第八章 向量的数量积与三角恒等变换（单元自测·提升卷）数学人教B版必修第三册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章 向量的数量积与三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的周期为，值域为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 10．在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（   ） A． B．当时， C．不可能大于 D．当且时，的最小值为4 11．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，则______． 13．已知向量，且，则的值为______． 14．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则③    ④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设 ，向量 ，，，. (1)若 求; (2)若 ，求 的值; (3)若 ，求证： // 16．（15分）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 17．（15分）如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 18．（17分）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 19．（17分）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章 向量的数量积与三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量，．设，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．若非零向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 5．若，，并且、均为锐角且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的周期为，值域为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，则（   ） A． B． C． D． 10．在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（   ） A． B．当时， C．不可能大于 D．当且时，的最小值为4 11．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，正五边形ABCDE的边长为1，则______． 13．已知向量，且，则的值为______． 14．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则③    ④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设 ，向量 ，，，. (1)若 求; (2)若 ，求 的值; (3)若 ，求证： // 16．（15分）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 17．（15分）如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点. (1)当点为中点时，求的余弦值； (2)求的最小值；当取得最小值时设，求的值. 18．（17分）如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作，且．    (1)求的面积的最大值； (2)从点出发，经过线段、、、，到达点，求途经线段长度的最大值． 19．（17分）某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章向量的数量积与三角恒等变换·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题月要求的. 2 7 B C B C C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BCD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.}05 13.-08 14.②④ 四、解答题：本题共5小题，共计7分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)若a⊥b,则a.b=2cosa-2sima=0,tana=1, …2分 再由0<a<,可得a=子 4分 (2)由题意可得c+d=(sinβ+cosB,2cosβ-2sinβ)， .+d=(sinB +cosB)+(2cosB-2sinB)=5-6sinBcosB =3, ..sinBcosB= 6分 结合π<B<2π，可得B为第三象限角，故sinβ+cosβ<0， .'sinB+cosB =-(sinB +cosB)2=-1+2sinBcosB = 15 8分 3 (3)若tanatanB=4,则有 sina sinB=4, 10分 cosa cosβ .2cosa×2cosβ=sina×sinβ， 12分 b=(2cosa,sina),c=(sinβ，2cosβ) 故b/∥.13分 16.【详解】(1)f(x)=sinxcos-cosoxsin-cos0x= 3 1 6 sin -cosx-cosox 2 1/6 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .22分 2 将后0入得5sm管-哥引-0，做g-=aez 63 解得0=6k+2,kEZ, 4分 又0<0<3，故当k=0时，0=2满足要求： 5分 2由)知，f=5sm2x- ee可时，2[ …7分 ,9分 技学精增区同为剖晋于 …10分 (3)fa+到=5sn2a=正，故m2a= 5 6 5 5 又a[所以2ae2 因为sin2a= 5 5 >0,所以2a∈ 故a∈ ππ cos 2a =-v1-sin22a = 2W5 4'2 12分 J 3π 又B元2 放-u[ 又sin(B-a)= 1 >0,所以B-a∈ 10 所以cos(B-a)=-√-sin2(B-a=- 3V10 10 其中cosa+β)=cos(B-a)+2a]=cos(B-a)cos2a-sin(B-a)sin2a -ox-25ox5.2 -X 105105-2 14分 英中a+B[子2]小，a+B-牙 15分 17.【详解】(1)设A=a,AC=b, :M、N分别为BC、AC的中点， 2分 2/6 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :a=4,6l=10,a-6=4×10×号=20， 16+20-10=5 丽-可--6g-60m、4分 ×42- 1×20+×102=12, 4 AM.BN 12 ∴.cos∠MPN= 491 AM BN 39xV2ī=91， 即∠MPN的余弦值为4 6分 91 (2)设NA=x(0<x<10), NA.NB NA.NA+AB=NA'+NA.AB NA'-AN.AB =X2-4X=X22X=（K-02-19分 2 所以当x=1即N=1时，NaNB取最小值-1，即AN=AC, 11分 10 丽=+孤=丽+0c-团+b(c-网0+0c, 10 BC=2BM,BP=1BN（0≤2≤)， … 13分 :A,P,M三点共线， :9%+2-1,解得元=10 105 1 A=10 15分 11 18.【详解】G1D解：设∠40C=0,则0<0<牙∠40G-20, 在△04G中，∠0G1=号，01=1，则0G=04c0s20=c0s20 A6 =OA sin 20 sin 20,...... 2分 3/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 所以，Saao=)0G4G=)cos20sin29=2sin40, 1 4分 2 因为0<0<年则0<40<， 当40=时，即当日=无时，△0AG的面积取最大值，且最大值为4 7分 8 (2)解：过点C作CH⊥OA,垂足为点H, B H G 因为CE∥OA,EF⊥OA,CH⊥OA,则四边形CEFH为矩形， 所以，EF=CH=OC sin0=sin0,OH=0Ccos0=cos0, 因为EF10A,∠40E=牙，则a0EF为等腰直角三角形，则OP:EF:sinB, 所以，CE=FH=0H-0F=cos0-sin0,AF=0A-0F=1-sin0,AG=sin20,.10分 所以，CE+EF+FA+AG=(cos0-sin0)+sin0+(1-sin0)+sin20 sin 20+(cos0-sin0)+1, 2 2 因为0<0则好<0则0<m时09 41 所以，1=5cos0+e0小.产=(eocs0-sn0j=1-2sn8cos8=1-sn20,14分 所以，sin20=1-t2, 所以，sim20+c0s0-sin0)+1=1-2+1+1=-P+1+2=1-2+ 敌当1=时，CE:EF+FA+4G取最大值}， 因此，从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG,到达点G,求途径线段长度的最大值为}17分 4/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 19.【详解】(1)因为sin0+120)=sin0cos120°+cos0sin120°， sin(0+240）=sin0c0s240°+c0s0sin240°=sin0c0s120°-c0s0sin120°，.2分 所以sin0+sin(0+120）+sin0+240] =sin0+sin0cosl20°+cos0sin120）+sin0cos120°-cos0sin120 =sin0+2sin0cosl20°=sin0+2sin0× sin0-sin0=0, 即sin0+sin0+120）+sin0+240）=0, …5分 (2)由(1)知sin0-80°）+sin(0-80°+120）+sin(0-80°+240）=0， 即sin(0-80）+sin(0+40)+sin(0+160）=0, 又sin(0+40）+sin(220°-0)+sin0-80）=0, 所以sin0-80）+sin0+40）+sin(0+160）=sin(0+40）+sin(220°-0+sin0-80),所以 sin0+160）=sin220°-0），… …7分 所以0+160°=220°-0+k.360(k∈Z)或0+160°+(220°-0)=180°+k.360(k∈Z 当0+160°=220°-0+k360(k∈Z)时，解得0=30°+k180(k∈Z, 又0°≤0≤360°，所以k=0或1，即0=30°或210°；9分 当0+160°+(220°-0)=180°+k360(k∈Z)时，k无解 综上，方程的解为0=30°或2100.…10分 (3)i设S=cs0+cos0+2+cos9+4++cos0+2n-lm] n n n 2sin.S=2sin .cos0+2sin.cos n n n n n …12分 由职化和法公式得2nca8=sm0:引n0- n (n nn nn 2 sin=.cos+4）=sim9+5-sin9+3, n n) n 0+0+2a- 2sin cos 0+2(n-Dz-sin0+2(--s n n n nn 5/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =sm0-+2x-sim0-3x+2 n n 将上面n个式子相加得 2sincos+2sicos+2sincos.sin cos+21 nJ （n 所以2Sin.S=0. 15分 又neN,且22，所以受〔0引所以n是>0，所以5=0，即眼命题符证…17分 6/6命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第八章向量的数量积与三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知平面向量e=(1,0),g=1,⑤).设ā=4e,+e,6=3g-6,则a与的夹角为() A君 B. c号 D.餐 【答案】B 【详解】a=41,0)+1,5=5,5, 6=31,0)-(1,5=(2,-5) 所以āi=5×2+5x-V5=7. 而=5+(5=2万，-2+=万， 所以cos8=a:b 7 62W万2因此夹角0=号 2.若a,均为单位向量，且ka-=V2āb,则实数k的值可以是(). A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】C 【详解】因为ka-=V2a-万，所以(ka-=2ā.万≥0， 所以k21武-2a-6+6=2ā.万， 所以k2a+-(2k+2)cos(a,=0, 由于a,均为单位向量，所以1+k2=(2k+2)c0s(ā，b), 1+k2 以cos@,b2k+”由于0≤1+ 2k+01, 解得1-√2≤k≤1+√2，所以只有C符合 3.已知sma-p)-7sm6cosa名则cos(2u+2p）=（) 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 后 7 B.- c.g D.9 7 18 【答案】B 详解】由sinl&-BA]=sincos-cossin=sm啡cosa6可得 sinacosp-子，所以sin(a+l月=o+oi 6 所以cos(2a+2B)=1-2sin2(a+B)=1-2x 7 4.若非零向量a,的夹角为牙，c=ā+6，(-列-6=0，则4的值为() A:3 B.1 c D.25 3 【答案】A 【详解】由题意可知：ab=bcos子-州， 因为c=a+a6,则c-b=la+(a-b 可得(e-b=(4a+-pb=la-b+(4-b=+4-=-0, 又因为问÷0,6￥0，则+4-1=0.解符4-号 故选：A 5.若csa-B)=5,cms2a=D,并且a、B均为锐角且a<B.则a+B的值为() 5 10 A君 B.4 C.3x D.5n 4 6 【答案】C 【详解】 a.).asp. π） a-Be02ae0 cos(a-B)=5 cos2a=V0 10 .sin(a-)-cosa25.sin2a-h-cos2a 5 10 ..cos(a+B)=cos 2a-(a-B) =cos2 acos(a-β+sin2 asin(a-β 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -ox5+3i0x25-2 -XI 105105 21 :a+Be0,π， a+B=3沉 4 6.己知函数f(x)=cosx(sinx-sinx的周期为T,值域为I,则() A.T=元，I=[-1,l B.T=元，1=[0，C.T=2π，1=[-1，lD.T=2π， 1=[0, 【答案】C 【详解】f(x+=cos(x+x[sin(x+-sin(x+元川=-cosx[-sinr-siny]≠cosx(sinr-sinr), 所以函数的周期不是刀，A,B错误； f(x+2π=cos(x+2m[sin(x+2x)-lsin(x+2π川=cosx(sinr-sinx)=f(x, 所以函数的周期是2r,f(x)=cosx(sinr-sinx= 0,x∈[0，π] 0,x∈[0，π] 2 sinxcosx,xe(π，2xsin2x,x∈（元，2r]' 所以xeπ，2π→2xe2π，4π→-1≤sin2x≤1， 所以f(x)=cosx(sinx-sinx的值域为l=[-l,,C正确；D错误 7.在平面直角坐标系x0y中，|0A=0B=2,|AB=2V2,设C(4,4),则12CA+AB的取值范围是() A.[3V2,5V2]B.[4V2-1,4V2+1C.[62,10V2] D.[8V2-2,8V2+2] 【答案】C 【详解】在平面直角坐标系x0y中，因为04H0B上2，AB=22,所以OA+O8=AB,所以 OAOB=0, 设C(4,4), 2C4+4BP-CB+CA=(0B+04-20C) =0B+0A+40C+20A0B-40B0C-40A0C -0B+04+40C+0-4(08+04)oC 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =4+4+4×32+0-40B+0A0C=136-40B+0A0C 0B+04OCs0B+04OC=0+0B+2040Bx42=22x42=16. 所以(0B+0A0C∈|-16,16，所以2CA+ABPe[72,200], 则2CA+AB的取值范围是[62,10v2 故选：C 8若ue-刷-，ma-29-号则(g-() A,-3或 B成号 C.-2或) 【答案】D 【详】mlB-2ai-ma--a-291-mapm38 3-13 40 9 4 30=3 1+3×(-0)0 2tan(B -a) 又因为tan(B-2a)=tan[2(2 2 1-tan2-a 2tan(B a) 4 则 1-tan'(B a)3’ 令tan( -a)=1,则有21=4， 3 解得1=2或t= 2,即an( 1 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题月要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 √2 则() A.a6=3 B.(a,b)=60 C.a1(a-2b) D.|a-2b=3 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BCD 【详解】对于A,因为b 2，-2 =(cos45°，-sin45）, 所以a.万=cos15c0s45°-sin15sin45°=cos(15+45)=cos60=7,故A错误： 对于B,因为a=6os215+sim215=1= 2+ 21, 所以cos(a,6=a:6=即a,b)=60,故B正确： 对于C,因为a-(a-2=a-2a.i=1-2×。=0,所以a1(a-2),故C正确： 对于D,1a-2i=Va2-4a6+46 -4兮45，放D正确 故选：BCD 10.在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，E为线段CD的中点，则() 众孤-而+号0 B.当AB=AD=2时，AB·BC=2 C.∠DAE不可能大于30° D.当C-0B=2且0<40<3时，A8+的最小值为4 【答案】ABD 【详解】因为E为线段CD的中点，所以正=D+D正=D+兮孤，A正确： 当AB=AD=2时，AB.BC=AB.AD=2×2×cos60°=2，B正确； 因为∠BAD=60°，所以∠ADE=120°，所以当DC>2AD时，DE>AD, 根据大边对大角，所以∠DAE>LAED,而LDAE+LAED=60°， 所以∠DAE>30°，C错误； AC.DB=(4B+AD).(AB-AD)=AB-AD, 当AC.DB=2时，|ABP=ADP+2,则AB2+1 7=AD2+ D+2≥2+2=4， 当且仅当AD=1时，等号成立，D正确 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 故选：ABD ll.(多选)已知0为坐标原点，点P(cosa,sina),P(cosf,-sinB）,B(cosa+B),sin(a+B),Al,0), 则() A.OF -OP B.AR=AP C.0A.0p=0p·0P D.0A.0F=0P,·0P 【答案】AC 【详解】由题可知， 0=Vcos'a+sina=l,o=Vcos2B+(-sinB=1,所以0P=0p,故A正确； 对于B,由A(1,0),可得1AE=V(cosa-1)2+sin2a=√2-2cosa, 14P =(cos B-1)2+(-sin B)2=2-2cos B, 当cosa≠cosB时，|APAP,|,故B错误； 因为OAOE=cos(a+β)，OP·OE=cosacosB-sinasinB=cos(a+B),所以OA·0E=OE·OE,,故C正 确； 因为OA·OP=cosa,OP·OP=cosβcosa+B)-sinβsin(a+B)=cos(a+2p), 取a=年B-牙则O1.0所-5,0丽-09=c:-5,所以0.0丽：0丽-0丽，放D错误， 4 4 2 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.如图，正五边形ABCDE的边长为1，则CA.CD= 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】}0.5 2 【详解】如图所示，正五边形ABCDE的边长为1，过点A作AF⊥CD于F, 则a.D=lao0eos∠AcD=os∠4cDxc西-l☑o-x1- 故答案为：2 C （+元的值为 13.已月量-eo0a01-人5-m0.co0j0ea2,且+g,则o}+到 十 【答案】号-08 【详解】因为m=(cos0,sin0),n=（V2-sin0,cos0）,0∈（元，2π）， 所以m+n=cos0-sin0+V2,sin0+cos0), 所以m+n=Vcos0-sin0+V2+(sin0+cos6) =cos20-2sin0cos0+2v2cos0+sin20-2v2sin0+2+sin20+2sin0cos0+cos20 +c0sim4+co +4 4 25 5wg引-若又0e2 5π<0+π<9r 8288 所以cos 0.π4 2+8F-5 7115 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：一5 14.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗 赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”荣昌折扇平面图为下图的扇 形COD,其中∠COD=2,OC:40A:4,动点P在CD上（含端点），连接OP交扇形O4AB的弧B于 3 点Q,且0Q=xOC+y0D,则下列说法正确的有 O B A 0 ①若y=x,则x+y=1②若y=2x,则0A.0P=0 ③AB-OP≥-2④PAPB223 【答案】②④ 【详解】如图，作OE⊥OC,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， E C 则4.o,c4,0,B-5,D(-2,2. 2’2 设Q(cos0,sin0),0e0 则P(4cosB,4sin 2π 由00=x0C+y0D可得cos0=4x-2y,sin0=2V3y,且x>0,y>0, 对于①，若y=x,则cos20+sin20=(4x-2y)2+(2W5y)=1, 解得x=y=号（负值舍去，数x+y=分，①情误： 对于②，若y=2x,则cos0=4x-2y=0,于是0A.0P=4cos0=0,故②正确： 对十@，.oF-9}4co0,46in9j=-6ca0+2an0-45sn0-号) 22 微0-号[引故-6s45ml0-引56：故骑 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于④，由于PA=(1-4cos0,-4sin0),PB= 1-4eos60.5-4sin0, 2 则PA·PB=(1-4cos0)× -4cos0 +(-4sine)x 2 31 2cos0-25sin0=3-4sin9+ +6 一2，故④正确 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设0<a<π<B<2π，向量a=(1,-2),b=(2cosa,sina),c=(sinB,2cosB), d=(cosβ，-2sinβ) (1)若a⊥b,求a; 2)若E+d=5,求sinB+cosB的值： (3)若tandtanβ=4，求证：B/c. 【详解】(1)若a1万，则a.b=2c0sa-2sina=0,tana=1,…2分 再由0<a<π，可得a=元 4 4分 (2)由题意可得c+d=(sinB+cosB,2cosB-2sinB), .c+d=(sinB +cosB)2+(2cosB-2sinB)2=5-6sinBcosB =3, ..sinBcosp=3 ……6分 结合π<B<2π，可得B为第三象限角，故sinB+cosB<0, sinp+cos-(sinB+cosB)+2sinpcosB=5 8分 (3)若anatanp=4,则有sina.sim 10分 cosa cosB =4， ∴.2cosa×2cosβ=sina×sinβ， 444小444 12分 'b=(2 cosa,sina),c=(sinβ，2cosβ 故b∥c. 13分 16,15分)设话数到=no-君引mor-引其中0<。.已期数的图家关于点（后0 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 成中心对称 (1)求0； (2)当x∈[0，π时，求函数f(x)的单调递增区间； 若u后，且e+引-g-- ,求a+B的值 10 【详解】(1)f(x)=sin@xcos -cosox sin"-cosox= coS@x-cos@x 6 6 2-sin ox- √ 3 sinx-cox-3 sinx 2分 2 将后0代入得5sm-}-0,改5-号=ae2 6 3 解得0=6k+2,k∈Z, 4分 又0<0<3，故当k=0时，0=2满足要求： 5分 2由)知，f到=5n2-引 e时2雪[香 7分 2[引2引师小时 33’2 f(x单调递增，…9分 5π1[1lm 故f()单调递蜡区间为02儿2 …10分 3》a+-5sm2a=,故m2a=5 6 5 又a∈ 所以2a∈ 因为sin2a= >0,所以2a∈ 故a∈ 42 cos2a=-v1-sin'2a= 2v5 12分 5 又, 3π 故B-ae π5π 24 又(B-a->0,所以B-a[5 10 所以cos(B-a)=-V-sin'(B-a=_30. 10 cos(a+B)=cos(B-a)+2a=cos(B-a)cos2a-sin(B-a)sin 2a 10/15