专题突破练9 数列求和的方法（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练9　数列求和的方法 1.(13分)(2025山东滨州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{}的前n项和Tn. 2.(15分)(2025湖南永州模拟)已知函数f(x)=(x<-2),点(-,an)(n∈N*)在曲线y=f(x)上,且a1=1. (1)求证:数列{}为等差数列; (2)设bn=,记Sn=b1+b2+…+bn,求Sn. 3.(15分)(2025江苏扬州模拟)已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn+1=3Sn+n+1(n∈N*). (1)证明数列{an+}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log3(2an+1),求数列{}的前n项和Tn. 4.(17分)(2025浙江台州模拟)对于数列{an},记区间(1,an)内偶数的个数为bn,则称数列{bn}为{an}的偶数列. (1)若数列{dn}为数列{n3}的偶数列,求d3; (2)若数列{cn}为数列{2n+1+3}的偶数列,证明:数列{cn-1}为等比数列; (3)在(2)的前提下,若数列{bn}为等差数列{an}的偶数列,a1=5,a5=13,求数列{bncn}的前n项和Sn. 答案： 1.解 (1)因为Sn=n2+2n,所以当n=1时,a1=S1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1. 当n=1时,上式也成立. 所以an=2n+1. (2)由(1)得=22n+1+), 所以Tn=23+(1-)+25+()+…+22n+1+),所以Tn=(23+25+…+22n+1)+(1-+…+), 所以Tn=(1+), 整理得Tn=4n+1- 2.(1)证明 因为点(-,an)在曲线y=f(x)上, 所以an=,且an>0,=4(n∈N*), 故数列{}是首项为1,公差为4的等差数列. (2)解 由(1)知=1+4(n-1)=4n-3,则 因为an>0,所以an=,则bn=, 故Sn=b1+b2+…+bn=+…+ 3.解 (1)由题意,当n=1时,S2=3S1+2,得a1+a2=3a1+2, 因为a1=1,所以a2=4. 当n≥2时,Sn+1=3Sn+n+1, ① Sn=3Sn-1+n, ② ①-②得an+1=3an+1(n≥2). 因为a2=4=3a1+1,所以an+1=3an+1(n≥1). 则an+1+=3an+=3(an+). 因为a1+0,所以=3,所以{an+}是以a1+为首项,3为公比的等比数列. 所以an+,则an= (2)由bn=log3(2an+1)=log33n=n, 则, 所以{}的前n项和Tn=+…+=--3. 4.(1)解 在区间(1,33)内的偶数为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,共13个,所以d3=13. (2)证明 在区间(1,2n+1+3)内的偶数为2,4,…,2n+1,2n+1+2,则cn==2n+1. 于是c1-1=2,=2, 所以{cn-1}是首项为2,公比为2的等比数列. (3)解 依题意,等差数列{an}的公差d==2, 则an=5+2(n-1)=2n+3,bn==n+1. 由(2)知,cn=2n+1,则bncn=(n+1)(2n+1)=(n+1)·2n+(n+1). 令数列{(n+1)·2n}的前n项和为Tn,则Tn=2×2+3×22+…+(n+1)×2n, 于是2Tn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)×2n+1, 两式相减得-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=4+-(n+1)·2n+1=-n·2n+1, 因此Tn=n·2n+1,而数列{n+1}前n项和为,所以Sn=Tn+=n·2n+1+ 2 学科网（北京）股份有限公司 $