专题04 方程与方程组（分式方程、一元一次方程、二元二次方程组和无理方程，35题）（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 方程与方程组 （分式方程、一元一次方程、二元二次方程组和无理方程，35题） 考点01：分式方程 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·中考真题）解方程：． 3．（2021·上海·中考真题）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． 4．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 5．（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 6．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 7．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 8．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 9．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 10．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 11．（2025·上海金山·二模）解方程：． 12．（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 考点02：一元一次方程 13．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 14．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为 ．（用百分数表示） 16．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 考点03：二元二次方程组及其解法 17．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为 ． 18．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 19．（2021·上海·中考真题）解方程组： 20．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 21．（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 22．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 23．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 24．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 25．（2025·上海闵行·模拟预测）解方程组： 考点04：无理方程 26．（2025·上海·中考真题）方程的解为 ． 27．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则 28．（2021·上海·中考真题）已知，则 ． 29．（2025·上海奉贤·三模）方程的解是 ． 30．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 31．（2025·上海静安·二模）方程的解是 ． 32．（2025·上海普陀·二模）方程的解是 ． 33．（2025·上海杨浦·二模）方程的解是 ． 34．（2025·上海闵行·模拟预测）方程的实数解是 ． 35．（2025·上海·模拟预测）方程的解是 ． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题04 方程与方程组 （分式方程、一元一次方程、二元二次方程组和无理方程，35题） 考点01：分式方程 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 2．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 3．（2021·上海·中考真题）现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图． （1）求三月份共生产了多少部手机? （2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度． 【答案】（1）36万部；（2）100/秒 【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数； （2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影，比要快190秒列方程求解． 【详解】（1）3月份的百分比= 三月份共生产的手机数=（万部） 答：三月份共生产了36万部手机． （2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒， 由题意可知： 解得： 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 答：手机的下载速度为100/秒． 【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0． 4．（2025·上海嘉定·二模）下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，分别计算四个方程的判别式，然后根据的意义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 5．（2025·上海徐汇·二模）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是（   ） A．2千米／小时 B．3千米／小时 C．4千米／小时 D．5千米／小时 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用．设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为千米/小时， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，是原方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：学生返回时步行的速度为3千米/小时． 故选：B． 6．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入 个红球． 【答案】2 【分析】本题主要考查了概率的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、根据概率公式列出分式方程是解题的关键． 设需往布袋里加入个红球．再根据题意列分式方程期间即可． 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 7．（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 8．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 9．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 10．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 11．（2025·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 12．（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 两边都乘以， 得：， 整理得， 解得：或， 检验：是分式方程的根，是分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 考点02：一元一次方程 13．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 14．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 15．（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为 ．（用百分数表示） 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 16．（2025·上海静安·二模）某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 【答案】150 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 考点03：二元二次方程组及其解法 17．（2022·上海·中考真题）解方程组的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得④，联立①④利用加减消元法，算出结果即可． 【详解】解： 由②，得：③， 将①代入③，得：，即④， ①+④，得：， 解得：， ①−④，得：， 解得：， ∴方程组的结果为． 【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决本题的关键． 18．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 19．（2021·上海·中考真题）解方程组： 【答案】和 【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出． 【详解】解：由题意：， 由方程(1)得到：，再代入方程(2)中： 得到：， 进一步整理为：或， 解得，， 再回代方程(1)中，解得对应的，， 故方程组的解为：和． 【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可． 20．（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是 . 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，代入消元法．将方程组先转化为或，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴或， ∴或， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或． 21．（2025·上海金山·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组的一般步骤是解题的关键．由②得③，把①代入③求出进而求出方程组的解． 【详解】解：， 由②得③， 把①代入③得：④， 联立①④， 解得：， 故答案为：． 22．（2025·上海青浦·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，变形组中的方程②代入①，得一元二次方程，求解得出一个未知数的值，再代入变形后的方程求得另一个未知数的值． 【详解】解：， 由②得，③， 把③代入①，得， 整理，得． 解得，， 将代入③，得； 将代入③，得． 所以，原方程组的解是，． 23．（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 24．（2025·上海虹口·二模）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 25．（2025·上海闵行·模拟预测）解方程组： 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元二次方程组，熟练掌握代入法解二元二次方程组是解决问题的关键． 由得，将代入之中解出，进而再解出，即可得该方程组的解． 【详解】解：， 由，得：， 将代入，得：， 整理得：， 解得：， ∴， ∴该方程组的解为：； 考点04：无理方程 26．（2025·上海·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 27．（2023·上海·中考真题）已知关于的方程，则 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，，即， ， 等式两边分别平方， 移项，，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键． 28．（2021·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】5 【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解． 【详解】解：， 两边同平方，得， 解得：x=5， 经检验，x=5是方程的解， ∴x=5， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键． 29．（2025·上海奉贤·三模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：方程两边平方，得， 解得， 经检验，为原方程的解， 故方程的解是， 故答案为：． 30．（2025·上海闵行·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解析：， ， ∴， 经检验是原方程增根，舍去； 所以原方程根为． 31．（2025·上海静安·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键． 先两边同时平方化为整式方程求解，再检验是否有增根即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 32．（2025·上海普陀·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，熟练掌握解无理方程是解题的关键．方程两边平方得，再解这个一元二次方程，得或1，最后进行检验即可． 【详解】解：把方程两边平方，得， 整理，得， ， 解得或1， 经检验是增根，舍去，是原方程的解， 所以方程的解是． 故答案为：． 33．（2025·上海杨浦·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程的解法；根据两边同时平方，计算求解，再进行检验即可． 【详解】解： 两边同时平方得 解得：， 经检验，是原方程的解， 即原方程的解为； 故答案为：． 34．（2025·上海闵行·模拟预测）方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握无理方程的解法是解决问题的关键． 将方程的两边同时平方得，再解此方程得，，然后再进行检验即可得出答案． 【详解】解：将方程的两边同时平方，得：， 整理得：， 解得：，， 当时，左边，右边， ∴是该方程的解， 当时，左边，右边， ∴为增根，不是该方程的解， ∴方程的实数解是． 故答案为：． 35．（2025·上海·模拟预测）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的步骤是解题的关键．先把无理方程转换为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同时平方，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是， 故答案为：． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$