精品解析：安徽淮北市相山区第二中学2025-2026学年八年级下学期阶段学情自测数学试卷

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 6. 能使等式成立的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 12或10 B. 12 C. 8或10 D. 10 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：____．（用“”或“”填空）． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，则三角形的面积．若， ，，则的值为__________． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． （1）若，则__________； （2）若，则的取值范围是__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 20. 阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： （1）； （2）． 六、（本题满分12分） 21. 观察下列等式，解答下列问题： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ， （1）直接写出第个等式：_________； （2）根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； （3）利用（）的结论计算：． 七、（本题满分12分） 22. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． （1）根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． （2）若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； （3）若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 若a是关于x的一元二次方程的一个根 （1）求m的取值范围； （2）若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件，是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ 选项A 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程． ∴ A不符合要求． ∵ 选项B 中，含有和两个未知数． ∴ B不符合要求． ∵ 对选项C整理得 ，即 ，未知数最高次数为1． ∴ C不符合要求． ∵ 对选项D整理得 ，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． ∴ D符合要求． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意. 3. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将一元二次方程左边转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9得 ， 即 ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的运算法则运算即可解答． 【详解】解：A. ，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算正确，故符合题意； D. ，选项计算错误，故不符合题意； 故选：C． 5. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 能使等式成立的的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 7. 已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 12或10 B. 12 C. 8或10 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当腰长为2，底边长为4时，，不符合三角形三边关系定理， 当腰长为4，底边长为2时，，符合三角形三边关系定理， ∴该等腰三角形的周长为． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 9. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 10. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小：____．（用“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列方程求解，同时验证二次根式有意义即可得到结果． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以根据同类二次根式的定义，得， 移项，得， 计算得， 当时，，二次根式有意义． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，则三角形的面积．若， ，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把，，代入所给面积公式计算即可; 【详解】， ，， ． 14. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，其中为实数． （1）若，则__________； （2）若，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式进行求解即可； （2）将原方程化为，进一步解得，，然后根据求解即可． 【详解】解：（1）， ， 解得； （2）关于的一元二次方程， 可化为，即， 解得或， ， ，故， ， 解得． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简并加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先因式分解得到，再解方程即可． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 即或， 解得，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得出x，y的正负情况，然后确定和的正负，再将二次根式化简即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的位置，得，，， 原式 ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 【答案】（1） 证明：， 无论取何实数，方程总有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）求出方程的判别式得出，即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入该方程中， 得， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； 【小问2详解】 解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 20. 阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 解得． ， 即或， 解得，． 六、（本题满分12分） 21. 观察下列等式，解答下列问题： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ， （1）直接写出第个等式：_________； （2）根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； （3）利用（）的结论计算：． 【答案】（1） （2）， 证明：左式， 为正整数， ， ∴， 左式右式， 即； （3） 【解析】 【分析】（）根据已知等式的规律写出第个等式即可； （）根据已知等式的规律写出第个等式，再利用二次根式的对左式进行化简，进而得到右式即可求证； （）利用（）得到的规律式解答即可求解； 本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，由已知等式找到规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ， ∴第个等式：， 故答案为： ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：原式． ． 七、（本题满分12分） 22. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． （1）根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． （2）若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； （3）若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】（1）①③ （2）1或 （3）1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【小问1详解】 解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； 【小问2详解】 解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 八、（本题满分14分） 23. 若a是关于x的一元二次方程的一个根 （1）求m的取值范围； （2）若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $