第八章 向量的数量积与三角恒等变换（复习讲义）数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换（复习讲义） 基础目标 能复述向量数量积的定义、投影向量概念、三大运算律及坐标运算公式，会默写两角和差、二倍角、升降幂与辅助角公式；能直接运用数量积公式进行数值计算、判断垂直和平行条件，能直接代入三角公式完成化简、求值等基础运算，步骤规范、结果准确。 进阶目标 理解数量积几何意义，会推导投影向量与坐标运算公式；理解三角恒等变换的逻辑关联，能由和角公式推导出差角、倍角、降幂及辅助角公式；能综合运用数量积与三角公式解决长度、夹角、垂直判定、给值求值、给值求角等常规问题。 拓展目标 能将平面几何、三角函数问题转化为数量积与三角变换模型求解；能处理含参数的最值、范围及多条件约束综合题；能灵活进行角的变换与结构转化，具备数形结合、逻辑推理与规范表达能力。 一、向量的数量积 1．求数量积 （1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 2．求向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 3．求向量夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. （3）利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： ①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；②利用计算出这两个向量的模；③由公式直接求出的值；④在内,由的值求角 4．求投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 二、平面几何图形与数量积取值范围 （1）基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （2）坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 三、三角恒等变换 1．利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 （1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 2．和差公式的给值求值（角）型问题 ①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 3．二倍角公式 （1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 4．二倍角公式的给值求值（角）型问题 （1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 题型1平面向量数量积的运算 例1．（多选）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为向量不能比较大小，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：BCD. 变式1-1．已知向量，，为单位向量，则的最大值为______． 【答案】9 【详解】设，则， 整理得， 易得，所以， 即的最大值为9. 变式1-2．已知正六边形的边长为1，则_____________. 【答案】3 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 变式1-3．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 题型2平面向量的模长问题 例2．已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，即， 又，即， 又，所以， 所以. 故选：D 变式2-1．（多选）若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】AC 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或. 当夹角为时，； 当夹角为时， ， 所以或2. 故选：AC. 变式2-2．在中，，，则_______. 【答案】4 【详解】因为，，所以， 可知， ， 即. 故答案为：4. 变式2-3．已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 题型3平面向量垂直问题 例3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 将坐标代入得，解得， 故， 设， 则解得 即． 故选：C 变式3-1．已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则k＝________． 【答案】 【详解】因为，且不共线，互相垂直， 那么， 则有，解得. 故答案为：. 变式3-2．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 【答案】 【详解】因，则，则， 从而，则. 故答案为：. 变式3-3．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 题型4平面向量的夹角问题 例4．已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 变式4-1．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 变式4-2．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，解得， 当时，，，不共线，满足题意； 故. 故选：D 变式4-3．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【详解】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 题型5平面向量的投影问题 例5．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 变式5-1．已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【详解】由向量为单位向量，且向量在上的投影向量为， 可得，可得， 所以与的夹角为， 因为，所以. 故答案为：. 变式5-2．已知向量，满足，，且，设与的夹角为60°，则在上的投影向量的坐标为_______． 【答案】 【详解】在上的投影向量的坐标为: . 故答案为：. 变式5-3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 题型6四心问题 例6．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上. ，又， 所以 为的外心. 故选：A. 变式6-1．（多选）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 【答案】BD 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 变式6-2．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 变式6-3．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 题型7两角和与差的三角公式 例7．已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由可得， 又，故， 进而， ， 故选：A 变式7-1．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 变式7-2．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 因为，，所以， 所以， 即 . 故选：A. 变式7-3．已知，，则__________ 【答案】/ 【详解】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 题型8倍角公式与半角公式 例8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，整理得， 则，因为，所以， 则. 故选：A. 变式8-1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然， ， ， 则． 变式8-2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则， 所以，充分性不成立， 若则，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 变式8-3．已知，则______. 【答案】/ 【详解】由题可得， ， 所以. 题型9和差化积与积化和差 例9．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 变式9-1．求值_________________. 【答案】/0.25 【详解】原式 ． 故答案为：． 变式9-2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 变式9-3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 题型10三角恒等变换给角求值问题 例10．（多选）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 变式10-1．求值：． 【答案】 【详解】原式 变式10-2．的值为________. 【答案】/0.5 【详解】. 故答案为： 变式10-3．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）原式 . （2）原式. 题型11三角恒等变换给值求值问题 例11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 又因为， 故选：B． 变式11-1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 变式11-2．已知，则（   ） A． B．14 C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则 ，， 两式相加减，得到，解得 则. 故选：A. 变式11-3．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 且，可得， 又因为，则， 且，可得， 所以 . 故选：A. 题型12三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，且，求的值为_____． 【答案】/ 【详解】，则，注意到 ，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 变式12-1．已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边经过点，所以，， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：A 变式12-2．若，，，，则______. 【答案】 【详解】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： 变式12-3．已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，可得， 又因为，则，可得， 所以. （2）因为，则，且，可得， 所以， 可得， 又因为，可得，所以. 题型13三角恒等变换化简证明 例13．证明：. 【答案】证明见解析 【详解】由题意可得： . 变式13-1．求证： ． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：因. 则， . 故左边 右边. 变式13-2．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以， 即， 所以， 所以 ， 即. 变式13-3．求证下列恒等式： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）. （2）左边 , 原式得证. 题型14三角恒等变换的实际应用 例14．如图，有一块矩形草坪，，，欲在这块草坪内铺设三条小路、和，要求是的中点，点在边上，点在边上，且. （1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 【答案】（1），；（2）当米时，铺路总费用最低. 【分析】 【详解】（1）中，，，，. 中，，，，. 又，， ， 当点在点时，这时角最小，求得此时； 当点在点时，这时角最大，求得此时. 故此函数的定义域为； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可. 由（1）得，，， 设，因为， 则， ， 当时，， 因为， 所以，，， 从而，当时，即时，， 所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 变式14-1．如下图所示，某公司计划建造一座滨海公园，直线与均为海岸沿线，是以为直角的直角三角形，线段为“滨海栈桥”，线段将建成“阳光沙滩沿线”，线段将建成“灯塔沿线”.现要求“滨海栈桥”长度维持在不变的基础上，可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度.预计建成后，每“阳光沙滩沿线”可让公司日均盈利万元，每“灯塔沿线”可让公司日均盈利万元，为使公司日均盈利最大，则应将“灯塔沿线”设计为_________. 【答案】/ 【详解】设，则，， 设该公司日均盈利为万元，则，其中， 所以，，其中为锐角，且， 由，解得， 因为，则，故当时，取最大值， 此时. 故答案为：. 变式14-2．进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=． （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）； （2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）． 【答案】（1），；1412（）； （2）＝或时（）． 【分析】 【详解】【解】（1）如图所示，过P作PX⊥OA于X,PY⊥OC与Y, 则，PG=,FE=, ，，- 当矩形PGBF为正方形时，PG=FE, ，， 此时S=1412（）； （2） ， 记t [，1]，则 对称轴为，∵1－－， ，即或时，（） （注意：若令，则相应给分） 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及三角函数的倍角公式，两角和公式，三角函数的在闭区间上的取值范围，换元思想，二次函数的性质等的综合应用，关键是第（2）问中的恒等变形，化为关于的二次函数最值问题. 化简到1800sin2－4800sin(+)＋6400后，将转化进而转化为的表达式，是解决问题的关键，要根据整个函数表达式的前后结构分析决定变形的方向. 变式14-3．某机械零件是圆心角为的扇形，其样品采用手工制作.如图，首先从一长，宽的矩形铁块上截下一块四边形铁块；然后再打磨掉阴影部分，得到半径为的扇形，与所在的圆相切，设，阴影部分面积为. （1）求函数的解析式，并写出定义域； （2）当为何值时，有最小值？并求出该最小值. 【答案】（1），；（2），最小值. 【分析】 【详解】（1）设与圆弧的切点为，连接， ，，则，， ， 则. 当与重合时，；当与重合时，，则，， 可得.，   故，； （2）由，. 因为，且. 令，，则， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，取最小值. 题型15向量与三角函数的综合 例15．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点P在角的终边上，则，， 则， ， 所以点的坐标为. 故选：C. 变式15-1．已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题， ， 所以 ， 所以， 令，则，. 所以时取得最大值为. 故选：B 变式15-2．已知向量，且，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】 【详解】因为向量， 所以， 即， 又因为，所以，所以，可得， 所以， 故选：C. 变式15-3．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由诱导公式得，则， 所以. 2．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的投影向量为. 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将两边平方得， 所以. 故选：C. 5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：角终边在直线上，则， 所以， 故选：C. 6．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 二、多选题 7．已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）在中，下列各式的值为常数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，又，所以，故A错误， 对于，因为，为常数，故B正确， 对于C，因为，为常数，故C正确， 对于D，因为，不是常数，故D错误 故选：BC． 三、填空题 9．已知向量满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，，， 则，解得， 又由，可得. 10．在中，若，是的方程的两个实根，则______． 【答案】 【详解】若，是的方程的两个实根， 则，解得或， 且，， 可得， 因为，所以. 故答案为：. 11．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 【答案】 【详解】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以. 四、解答题 12．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 13．已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，根据诱导公式得： 函数有意义则定义域满足分母不为零，即，定义域满足. （2）因为锐角，已知，所以， 因为，都是锐角，所以， 又因为，所以在第二象限， 即，所以. 所以， 将数据代入得：. 14．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题． (1)已知向量，满足，，，求的值． (2)向量，，，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)16 【分析】 【详解】（1）由已知，得， 设，的夹角为，由， 可得，即，又，所以， 所以； （2）， ，当且仅当， 即时等号成立． 所以的最小值是16． 能力提升进阶练 1．已知单位向量，满足，则___________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即，整理得，而，则. 所以. 2．在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由，所以，则， 设，所以， 所以的最小值为点到直线的距离， 因为的最小值为1，所以. 3．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】设点，，因为，所以，， 所以矩形的面积， ， 因为，所以.， 所以， 所以矩形的面积的最大值为. 故答案为： 4．设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 5．已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）将点代入函数解析式，得，即， 则有，解得，， 因为，令，则，所以， 由，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则， ， 依题意，有，即， 因为，即， 代入得， 所以，即， 则有，得证. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换（复习讲义） 基础目标 能复述向量数量积的定义、投影向量概念、三大运算律及坐标运算公式，会默写两角和差、二倍角、升降幂与辅助角公式；能直接运用数量积公式进行数值计算、判断垂直和平行条件，能直接代入三角公式完成化简、求值等基础运算，步骤规范、结果准确。 进阶目标 理解数量积几何意义，会推导投影向量与坐标运算公式；理解三角恒等变换的逻辑关联，能由和角公式推导出差角、倍角、降幂及辅助角公式；能综合运用数量积与三角公式解决长度、夹角、垂直判定、给值求值、给值求角等常规问题。 拓展目标 能将平面几何、三角函数问题转化为数量积与三角变换模型求解；能处理含参数的最值、范围及多条件约束综合题；能灵活进行角的变换与结构转化，具备数形结合、逻辑推理与规范表达能力。 一、向量的数量积 1．求数量积 （1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 2．求向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 3．求向量夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. （3）利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤： ①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；②利用计算出这两个向量的模；③由公式直接求出的值；④在内,由的值求角 4．求投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 二、平面几何图形与数量积取值范围 （1）基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （2）坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 三、三角恒等变换 1．利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 （1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式； （2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 2．和差公式的给值求值（角）型问题 ①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; ②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系. 3．二倍角公式 （1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用； （2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 4．二倍角公式的给值求值（角）型问题 （1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 题型1平面向量数量积的运算 例1．（多选）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知向量，，为单位向量，则的最大值为______． 变式1-2．已知正六边形的边长为1，则_____________. 变式1-3．已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 题型2平面向量的模长问题 例2．已知非零向量、满足，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-1．（多选）若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B． C．5 D． 变式2-2．在中，，，则_______. 变式2-3．已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型3平面向量垂直问题 例3．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，，且与不共线．若向量与互相垂直，则k＝________． 变式3-2．设λ为实数，已知向量．若，则向量与的夹角的余弦值为______ 变式3-3．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型4平面向量的夹角问题 例4．已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 变式4-1．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 变式4-3．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 题型5平面向量的投影问题 例5．已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 变式5-2．已知向量，满足，，且，设与的夹角为60°，则在上的投影向量的坐标为_______． 变式5-3．已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 题型6四心问题 例6．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式6-1．（多选）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 变式6-2．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式6-3．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 题型7两角和与差的三角公式 例7．已知，，则（   ） A． B． C． D．1 变式7-1．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 变式7-2．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式7-3．已知，，则__________ 题型8倍角公式与半角公式 例8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 变式8-1．若，则（   ） A． B． C． D． 变式8-2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-3．已知，则______. 题型9和差化积与积化和差 例9．已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．求值_________________. 变式9-2．若，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型10三角恒等变换给角求值问题 例10．（多选）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．求值：． 变式10-2．的值为________. 变式10-3．求值： (1)； (2)． 题型11三角恒等变换给值求值问题 例11．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式11-1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知，则（   ） A． B．14 C． D． 变式11-3．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型12三角恒等变换给值求角问题 例12．已知，且，求的值为_____． 变式12-1．已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式12-2．若，，，，则______. 变式12-3．已知，，其中，． (1)求的值； (2)求的值． 题型13三角恒等变换化简证明 例13．证明：. 变式13-1．求证： ． 变式13-2．已知，求证：. 变式13-3．求证下列恒等式： (1)； (2) 题型14三角恒等变换的实际应用 例14．如图，有一块矩形草坪，，，欲在这块草坪内铺设三条小路、和，要求是的中点，点在边上，点在边上，且. （1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路的铺设费用均为元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 变式14-1．如下图所示，某公司计划建造一座滨海公园，直线与均为海岸沿线，是以为直角的直角三角形，线段为“滨海栈桥”，线段将建成“阳光沙滩沿线”，线段将建成“灯塔沿线”.现要求“滨海栈桥”长度维持在不变的基础上，可适当调整“阳光沙滩沿线”与“灯塔沿线”的设计长度.预计建成后，每“阳光沙滩沿线”可让公司日均盈利万元，每“灯塔沿线”可让公司日均盈利万元，为使公司日均盈利最大，则应将“灯塔沿线”设计为_________. 变式14-2．进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=． （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到）； （2）当取何值时，矩形PGBF的面积S最大？并求出最大面积（精确到）． 变式14-3．某机械零件是圆心角为的扇形，其样品采用手工制作.如图，首先从一长，宽的矩形铁块上截下一块四边形铁块；然后再打磨掉阴影部分，得到半径为的扇形，与所在的圆相切，设，阴影部分面积为. （1）求函数的解析式，并写出定义域； （2）当为何值时，有最小值？并求出该最小值. 题型15向量与三角函数的综合 例15．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式15-1．已知向量，则的最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 变式15-2．已知向量，且，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 变式15-3．已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 6．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）在中，下列各式的值为常数的是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 9．已知向量满足，则__________. 10．在中，若，是的方程的两个实根，则______． 11．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 四、解答题 12．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 13．已知函数． (1)化简； (2)已知，都是锐角，，，求的值． 14．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题． (1)已知向量，满足，，，求的值． (2)向量，，，求的最小值． 能力提升进阶练 1．已知单位向量，满足，则___________． 2．在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________． 4．设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 5．已知函数（）的图象过点. (1)求的单调递增区间； (2)当，且时，证明：. 1/3 学科网（北京）股份有限公司 $