精品解析：安徽省淮北市相山区2024-2025学年八年级下学期第一次素质检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期第一次素质检测 八年级数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为 120 分钟． 2.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式应满足的条件：（1）被告开方式不含有开的尽方的因数与因式，（2）被告开方式不含有分母是解题的关键．根据最简二次根式应满足的条件解答即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可合并． 本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，与能合并，故B符合题意； C、与不能合并，故C不符合题意； D、，与不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 3. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键； 【详解】解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 5. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 解得 ； 故选：A． 6. 已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为(　　) A. 2 B. －1 C. － D. －2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， ，， ∴=. 故选D. 点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， . 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，用换元法解题即可得到结果． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键． 8. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先将方程变形成，然后两边再加上9，最后根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 9. 关于x的方程，则的值是（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 10. 已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用根的判别式判断方程根的情况是解题的关键． 先解不等式组得到解集，根据有且仅有4个整数解的条件，确定a的取值范围为；再计算一元二次方程的判别式，结合a的范围得出，从而判断方程无实数根． 【详解】解：不等式组 ， 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为． ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为4，5，6，7， ∴． 对于方程 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程无实数根． 故选C． 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数，分式的分母不能为0是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴且， ∴x的取值范围为, 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则m=________． 【答案】2 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）,特别要注意a≠0的条件． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则 |一定是二次项． 所以得到 ， 解得m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件． 13. 如果y2，那么xy的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x，进而求出y，计算即可． 【详解】解：由题意得：5−x≥0，x−5≥0， 则x＝5， ∴y＝−2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 14. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法求解是关键． （1）由题意，因式分解法解方程即可； （2）分与两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 解得：； 故答案为：； （2）当时，即时，， ∴，即， 解得：； 当时，即时，， ∴，即， 解得：； 不符合题意，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 三、解答题（第15、16、17、18每小题8分，第19、20每小题10分，第21、22每小题12分，第23题14分） 15. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）根据零指数幂、绝对值的意义、乘方的定义； （2）先根据多项式乘法和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）先分解因式得，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ， ， 则， ∴； 【小问2详解】 ， ，即， 或， 解得：，． 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 先将分式通分，再把字母的值代入相应的式子运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， 18. 已知，在数轴上的位置如下图所示，试化简． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简以及数轴与实数，得出各项符号是解题关键． 根据数轴可得，从而得到，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得： ∴ ∴ ． 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】 （1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）p=±1． 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）略 （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 20. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2）14. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程x2-2（a+1）x+a2+3=0的两实数根得到△≥0，求出a的取值范围，结合（x1-1）（x2-1）=10，利用根与系数的关系即可求出a的值； （2）分类讨论：当6是等腰三角形的腰长，当6是底边长，利用等腰三角形的性质求出a的值，进而求出等腰三角形的腰长或底边长，求出三角形的周长． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，即， 解得：． ∵，，， ∴， 即． 解得，． ∵， ∴． （2）由题意可知，若等腰三角形的底边为6， 那么方程的两个根相等， ∴，即， 解得：． ∴方程为，解得． 因为不能构成三角形，故舍去． 若等腰三角形的腰长为6，那么方程的一个根为6， ∴把代入方程，得， 解得：或． 当时，方程为， 解得：，． ∴此三角形的周长为：； 当时，方程为， 解得：，． 因为不能构成三角形，故舍去． 综上可知，三角形的周长为14． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、跟的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是要熟练掌握等腰三角形的性质，注意分类讨论，此题难度一般． 21. 某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同. （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出这种商品多少件？ 【答案】（1）；（2）50件. 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该种商品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100−m）件，根据总利润＝单件利润×销售数量结合两次降价销售的总利润不少于8000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设每次降价的百分率为， 则可得， ∴，或（舍）， ∴该商品每次降低的百分率为. （2）设第一次降价后售出件，则第二次售出件. 则第一次降价后单价为：（元/件）， ， 解得：， ∴第一次降价后至少要售出50件. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量间的关系，找出关于m的一元一次不等式． 22. 如图，在中，点P从A点开始沿边向点C以的速度运动，在C点停止，点Q从C点开始沿方向向点B以的速度移动，在点B停止． （1）如果点分别从同时出发，经几秒钟，使； （2）如果P从点A先出发，点Q再从C点出发，经过几秒后． 【答案】（1）2秒或4秒（2）4秒 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．涉及几何图形动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 本题可设P出发后，符合已知条件： 在（1）中，，；进而可列出方程，求出答案． 在(2)中，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：（1）当同时出发，设时，， 由题意得： ， ∴，解得． 经2秒点P到离A点处，点Q离C点处， 经4秒点P到离A点处，点Q点C点处，经验证，它们都符合要求． （2）设P出发时， 则Q运动的时间为秒，由题意得： ， ∴， 解得：（秒） 因此经4秒点P离A点，点Q离C点，符合题意． 23. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】（1） （2） （3）这四个连续正整数为1，2，3，4 【解析】 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【小问1详解】 解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， 【小问3详解】 解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次素质检测 八年级数学试卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为 120 分钟． 2.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为(　　) A. 2 B. －1 C. － D. －2 7. 我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的方程，则的值是（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 3或 10. 已知不等式组有且仅有4个整数解，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 若关于x的一元二次方程是一元二次方程，则m=________． 13. 如果y2，那么xy的值是 _____． 14. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中较大的数，如：． （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 三、解答题（第15、16、17、18每小题8分，第19、20每小题10分，第21、22每小题12分，第23题14分） 15. 计算： （1）． （2）． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知，，求的值． 18. 已知，在数轴上的位置如下图所示，试化简． 19. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 20. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程的根，求这个三角形的周长． 21. 某种商品的标价为500元/件，经过两次降价后的价格为320元/件，并且两次降价的百分率相同. （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该商品进价为280元/件，两次降价共售此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于8000元，则第一次降价后至少要售出这种商品多少件？ 22. 如图，在中，点P从A点开始沿边向点C以的速度运动，在C点停止，点Q从C点开始沿方向向点B以的速度移动，在点B停止． （1）如果点分别从同时出发，经几秒钟，使； （2）如果P从点A先出发，点Q再从C点出发，经过几秒后． 23. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）设a，b满足等式，求的值； （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $