第4讲 向量的数量积（原版+解析）-【新教材】人教B版（2019）高一数学寒假衔接讲义（机构专用）

第四讲 平面向量基本定理 坐标运算及数量积运算 一.平面向量基本定理 1.定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量，有且只有一对实数，使。不共线向量称为基底。 注：①基底都是非零向量 ②同一平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，即同一平面内基底不唯一。 ③基底确定后，平面内任一向量的表示都是唯一的。 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴正方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，使得，则有序实数对叫做向量的坐标，记作： 注：相等向量坐标相同，坐标相等的向量是相等向量。 二.平面向量的坐标运算 1.平面向量的坐标运算 ⑴向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设则 . ⑵向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设，则 ， 2.平面向量共线的坐标表示 设，则； 三.平面向量的数量积 1.平面向量的数量积 ⑴定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫作与的数量积(或内积)，记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. (2)几何意义：数量积等于的长度与b在a的方向上的投影θ的乘积． 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角． ⑴数量积： ⑵模： ⑶夹角：. ⑷两非零向量的充要条件： ⑸(当且仅当时等号成立)⇔ 3.平面向量数量积的运算律 ⑴(交换律)． ⑵(结合律)． ⑶(分配律)． 注：1.向量的数量积是数，向量的加减乘除运算是向量。 2.在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量。 考点一　平面向量基本定理及坐标表示 例1.设为单位向量，且的夹角为，若，则向量在方向上的射影为________． (2)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5， 所以a在b方向上的射影为|a|·cos<a，b>＝＝. 规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 随1.1如图，在平行四边形中，分别为的中点，已知，试用表示 解　法一　设＝a，＝b， 则a＝＋＝d＋，① b＝＋＝c＋.② 将②代入①，得a＝d＋， ∴a＝d－c＝(2d－c)，③ 将③代入②，得b＝c＋×(2d－c)＝(2c－d)． ∴＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二　设＝a，＝b. 因M，N分别为CD，BC的中点， 所以＝b，＝a， 因而⇒ 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 考点二 平面向量的数量积 例2.（2016全国一卷理）向量且，则 -2 随2.1（2015全国一卷文）已知点，向量，则向量 随2.2（2016全国二卷理）已知向量，且，则 8 规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 考点三　平面向量的坐标运算 例3.已知，设，且 ⑴求 ⑵求满足的实数； ⑶求的坐标及向量的坐标． 解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M的坐标为(0,20)． 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N的坐标为(9,2)， ∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用． 随3.1 已知平面向量，则向量（ ） D　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　(1)a＝，b＝，故a－b＝(－1,2)． 考点四　平面向量共线的坐标表示 例4.平面内给定三个向量． ⑴若，求实数 ⑵若满足，且，求的坐标． 审题路线　(1)分别求出(a＋kc)与(2b－a)的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k的方程；(2)设d的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d的坐标． 解