专题突破练19 圆锥曲线中的基本问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练19　圆锥曲线中的基本问题 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025江西宜春中学高三下学期3月一模联考)已知椭圆的左、右焦点分别为(-7,0),(7,0),点(2,12)在该椭圆上,则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.(2025安徽淮北、淮南高三下学期第二次质量检测)若抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:=1的一个焦点,则椭圆C的长轴长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.8 3.(2025广东肇庆高三第二次模拟考试)已知直线l:y=x是双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线,O是坐标原点,F1是双曲线C的焦点,过点F1作F1M垂直于直线l,交l于点M,△F1OM的面积是,则双曲线C的方程为(　　) A.-x2=1 B.-x2=1 C.y2-=1 D.y2-=1 4.(2025湖南永州高三下学期第三次模拟考试)已知椭圆E:=1,点F(-1,0),若直线x+λy-1=0(λ∈R)与椭圆E交于A,B两点,则△ABF的周长为(　　) A.2 B.4 C.4 D.8 5.(2025河北石家庄普通高中毕业年级教学质量检测)设P为双曲线=1右支上的动点,F为该双曲线的右焦点,已知点Q(7,2),则|PF|+|PQ|的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2025河北保定高三第一次模拟考试)已知抛物线y2=2px的焦点为F,点A,B,C在抛物线上,F为△ABC的重心,且||+||+||=12,则p的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 7.(2025江西八所重点高中高三下学期4月联考)若双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与圆C2:(x-2)2+y2=3有公共点,则双曲线C1的离心率的取值范围为(　　) A.(0,] B.(1,] C.(0,2] D.(1,2] 8.(2025重庆模拟)古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为|PO|=4,AP⊥PB,则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A.2 B. C.2 D.4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025全国1,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 10.(2025全国2,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　) A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 11.(2025湖北九师联盟高三下学期核心模拟)已知F1,F2分别是椭圆C:=1 (a>0,b>0)的左、右焦点,|F1F2|=2,M是椭圆C上位于第二象限内的一点,O为坐标原点,|OM|=1,P为OF1上一点,且∠F1MP=∠PMF2,A为MF1的中点,OA与MP交于点N,且|ON|=b,则(　　) A.点M在以F1F2为直径的圆上 B.椭圆C的离心率为 C.椭圆C的方程为=1 D.|OP|= 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 12.(2025福建厦门第六中学高三下学期基础知识检测)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交双曲线E的左支于A,B两点.|OB|=|OF1| (O为坐标原点),点O到直线l的距离为a,则该双曲线的离心率为　　　　　. 13.(2025江苏苏锡常镇高三下学期教学情况调研)已知拋物线C1:x2=4y,C2:x2=-8y的焦点分别为F1,F2,一条平行于y轴的直线分别与抛物线C1,C2交于A,B两点.若|AF1|=|BF2|,则四边形AF1F2B的周长为　　　　. 核心素养创新练 14.(5分)(2025河北邯郸高三下学期第四次调研监测)已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线左支上一点,且△PF1F2的面积为b2.若△PF1F2的内切圆与y轴相切,则双曲线的离心率e=(　　) A. B. C.2 D.+1 答案： 1.A　解析 依题意,椭圆的焦距2c=14,长轴长2a==15+13=28,所以该椭圆的离心率e=故选A. 2.C　解析 抛物线y2=4x的焦点(1,0)是椭圆C:=1的一个焦点,所以椭圆的焦点在x轴上,且c=1(c为椭圆的半焦距).设椭圆的长轴长为2a,则m=a2=3+1=4,所以a=2,2a=2×2=4.故选C. 3.B　解析 由题意知ab=,解得b2=1,a2=3,则双曲线方程为-x2=1.故选B. 4.D　解析 椭圆E:=1的长半轴长a=2,半焦距c==1,则点F(-1,0)为椭圆的左焦点,其右焦点为(1,0),而直线AB:x+λy-1=0恒过定点(1,0), 所以△ABF的周长为4a=8.故选D. 5.B　解析 如图,设双曲线的左焦点为F1,由双曲线的定义得|PF|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2|QF1|-2=5-2=3,所以|PF|+|PQ|的最小值为3故选B. 6.B　解析 易知F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 由抛物线的定义知||+||+||=x1++x2++x3+=x1+x2+x3+=12.又F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3,所以3p=12,p=4.故选B. 7.D　解析 ∵双曲)的渐近线为bx±ay=0,且与圆(x-2)2+y2=3有公共点,∴圆心C2(2,0)到渐近线的距离不大于半径,即,∴b2≤3a2,∴b2=c2-a2≤3a2,c2≤4a2,∴1<e=2.故选D. 8.C　解析 因为AB为底面圆的直径,AP⊥PB,|PO|=4,所以△PAO,△PAB都是等腰直角三角形. 可得|PA|=4M是PB的中点,O是AB的中点,则AP∥OM,|OM|=|AP|=2 截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M,故点O在截面上. 根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上, 建立以M为原点,OM为x轴,过点M的垂线(在截面上)为y轴的平面直角坐标系, 设抛物线与底面圆的交点为E(如图),则xE=|OM|=2,yE=|OA|=4, 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则16=2p×2,解得p=2,即该抛物线的焦点(,0)到准线x=-的距离为p=2故选C. 9.ACD　解析 由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=- 由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确; 设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x可得y2-6my-9=0, 则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3, 则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确; 当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误; 当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18; 当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E(-,3m),|EF|=, S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9, 则|AE|·|BE|>>18, 综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确.故选ACD. 10.ACD　解析 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-=,A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2,所以B错误;所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b=2ab=22=8,所以D正确.故选ACD. 11.ACD　解析 如图所示,因为|F1F2|=2|OM|=2,所以点M在以F1F2为直径的圆上,故A正确. 由圆的性质可知,MF1⊥MF2. 设|MF1|=2m,则|MF2|=2a-2m. 因为A为MF1的中点,O为F1F2的中点,所以OA为△MF1F2的中位线,|MA|=m,且OA∥MF2,所以∠MAN=90°. 又∠F1MP=∠PMF2,则△MAN为等腰直角三角形,所以|AN|=|MA|=m.因为OA为△MF1F2的中位线,则|MF2|=2|OA|=2(|AN|+|ON|)=2(m+b),即2(m+b)=2a-2m,解得2m=(2a-b)=a-b,所以|MF1|=a-b,|MF2|=a+b.在Rt△F1MF2中,,则=(2c)2,整理得4a2+b2=8c2.又b2=a2-c2,则5a2=9c2,所以e=,故B错误. 由|F1F2|=2,得c=1,所以a2=,b2=a2-c2=,故椭圆C的方程为=1,故C正确. 由上可知,a=,b=因为∠F1MP=∠PMF2,所以,则|F1P|=|F1F2|=,所以|OP|=c-|F1P|=1-,故D正确.故选ACD. 12　解析 设双曲线E的半焦距为c,取F1B的中点D,连接OD. 由|OB|=|OF1|, 得OD⊥F1B,|OD|=a.连接F2B,由O为F1F2的中点,得BF2∥OD, 则|BF2|=2|OD|=3a,BF2⊥BF1.|F1B|=|BF2|-2a=a. 因此,即(3a)2+a2=(2c)2,整理得5a2=2c2,所以离心率e= 13.12　解析 设A(x1,y1),B(x1,y2),将A,B两点的坐标分别代入抛物线C1,C2的方程,可得所以4y1=-8y2,即y1=-2y2.由焦半径公式可得|AF1|=y1+1,|BF2|=2-y2,由|AF1|=|BF2|可得y1+1=2-y2,即y1+y2=1.联立可得所以|AF1|=|BF2|=3.又F1(0,1),F2(0,-2),所以|F1F2|=3.|AB|=|y1-y2|=3,所以四边形AF1F2B的周长为|AF1|+|BF2|+|F1F2|+|AB|=3×4=12. 14.D　解析 设内切圆圆心为I,三个切点分别为D,E,M,如图. 由切线长定理可得|F2M|=|F2E|,即c-xM=|PF2|-|PE|=|PF2|-|PD|=|PF2|-|PF1|+|DF1|=2a+|F1M|=2a+(c+xM),所以xM=-a.因为xI=xM,所以圆I与x轴切于双曲线的左顶点.又△PF1F2的内切圆与y轴相切,所以内切圆的半径r=a. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则n-m=2a,4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2, 即4c2-4a2=2mn(1-cos∠F1PF2),所以4b2=2mn(1-cos∠F1PF2), mnsin∠F1PF2=sin∠F1PF2==b2, 所以tan=1,所以∠F1PF2=90°, 所以|PD|=|PE|=r=a,所以|PF1|=c,|PF2|=2a+c, 由勾股定理得4c2=c2+(2a+c)2, 整理得-2c2+4a2+4ac=0, 所以c2-2ac-2a2=0,解得c=,即c=a+a或c=a-a(舍去), 所以e=+1.故选D. 8 学科网（北京）股份有限公司 $