专题突破练20 圆锥曲线中的求值、最值与范围问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练20　圆锥曲线中的求值、最值与范围问题 1.(15分)(2025山东济南章丘质量检测)已知等轴双曲线E过点(2,),直线l:y=kx+2(k>0)与双曲线E交于A,B两点,与其渐近线交于C,D两点. (1)求双曲线E的方程; (2)设=λ,求实数λ的取值范围. 2.(17分)(2025北京丰台模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),焦距为2. (1)求椭圆E的方程; (2)设O为原点,过点A且斜率为k的直线l与椭圆E的另一个交点为T,线段AT的垂直平分线与x轴交于点M,与y轴交于点N,过点P(1,0)且与l平行的直线与y轴交于点Q,若△OMN与△NPQ的面积之比为4∶3,求k的值. 3.(12分)(2023全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 4.(18分)(2025上海,20)已知椭圆=1(a>),其右顶点为A,点M(0,m)且m>0,点P在该椭圆上. (1)若该椭圆右焦点坐标为(2,0),求其离心率e; (2)若a=4,=2,求m的值; (3)若MA的垂直平分线斜率为2,且交椭圆于C,D两点,∠CMD为钝角,求a的取值范围. 答案： 1.解 (1)等轴双曲线E过点(2,), ①若双曲线E的焦点在x轴上,不妨设双曲线E:=1,代入(2,),可得a2=2,故双曲线E:=1; ②若双曲线E的焦点在y轴上,不妨设双曲线E:=1,代入(2,),可得a2=-2,不符合题意. 综上所述,双曲线E:=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 联立可得(1-k2)x2-4kx-6=0, ∴1-k2≠0,Δ=16k2+24(1-k2)>0,又k>0,∴可得k∈(0,1)∪(1,),∴x1+x2=,x1x2=- 显然双曲线E的渐近线方程为y=±x,不妨设点C为直线y=x与直线l的交点, 联立可得x3=-,同理x4=- ∴λ= ∵k∈(0,1)∪(1,),(0,1)∪(1,). ∴λ的取值范围为(0,1)∪(1,). 2.解 (1)由题意解得所以椭圆E的方程为=1. (2)由题意,直线l的方程为y=k(x+2)(k≠0), 由 得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0, 由题意,Δ>0. 设T(x0,y0),则-2x0=, 解得x0=,y0=k(+2)= 所以线段AT的中点为(). 线段AT垂直平分线的方程为y-=-(x+), 令y=0得x=,所以M(,0); 令x=0得y=,所以N(0,).所以S△OMN=|·||=|. 过点P(1,0)与直线l平行的直线的方程为y=k(x-1),故Q(0,-k),所以S△NPQ=-(-k)|=|. 因为,所以,整理得3k2=|4k4-1|. 若4k4>1,则4k4-3k2-1=0,解得k2=1(负值舍去),故k=±1; 若4k4≤1,则4k4+3k2-1=0,解得k2=(负值舍去),故k=±综上,k=±1或± 3.解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p> 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2.∴p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n, 由得y2-4my-4n=0, 则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4 =(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4 =(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2 =-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0, ∴4m2=n2-6n+1≥0,又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2 ∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1) =(my3+n+1)(my4+n+1) ==n2-2n+1=(n-1)2, ∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8 4.解 (1)由题意知b2=5,c=2,则a==3,故该椭圆的离心率e= (2)由题意知点A坐标为(4,0),点M坐标为(0,m),设点P坐标为(x0,y0),则=(x0,y0-m),=(4-x0,-y0). ∵2,解得 ∴点P的坐标为(). ∵点P在椭圆上,=1⇔m2=10, 又m>0,∴m= (3)由题意知kAM==-m=,∴AM中点坐标为(), ∴MA的垂直平分线的方程为y-=2(x-),即y=2x-a. 设点C坐标为(x1,y1),点D坐标为(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-), 由得(4a2+5)x2-3a3x+a4-5a2=0, ∴x1+x2=,x1·x2=, Δ=(-3a3)2-4(4a2+5)(a4-5a2)=a4+25a2>0. ∵∠CMD为钝角, <0,即x1x2+(y1-)(y2-)<0, 即x1x2+(2x1-a-)(2x2-a-)<0⇔5x1x2-(x1+x2)+a2<0, ∴5a2<0,解得a2<11, 又a>,<a< 故所求a的取值范围是(). 5 学科网（北京）股份有限公司 $