专题04 二次函数17大题型（题型专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题04 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的识别 题型02 根据二次函数的定义求参数 题型03 二次函数顶点式的图象与性质 题型04 二次函数的图象平移变换 题型05 二次函数一般式化顶点式 题型06 函数值大小比较 题型07 二次函数图象与系数符号的关系 题型08 一次函数与二次函数图象综合判断 题型09 待定系数法求二次函数解析式 题型10 二次函数与坐标轴的交点计算 题型11 二次函数的最值计算 题型12 二次函数的实际应用（投球/拱桥/运动问题） 题型13 二次函数的实际应用（销售/增长率问题） 题型14 二次函数与几何图形的面积计算 题型15 二次函数与特殊四边形的综合 题型16 二次函数与相似三角形的综合 题型17 二次函数新定义创新题型 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的识别 典例引领 【典例01】（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 方法透视 考向解读 本考点是二次函数模块的入门基础，是上海中考选择题开篇高频考点，难度系数0.850.95，对应题目核心知识点为二次函数的识别、列二次函数关系式，核心考查二次函数的定义判断、根据实际场景列二次函数关系式，是二次函数所有考点的必备基础 方法技能 1．二次函数核心定义：形如 是常数， 的函数，叫做二次函数。核心特征：①自变量最高次数为 2；②二次项系数 ；③整式函数。 2．识别技巧：先化简函数表达式，再验证是否满足二次函数的三个核心特征，注意分式、根式、反比例函数形式均不属于二次函数。 3．列关系式技巧：根据实际场景的等量关系，用含自变量的式子表示因变量，最终整理为二次函数的标准形式。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【变式02】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 题●型●破●译 题型02 根据二次函数的定义求参数 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【典例02】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空题基础考点，难度系数 ，对应题目核心知识点为根据二次函数的定义求参数、 的图象与性质，核心考查根据二次函数的定义、开口方向列方程／不等式，求解参数的值或取值范围。 方法技能 1．解题核心规则： 定义类求参数：根据＂自变量最高次数为 2 ＂列方程，根据＂二次项系数 ＂列不等式，联立求解； 开口方向类求参数：抛物线开口向下 ，开口向上 ，据此列不等式求解。 2．易错点：求解参数时，必须验证二次项系数不为 0 ，这是高频失分点。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是________． 【变式02】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 题●型●破●译 题型03 二次函数顶点式的图象与性质 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 【典例02】（2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的必考基础考点，近 5 年中考每年均有考查，难度系数 0.95 ，对应题目核心知识点为 的图象和性质、 的图象和性质，核心考查抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性判断。 方法技能 1．顶点式核心性质：二次函数顶点式 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 。 2．增减性规律： （开口向上）：对称轴左侧， 随 的增大而减小；对称轴右侧， 随 的增大而增大； （开口向下）：对称轴左侧， 随 的增大而增大；对称轴右侧， 随 的增大而减小。3．解题技巧：判断顶点坐标时，注意符号， 的顶点坐标为 ，切勿写错符号。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【变式02】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 题●型●破●译 题型04 二次函数的图象平移变换 典例引领 【典例01】（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 【典例02】（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的高频基础考点，难度系数0.80.85，对应题目核心知识点为二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标，核心考查抛物线平移后的解析式变化、平移距离计算。 方法技能 1．图象平移核心规律：左加右减（针对自变量 ），上加下减（针对常数项），平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和形状。 2．解题步骤： 已知平移方式求解析式：先将解析式化为顶点式，再根据平移规则改写解析式； 已知平移前后解析式求平移方式：将两个解析式均化为顶点式，对比顶点坐标的变化，确定平移方向和距离。 3．易错点：左右平移是对自变量 进行加减，需带括号，如 向左平移 3 个单位，得 ，而非 。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 【变式02】（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【变式03】（2026·上海松江·一模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是____________． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是_______． 【变式05】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 题●型●破●译 题型05 二次函数一般式化顶点式 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【典例02】（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的基础必考考点，是求抛物线顶点、对称轴、最值的核心方法，难度系数 0．8－0．85，对应题目核心知识点为把 化成顶点式，是二次函数综合题的必备解题技能。 方法技能 1．配方法核心步骤： 一提：提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外； 二配：括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证式子值不变； 三整理：将括号内化为完全平方形式，合并常数项，最终化为 的顶点式。 2．易错点：配方时，括号内加了多少，括号外必须对应减去多少，保证式子恒等变形，切勿漏乘二次项系数。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【变式02】（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【变式03】（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为． (1)求原抛物线的表达式； (2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值． 题●型●破●译 题型06 函数值大小比较 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 变式演练 【变式01】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：______（填“”、“”或“”）． 【变式02】已知，在二次函数的图像上，比较________．（填>、<或=） 【变式03】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 【变式04】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 题●型●破●译 题型07 二次函数图象与系数符号的关系 典例引领 【典例01】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题压轴题的固定高频考点，近5年中考每年必考，难度系数0.60.7，对应题目核心知识点为二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号，核心考查根据抛物线的图象位置，判断的符号，以及含的代数式的正负性。 方法技能 1．系数符号判断核心规则： ：开口向上 ，开口向下 ； b: 对称轴 ，遵循＂左同右异＂（对称轴在 轴左侧，a , b 同号；对称轴在 轴右侧，a , b 异号）； ：抛物线与 轴交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 2．特殊代数式判断技巧： ：抛物线与 轴有 2 个交点则 ， 1 个交点则 ，无交点则 ； 时的函数值，看 对应点的纵坐标正负； 时的函数值，看 对应点的纵坐标正负。 变式演练 【变式01】（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【变式02】（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型08 一次函数与二次函数图象综合判断 典例引领 【典例01】已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题的高频考点，难度系数0.650.85，对应题目核心知识点为一次函数、二次函数图象综合判断，核心考查结合两个函数的图象，判断系数的符号是否一致，是数形结合思想的核心考查点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：假设其中一个函数的图象正确，确定系数的符号范围； 第二步：根据系数的符号范围，判断另一个函数的图象是否符合； 第三步：若两个函数的系数符号一致，则选项正确；若矛盾，则选项错误。 2.解题技巧：优先从二次函数的开口方向确定的符号，再判断一次函数的增减性是否与的符号一致，再验证常数项。 变式演练 【变式01】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型09 待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2026·上海松江·一模）在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的固定必考考点，是所有二次函数综合题的解题基础，难度系数0.650.85，对应题目核心知识点为待定系数法求二次函数解析式，核心考查根据已知条件，选择合适的解析式形式，求解二次函数解析式。 方法技能 1．三种解析式形式的适用场景： 一般式 ：已知抛物线上任意 3 个普通点的坐标； 顶点式 ：已知抛物线的顶点坐标／对称轴／最值； 交点式 ：已知抛物线与 轴的两个交点坐标。 2．解题步骤：根据已知条件设出对应形式的解析式，代入已知点的坐标，列方程／方程组，求解系数，回代得到最终解析式。 变式演练 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    【变式02】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； 题●型●破●译 题型10 二次函数与坐标轴的交点计算 典例引领 【典例01】抛物线与轴的交点是_______． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的基础考点，难度系数0.80.9，对应题目核心知识点为求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题，核心考查抛物线与坐标轴交点的求解方法，是二次函数综合题的必备基础。 方法技能 1．坐标轴交点求法： 与 轴交点：令 ，代入解析式，直接得到交点坐标 ； 与 轴交点：令 ，解一元二次方程 ，方程的实数根即为交点的横坐标。2．交点个数判断：抛物线与 轴的交点个数，由一元二次方程根的判别式 决定，与方程根的个数完全对应。 变式演练 【变式01】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图像与轴的交点坐标是______． 【变式02】二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【变式03】（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 题●型●破●译 题型11 二次函数的最值计算 典例引领 【典例01】（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 【典例02】（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的高频考点，是二次函数实际应用的核心，难度系数 0.85 ，对应题目核心知识点为 的最值，核心考查二次函数最值的求解方法，包括顶点处的最值、给定自变量范围的区间最值。 方法技能 1．最值核心公式：对于 ，顶点横坐标为 ，最值为 。 ：抛物线开口向上，顶点处取最小值，无最大值； ：抛物线开口向下，顶点处取最大值，无最小值。 2．区间最值解题技巧：给定自变量 的取值范围时，先判断顶点横坐标是否在区间内： 若在区间内：顶点处取一个最值，区间端点处取另一个最值； 若不在区间内：最值均在区间的两个端点处取得。 变式演练 【变式01】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【变式02】我国无人机已形成完整产品谱系，在大型重载平台、编队表演、低空经济应用、应急救援等领域取得全球领先成就，2025-2026年多项突破尤为亮眼．如图1是某款无人机的操作按钮，当输入不同的，，的值时，无人机会沿着抛物线飞行（无人机飞行的高度为，单位：m）．某次无人机按钮输入一组数，，，． (1)求此次无人机飞行的最大高度； (2)如图2，矩形是一个建筑物的主视图，其中，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为．若要求无人机飞行过程中距离建筑物的顶点，的水平距离不少于，竖直距离不少于，此次设置的这条抛物线符合条件吗？请通过计算作出判断． 题●型●破●译 题型12 二次函数的实际应用（投球/拱桥/运动问题） 典例引领 【典例01】一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的中档高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.6-0.7，对应题目核心知识点为投球问题(实际问题与二次函数)、拱桥问题(实际问题与二次函数)、图形运动问题(实际问题与二次函数)，核心考查结合实际场景建立二次函数模型，求解最值、距离等实际问题。 方法技能 1.解题核心步骤： 审题：提取实际场景中的关键数据，明确平面直角坐标系的设定； 建模：根据已知点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式； 求解：根据解析式，求解最值、特定横坐标对应的纵坐标、特定纵坐标对应的横坐标； 检验：验证结果是否符合实际场景。 2.高频场景解题技巧：投球、拱桥问题中，抛物线的顶点往往是最高点，对应函数的最大值，优先用顶点式设解析式。 【变式01】（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【变式02】宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 【变式03】综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 题●型●破●译 题型13 二次函数的实际应用（销售/增长率问题） 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【典例02】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的中档考点，难度系数0.6-0.7，对应题目核心知识点为增长率问题(实际问题与二次函数)、其他问题(实际问题与二次函数)，核心考查结合销售、增长率等经济场景，建立二次函数模型，求解最大利润、增长率等问题。 方法技能 1．销售问题核心等量关系：总利润 =（单件售价－单件成本）×销售数量，通常售价的变化会引起销售数量的反向变化，据此建立二次函数解析式。 2．增长率问题核心公式：现期＝基期 ×（1＋增长率）n（ 为增长次数），据此建立二次函数模型。 3．解题技巧：求解最大利润时，先建立二次函数解析式，再通过配方法或顶点公式求出最大值，同时注意自变量的取值范围要符合实际场景。 变式演练 【变式01】如图，点M，N是矩形的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线：；点N的运动路线：，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设，的面积为S．若，，则S与x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 题●型●破●译 题型14 二次函数与几何图形的面积计算 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【典例02】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的核心基础考点，近5年中考每年必考，难度系数0.4-0.6，对应题目核心知识点为面积问题(二次函数综合)，核心考查二次函数背景下，三角形、四边形的面积计算，是二次函数综合题的核心得分点。 方法技能 1.面积计算核心方法： 规则图形：直接用面积公式计算，先通过抛物线解析式求出关键点坐标，再计算线段长度； 不规则图形：割补法，优先选择“水平宽×铅垂高÷2”计算三角形面积，或用整体减空白的方法计算多边形面积。 2.解题步骤：先求出抛物线解析式、关键点坐标，再用坐标表示出线段的长度，最后代入面积公式计算。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 题●型●破●译 题型15 二次函数与特殊四边形的综合 典例引领 【典例01】（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【典例02】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第24题的高频压轴考点，难度系数0.4-0.6，对应题目核心知识点为特殊四边形(二次函数综合)，核心考查二次函数背景下，平行四边形、矩形、菱形的存在性问题，对几何分析与代数计算能力要求较高。 方法技能 1.核心解题思想：坐标法，利用特殊四边形的性质，转化为点的坐标之间的数量关系，列方程求解。 2.平行四边形存在性解题技巧： 已知三个定点，找一个动点：利用“对角线互相平分”，中点坐标公式列方程求解； 已知两个定点，找两个动点：利用“对边平行且相等”，坐标平移规律列方程求解。 3.解题步骤：先设出动点的坐标，再根据特殊四边形的性质列方程，求解坐标后检验是否符合题意。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【变式02】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 题●型●破●译 题型16 二次函数与相似三角形的综合 典例引领 【典例01】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【典例02】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第24题的固定压轴考点，近5年中考每年均以压轴问形式考查，难度系数0.2-0.4，对应题目核心知识点为相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合，核心考查二次函数背景下相似三角形的判定、性质应用、存在性问题，是二次函数模块的核心拉分点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：求出抛物线解析式、关键点坐标，计算已知三角形的边长、角度，确定固定角（如直角、已知度数的角）； 第二步：分析相似三角形的对应关系，无明确对应角时，以固定角为对应角，分情况讨论； 第三步：根据相似三角形“对应边成比例”的性质，列方程求解点的坐标； 第四步：检验结果是否符合题意，舍去不合理解。 2.核心技巧：利用坐标计算线段长度，结合勾股定理、锐角三角函数，简化相似比例式的计算；优先找相等的角，减少分类讨论的情况。 变式演练 【变式01】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【变式02】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 题●型●破●译 题型17 二次函数新定义创新题型 典例引领 【典例01】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答压轴题的高频创新考点，近3年中考多次考查，难度系数0.15-0.4，对应题目核心知识点为其他问题(二次函数综合)，核心考查结合二次函数的新定义问题，侧重考查阅读理解能力、知识迁移能力、代数推理能力，是上海中考的创新拉分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 精读定义：拆解新定义的核心规则，转化为已学的二次函数、几何知识； 示例验证：结合题目中的示例，吃透定义的本质，明确解题的核心目标； 列式求解：根据新定义的规则，结合二次函数的性质、几何图形的性质，列式求解； 结果检验：验证结果是否符合新定义的所有限制条件。 2.解题技巧：多问的题型中，前一问的结论往往是后一问的解题基础，优先解决前序问题，再利用结论解决复杂问题。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【变式02】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为_________． 题●型●训●练 1．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 2．（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 3．（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 4．（2425九年级上·上海·月考）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 5．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 6．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 7．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数的识别 题型02 根据二次函数的定义求参数 题型03 二次函数顶点式的图象与性质 题型04 二次函数的图象平移变换 题型05 二次函数一般式化顶点式 题型06 函数值大小比较 题型07 二次函数图象与系数符号的关系 题型08 一次函数与二次函数图象综合判断 题型09 待定系数法求二次函数解析式 题型10 二次函数与坐标轴的交点计算 题型11 二次函数的最值计算 题型12 二次函数的实际应用（投球/拱桥/运动问题） 题型13 二次函数的实际应用（销售/增长率问题） 题型14 二次函数与几何图形的面积计算 题型15 二次函数与特殊四边形的综合 题型16 二次函数与相似三角形的综合 题型17 二次函数新定义创新题型 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数的识别 典例引领 【典例01】（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【典例02】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 方法透视 考向解读 本考点是二次函数模块的入门基础，是上海中考选择题开篇高频考点，难度系数0.850.95，对应题目核心知识点为二次函数的识别、列二次函数关系式，核心考查二次函数的定义判断、根据实际场景列二次函数关系式，是二次函数所有考点的必备基础 方法技能 1．二次函数核心定义：形如 是常数， 的函数，叫做二次函数。核心特征：①自变量最高次数为 2；②二次项系数 ；③整式函数。 2．识别技巧：先化简函数表达式，再验证是否满足二次函数的三个核心特征，注意分式、根式、反比例函数形式均不属于二次函数。 3．列关系式技巧：根据实际场景的等量关系，用含自变量的式子表示因变量，最终整理为二次函数的标准形式。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【变式02】（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别、根据定义判断是否是反比例函数、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 题●型●破●译 题型02 根据二次函数的定义求参数 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【典例02】（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空题基础考点，难度系数 ，对应题目核心知识点为根据二次函数的定义求参数、 的图象与性质，核心考查根据二次函数的定义、开口方向列方程／不等式，求解参数的值或取值范围。 方法技能 1．解题核心规则： 定义类求参数：根据＂自变量最高次数为 2 ＂列方程，根据＂二次项系数 ＂列不等式，联立求解； 开口方向类求参数：抛物线开口向下 ，开口向上 ，据此列不等式求解。 2．易错点：求解参数时，必须验证二次项系数不为 0 ，这是高频失分点。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·一模）已知是二次函数，那么的值是________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 题●型●破●译 题型03 二次函数顶点式的图象与性质 典例引领 【典例01】（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 【典例02】（2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质、求角的正切值 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的必考基础考点，近 5 年中考每年均有考查，难度系数 0.95 ，对应题目核心知识点为 的图象和性质、 的图象和性质，核心考查抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性判断。 方法技能 1．顶点式核心性质：二次函数顶点式 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 。 2．增减性规律： （开口向上）：对称轴左侧， 随 的增大而减小；对称轴右侧， 随 的增大而增大； （开口向下）：对称轴左侧， 随 的增大而增大；对称轴右侧， 随 的增大而减小。3．解题技巧：判断顶点坐标时，注意符号， 的顶点坐标为 ，切勿写错符号。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）已知是常数，它满足以下要求： （1）抛物线的最高点就是它的顶点． （2）抛物线的对称轴在轴的右侧． （3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的． 那么常数可以取的值是（   ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质、y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据三个条件分别求m的取值范围：条件（1）要求抛物线开口向下，得；条件（2）要求对称轴在轴右侧，得；条件（3）要求抛物线在轴左侧下降，得，综合判断选项即可． 【详解】解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下， ∴，即； 对于（2），抛物线的对称轴为直线， ∵的对称轴在轴的右侧， ∴，即； 对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上， ∴，即； 综上所述，，选项中只有符合． 故选：B． 【变式02】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 题●型●破●译 题型04 二次函数的图象平移变换 典例引领 【典例01】（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握函数图象平移的规律． 根据函数图象平移的规律：左加右减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位可得， 故答案为：． 【典例02】（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、选择题的高频基础考点，难度系数0.80.85，对应题目核心知识点为二次函数图象的平移、求点沿x轴、y轴平移后的坐标，核心考查抛物线平移后的解析式变化、平移距离计算。 方法技能 1．图象平移核心规律：左加右减（针对自变量 ），上加下减（针对常数项），平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和形状。 2．解题步骤： 已知平移方式求解析式：先将解析式化为顶点式，再根据平移规则改写解析式； 已知平移前后解析式求平移方式：将两个解析式均化为顶点式，对比顶点坐标的变化，确定平移方向和距离。 3．易错点：左右平移是对自变量 进行加减，需带括号，如 向左平移 3 个单位，得 ，而非 。 变式演练 【变式01】（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 【变式02】（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了二次函数的平移的性质，运用勾股定理求出两点之间的距离，先把一般式化为顶点式，找出抛物线的顶点坐标，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 【变式03】（2026·上海松江·一模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是____________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律，左右平移改变x，上下平移改变y． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，得； 再向下平移1个单位，得． 故答案为：． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是_______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位后的抛物线的表达式是， 故答案为：． 【变式05】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【答案】(1)， (2)向下平移4个单位；向右移1个单位，下移个单位；向左移2个单位 (3)见详解 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的平移问题． （1）利用二次函数对称性，和的y值相等，得对称轴，和关于对称轴对称，故m等于时的y值，再用交点式设解析式，代入已知点求系数a，展开得一般式； （2）上下平移改变常数项，左右平移改变顶点坐标，据此得出二次函数的平移过程； （3）选择上下平移方式，说明平移对解析式的影响，再将原抛物线顶点式展开得一般式，由上下平移改变常数项即可得出结果． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为， ∴顶点坐标为， ∴与时的y值相等， ∴， 设， 将代入， ∴， ∴． （2）解：向下平移4个单位，； 向右移1个单位，再向下移个单位，； 向左移2个单位，． （3）解：向下平移4个单位： ， ∵抛物线过原点时常数项为0， ∴向下平移4个单位即可过． 题●型●破●译 题型05 二次函数一般式化顶点式 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】13 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 【典例02】（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】(1)，过程见解析 (2)答案见解析 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的基础必考考点，是求抛物线顶点、对称轴、最值的核心方法，难度系数 0．8－0．85，对应题目核心知识点为把 化成顶点式，是二次函数综合题的必备解题技能。 方法技能 1．配方法核心步骤： 一提：提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，常数项留在括号外； 二配：括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证式子值不变； 三整理：将括号内化为完全平方形式，合并常数项，最终化为 的顶点式。 2．易错点：配方时，括号内加了多少，括号外必须对应减去多少，保证式子恒等变形，切勿漏乘二次项系数。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】13 【知识点】y=a（xh）²的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式02】（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 【变式03】（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为． (1)求原抛物线的表达式； (2)若新抛物线与轴交于点，原抛物线顶点为，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求角的正切值 【分析】（1）利用平移规律结合新抛物线的顶点坐标，利用顶点式得出原抛物线解析式； （2）先求出新抛物线的解析式为，再求得，从而可求得，，得出轴，进而求得，从而可得出点到的距离为，再求得，然后利用三角形面积求得，再利用勾股定理求得，从而可求得． 【详解】（1）解：∵把抛物线向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴原抛物线的解析式为， 即原抛物线的解析式为； （2）解：∵原抛物线的解析式为，把抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 又，，在平面直角坐标系上描点A，B，C三点，如图， ∴，，轴， ， ∴点到的距离为， ∴， 过点A作于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，用勾股定理解三角形，求角的正切值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题●型●破●译 题型06 函数值大小比较 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】y=a（xh）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 变式演练 【变式01】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，可知当时，随的增大而减小． 【详解】抛物线的对称轴为直线，开口向上，可知当时，随的增大而减小， 所以． 故答案为： 【变式02】已知，在二次函数的图像上，比较________．（填>、<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 求出二次函数的对称轴，可得图象上的点的横坐标离对称轴越远，点的纵坐标越大，然后判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，图象上的点的横坐标离对称轴越远，点的纵坐标越大， ∵，，且， ∴， 故答案为：． 【变式03】已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由于二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，然后根据点，离对称轴的远近可判断和的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图象的开口向上， ∵抛物线经过点，，且， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 【变式04】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 【答案】(1) (2)直线； (3)，理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 题●型●破●译 题型07 二次函数图象与系数符号的关系 典例引领 【典例01】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 【典例02】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题压轴题的固定高频考点，近5年中考每年必考，难度系数0.60.7，对应题目核心知识点为二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号，核心考查根据抛物线的图象位置，判断的符号，以及含的代数式的正负性。 方法技能 1．系数符号判断核心规则： ：开口向上 ，开口向下 ； b: 对称轴 ，遵循＂左同右异＂（对称轴在 轴左侧，a , b 同号；对称轴在 轴右侧，a , b 异号）； ：抛物线与 轴交于正半轴 ，负半轴 ，过原点 。 2．特殊代数式判断技巧： ：抛物线与 轴有 2 个交点则 ， 1 个交点则 ，无交点则 ； 时的函数值，看 对应点的纵坐标正负； 时的函数值，看 对应点的纵坐标正负。 变式演练 【变式01】（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由对称轴为，根据二次函数对称轴公式可得，从而推导出，其他选项不一定成立． 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 【变式02】（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查抛物线的图像与性质，根据图像确定的符号即可． 【详解】由图可知，抛物线开口向上，，故A正确，不符合题意； 对称轴为，则，故B不正确，符合题意； 与轴交于正半轴，则，故C正确，不符合题意； 与轴交于不同的两点，则，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式03】（2026·上海徐汇·一模）已知抛物线的图象如图所示，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数图象的性质，由图象得，当时，进行判断即可求解． 【详解】解：如图可知：， ， A、B、C都错误， 当时，， D正确； 故选：D． 题●型●破●译 题型08 一次函数与二次函数图象综合判断 典例引领 【典例01】已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故A可排除； B、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过二、三、四象限可知，，矛盾，故B可排除； C、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故C可排除； D、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过一、三、四象限可知，，一致，故D符合题意． 故选：D． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择题的高频考点，难度系数0.650.85，对应题目核心知识点为一次函数、二次函数图象综合判断，核心考查结合两个函数的图象，判断系数的符号是否一致，是数形结合思想的核心考查点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：假设其中一个函数的图象正确，确定系数的符号范围； 第二步：根据系数的符号范围，判断另一个函数的图象是否符合； 第三步：若两个函数的系数符号一致，则选项正确；若矛盾，则选项错误。 2.解题技巧：优先从二次函数的开口方向确定的符号，再判断一次函数的增减性是否与的符号一致，再验证常数项。 变式演练 【变式01】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小． 题●型●破●译 题型09 待定系数法求二次函数解析式 典例引领 【典例01】（2026·上海松江·一模）在画二次函数的图象时，列表如下： 0 1 0 0 (1)直接写出、、、的值： ________________；________________； ________________；________________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势 【答案】(1) (2)图见解析，在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握五点作图法是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【详解】（1）解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当时，； 当时，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的固定必考考点，是所有二次函数综合题的解题基础，难度系数0.650.85，对应题目核心知识点为待定系数法求二次函数解析式，核心考查根据已知条件，选择合适的解析式形式，求解二次函数解析式。 方法技能 1．三种解析式形式的适用场景： 一般式 ：已知抛物线上任意 3 个普通点的坐标； 顶点式 ：已知抛物线的顶点坐标／对称轴／最值； 交点式 ：已知抛物线与 轴的两个交点坐标。 2．解题步骤：根据已知条件设出对应形式的解析式，代入已知点的坐标，列方程／方程组，求解系数，回代得到最终解析式。 变式演练 【变式01】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______．    【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式02】（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； 【答案】(1) 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． 题●型●破●译 题型10 二次函数与坐标轴的交点计算 典例引领 【典例01】抛物线与轴的交点是_______． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，正确把握二次函数图象上点的特征是解题的关键．根据题意，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点是． 故答案为：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的基础考点，难度系数0.80.9，对应题目核心知识点为求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题，核心考查抛物线与坐标轴交点的求解方法，是二次函数综合题的必备基础。 方法技能 1．坐标轴交点求法： 与 轴交点：令 ，代入解析式，直接得到交点坐标 ； 与 轴交点：令 ，解一元二次方程 ，方程的实数根即为交点的横坐标。2．交点个数判断：抛物线与 轴的交点个数，由一元二次方程根的判别式 决定，与方程根的个数完全对应。 变式演练 【变式01】（2025·上海青浦·一模）二次函数的图像与轴的交点坐标是______． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查求二次函数与坐标轴的交点问题，令，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴二次函数的图像与轴的交点坐标是； 故答案为：． 【变式02】二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式03】（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 题●型●破●译 题型11 二次函数的最值计算 典例引领 【典例01】（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点，求二次函数的极值， 先将点的坐标代入关系式，可得，进而得，再根据二次函数的性质讨论极值即可． 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 所以． 因为抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值，即， 解得． 故答案为：． 【典例02】（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】假设函数，对是否可为进行分类讨论，尤其当时，根据函数对称轴求出函数最小值，满足最小值大于即可满足题意要求． 【详解】解：∵不等式的解集为一切实数， 即对于任意的，都有函数始终大于0， 当时，函数为满足题意； 当时，函数的对称轴为直线， ∴当时，函数值应大于， 故，解得； 综上，的取值范围为． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的高频考点，是二次函数实际应用的核心，难度系数 0.85 ，对应题目核心知识点为 的最值，核心考查二次函数最值的求解方法，包括顶点处的最值、给定自变量范围的区间最值。 方法技能 1．最值核心公式：对于 ，顶点横坐标为 ，最值为 。 ：抛物线开口向上，顶点处取最小值，无最大值； ：抛物线开口向下，顶点处取最大值，无最小值。 2．区间最值解题技巧：给定自变量 的取值范围时，先判断顶点横坐标是否在区间内： 若在区间内：顶点处取一个最值，区间端点处取另一个最值； 若不在区间内：最值均在区间的两个端点处取得。 变式演练 【变式01】（2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 【变式02】我国无人机已形成完整产品谱系，在大型重载平台、编队表演、低空经济应用、应急救援等领域取得全球领先成就，2025-2026年多项突破尤为亮眼．如图1是某款无人机的操作按钮，当输入不同的，，的值时，无人机会沿着抛物线飞行（无人机飞行的高度为，单位：m）．某次无人机按钮输入一组数，，，． (1)求此次无人机飞行的最大高度； (2)如图2，矩形是一个建筑物的主视图，其中，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为．若要求无人机飞行过程中距离建筑物的顶点，的水平距离不少于，竖直距离不少于，此次设置的这条抛物线符合条件吗？请通过计算作出判断． 【答案】(1)当时，无人机飞行的最大高度为 (2)此次设置的这条抛物线符合条件 【知识点】求自变量的值或函数值、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式求最值； （2）根据二次函数的性质，计算出函数值进行判断即可． 【详解】（1）解：当，，时， ， 当时，无人机飞行的最大高度为； （2）解：由题可得，在平面直角坐标系中，点， 易得点与点关于抛物线的对称轴直线对称， 故只需验证点即可． 当时，， 解得，， ； 当时，， ， 故此次设置的这条抛物线符合条件． 题●型●破●译 题型12 二次函数的实际应用（投球/拱桥/运动问题） 典例引领 【典例01】一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，求出桥洞所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线，将代入，即可得到答案； （2）由于点、到的距离均为12米，当时，求出，，得到，根据对称性可知，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，， ，即， 的长为40米，桥洞、关于轴对称， ，即， 桥洞最高点到湖面的距离为5米， 顶点坐标的横坐标为，纵坐标为； 设抛物线， 将代入， ， 桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由于点、到的距离均为12米， 当时，， ， 当时，， ， ， 根据对称性可知，， 故； 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的中档高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.6-0.7，对应题目核心知识点为投球问题(实际问题与二次函数)、拱桥问题(实际问题与二次函数)、图形运动问题(实际问题与二次函数)，核心考查结合实际场景建立二次函数模型，求解最值、距离等实际问题。 方法技能 1.解题核心步骤： 审题：提取实际场景中的关键数据，明确平面直角坐标系的设定； 建模：根据已知点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式； 求解：根据解析式，求解最值、特定横坐标对应的纵坐标、特定纵坐标对应的横坐标； 检验：验证结果是否符合实际场景。 2.高频场景解题技巧：投球、拱桥问题中，抛物线的顶点往往是最高点，对应函数的最大值，优先用顶点式设解析式。 【变式01】（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 【变式02】宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 【答案】(1)， (2)不会，后退1米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）设机器人往后退米，得到新的解析式，待定系数法求出函数解析式，即可． 【详解】（1）解：由题意，，即，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得： ，解得； ∴， 当时，解得或（舍去）； ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴机器人这次投球不会击中这个按钮， 设机器人往后退米，则， 当时，，解得或（舍去）； 故机器人应该沿轴所在直线从点后退1米就可以击中按钮． 【变式03】综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 【答案】(1) (2) (3)1米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 （3）解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 题●型●破●译 题型13 二次函数的实际应用（销售/增长率问题） 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 【典例02】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的中档考点，难度系数0.6-0.7，对应题目核心知识点为增长率问题(实际问题与二次函数)、其他问题(实际问题与二次函数)，核心考查结合销售、增长率等经济场景，建立二次函数模型，求解最大利润、增长率等问题。 方法技能 1．销售问题核心等量关系：总利润 =（单件售价－单件成本）×销售数量，通常售价的变化会引起销售数量的反向变化，据此建立二次函数解析式。 2．增长率问题核心公式：现期＝基期 ×（1＋增长率）n（ 为增长次数），据此建立二次函数模型。 3．解题技巧：求解最大利润时，先建立二次函数解析式，再通过配方法或顶点公式求出最大值，同时注意自变量的取值范围要符合实际场景。 变式演练 【变式01】如图，点M，N是矩形的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线：；点N的运动路线：，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设，的面积为S．若，，则S与x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】分，，三种情况，分别求出S与x的函数关系式，即可判断答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，，，， 当时，如图1，点N在上， ，则，， ； 当时，如图2，点N在上， ； 当时，如图3，点N在上， 此时， ； 综上，选项A符合题意． 【点睛】此类问题，动点在各边上的面积各不相同，需要分别求解． 【变式02】（2025·上海杨浦·一模）新定义：直线上顺次排列的四个点、、、如果满足，则、；、是调和点列 (1)求证：①若、；、是调和点列，则； ②为线段外任意一点，联结、、、，直线截、、、，分别交于、、、，则、；、为调和点列； (2)尺规作图： ①如图，若直线上顺次排列的四个点、、、（已知点、、）如果满足・，请直接作出一组可行的、、，并用尺规作图求作点（保留痕迹）； ②思考：是否可以利用调和点列的条件作出某两点的黄金分割点，若能，则在图中作出此点E，并在横线处写出E为哪两点的黄金分割点（保留痕迹）；若不能，请在横线处写“不能”，并说明理由．_______________； (3)已知二次函数，，直线过点，与二次函数交于两点、（在左上侧），与轴交于点，且，是否存在，使得、；、是调和点列？若是，求的值，若不是，请说出理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②能，见解析，是的黄金分割点 (3)不存在，理由见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、黄金分割 【分析】本题考查了调和点列的定义，解直角三角形，平行线分线段成比例，黄金分割，二次函数的性质． ①根据题意得出，进而计算得出，即可得证； ②设，根据得出化简得出，进而可得，，即可得证； （2）①取点，，，根据调和点列定义可得 ②取点，，连接，设，则，进而得出，即可求解； （3）设直线的解析式为，与轴交于点，根据得出则，，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，设，根据平行线分线段成比例得出，，进而根据、；、是调和点列得出，即，进而得出，与已知矛盾，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∵ ， 即， ∴； ②如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴、、为调和点列； （2）解：①如图，取点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点； 或如图， 则 ②如图， 取点，，连接，设，则， ∴， 以为圆心为半径作弧交轴于点，则， 取的中点，则， 取点，则， 以为圆心为半径，在轴上截取， 取的中点，则， ∴， ∴是的黄金分割点， （3）设直线的解析式为，与轴交于点， ∵在左上侧， ∴， 当时，，解得：，即， ∵， ∴，即，则， ∴，， ∵， ∴抛物线开口向上， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 联立， ∴， ， 设， ∴， ∵， ∴，， ∵、；、是调和点列， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴不存在，使得、；、是调和点列． 题●型●破●译 题型14 二次函数与几何图形的面积计算 典例引领 【典例01】（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)当时，点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到的长度，即可表示出的面积，结合面积为6即可求解的值； （3）首先根据点的坐标为得到的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据构造直角三角形，即可求解直线上点E和O的坐标，即可求解直线的解析式，联立直线和抛物线即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； ∵抛物线交轴于点， ∴，即， 将和代入，得； ∴，； （2）解：设平移后的抛物线为， ∵新抛物线与轴的交点为， ∴， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵的面积为6， ∴，解得：， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即抛物线开口向上， ∴， ∵，， ∴， 设， 如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴此时点G与点B重合， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； 如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N， 同理可求：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得， 解得：， ∴， 联立，解得：（与点D重合，舍去），， ∴； ∴当时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 【典例02】（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；；的条件是正确的，理由见详解 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等； （1）将点代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 则， ∵轴， ∴，        ∵，， ， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，即； 答案的个数为个，没用的是；的条件是正确的， 故答案为：；． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题的核心基础考点，近5年中考每年必考，难度系数0.4-0.6，对应题目核心知识点为面积问题(二次函数综合)，核心考查二次函数背景下，三角形、四边形的面积计算，是二次函数综合题的核心得分点。 方法技能 1.面积计算核心方法： 规则图形：直接用面积公式计算，先通过抛物线解析式求出关键点坐标，再计算线段长度； 不规则图形：割补法，优先选择“水平宽×铅垂高÷2”计算三角形面积，或用整体减空白的方法计算多边形面积。 2.解题步骤：先求出抛物线解析式、关键点坐标，再用坐标表示出线段的长度，最后代入面积公式计算。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①对称轴方程是；②点P的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式； （2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答； ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形． 题●型●破●译 题型15 二次函数与特殊四边形的综合 典例引领 【典例01】（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)①②或个单位长度 【知识点】二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）求出点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据，，得到，进而得到，设直线与轴交于点，则：，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可；②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设，根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，则：， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； ②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 【典例02】（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第24题的高频压轴考点，难度系数0.4-0.6，对应题目核心知识点为特殊四边形(二次函数综合)，核心考查二次函数背景下，平行四边形、矩形、菱形的存在性问题，对几何分析与代数计算能力要求较高。 方法技能 1.核心解题思想：坐标法，利用特殊四边形的性质，转化为点的坐标之间的数量关系，列方程求解。 2.平行四边形存在性解题技巧： 已知三个定点，找一个动点：利用“对角线互相平分”，中点坐标公式列方程求解； 已知两个定点，找两个动点：利用“对边平行且相等”，坐标平移规律列方程求解。 3.解题步骤：先设出动点的坐标，再根据特殊四边形的性质列方程，求解坐标后检验是否符合题意。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式02】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 题●型●破●译 题型16 二次函数与相似三角形的综合 典例引领 【典例01】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【典例02】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第24题的固定压轴考点，近5年中考每年均以压轴问形式考查，难度系数0.2-0.4，对应题目核心知识点为相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合，核心考查二次函数背景下相似三角形的判定、性质应用、存在性问题，是二次函数模块的核心拉分点。 方法技能 1.解题核心步骤： 第一步：求出抛物线解析式、关键点坐标，计算已知三角形的边长、角度，确定固定角（如直角、已知度数的角）； 第二步：分析相似三角形的对应关系，无明确对应角时，以固定角为对应角，分情况讨论； 第三步：根据相似三角形“对应边成比例”的性质，列方程求解点的坐标； 第四步：检验结果是否符合题意，舍去不合理解。 2.核心技巧：利用坐标计算线段长度，结合勾股定理、锐角三角函数，简化相似比例式的计算；优先找相等的角，减少分类讨论的情况。 变式演练 【变式01】（2026·上海金山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点． (1)若抛物线经过点和，求的值； (2)如果的面积小于3，求的取值范围； (3)点关于原点的对称点，连接，且，直线与抛物线交于点（点在点右侧），当与相似时，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得，再将点代入抛物线，即可求出的值； （2）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再根据点与的位置关系，分两种情况表示的面积求解即可； （3）由中心对称的性质可知，，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据坐标两点的距离公式，求出的值，再根据抛物线的开口方向以及与线有两个交点，可知抛物线顶点在上方，则，从而确定，得出，，，，证明是等腰直角三角形，进而得出，再根据边角关系，推出当与相似时，只能，得到，从而得出，再代入抛物线解析式求出的值，即可得解． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线为， 将点代入抛物线可得， 解得：； （2）解：点， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 当点在上方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 当点在下方时，， 的面积小于3， ， 解得：； 综上可知，的取值范围为； （3）解：如图，连接，，令与抛物线对称轴的交点为， ，点关于原点的对称点， ，， ，是的中点， ， ， ， 解得：或， ， 抛物线开口向下， 直线与抛物线交于点， ， ， ， ，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ，， ， ， 当与相似时，只能， ， ， ， 在点右侧， ， 将代入抛物线，得， 解得：， 抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 【变式02】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题●型●破●译 题型17 二次函数新定义创新题型 典例引领 【典例01】（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答压轴题的高频创新考点，近3年中考多次考查，难度系数0.15-0.4，对应题目核心知识点为其他问题(二次函数综合)，核心考查结合二次函数的新定义问题，侧重考查阅读理解能力、知识迁移能力、代数推理能力，是上海中考的创新拉分考点。 方法技能 1.解题核心步骤： 精读定义：拆解新定义的核心规则，转化为已学的二次函数、几何知识； 示例验证：结合题目中的示例，吃透定义的本质，明确解题的核心目标； 列式求解：根据新定义的规则，结合二次函数的性质、几何图形的性质，列式求解； 结果检验：验证结果是否符合新定义的所有限制条件。 2.解题技巧：多问的题型中，前一问的结论往往是后一问的解题基础，优先解决前序问题，再利用结论解决复杂问题。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数． 现有分段函数． 已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点． (1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像； (2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)分段函数为，图象见解析 (2) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了画的图象，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）依次求出分段函数中相邻两函数的交点坐标，再结合只经过函数图像的顶点求解，然后画了函数图象； （2）结合函数图象，根据函数间的交点求解． 【详解】（1）解：如图． ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 函数的对称轴为， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的左边， 所以点为它们的交点，且在分段函数上， 所以函数必须满足； ，解得：或， 即两函数的交点坐标为，， 因为只经过函数图像的顶点， 函数的对称轴为， 所以函数在函数的右边， 即在及右边， 所以此时， ，解得：或， 即两函数的交点为和， 因为只经过函数图像的顶点， 所以函数的图象在函数的右边， 也在函数的对称轴为右边， 所以在的右边， 所以此时， 综上所述，可画出图象如图， 结合分段函数， 可得出，，， 所以这个分段函数为 （2）如图， 结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点， 在点处， 也就是时，也有4个不同交点， ∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点， ∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点． 【变式02】（2025·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线（其中，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为_________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 2．（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【知识点】y=a（xh）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 3．（2026·上海金山·一模）将抛物线向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握函数图象平移的规律． 根据函数图象平移的规律：左加右减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位可得， 故答案为：． 4．（2425九年级上·上海·月考）已知：某个二次函数的一般式为：． (1)用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)和 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 5．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 6．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 7．（2025·上海·模拟预测） 定义  平面直角坐标系中，抛物线的顶点和图像上两点、组成一个等腰直角三角形，且直线平行于轴，那么称为抛物线的“特征三角形”，线段的长称为抛物线的“特征值”． 根据定义完成下列问题． (1)已知平面直角坐标系中，抛物线的顶点是点，且经过点． ①求抛物线的表达式，并求“特征三角形”的面积（在的左侧）． ②若抛物线的顶点为点，其“特征三角形”另外两个顶点为、（在的左侧），若以点、、、组成的四边形是正方形，求抛物线的表达式． (2)现对定义提出以下命题： 命题一 若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等． 命题二 若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 以上命题中，成立的是 （填写命题序号），尝试通过举例证明你的选择． 【答案】(1)①，的“特征三角形”的面积为；②或或或 (2)一，二；证明见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、正方形性质理解、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）①设抛物线的表达式为，得，得出抛物线的表达式为，再联立，解得：或，得，，求出，，，证明是等腰直角三角形，即得出称为抛物线的“特征三角形”，可得结论； ②由①知：轴，根据正方形的性质得，，然后分两种情况：当在下方时；当在上方时，分别求解即可； （2）先判断出命题一和命题二都成立，然后分别举例证明命题一和命题二即可． 【详解】（1）解：（1）①∵抛物线的顶点是点，且经过点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， 即抛物线的表达式为， 如图，设直线与抛物线：交于点，（在的左侧）， ∴轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， 此时， ∴抛物线的表达式为，“特征三角形”的面积为； ②由①知：轴， ∵以点、、、组成的四边形是正方形（在的左侧）， ∴，， 如图， 当在下方时，则，， 当在上方时， ∵为的“特征三角形”（在的左侧）， ∴， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在上方时，则，， 当在上方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 当在下方时，， 设的表达式为，过点， ∴，得：， ∴， 此时抛物线的表达式为； 综上所述，抛物线的表达式为或或或； （2）解：命题一和命题二都成立， 故答案为：一，二； 证明： 命题一：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，且 即两抛物线二次项系数绝对值相同， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如下图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴这两个抛物线的“特征值”相等， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 命题二：设两抛物线的表达式为和， 它们的二次项系数分别和，比值为， 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（在的左侧），则轴，如上图， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为； 设抛物线的顶点为，则，设直线与抛物线交于点，（左的左侧），则轴， 联立，解得：或， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵轴， ∴称为抛物线的“特征三角形”， “特征值”为， ∴， ∴若两抛物线二次项系数绝对值相同，它们的“特征值”一定相等； 和，命题一的证明可以基于第（1）②小题） ∴若两抛物线二次项系数比设为，它们的“特征值”比值一定为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，抛物线与直线的交点问题，两点间的距离，勾股定理定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，正方形的性质等知识，理解“特征三角形”和“特征值”是解题的关键． 1 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $