专题突破练8 求数列的通项公式（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练8　求数列的通项公式 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025辽宁沈阳模拟)数列{an}中,已知对任意正自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则+…+等于(　　) A.2n-1 B.(2n-1)2 C. D. 2.(2025江西赣州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3an=2Sn+1,则S5=(　　) A.11 B.31 C.61 D.121 3.(2025广东湛江模拟)数学家斐波那契在自己的著作中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,该数列称为斐波那契数列,在斐波那契数列{Fn}中,其项满足Fn+2=Fn+1+Fn(n≥1,n∈N*).那么1+F2+F4+F6+…+F2 024等于(　　) A.F2 025 B.F2 026 C.F2 027 D.F2 028 4.(2025福建漳州一模)记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,Sn+1-2Sn=n,则a10=(　　) A.1 024 B.1 023 C.513 D.256 5.(2025福建福州模拟)已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则a9=(　　) A. B. C. D. 6.(2025山东临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为(　　) A.49 B.50 C.99 D.100 7.(2025江苏宿迁模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,则下列选项正确的是(　　) A.9a7>8a8 B.9a7<8a8 C.9S7>7a8 D.9S7<7a8 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.(2025山东济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列说法正确的有(　　) A.数列{an+1-an}为等差数列 B.数列{an+1-2an}为等比数列 C.an=2n-1 D.Sn=2n+1-n-2 9.(2025山东德州模拟)对于数列{an},定义An=为数列{an}的“好数”,已知某数列{an}的“好数”An=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S6对任意的n∈N*恒成立,则k的可能取值为(　　) A.2 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.(2025河北张家口一模)已知数列{an}满足a1=2,an>0且+1,则-n=　　　　　.  11.(2025山东泰安模拟)南宋数学家杨辉的重要著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第16项为　　　　.  12.(2025广东广州模拟)某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为　　　　万元.(参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9) 四、解答题:本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2. (1)求证:{}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 核心素养创新练 14.(5分)(2025重庆沙坪坝模拟)如图,边长为an的一组正三角形An-1AnBn的底边An-1An依次排列在x轴上,其中A0与坐标原点O重合.若所有正三角形顶点Bn在第一象限,且均落在抛物线y2=x上,则第n个正三角形的边长an=　　　　. 答案： 1.C　解析 因为a1+a2+a3+…+an=2n-1①,当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=2n-1-1②,①-②得an=2n-2n-1=2n-1,n≥2.又a1=21-1=1,满足an=2n-1,所以an=2n-1,所以=4n-1,所以+…+=1+4+…+4n-1=故选C. 2.D　解析 令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1.由3an=2Sn+1,当n≥2时,3an-1=2Sn-1+1,两式相减得3an-3an-1=2(Sn-Sn-1)=2an,即an=3an-1,即=3,所以数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,所以S5==121.故选D. 3.A　解析 由Fn+2=Fn+1+Fn,得Fn+1=Fn+2-Fn,所以1+F2+F4+F6+…+F2 024=1+(F3-F1)+(F5-F3)+…+(F2 025-F2 023)=1-F1+F2 025=F2 025.故选A. 4.B　解析 由Sn+1-2Sn=n,得Sn+1+n+2=2(Sn+n+1),因为a1=2,所以S1+1+1=4,所以Sn+n+1≠0,所以{Sn+n+1}是首项为4,公比为2的等比数列,所以Sn+n+1=4×2n-1,所以Sn=2n+1-n-1,所以a10=S10-S9=1 023.故选B. 5.A　解析 易知an≠0,从而由题意,即-1=--1),所以数列{-1}是以-1=-为首项,-为公比的等比数列,从而-1=-(-)n-1=(-)n,所以-1=(-)9,解得a9=故选A. 6.D　解析 因为Sn+nan=1,所以a1=,当n≥2时,Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1,所以(n+1)an=(n-1)an-1,即,此时an=…a1=…,n=1也满足该式,故an=,Sn=1-nan=1-,若Sn=1->0.99,解得n>99,故所求为100.故选D. 7.B　解析 因为数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,当n=1时,则a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2且n∈N*时,由Sn=2an-2n可得Sn-1=2an-1-2n-1,上述两式作差可得an=2an-2an-1-2n-1,整理可得an-2an-1=2n-1,等式an-2an-1=2n-1两边同时除以2n-1可得=1,所以数列{}是以=2为首项,公差为1的等差数列,所以=2+n-1=n+1,所以an=(n+1)·2n-1,9a7=9×8×26=9×29,8a8=8×9×27=9×210,则9a7<8a8;Sn=2an-2n=(n+1)·2n-2n=n·2n,9S7=9×7×27=63×27,7a8=7×9×27=63×27,所以9S7=7a8.故选B. 8.BCD　解析 因为an+1=3an-2an-1(n≥2),所以an+1-an=2(an-an-1),则{an+1-an}是首项为a2-a1=2,公比为2的等比数列,则an+1-an=2n,故A错误;根据题意得an+1=3an-2an-1⇒an+1-2an=an-2an-1,a2-2a1=1,所以数列{an+1-2an}为首项为1,公比为1的等比数列,故B正确;an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+4+…+2n-1==2n-1,n=1也满足该式,故C正确;Sn=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2,故D正确.故选BCD. 9.BCD　解析 因为An==2n+1,所以a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1.当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n,两式相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)2n,所以an=2(n+1)(n≥2),当n=1时,上式对a1=4也成立.故an=2(n+1),则an-kn=(2-k)n+2,所以数列{an-kn}为等差数列.故Sn≤S6对任意的n(n∈N*)恒成立可化为a6-6k≥0,a7-7k≤0,即解得k,结合四个选项,BCD符合k的取值.故选BCD. 10.4-　解析 由题得=()+()+…+()++…++(n-1)+4=+(n-1)+4=n+4-,当n=1时,n+4-=1+4-1=4=符合题意.所以-n=n+4--n=4- 11.227　解析 若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,即a1=2,a2=3,a3=6,a4=11,可知a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an-an-1=2n-3(n≥2),累加即可得到an-a1=1+3+5+…+2n-3=,则an=n2-2n+3(n≥2),a1=2符合上式,故an=n2-2n+3,则a16=162-2×16+3=227. 12.3 940　解析 该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列{an},n∈N*,n≤10,依题意,当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10), 因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,则a1+a2+…+a10=+10×10≈300×(13.8-1)+100=3 940,所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3 940万元. 13.(1)证明 当n≥2时,an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0. ∴Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0.即又, 故数列{}是首项为,公差为的等差数列. (2)解 由(1)知,∴Sn=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时,a1=2不适合上式. 故an= 14　解析 记Sn为数列{an}的前n项和,则Bn+1(Sn+an+1),即an+1=, 整理得Sn=an+1, 当n≥2时,可得Sn-1=an, 所以an=Sn-Sn-1=an+1-(an), 即(an+1+an)(an+1-an)=an+1+an. 因为an>0,所以an+1-an= 又由题意得a1=,解得a1=,则a2,解得a2=, 所以a2-a1=,即数列{an}是以为首项,为公差的等差数列, 所以数列{an}的通项公式为an=+(n-1) 6 学科网（北京）股份有限公司 $