专题突破练3 平面向量（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练3　平面向量 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列不能化简为的是(　　) A. B.+() C.()+() D. 2.(2025江苏十二校高三检测)已知向量a=(2x,3),b=(2,0),(a-b)·b=0,则x的值为(　　) A.-1 B. C.1 D.2 3.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点(不包含端点).设x,y,x∈(0,1),y∈(0,1),则的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2025山东青岛高三模拟)已知a=(1,1),b=(1,-2),则向量a在向量b上的投影向量为(　　) A.(-) B.() C.(-) D.() 5.(2025湖北七市高三检测)已知向量m=(1,0),向量a满足|a-4m|=|m|,则|a|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025湖北武汉高三四调)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和向量b的夹角为(　　) A. B. C. D. 7.(2025北京,10)已知在平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 8.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是线段AD上的两个三等分点,=4,=-1,则=(　　) A.4 B.8 C. D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β), P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　) A.||=|| B.||=|| C. D. 10.(2025湖北武汉高三二调)已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4),则(　　) A.若a∥b,则tan θ=- B.若a⊥b,则sin θ= C.|a-b|的最大值为6 D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O,若=6,则的值是　　　　　. 12.(2024山西高一统考阶段练习)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=2,M是线段AC上一动点.若以M为圆心、半径为1的圆与线段AC交于P,Q两点,则的最小值为　　　　. 13.(2025山东潍坊高一期末)已知O是△ABC内一点,且=0,点M在△OBC内(不含边界),若=λ+μ,则λ+2μ的取值范围是　　　　. 核心素养创新练 14.(17分)已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数. (1)若=(-,1)为h(x)=msin(x-)的相伴特征向量,求实数m的值; (2)记向量=(1,)的相伴函数为f(x),求当f(x)=且x∈(-)时sin x的值; (3)已知A(-2,3),B(2,6),h(x)为(1)中函数,φ(x)=h(),请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P,使得?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由. 答案： 1.D　解析 对于A,,故A正确;对于B,+()=()+,故B正确;对于C,()+()=()+()=0+,故C正确;对于D,,故D错误.故选D. 2.C　解析 因为(a-b)·b=0,所以a·b=b2,即4x=4,解得x=1.故选C. 3.A　解析 延长AG交BC于点H(图略),则H为BC的中点.∵G为△ABC的重心,)=)=)=M,G,N三点共线,=1,即=3.故选A. 4.A　解析 由题可知,a·b=1×1+1×(-2)=-1,|b|2=5,则向量a在向量b上的投影向量为=(-). 5.C　解析 令a=(x,y),则|a-4m|==1,即(x-4)2+y2=1,则y2=1-(x-4)2≥0,解得3≤x≤5,则|a|=因为3≤x≤5,则当x=3时,|a|取最小值3. 6.C　解析 ∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=0,∴a2-a·b=0,即1=a·b,则cos<a,b>=,∴<a,b>=60°.故选C. 7.D　解析 ∵||=||=,||=2,,A,B两点在以O为圆心,为半径的圆上. 取AB的中点H,可知|OH|=1,∴点H在以O为圆心,1为半径的圆上,则|2|2=4+4=4)+4=4+4=4()()+4=4()+4=4(-1)+4=4,∴|2|=2||. ∵||-1≤||≤||+1,||=5,∴4≤||≤6,即8≤2||≤12.故选D. 8.C　解析 因为D是BC的中点,E,F是线段AD上的两个三等分点,所以=-+3=-+3,所以=()·(-)==-1,=(+3)·(-+3) =9=4,可得又因为+2=-+2,所以=(+2)·(-+2)=4=4故选C. 9.AC　解析 ∵||==1,||==1,∴||=||,故A正确; =(cos α-1,sin α),=(cos β-1,-sin β), ∴||=, ||=, ∴||≠||,故B不正确;=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β), =(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), ,故C正确;=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos βcos(α+β)-sin βsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos(2β+α),故D不正确. 10.ACD　解析 若a∥b,则4cos θ=-3sin θ,解得tan θ=-,故A正确;若a⊥b,则-3cos θ+4sin θ=0,解得tan θ=,则得sin θ=±,故B错误;因为|a|==1,|b|==5,而|a-b|≤|a|+|b|=6,当且仅当a,b反向时等号成立,故C正确;若a·(a-b)=0,则cos θ(cos θ+3)+sin θ(sin θ-4)=0,即cos2θ+3cos θ+sin2θ-4sin θ=0,所以4sin θ-3cos θ=1,|a-b|==2,故D正确.故选ACD. 11　解析 (方法一)由题可得,=-,则=3设=2=+,则=2=3+因为E,O,C三点共线,3λ+λ=1,所以λ=,所以,所以-6)·(-+3)==0,故=3,所以 (方法二)不妨设AB⊥CE,以E为原点,EC,EA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设C(2,0),A(0,a),B(0,-2a),则D(1,-a),故直线AD的方程为y=-2ax+a,直线CE的方程为y=0,则所以O(,0),-6=3a2-6=0,所以a2=2,所以 (方法三)由题可得,=-,设=2=+,则=2=3+因为E,O,C三点共线,3λ+λ=1,所以λ=,所以,同理可得,,取CD中点F(图略),则=||2-||2,6=8=8||2-8||2=2||2-2||2.因为=6,所以||2+||2=2||2.由中线定理得,AB2+AC2=2(AD2+CD2)=4AC2,所以AB2=3AC2,所以 12.2　解析 由题意,=-,且||=1,||==4,所以,所以=()·()=-1.易知,当BM⊥AC时,BM最小,所以||||=||||min,即2×2=4×||min,解得||min=,故的最小值为()2-1=2. 13.(1,2)　解析 因为O是△ABC内一点,且=0,所以O为△ABC的重心.当点M与点O重合时,λ+2μ最小,此时=+[)]=,所以λ=,μ=,即λ+2μ=1.当点M与点C重合时,λ+2μ最大,此时,所以λ=0,μ=1,即λ+2μ=2.因为M在△OBC内且不含边界,所以λ+2μ∈(1,2). 14.解 (1)由题可得,h(x)=msin(x-)=msin x-mcos x. 又=(-,1)为h(x)=msin(x-)的相伴特征向量,故m=-2. (2)∵向量=(1,)的相伴函数为f(x)=sin x+cos x, 且f(x)=sin x+cos x=2sin(x+)=, ∴sin(x+)= ∵x∈(-),∴x+(0,),∴cos(x+)=,∴sin x=sin[(x+)-]=sin(x+)-cos(x+)= (3)存在.由(1)可知h(x)=-2sin(x-),∴φ(x)=h()=-2sin[()-]=-2sin()=2cos 设P(x,2cosx),∵A(-2,3),B(2,6),=(x+2,2cosx-3),=(x-2,2cosx-6). ,=0, ∴(x+2)(x-2)+(2cosx-3)(2cosx-6)=0, 即x2-4+4cos2x-18cosx+18=0, ∴(2cosx-)2=-x2. ∵-2≤2cosx≤2,∴-2cosx--, (2cosx-)2 又-x2,∴当且仅当x=0时,(2cosx-)2和-x2同时等于, ∴在y=h(x)图象上存在点P(0,2),使得 7 学科网（北京）股份有限公司 $