专题11：约分 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题11：约分 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、约分的核心概念 1.约分的定义 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 例如：将 化为 ，分数值不变，但形式更简洁。 约分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2.最简分数的概念 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（也称既约分数）。 例如： 、 、 都是最简分数。 约分时，通常要约成最简分数，即分子和分母互质（最大公因数为1）。 二、约分的方法与步骤 1.约分的两种主要方法 逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除，直到得出最简分数。 例如： 一次约分法：直接用分子和分母的最大公因数去除，一步得到最简分数。 例如： 的最大公因数是6， 2.约分的标准步骤 1.1. 找：找出分子和分母的最大公因数 1.2. 除：分子和分母同时除以最大公因数 1.3. 验：检查结果是否为最简分数（分子分母互质） 3.特殊分数的约分技巧 分子分母末尾有0：先划去分子分母末尾相同个数的0，再约分。 例如： 大数约分：当分子分母较大时，可用"更相减损术"求最大公因数。 例如： ，91-49=42，49-42=7，42÷7=6，最大公因数为7， 三、最简分数的判断与特殊类型 1.判断一个分数是否为最简分数 核心方法：检查分子和分母的最大公因数是否为1。 判断步骤： 1.1.1. 对分子或分母分解质因数 1.1.2. 判断这些质因数是否为另一个数的因数 1.1.3. 若有公因数（除1外），则不是最简分数 2.特殊类型的最简分数 分子为1的分数：如 、 、 都是最简分数。 分子分母是相邻自然数：如 、 、 都是最简分数。 分子分母都是质数：如 、 、 都是最简分数。 四、约分的常见误区与注意事项 1.常见错误 约分不彻底：未发现隐藏的公因数，导致未达到最简形式。 例如： 错误约分为 （正确应为 ，但若只除以2会得到 ，这是错误的） 分子分母除以不同数：约分时分子和分母必须除以相同的数。 忽略"0除外"条件：分数的基本性质中强调"0除外"，不能用0进行约分。 2.重要注意事项 约分前后分数值不变，但分数单位变大。 例： 的分数单位是 ，比原分数 的分数单位 大。 假分数也可以是最简分数，只要分子分母互质。 例如： 是最简假分数。 约分时，分子分母必须同时除以公因数，不能只化简分子或分母。 五、约分的实际应用 1.分数比较大小 当分子分母都不相同时，可以先约分再比较大小，简化计算过程。 2.解决实际问题 生活应用：计算物品占比、分配比例等。 例如：班级40名学生中24人参加合唱比赛，参赛比例 。 工程应用：计算材料利用率、时间分配等。 3.分数运算的基础 约分是分数加减乘除运算的重要基础，能简化计算过程，减少错误。 第二部分 典型例题 【例题1】把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  【答案】；；3；； 【分析】约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分；根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果就是分子和分母只有公因数1的最简分数。 假分数化成整数：用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。 假分数化成带分数：用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（余数比除数小）。整数商就是带分数的整数部分，余数为真分数部分的分子，分母不变。 【详解】 【例题2】求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 【答案】15；17；12 【分析】我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因数。 【详解】（1）45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 所以，45和60的最大公因数为：3×5＝15； （2）17＝1×17 51＝3×17 所以，17和51的最大公因数为：17； （3）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以，24和36的最大公因数为：2×2×3＝12。 【例题3】可可和小刚各买了几支单价相同的钢笔，已知可可花了72元，小刚花了81元。这种钢笔的单价最多是多少元？他们一共买了多少支？ 【答案】9元；17支 【分析】根据题意，可可花了72元，小刚花了81元，各买了几支单价相同的钢笔，那么这种钢笔的单价是72和81的公因数；求这种钢笔最多的单价，就是求72和81的最大公因数； 把72和81分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即是最多的单价； 再根据“总价÷单价＝数量”分别求出两人各买的支数，再相加，就是两人一共买的总支数。 【详解】72＝2×2×2×3×3 81＝3×3×3×3 72和81的最大公因数是：3×3＝9 即这种钢笔的单价最多是9元。 72÷9＝8（支） 81÷9＝9（支） 一共：8＋9＝17（支） 答：这种钢笔的单价最多是9元。他们一共买了17支。 【例题4】有一张长方形纸，长60厘米，宽45厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以剪出多少个这样的正方形？ 【答案】15厘米；12个 【分析】要使剪出的正方形“同样大小且没有剩余”，正方形的边长必须是长方形长（60厘米）和宽（45厘米）的公因数，而“最大边长”就是两者的最大公因数。用“分解质因数法”求最大公因数：60＝2×2×3×5；45＝3×3×5，两者共有的质因数为3和5，所以最大公因数为3×5＝15。因此，正方形的边长最大是15厘米。然后用60和45分别除以15计算后，再把结果相乘即可得出可以剪出多少个这样的正方形。 【详解】60＝2×2×3×5 45＝3×3×5 3×5＝15（厘米） 60÷15＝4（个） 45÷15＝3（个） 4×3＝12（个） 答：正方形的边长最大是15厘米，可以剪出12个这样的正方形。 【例题5】一张长方形木板长28分米，宽12分米，在无剩余的前提下将它裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少分米？一共可以裁成多少个？ 【答案】4分米；个 【分析】长方形木板长28分米，宽12分米，将它裁成尽可能大的正方形，且没有剩余，那么正方形的边长就是28和12的最大公因数，利用分解质因数法计算：28＝2×2×7；12＝2×2×3。所以28和12的最大公因数是2×2＝4，即正方形的边长是4分米。然后用分别用28和12除以4，再把所得的结果相乘即可解答。 【详解】28＝2×2×7 12＝2×2×3 2×2＝4（分米） 28÷4＝7（个） 12÷4＝3（个） 7×3＝21（个） 答：正方形的边长是4分米，一共可以裁成21个。 【例题6】五（2）班有男生30人，女生25人，女生人数是男生人数的几分之几？男生人数占全班人数的几分之几？ 【答案】； 【分析】将男生人数看作单位“1”，女生人数÷男生人数＝女生人数是男生人数的几分之几；男生人数＋女生人数＝全班人数，将全班人数看作单位“1”，男生人数÷全班人数＝男生人数占全班人数的几分之几。 【详解】25÷30＝＝ 30÷（30＋25） ＝30÷55 ＝ ＝ 答：女生人数是男生人数的，男生人数占全班人数的。 第三部分 高频真题 1．下面各组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．16和25 B．6和21 C．7和42 D．15和40 【答案】A 【分析】通过分解质因数的方法，看除了1之外是否还有其他公共质因数。若两个数没有相同的质因数，那么它们的公因数只有1，由此即可选择。 【详解】16＝2×2×2×2，25＝5×5，两个数的公因数只有1，符合要求。 6＝2×3，21＝3×7，6和21的公因数有1、3，不符合要求。 7＝1×7，42＝2×3×7，7和42的公因数有1、7，不符合要求。 15＝3×5，40＝2×2×2×5，15和40的公因数有1、5，不符合要求。 2．从12点开始，经过（    ）分钟时针与分针第一次成90°角。 A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】钟面一圈为360°，分针60分钟走一圈，时针1小时走1大格，是30°；先用除法分别求出时针和分针的每分钟转动的角度，再计算出分针比时针每分钟多转的角度，最后用90°除以分针比时针每分钟多转的角度，即可得到所需时间。 【详解】分针每分钟转动角度： 360°÷60＝6° 时针每分钟转动角度： 30°÷60＝0.5° 分针比时针每分钟多转： 6°－0.5°＝5.5° 所需时间：90°÷5.5° ＝ ＝ ＝ ＝（分钟） 3．下面算式中，m，n均是不为0的自然数，m，n一定为互质数的是（      ）。 A．m－n＝1 B．m÷n＝2 C．m×n＝12 D．m＋n＝8 【答案】A 【分析】公因数只有1的两个非零自然数是互质数。相邻的两个自然数的公因数只有1。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．m－n＝1，可知m和n是相邻的两个自然数，所以m和n一定是互质数，该选项符合要求。 B．m÷n＝2，当m＝4，n＝2时，4和2不是互质数，该选项不符合要求。 C．m×n＝12，当m＝4，n＝3时，乘积是12且互质；但当m＝6，n＝2时，乘积也是12，但它们的最大公因数是2，不互质，所以不一定互质，该选项不符合要求。 D．m＋n＝8，当m＝2，n＝6时，和是8，但它们的最大公因数是2，不互质。所以不一定互质，该选项不符合要求。 故答案为：A 4．据了解，清明节当天，兴国县革命烈士纪念馆上午接待祭扫群众3600人，下午接待了3000人。请问上午祭扫人数比下午多（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用3600减去3000计算出上午比下午多接待600人；再根据“求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算”用600除以3000，根据分数与除法的关系，结果用分数表示，不是最简分数的要约分成最简分数。 【详解】根据分析： （3600－3000）÷3000 ＝600÷3000 ＝ 据了解，清明节当天，兴国县革命烈士纪念馆上午接待祭扫群众3600人，下午接待了3000人。请问上午祭扫人数比下午多。 故答案为：A 5．如图是植物园的摩天轮。摩天轮上安装了60个座舱。摩天轮按照如图匀速逆时针旋转一周需要32分钟。小兰一家10时从登舱点P进入座舱，10时24分，小兰一家的位置在（    ）。 A．点R处 B．点R和点S之间 C．点S处 D．点S和点P之间 【答案】C 【分析】根据终点时间－起点时间＝经过时间，先求出摩天轮的旋转时间，将摩天轮旋转一周的时间看作单位“1”，旋转时间÷摩天轮旋转一周的时间＝旋转了一周的几分之几，根据分数的意义，即可确定小兰一家的位置。 【详解】10时24分－10时＝24分 24÷32＝＝ 小兰一家10时从登舱点P进入座舱，10时24分，摩天轮旋转了一周的，小兰一家的位置在点S处。 故答案为：C 6．小丽用20天看完了一本80页的故事书，每天看的页数相同。她5天看了这本书的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为20天看完80页书，且每天看的页数相同，那么每天看的页数是80÷20＝4页，5天看了4×5＝20页，求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。所以用20除以80即可解答。 【详解】80÷20＝4（页） 4×5＝20（页） 20÷80＝ 她5天看了这本书的。 故答案为：B 7．一个长方体的长、宽、高分别是12cm、10cm和6cm，如果它的长、宽、高同时缩小为原来的，那么它的体积（    ）。 A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【分析】已知原长方体的长12cm、宽10cm、高6cm，长方体的体积为：体积＝长×宽×高，把数据代入公式可得体积为12×10×6＝720cm3。 长、宽、高同时缩小为原来的，则缩小后的长为12÷2＝6cm，宽10÷2＝5cm，高6÷2＝3cm。把数据代入体积公式得出缩小后的体积为6×5×3＝90cm3。然后用缩小后的体积除以原体积即可解答。 【详解】原体积：12×10×6＝720（cm3） 缩小后的长：12÷2＝6（cm） 缩小后的宽：10÷2＝5（cm） 缩小后的高：6÷2＝3（cm） 缩小后的体积：6×5×3＝90（cm3） 90÷720＝ 即体积缩小为原来的。 故答案为：C 8．如果、、、这四个分数都是真分数，那么至少有（    ）个一定是最简分数。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数；真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1；据此判断。 【详解】A．，分母5是质数，a为1~4，均与5互质，必为最简分数。 B．，分母13是质数，b为1~12，均与13互质，必为最简分数。 C．，分母36＝2×2×3×3，若c为2或3的倍数（如c＝2），则分数可约分，不一定是最简分数。 D．，分母37是质数，d为1~36，均与37互质，必为最简分数。 所以、、一定是最简分数，共3个。 故答案为：B 9．若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是（    ）。 A．8 B．n C．m D．1 【答案】C 【分析】已知n ÷ m ＝ 8，说明n是m的8倍，即n ＝ 8m，可知。根据最大公因数的性质，当两个数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数。 【详解】据分析可知，若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是m。 故答案为：C 10．把一张长30cm、宽24cm的长方形纸剪成若干张同样的小正方形纸，而且没有剩余，最少可以剪成（    ）张。 A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】要使剪成的小正方形数量最少且无剩余，小正方形的边长应为长方形的长、宽即30和24的最大公因数。可运用分解因数法求出最大公因数，计算最大公因数后，分别求出长和宽能剪出的张数，相乘即得总张数。 【详解】30＝2×3×5，24＝2×2×3，则最大公因数为：2×3＝6，因此小正方形边长为6cm。 则长边可剪：30÷6＝5（张） 宽边可剪：24÷6＝4（张） 总张数：5×4＝20（张） 故答案为：C 11．一根长2米的绳子，平均截成8段，每段绳子长( )米，每段绳子是全长的( )。 【答案】 【分析】用绳子的长度除以段数即可求出每段具体的长度；把绳子的长度看作单位“1”，平均分成8段，则每段是这根绳子的。 【详解】每段绳子长：2÷8＝（米） 每段绳子是全长的：1÷8＝ 12．把20 米长的绳子平均剪成15段，每段是全长的( )，每段长( )米。 【答案】 / 【分析】求每段是全长的几分之几，把全长看作单位“1”，用“1”除以段数解答。求每段长多少米，用全长的米数除以段数解答。 【详解】 每段是全长的。 （米） 每段长米。 13．把化成最简分数是( )，再转化为带分数是( )。 【答案】 【分析】①约分：用分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数，可将分数化成“最简分数”； ②假分数化成带分数：用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 【详解】 14．将化成最简分数是______，与相等的分数有______（举一例）。 【答案】 【分析】分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。利用分数的基本性质可以对分数进行化简。 【详解】 （答案不唯一） 15．一个分数，分子比分母小10，约分后是，这个分数是( )。 【答案】 【分析】分数的基本性质，分数的分子分母同时乘或者除以一个不为零的数，分数的大小不变；分子、分母扩大几倍，它们的差也扩大相同的倍数。 【详解】7－5＝2 10÷2＝5 ＝＝ 16．在4、1、28、35、10、2、14、7、5这九个数中，找出符合下列要求的数。2和5的公倍数( )；28和35的公因数( )；既是奇数又是合数的数( )。 【答案】 10 7 35 【分析】①2和5全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 ②28和35的全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 ③整数中，不是2的倍数的数叫奇数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】①2＝1×2，5＝1×5，则1×2×5＝10，即2和5的公倍数是10。 ②28＝2×2×7，35＝5×7，即28和35的公因数是7； ③既是奇数又是合数的数35。 17．将下图硬纸板划分成面积相等的小正方形，每个小正方形的面积最大是( )。 【答案】400cm2/400平方厘米 【分析】据题意得：长方形硬纸板的长是80cm，宽是60cm，要划分为面积相等的正方形，则小正方形边长能整除长方形的长、宽；得到面积最大的小正方形，即边长最大，可运用质因数分解法求出长、宽的最大公因数，即为边长，再运用正方形面积＝边长×边长，据此计算得出答案。 【详解】长方形硬纸板的长为80cm，宽为60cm，80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5，则80和60的最大公因数为：2×2×5＝20，即每个小正方形的面积最大是：20×20＝400（cm2） 18．把一根长2米的绳子剪5次剪成相等的6段，每段是这根绳子的( )，是( )米 【答案】 【分析】根据分数的意义，把这根绳子的长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成6段，每段是这根绳子的。 根据除法的意义，把2米长的绳子平均分成6段，用除法计算。 【详解】 所以，每段是这根绳子的，是米。 19．10g糖溶入100g水中，糖占糖水重量的( )，糖比水少( )（填分数）。 【答案】 【分析】求一个数占另一个数的几分之几，一个数÷另一个数，糖占糖水重量的几分之几，糖÷糖水，代入计算即可。一个数比另一个数少几分之几，（另一个数－一个数）÷另一个数，糖比水少几分之几，（水－糖）÷水，代入计算即可。 【详解】10÷（10＋100） ＝10÷110 ＝ 所以糖占糖水重量的。 （100－10）÷100 ＝90÷100 ＝ 所以糖比水少。 20．一个最简分数，分子和分母的和是40，若分子和分母都加上5，得到的分数约分后是，原来的分数是( )。 【答案】 【分析】由题意，可得新分数分子和分母的和是40＋5＋5＝50，且新分数约分后是，则分子是和的，分母是和的，用分子和分母的和分别乘分子、分母占的分率即可求出新分数分子、分母的值，新分数分子和分母都减去5后即可得到原分数的分子和分母，据此求解。 【详解】40＋5＋5＝50 新分子：50×＝50×＝18 新分母：50×＝50×＝32 原分子：18－5＝13 原分母：32－5＝27 所以原来的分数是。 【点睛】本题关键在于根据原来分子与分母的和求出新分数分子与分母的和，并根据新分数分子、分母所占分率分别求出新分数的分子和分母，进而再分别求得原分数的分子和分母。 21．用短除法求最大公因数。 24和60                      42和28 【答案】12；14 【分析】短除法就是用质数依次去除要计算的几个数，直到所得的商互质，再把所有除数相乘，就能得到它们的最大公因数. 【详解】 24和60的最大公因数是2×2×3＝12 42和28的最大公因数是2×7＝14 22．把下面的各分数约分。          【答案】 ；； 【分析】根据分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数大小不变；据此解答。 【详解】            23．一张长方形的纸长40厘米，宽36厘米，如果要剪成若干个同样的正方形且没有剩余，剪出的正方形的边长最长是几厘米？最多可以剪多少个这样的正方形？ 【答案】4厘米；90个 【分析】把一张长方形纸剪成同样的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形的最长边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再用除法分别求出长、宽里各有几个最大公因数，最后相乘就是最多可以剪的个数。 【详解】40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数：2×2＝4 即正方形的边长最长是4厘米。 40÷4＝10（个） 36÷4＝9（个） 10×9＝90（个） 答：剪出的正方形的边长最长是4厘米，最多可以剪90个这样的正方形。 24．五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果分成人数相等的小组且没有剩余，每组最多几人？ 【答案】6人 【分析】要使两个班分成人数相等的小组且没有剩余，每组人数必须是42和48的公因数，要求每组最多几人，就是求42和48的最大公因数，通过分解质因数或列举法找出它们的最大公因数，即可得到每组最多的人数。 【详解】42＝2×3×7 48＝2×2×2×2×3 42和48的最大公因数是2×3＝6 答：每组最多6人。 25．光辉小学五年级共有学生400人，其中男生有220人，女生人数占全班人数的几分之几？ 【答案】 【分析】根据分数的意义，女生人数占全班人数的几分之几，即用女生人数（女生人数＝全班人数－男生人数）除以全班人数，约分成最简分数即可。 【详解】（400－220）÷400 ＝180÷400 ＝ ＝ ＝ 答：女生人数占全班人数的。 26．把48本练习本和64支铅笔分别平均分给若干名同学，如果练习本和铅笔都没有剩余，那么最多有多少名同学？此时每名同学分到几本练习本和几支铅笔？ 【答案】16名；3本；4支 【分析】把48本练习本和64支铅笔分别平均分给若干名同学，且没有剩余，学生数量是48和64的公因数，题目要求学生最多，求48和64的最大公因数，再分别用练习本总数和铅笔总数除以学生数量即可。 【详解】48＝2×2×2×2×3 64＝2×2×2×2×2×2 48和64的最大公因数： 2×2×2×2＝16 48÷16＝3（本） 64÷16＝4（支） 答：最多有16名学生，此时每名学生分到3本练习本和4支铅笔。 27．教育部明确规定：要确保青少年睡眠时间，保证小学生每天睡眠10小时，中学生9小时，高中生8小时。明明每天睡眠9小时，兰兰每天睡眠8小时，明明、兰兰一天的睡眠时间分别占全天的几分之几？ 【答案】； 【分析】全天为24小时。求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，即用睡眠时间除以全天时间，最后的结果要约分，化成最简分数。 【详解】明明： 兰兰： 答：明明一天的睡眠时间占全天的，兰兰一天的睡眠时间占全天的。 28．贝贝、轩轩和丹丹三个人去书店买了相同的一本书，贝贝用支付宝支付的钱数是定价的，轩轩用微信支付的钱数是定价的，丹丹用现金支付的钱数是定价的。丹丹说她付的钱数最少，对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】先将贝贝、轩轩支付的钱数对应的分数进行约分（用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母）；再比较三人支付的钱数对应的分数大小。 【详解】 即，所以三人付的钱数一样多。 答：因为，所以贝贝、轩轩和丹丹三个人付的钱数一样多，因此，丹丹说的不对。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11：约分 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、约分的核心概念 1.约分的定义 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 例如：将 化为 ，分数值不变，但形式更简洁。 约分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2.最简分数的概念 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数（也称既约分数）。 例如： 、 、 都是最简分数。 约分时，通常要约成最简分数，即分子和分母互质（最大公因数为1）。 二、约分的方法与步骤 1.约分的两种主要方法 逐步约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除，直到得出最简分数。 例如： 一次约分法：直接用分子和分母的最大公因数去除，一步得到最简分数。 例如： 的最大公因数是6， 2.约分的标准步骤 1.1. 找：找出分子和分母的最大公因数 1.2. 除：分子和分母同时除以最大公因数 1.3. 验：检查结果是否为最简分数（分子分母互质） 3.特殊分数的约分技巧 分子分母末尾有0：先划去分子分母末尾相同个数的0，再约分。 例如： 大数约分：当分子分母较大时，可用"更相减损术"求最大公因数。 例如： ，91-49=42，49-42=7，42÷7=6，最大公因数为7， 三、最简分数的判断与特殊类型 1.判断一个分数是否为最简分数 核心方法：检查分子和分母的最大公因数是否为1。 判断步骤： 1.1.1. 对分子或分母分解质因数 1.1.2. 判断这些质因数是否为另一个数的因数 1.1.3. 若有公因数（除1外），则不是最简分数 2.特殊类型的最简分数 分子为1的分数：如 、 、 都是最简分数。 分子分母是相邻自然数：如 、 、 都是最简分数。 分子分母都是质数：如 、 、 都是最简分数。 四、约分的常见误区与注意事项 1.常见错误 约分不彻底：未发现隐藏的公因数，导致未达到最简形式。 例如： 错误约分为 （正确应为 ，但若只除以2会得到 ，这是错误的） 分子分母除以不同数：约分时分子和分母必须除以相同的数。 忽略"0除外"条件：分数的基本性质中强调"0除外"，不能用0进行约分。 2.重要注意事项 约分前后分数值不变，但分数单位变大。 例： 的分数单位是 ，比原分数 的分数单位 大。 假分数也可以是最简分数，只要分子分母互质。 例如： 是最简假分数。 约分时，分子分母必须同时除以公因数，不能只化简分子或分母。 五、约分的实际应用 1.分数比较大小 当分子分母都不相同时，可以先约分再比较大小，简化计算过程。 2.解决实际问题 生活应用：计算物品占比、分配比例等。 例如：班级40名学生中24人参加合唱比赛，参赛比例 。 工程应用：计算材料利用率、时间分配等。 3.分数运算的基础 约分是分数加减乘除运算的重要基础，能简化计算过程，减少错误。 第二部分 典型例题 【例题1】把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  【例题2】求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 【例题3】可可和小刚各买了几支单价相同的钢笔，已知可可花了72元，小刚花了81元。这种钢笔的单价最多是多少元？他们一共买了多少支？ 【例题4】有一张长方形纸，长60厘米，宽45厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以剪出多少个这样的正方形？ 【例题5】一张长方形木板长28分米，宽12分米，在无剩余的前提下将它裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少分米？一共可以裁成多少个？ 【例题6】五（2）班有男生30人，女生25人，女生人数是男生人数的几分之几？男生人数占全班人数的几分之几？ 第三部分 高频真题 1．下面各组数中，公因数只有1的是（    ）。 A．16和25 B．6和21 C．7和42 D．15和40 2．从12点开始，经过（    ）分钟时针与分针第一次成90°角。 A．15 B． C． D． 3．下面算式中，m，n均是不为0的自然数，m，n一定为互质数的是（      ）。 A．m－n＝1 B．m÷n＝2 C．m×n＝12 D．m＋n＝8 4．据了解，清明节当天，兴国县革命烈士纪念馆上午接待祭扫群众3600人，下午接待了3000人。请问上午祭扫人数比下午多（    ）。 A． B． C． D． 5．如图是植物园的摩天轮。摩天轮上安装了60个座舱。摩天轮按照如图匀速逆时针旋转一周需要32分钟。小兰一家10时从登舱点P进入座舱，10时24分，小兰一家的位置在（    ）。 A．点R处 B．点R和点S之间 C．点S处 D．点S和点P之间 6．小丽用20天看完了一本80页的故事书，每天看的页数相同。她5天看了这本书的（    ）。 A． B． C． D． 7．一个长方体的长、宽、高分别是12cm、10cm和6cm，如果它的长、宽、高同时缩小为原来的，那么它的体积（    ）。 A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大到原来的4倍 8．如果、、、这四个分数都是真分数，那么至少有（    ）个一定是最简分数。 A．4 B．3 C．2 D．1 9．若m、n都是非零自然数，n÷m＝8，则m和n的最大公因数是（    ）。 A．8 B．n C．m D．1 10．把一张长30cm、宽24cm的长方形纸剪成若干张同样的小正方形纸，而且没有剩余，最少可以剪成（    ）张。 A．12 B．15 C．20 D．30 11．一根长2米的绳子，平均截成8段，每段绳子长( )米，每段绳子是全长的( )。 12．把20 米长的绳子平均剪成15段，每段是全长的( )，每段长( )米。 13．把化成最简分数是( )，再转化为带分数是( )。 14．将化成最简分数是______，与相等的分数有______（举一例）。 15．一个分数，分子比分母小10，约分后是，这个分数是( )。 16．在4、1、28、35、10、2、14、7、5这九个数中，找出符合下列要求的数。2和5的公倍数( )；28和35的公因数( )；既是奇数又是合数的数( )。 17．将下图硬纸板划分成面积相等的小正方形，每个小正方形的面积最大是( )。 18．把一根长2米的绳子剪5次剪成相等的6段，每段是这根绳子的( )，是( )米 19．10g糖溶入100g水中，糖占糖水重量的( )，糖比水少( )（填分数）。 20．一个最简分数，分子和分母的和是40，若分子和分母都加上5，得到的分数约分后是，原来的分数是( )。 21．用短除法求最大公因数。 24和60                      42和28 22．把下面的各分数约分。          23．一张长方形的纸长40厘米，宽36厘米，如果要剪成若干个同样的正方形且没有剩余，剪出的正方形的边长最长是几厘米？最多可以剪多少个这样的正方形？ 24．五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果分成人数相等的小组且没有剩余，每组最多几人？ 25．光辉小学五年级共有学生400人，其中男生有220人，女生人数占全班人数的几分之几？ 26．把48本练习本和64支铅笔分别平均分给若干名同学，如果练习本和铅笔都没有剩余，那么最多有多少名同学？此时每名同学分到几本练习本和几支铅笔？ 27．教育部明确规定：要确保青少年睡眠时间，保证小学生每天睡眠10小时，中学生9小时，高中生8小时。明明每天睡眠9小时，兰兰每天睡眠8小时，明明、兰兰一天的睡眠时间分别占全天的几分之几？ 28．贝贝、轩轩和丹丹三个人去书店买了相同的一本书，贝贝用支付宝支付的钱数是定价的，轩轩用微信支付的钱数是定价的，丹丹用现金支付的钱数是定价的。丹丹说她付的钱数最少，对吗？为什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $