称，至少称( )次才能保证找到这颗次品珠子。 19．小东家在端午节包了25个粽子，其中有一个略轻些，其余24个质量相同，假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个略轻的粽子。 20．有20个羽毛球（外观完全相同），其中19个质量相同，另有一个次品略轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 21．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 22．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 23．同样体积的水和盐水，盐水稍重一些。如果用天平称，至少称几次就能保证找出加盐的那瓶水？ 24．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 25．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 26．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20：数学广角——找次品 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、基本概念与原理 1.次品的定义 次品与合格品外观完全相同，但质量不同（可能偏轻或偏重） 在实际问题中，次品可能是"轻一些"或"重一些"，题目通常会明确说明 待测物品中仅有一个次品，其他均为合格品 2.天平平衡原理 天平平衡：两边物品质量相等，次品在未称量的物品中 天平不平衡：次品在较轻（或较重，根据题目要求）的一侧 天平虽只有2个托盘，但托盘外剩下的物品也参与比较，因此一次称量可比较3组物品 二、找次品的基本策略 1.分组原则 必须将待测物品分成3份（天平左盘、右盘和未称量部分） 能平均分则平均分：如9个物品分为(3,3,3) 不能平均分时：使多的一份与少的一份只相差1 例：7个物品应分为(2,2,3)，而非(1,1,5)或(3,3,1) 例：10个物品应分为(3,3,4)，而非(2,2,6)或(5,5) 2.称量策略 首次称量：将前两组（数量相等）放在天平两端 判断次品位置： 若天平平衡，次品在第三组（未称量部分） 若天平不平衡，次品在较轻（或较重）的一组中 递归缩小范围：对含次品的组重复上述分组和称量步骤 三、找次品的最优策略与规律 1.最少称量次数规律 2~3个物品：至少称1次 4~9个物品：至少称2次 10~27个物品：至少称3次 28~81个物品：至少称4次 82~243个物品：至少称5次 规律：每增加3倍的物品范围，次数加1，即最少次数 = ⌈log₃(N)⌉ 2.最优策略的数学原理 每次称量可将问题规模缩小到原来的约1/3 平均分成3份能最大程度缩小次品范围 余数处理原则： 余数为1：将多余物品放入其中一份 余数为2：将多余物品分别放入前两份 3.操作步骤详解 步骤1：按均分三组原则分组（如8个分为3、3、2） 步骤2：首次称量：将前两组放在天平两端 若平衡，次品在第三组 若不平衡，次品在较轻（或较重）的一组 步骤3：对含次品的组重复步骤1-2，直至找出次品 四、易错点与注意事项 1.常见易错点 分组策略错误：未遵循均分三组原则，如将8个物品分成(4,4)而非(3,3,2) 次品方向混淆：未明确次品是轻还是重，导致判断错误 忽略递归分组：首次称量后未对含次品的组继续均分三组 未考虑最不利情况：只考虑理想情况，未按最坏情况计算次数 2.解题技巧 画图辅助：用流程图或树形图表示称量过程，清晰展示推理路径 列表分析：列出所有可能情况，确保不遗漏 逆向思维：从结果反推称量过程，验证策略有效性 五、实际应用与拓展 1.生活应用 质量检测：工厂质检员检测产品合格性 食品安全：检测食品中是否有变质产品 物流管理：快速找出异常重量的包裹 2.思维拓展 多个次品：如何找出2个或多个次品（如1轻1重） 未知次品方向：当题目未明确次品是轻还是重时的应对策略 优化思想：体会"化繁为简"、"分而治之"的数学思想方法 3.数学思想方法 化归思想：将复杂问题转化为简单问题 优化思想：寻找解决问题的最优策略 推理能力：培养逻辑思维和问题解决能力 第二部分 典型例题 【例题1】有3筒羽毛球，每筒有12个，其中有1个次品比正品重一些。现在要求用一个没有砝码的天平来称，只称3次能保证找到这个次品吗？如果不能，至少要称几次？ 【答案】不能，至少需要称4次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】3×12＝36（个） 将36个羽毛球分成（12、12、12），称（12、12），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中12个；将12个分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、2），称（1、1），只考虑最不利的情况，平衡，次品在2个中；再称1次即可确定次品，共4次。 答：只称3次不能保证找到这个次品，至少需要称4次。 【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 【例题2】有5个外观一样的硬币，其中有一个假币比真币轻一些。用天平称的办法去找，至少称几次能把假硬币找出来？请写出过程。 【答案】2次；过程见详解 【分析】把5个硬币平均分成3份，分成2枚，2枚，1枚，第一次，一边2枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那1枚；第二次，一边1枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那枚；进而得出结论。 【详解】至少2次：第一次，一边2枚，哪边轻就在哪边，一样重就是剩余的那1枚；第二次，一边1枚，哪边轻就是哪枚，一样重就是剩余的那枚。 【点睛】解答此题的关键：（1）应明确找次品的方法；（2）所需次数最少。 【例题3】某奶粉厂做促销活动，在原有500g一袋的奶粉中赠送50g共550g，还按原价出售。由于工作人员一时疏忽，把一袋没有添加赠送的奶粉混入了包装箱中。在包装箱的6袋中，你能找到没有添加赠送的那一袋奶粉吗？ 【答案】能 【分析】根据找次品的办法，一般把物品分成几份，尽量平均分，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】把6袋奶粉平均分成两份，每份3袋，用天秤称，然后再把轻的平均分成三份再称一次就可以找出没有添加赠送的那一袋奶粉。 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。 【例题4】有12盒糖果，其中11盒质量相同，另一盒少了几颗。如果用天平称，至少几次就可以保证找出这盒糖果？请写出过程。 【答案】3次；见详解 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把12盒糖果平均分成3份，每份4盒，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4盒，如果天平不平衡，次品就在较轻的4盒中；如果天平平衡，次品在剩下的4盒中； 再把有次品的4盒糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一盒；如果天平平衡，次品在剩下的2盒中； 最后把有次品的2盒糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1盒，次品就是较轻的那一盒。 所以至少称3次就可以保证找出这盒糖果。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 【例题5】有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 【答案】5号是次品，次品比正品质量轻；见详解 【分析】图1，把1、2号和3、4号零件分别放在天平的左右两边，天平平衡，说明这4个零件的质量相等，它们都是正品，那么次品在5号和6号零件中； 图3，把4号、6号零件放在天平的左右两边，天平平衡，说明6号是正品，那么5号零件是次品； 图2，把5号、6号零件放在天平的左右两边，天平不平衡，5号轻，6号重，说明次品的质量比正品的质量轻。 【详解】因1、2号和3、4号的质量相等，说明1、2号和3、4号都是正品； 6号和4号的质量相等，说明6号是正品，那么次品是5号； 5号比6号轻，所以次品比正品质量轻。 【点睛】理解掌握用天平找次品的方法是解题的关键。 【例题6】装袋标准为的5袋糖中有一袋的重量略有不同，但不知这袋糖是偏轻还是偏重，用一架天平，最快称几次可以找到这袋糖？用你喜欢的方法表示称的过程。 【答案】三次；过程见详解 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把5袋糖依次标号为①、②、③、④、⑤。用天平称，第一次称，左边放①、②，右边放③、④，天平外是⑤，如果平衡，那么⑤就是次品，如果不平衡，那么在中任取2袋，例如取①和③，分别放在天平两边称，如果不平衡，则次品在这2袋中，然后天平一边仍然放①，另一边换成⑤，由于⑤号不是次品，所以这时如果天平平衡，那么①不是次品，③是次品；如果①和⑤不平衡，那么①就是次品。如果天平上①与③平衡，那么次品是②或④，此时称一下②和⑤，就能确认次品是②还是④。综上所述，最快称三次可以找到这袋糖。（方法不唯一） 【点睛】因为不知道次品偏轻还是偏重，所以称的次数会比知道次品情况时要多称一次；称的过程要利用第一次称时可以确定不是次品的物品（即天平不平衡可以确定未称的那个不是次品），用这个物品和可能是次品的进行比较，进而确定次品是哪个。 第三部分 高频真题 1．有5个零件，其中1个是次品（重一些），用天平称一次，结果如下图，可以推断出（    ）号零件一定是正品。 A．③ B．③④ C．③④⑤ D．⑤ 【答案】C 【分析】天平左边放有①②号两个零件，右边放有③④号两个零件，此时天平不平衡，且左边下沉，说明左边的①②号两个零件较重，则①②号两个零件中肯定有1个是次品，由此得出③④⑤号零件一定是正品。 【详解】已知5个零件中有1个是次品（重一些），天平左边下沉，说明①②号两个零件中必然有1个是次品，可以推断出③④⑤号零件一定是正品。 故答案为：C 2．8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 【答案】B 【分析】从第一次情况中可知，③和④里面有一个是轻的；如果③和④都是轻的，就不会出现第二种情况。 从第二次情况中可知，⑦和⑧里面有一个是轻的； 结合两种情况，①、②、⑤、⑥肯定是一样重的，①＋③＋⑦＝②＋④＋⑥，假设④是标准的重量，则③是轻的，这个等式就不成立；假设③是标准的重量，则④是轻的，这个等式就不成立；为了保持等式成立，则⑦是轻的。 【详解】①＋②比③＋④重，说明③和④有一瓶矿泉水是次品（不能都是次品，因为若都是次品，那么不会出现：⑤＋⑥比⑦＋⑧重）； ⑤＋⑥比⑦＋⑧重，说明：⑦和⑧有一瓶是次品（同理，不能都是次品）； 根据：①＋③＋⑦与②＋④＋⑥一样重， ④和⑦是轻球。 故答案为：B 【点睛】推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。 解答简单推理题时，认真分析题目中的数量关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。 3．一箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有一袋糖果轻一些。至少称（    ）次才能保证找出这袋糖果来。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】把12袋糖果分为（4，4，4），共3组。将其中两组（均含4个）放在天平左右称量。如果天平平衡，则次品在剩下的那4个中；如果天平不平衡，取出轻的一方的4个，进入第2步；把4袋糖果分为（1，1，2），共3组。将其中两组（均含1个）放在天平左右称量。如果天平平衡，轻的就在剩下的2个的那组，再称1次即可；如果天平不平衡，上升的就是那个次品。则至少称3次才能保证找出这袋糖果来。 故答案为：B 4．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，奇奇购买的8个粽子里，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，用最少的次数保证找出这个肉粽，那么最合适的称重分组方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略。在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少。首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。 A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。 这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个。但这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平均。 B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。 这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡则找到肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个。但这种方法也不是最优的。 C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。 这种方法只需要2次称重：首先称2个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的3个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中。然后，从较重的那一组中取出两个粽子进行称重，如果平衡，则剩下的一个就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽，所以，此方法是最优的。 D．把8个粽子分成两组各4个进行称重。 如果两边平衡，说明肉粽在未称重的4个粽子里。再将这4个粽子分成1个、1个、2个，如果两个1个的粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽。 如果两边不平衡，说明肉粽在较重的4个粽子里。同样地，将这4个粽子分成1个、1个、2个，再称重判断肉粽位置。这种方法需要至少3次称重，不是最优的。 【详解】4个选项内的称重分法在分析中进行了对比，那么最合适的称重分组方法是C。 故答案为：C 5．有15个外观相同的糖果，平均分给3个小朋友，其中一个是次品，质量较轻，在没有砝码的情况下，至少称（    ）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此解答即可。 【详解】由分析可得： 将15个糖果，分成5、5、5三组，随意拿出两组，分①②两种情况，如下： ①若天平平衡，则次品肯定出在剩下的5个糖果的那组； 将剩下的5个糖果分成2、2、1这样的3组，先称2和2两组，若一样重，则次品就是单独的那个，若不一样重，次品就在较轻的2个糖果中，再将这2个糖果分别放天平两侧，较轻的那个就是次品，此时，总共称了3次。 ②若5、5这两组不一样重，将轻的那5个再分组； 将5个糖果分成1、2、2三组，先称2、2这两组，若一样重，次品直接就是单独的那个。若不一样重，次品就在较轻的2个糖果那组，再将2个糖果分别放天平两侧，较轻的那个就是次品，此时，总共称了3次， 故答案为：B 6．有5个零件，其中1个零件是次品（次品轻一些），如图所示4幅图是同学们用无砝码天平称量的实验情况，图（    ）的实验能表示称一次就找到了次品零件。 A．③和④ B．①和④ C．①和② D．②和③ 【答案】D 【分析】根据找次品的办法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，根据天平平衡的特征，找到质量轻的次品，由此进行解答即可。 【详解】①天平不平衡，次品在较轻的2个中，需要再称一次，能找到次品； ②天平平衡，剩下的一个是次品； ③天平不平衡，较轻的一个是轻品； ④天平平衡，次品在剩下的三个中，需要再称一次，能找到次品； ②③表示称一次就找到了次品零件。 故答案为：D 7．有18枚金币，其中有一枚是假的（稍重一些），大侦探福尔摩斯想借助没有砝码的天平称，至少称（    ）次能保证将假金币找出来。 A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【详解】第一次，把18枚金币平均分成三份，每份6枚，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较重的6枚中，如果天平平衡，次品就在另外6枚中； 第二次，把含有次品的6枚金币平均分成三份，每份2枚，把其中两份放到天平称上称，如果天平不平衡，次品在较重的2枚中，如果天平平衡，次品就在另外2枚中； 第三次，把含有次品的2枚金币放到天平称上称，较重的一个即为次品。 所以至少称3次保证可以找出这枚金币。 故答案为：C 8．有28个外观相同的球，有1个质量略重的次品。可借助天平，快速缩小范围，找出次品，天平称一次后，范围缩小在（    ）个球中一定有次品。 A．1 B．9 C．10 D．14 【答案】C 【分析】通过把28个球一步一步分，并且放到天平上称的过程，可以知道，天平称一次后，范围缩小到10个球中一定有次品，得出正确选项，据此作答即可。 【详解】把28个球分成9，9，10三份，拿9和9比，最复杂的情况就是9和9的相等，那么明显次品在10个里面，再把10分成3，3，4，复杂情况明显是在4里面，再把4分成2，2再选出重的2个，再分别放天平称即可，10＞4＞2天平称一次后，范围缩小在10个球中一定有次品。 故答案为：C 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 9．有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如下图，可以推断出（    ）一定是正品。 A．只有⑤ B．①②③ C．③④⑤ D．①②⑤ 【答案】D 【分析】5个螺帽里有一个较轻的次品，放在天平的两端，有较轻螺帽的那一端会上升，只有一个次品，可以推断③和④里面必然有一个是次品；所以也就间接的推断出①②⑤这三个肯定是正品。 【详解】根据分析得，③和④之间一定有一个是次品，①②⑤一定是正品。 故答案为：D 【点睛】此题的解题关键是利用天平平衡的原理推断出结果。 10．有8块橡皮，其中7块质量相同，另外一块是次品（稍重一些）。如果用天平秤，至少秤（    ）次可以保证找出这个次品。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】A 【分析】根据找次品的方法，逐渐缩小次品的所在范围，直到找出次品。 【详解】第一次：把8块橡皮分成3个、3个、2个，共三份，把其中两份3块橡皮，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡：则次品即在未取的2块橡皮中，再把2块橡皮分别放在天平秤两端，较低一端即为次品，若天平秤不平衡； 第二次：把天平秤较低端的3块橡皮，任取2块，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取橡皮即为次品，若不平衡，较低端的橡皮即为次品。 所以至少秤2次可以保证找出这个次品。 故答案为：A 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 11．有12个乒乓球，其中11个质量相同，另有一个质量稍轻。如果用天平称，至少称( )次才可以保证找到这个乒乓球。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把12个乒乓球平均分成三份即（4，4，4），将其中任意两份放在天平两端称，如果天平平衡，则次品在剩下的那一份中；如果不平衡，则次品在天平高的那端； 将含有次品的4个乒乓球分成三份即（1，1，2），天平两端各放1个，如果天平不平衡，则次品在天平高的那端；如果天平平衡，那么次品就在剩下的2个中； 把有次品的2个乒乓球分成（1，1），第三次称，天平两端各放1个，次品就是天平高的那一端。 所以，如果用天平称，至少称3次才可以保证找到这个乒乓球。 12．在27件物品中有一件次品（次品比正品质量重一些），要想找出次品，至少称( )次就能找到这件次品。 【答案】3 【分析】利用天平找次品的问题，把27件物品平均分成3组，每次称两组，若平衡，次品在第三组，若不平衡，次品在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小次品所在范围，直至确定次品。 【详解】第一次：把27件分3组（9，9，9），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至9件 ）；第二次：把含次品的9件分3组（3，3，3），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至3件 ）； 第三次：把含次品的3件分3组（1，1，1），称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至1件 ），即可找出次品。 所以要想找出次品，至少称3次就能找到这件次品。 13．有9个乒乓球，其中一个是次品，比其它的轻一些。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出次品。称第一次时，可以将9个乒乓球分为( )组。 【答案】 2/两 3/三 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】分析可知： 综上所述，如果用天平称，至少称2次保证可以找出次品，称第一次时，可以将9个乒乓球分为3组。 14．28个乒乓球，其中有27个质量合格，一个是次品，比质量合格的乒乓球略轻，假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个次品。 【答案】4 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。我们可以根据规律：当所测的物品的个数符合“3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）”时，所称次数至少为n次；据此即可解答。 【详解】33＜28＜34，所以至少称4次能保证找出这个次品。 15．有16袋盐，其中15袋质量相同，另1袋稍微轻些是次品盐，用天平至少称( )次才能保证将这包盐找出来。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】经分析得： 将16袋分成3份：5，5，6；第一次称重，在天平两边各放5袋，手里留6袋； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的6袋分为2，2，2，在天平两边各放2袋，手里留2袋， ①如果天平平衡，则次品在手里2袋中，接下来，将这2袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中，接下来，将这2袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的5袋中，将这5袋分成三份：2，2，1，在天平两边各放2袋，手里留1袋， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的2袋中，接下来，将这2袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的1袋中。 用天平至少称3次才能保证将这包盐找出来。 【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 16．有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】先把12袋糖果平均分成3组，每组4袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续； 第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，再进行第三次比较； 第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。 用天平至少称3次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。 17．茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】经分析得： 将20盒分成3份：6，7，7；第一次称重，在天平两边各放7盒，手里留6盒； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的6盒分为2，2，2，在天平两边各放2盒，手里留2盒， ①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的7盒中，将这7盒分成三份：2，2，3，在天平两边各放2盒，手里留3盒， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的3盒中，则将3盒平均分成3份：1，1，1，在天平各放1盒，手里留1盒，如果天平平衡，则次品在手里的1盒，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1盒中。 至少需要3次才能保证找出次品。 【点睛】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 18．有19颗外形完全一样的珠子，其中18颗质量相同，另有1颗稍重是次品。如果用天平称，至少称( )次才能保证找到这颗次品珠子。 【答案】3 【分析】19个小球随机成6、6、7三组，天平两端放6、6两组珠子，会出现两种情况：（1）天干平衡，则次品在7个里，把7个分为2、2、3三个组，称2和2的两组，若平衡，则次品在剩下3个中，只需再任选2个称；若不平衡，则选重的2个，分成2组称一次即可，共称3次。 （2）不平衡，则次品在重的那6个里，分为3、3两组，称一次得到重的3个，重的3个分成1、1、1三组，再称一次即可找到次品，共称3次。 【详解】根据分析可知，如果用天平称，至少称3次才能保证找到这颗次品珠子。 19．小东家在端午节包了25个粽子，其中有一个略轻些，其余24个质量相同，假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个略轻的粽子。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将25个粽子分成（8、8、9），称（8、8），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在9个中；将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个；将3个分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，至少称3次能保证找出这个略轻的粽子。 20．有20个羽毛球（外观完全相同），其中19个质量相同，另有一个次品略轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 【答案】3 【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】第一次：把20个羽毛球，分成（7，7，6），天平两边各放7个，若平衡，则次品的在6个里面；若不平衡，则次品的在上升的那边；第二次，如果是在6个里面，分成（2，2，2）；若是在7个里面分成2个，2个，3个，天平一边2个，把次品的范围缩小到3个或者2个里面；第三次如果是在2个里面，天平一边一个，可以找出，在3个里面也是天平一边一个，也可以找出质量轻的。所以至少称3次就一定能找出这个次品羽毛球。 21．有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【答案】7次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 【详解】因为36＝729，37＝2187 36＜823＜37 答：至少称7次就一定能找出这个次品。 22．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 23．同样体积的水和盐水，盐水稍重一些。如果用天平称，至少称几次就能保证找出加盐的那瓶水？ 【答案】4次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把35瓶水分成3份，即（12，12，11）。 第一次称，天平两边各放12瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就在较重的12瓶中；如果天平平衡，加盐的那瓶水在剩下的11瓶中。 考虑最不利原则，加盐的那瓶水在数量多的里面，把较重的12瓶水平均分成3份，即（4，4，4），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的4瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中。 再把较重的4瓶水分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶；如果天平平衡，加盐的那瓶水就在剩下的2瓶中。 最后把较重的2瓶水分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶。 答：至少称4次就能保证找出加盐的那瓶水。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 24．福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 【答案】3次 【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。 【详解】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱； 答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示： 【点睛】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。 25．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？ 【答案】3次 【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。 【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中； 第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中； 第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品； 因此，至少称3次可以保证找出次品。 【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。 26．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 【答案】2次 【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。 【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次） 答：至少称2次能保证找出次品。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $