专题突破练16 随机变量及其分布（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练16　随机变量及其分布 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025福建部分优质高中4月联考)随机变量ξ的分布列如表格所示,其中2b=a+c,则b等于(　　) ξ -1 0 1 P a b c A. B. C. D. 2.(2025福建厦门第三次质量检测)已知随机变量X~B(n,),若E(X)=2,则P(X=2)=(　　) A. B. C. D. 3.设袋中有8个红球、4个白球,若从袋中任取4个球,则其中至多有3个红球的概率为(　　) A. B. C.1- D.1- 4.(2025湖北华大新高考联盟3月教学质量测评)已知某机械在生产正常的情况下,生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械生产出的所有产品中随机抽取2件,则这2件产品的质量指标分别在[96,112]和[92,108]的概率为(　　)(运算结果保留小数点后两位.参考数据:若X服从正态分布(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.0.57 B.0.75 C.0.80 D.0.84 5.已知随机变量X~B(4,p),其中0<p<1,若P(X≤3)=,则P(X=3)=(　　) A. B. C. D. 6.(2025天津和平第一次质量调查)某物理量的测量结果服从正态分布N(2,σ2),下面结论中不正确的是(　　) A.该物理量在一次测量中结果小于2的概率为0.5 B.该物理量在一次测量中结果小于1.98与大于2.02的概率相等 C.该物理量在一次测量中结果落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等 D.σ越小,该物理量在一次测量中结果在(1.9,2.1)的概率越大 7.(2025贵州黔东南模拟)在规定时间内,甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5,0.6,0.5,且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X,则E(X)=(　　) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8 8.(2025江苏部分学校4月调研考试)为备战乒乓球赛,某体校甲、乙两名主力进行训练,规则如下:两人每轮分别与老师打2局,当两人获胜总局数不少于3局时,则认为此轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(　　) A.28 B.24 C.32 D.27 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2024新高考Ⅰ,9)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 10.(2025辽宁名校联盟3月联合考试)随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),其概率分布可用下图直观地表示,则(　　) A.n=5 B.p= C.b= D.D(X)= 11.(2025广东深圳高级中学第二次模拟考试)随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(3,1),Y~B(6,),则(　　) A.E(X)=E(Y) B.D(X)=D(Y) C.P(X≤1)=P(X≥5) D.P(Y≤3)>P(X≥4) 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 12.(2025陕西西安第二次模拟考试)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据此前的若干次比赛数据统计可知,在甲、乙两队的比赛中,每场比赛甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为　　　　　. 13.(2025全国新高考Ⅰ,14)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球,记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=　　　　　. 核心素养创新练 14.(13分)(2025北京,18)有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率; (2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望; (3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明). 答案： 1.A　解析 根据题意,所以b=故选A. 2.B　解析 因为X~B(n,),所以E(X)=n=2,解得n=4,即X~B(4,), 所以P(X=2)=)4=故选B. 3.D　解析 从袋中任取4个球,其中红球的个数X服从参数为N=12,M=8,n=4的超几何分布,故至多有3个红球的概率为P(X≤3)=1-P(X=4)=1-故选D. 4.C　解析 P(96≤X≤112)=P(μ-σ≤X≤μ+3σ)=0.84,P(92≤X≤108)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,故所求概率P≈0.84×0.954 5≈0.80.故选C. 5.D　解析 因为X~B(4,p),所以P(X≤3)=1-P(X=4)=1-p4=,得p4=, 又0<p<1,所以p=,所以P(X=3)= 6.C　解析 对于A,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果小于2的概率为0.5,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于2.02的概率与小于1.98的概率相等,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的性质,知该物理量测量结果落在(1.9,2)的概率大于落在(2.2,2.3)的概率,所以一次测量结果落在(1.9,2.2)的概率大于落在(2,2.3)的概率,故C错误;对于D,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=2附近越集中,所以测量结果落在(1.9,2.1)内的概率越大,故D正确.故选C. 7.B　解析 由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1,P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5=0.35,P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15, 所以P(X=2)=1-0.1-0.35-0.15=0.4.所以E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.故选B. 8.D　解析 由题可得,甲、乙两人通过训练的概率为p=p1(1-p1)p2(1-p2)=-3p1p2,因为p1,p2>0,p1+p2=,由基本不等式,p1p2,当且仅当p1=p2=时,取等号,则-3p1p2=-3(p1p2+)+=-3(p1p2-)2+ 又注意到甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数X满足二项分布,则期望为np=16,结合p,可得n≥16=27.故D正确.故选D. 9.BC　解析 由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12). ∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7.∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC. 10.BCD　解析 对于A,由频率分布直观图可得X可以取0,1,2,3,4,所以n=4,故A错误;对于B,由P(X=4)=p4=,所以p=,故B正确;对于C,P(X=1)=p(1-p)3=4()3=,所以b=,故C正确;对于D,D(X)=np(1-p)=4,故D正确.故选BCD. 11.ACD　解析 对于正态分布X~N(3,1),可得其期望E(X)=3,D(X)=1,对于二项分布Y~B(6,),可得E(Y)=6=3,D(Y)=6,所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),故A正确,B错误;由X~N(3,1),可得P(X≤1)=P(X≥5),故C正确;对于Y~B(6,),可得P(Y≤3)=)0·(1-)6+)1·(1-)5+)2·(1-)4+)3·(1-)3=()()6=,所以P(X≥4)<P(X≥3)=,所以P(Y≤3)>P(X≥4),故D正确.故选ACD. 12　解析 “五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜,则甲、乙两队比赛获胜局数比的可能情况为3∶0,3∶1,3∶2. 3∶0的概率为()3=;3∶1的概率为)1·()3=;3∶2的概率为)3()2= 所以,甲队获胜的概率为 13　解析 由题意X=1,2,3,P(X=1)=;P(X=2)=()2;P(X=3)=()3=故E(X)=1+2+3= 14.解 (1)甲校随机抽取100人,其中有80人答对,用频率估计概率,设从甲校随机抽取1人,这个人答对的概率为事件A,则P(A)= (2)设乙校中随机抽取1人,这个人答对题目的概率为事件B,则P(B)=,由(1)知P(A)=从甲、乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率为P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)= X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-)×(1-)=,P(X=1)=,P(X=2)= ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0+1+2 (3)由题意可知,p1×100%+(1-p1),解得p1=,p2×85%+(1-p2),解得p2=, ∴p2>p1. 6 学科网（北京）股份有限公司 $