8.3 实数 （第1课时）知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.3 实数（第1课时） 知识框架： · 无理数及实数的概念、分类 · 实数与数轴上的点一一对应 一、无理数及实数的概念、分类 回忆什么是有理数？ 有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式． 探究　把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式， 即 归纳：事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 我们还知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数．例如等都是无理数，=3.141 592 65…也是无理数． 结论：有理数和无理数统称实数． 把实数分类： 像有理数一样，无理数也有正负之分，例如是正无理数， 是负无理数．由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类： 例题精讲 例1　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 解：有理数有： 无理数有： 注意：（1）带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数2； （2）无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数． 例2 　把下列各数填入相应的集合内： 　　 解：整数集合：；负分数集合：；负数集合：； 正数集合： 有理数集合； 无理数集合． 练习1 1．下列说法正确是（ 　 ）． A．不存在最小的实数 B．有理数是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．带根号的数都是无理数 2．下列实数是无理数的为（ ）．A．0 B．－3.5 C． D． 3． 把下列各数分别填在相应的括号内： 　 作业1 1．有下列说法： ①无理数就是开方开不尽的数；②无限不循环小数是无理数； ③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（　　　）．A．1 B．2 C．3 D．4 2．有下列说法正确的是（ ）． A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 3．写出一个大于3且小于4的无理数： 　　　　　． 4．下列实数中，无理数有哪些？ ，，，，，，，，0.101 001 000 1…． 检测1 1．下列判断，错误的是（ 　 ）． A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．π是无理数 2．下列各式结果是有理数的是（　 ）． A． 　　B． 　　　C． 　　　D． 3．下列所给的数中，是无理数的是( 　 )． A．2 B． C． D．0.1 4．1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数为__________． 5．把下列各数填入相应的集合内： －7，0.32，，46，0，，，，． （1）有理数集合：{ …}；（2）无理数集合：{ …}； （3）正实数集合：{ …}；（4）实数集合：{ …}． 二、实数与数轴上的点一一对应 探究 在数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是．事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，数轴上有些点表示无理数． 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 归纳： （1）实数与数轴上的点是一一对应的．即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大． 思考：（1）的相反数是 ，的相反数是 ，0的相反数是 ； （2）= ，= ，= ． 解：根据已有知识可得（1）的相反数是，π的相反数是－π，0的相反数是0； （2），，． 总结： 有理数关于相反数和绝对值的意义是： **有理数的相反数：有理数a的相反数是－a． 有理数的绝对值： 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数． **实数的相反数：实数a的相反数是－a． 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 例题精讲 例1（1）分别写出，的相反数； （2）指出，分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值；（4）已知一个数的绝对值是，求这个数． 解：（1）因为，， （2）因为，， 所以，，分别是，的相反数． （3）因为，所以． （4）因为，，所以绝对值为的数是或． 例2　 …中， （1）属于有理数的有： ．属于无理数的有： ．属于实数的有： ． （2）说出以上各数的相反数、绝对值． 解：（1）属于有理数的有：． 属于无理数的有：…． 属于实数的有：…． （2）…相反数分别为：…． …绝对值分别为：…． 练习2 1．下列各数中，互为相反数的是( )． A．－2与 B．－2与 C．－2与 D．与2 2．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则化简的结果是（ ）． A．a－b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 3．数轴上的数并不都表示有理数，如图，数轴上的点A表示的数是，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）． A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论． 4．求下列各数的相反数、倒数和绝对值．（1）；（2）3－π． 作业2 1．当a为实数时，，则实数a在数轴上的对应点在（ ）． A．原点的右侧 B．原点的左侧　 C．原点或原点的右侧　 D．原点或原点的左侧 2．四个数中，最大的数是（　　）． A． B．　 C．　 D． 3．请将数轴上的各点与下列实数对应起来：． 4．把无理数在数轴上表示出来． 检测2 1．把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点A与原点重合，圆沿着数轴的正方向滚动一周，点A的终点表示的数是( 　 )． A．π B．2π C．3.14 D．6.28 2．估计面积为7的正方形的边长a的值(结果精确到十分位)是( )． A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8 3．在数轴上表示的点到原点的距离为__________． 4．若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 4． 如图，A，B两点的坐标分别为A(1，2)，B(，0)，则△AOB的面积为__________． 答案 练习1： 1、 A． 2、C． 3、　解：整数集合； 分数集合； 有理数集合； 无理数集； 正实数集； 负实数集合． 作业1： 1．B．2． A．3．如，π等． 5． 解：无理数有：，，，0.101 001 000 1…． 检测1： 1．A ．　　 2．C． 　　3．B． 4．186． 5．（1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）正实数集合： （4）实数集合： 练习2： 1、 A 2、 C 3、 C． 4、解：（1）因为，所以， 所以的相反数是，倒数是，绝对值是． （2）3－π的相反数是－（3－π）＝π－3，倒数是，绝对值是． 作业2： 1． D． 2．B． 3．A表示－1.5；B表示；　C表示；D表示3；E表示π． 4．解：如图所示，OA＝2，AB＝1， 由勾股定理可知：OB＝，以原点O为圆心、 以OB长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点，则点就表示． 检测2： 1．A． 2．B．3．． 4．． 5．． 学科网（北京）股份有限公司 $