2026年中考数学复习之尺规作图专项集训（含解析）

2026年中考数学复习解答题专项集训之尺规作图专项集训 一．解答题（共20小题） 1．（2025•湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形． 2．（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 3．（2025•珠海校级一模）如图，在△ABC中，BC＞AC． （1）实践与操作：用尺规作图法作AB垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：连接DC，若DA＝DC．求证：∠C＝90°． 4．（2025•泉港区一模）如图，在△ACD中，DE＝6．点P在DE的延长线上，连结CP． （1）尺规作图：过点A求作CD的平行线，与PC、DP的交点分别为B、F； （2）在（1）的条件下，若点F是DP的中点，AD∥CP．试求EF的长度． 5．（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 6．（2025•湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点． （1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形． 7．（2025•阳泉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12． （1）作边BC的垂直平分线交边BC于点D，交边AB于点F，以点D为圆心，CD为半径作弧，交边AB于点E，连接CE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求CE的长． 8．（2025•安徽模拟）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）点D的坐标为（﹣1，2），以点D为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°至△A1B1C1； （2）点B通过（1）中旋转后，对应点B1的坐标为 　 　 ； （3）用无刻度直尺在边A1B1上作出一点E，使得C1E⊥A1B1（保留作图痕迹）． 9．（2025•连云港校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC， （1）①尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于D，过AB上一点E作直线EF使得AE＝DE，EF⊥AD，与AC交于点F，连接DE，DF． ②求证：△ADE≌△ADF； （2）四边形AEDF的形状是什么特殊的四边形？　 　 ． 10．（2025•分宜县模拟）追本溯源 （1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？ 性质应用 （2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ的面积为27，则△OMP的面积为 　 　 ． 11．（2025•长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 12．（2025•余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF； （2）在图2中，画出△ABC的高CH． 13．（2025•珠海校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，AB＝4，AE＝6． （1）过点E作AB的平行线EF，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求四边形ABFE的周长． 14．（2025•宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在△ABC中，AB＞AC 求证：∠C＞∠B． （1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B． 15．（2025•高要区一模）如图，点C，F在线段BD上，且BF＝CD，∠A＝∠E，AB∥DE． （1）求证：∠ACB＝∠EFD； （2）在线段AC，EF上分别找出点M，N，依次连接点F，M，C，N，使得到的四边形FMCN为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 16．（2025•咸阳校级二模）如图，在四边形ABCD中，E为CD上一点，且EC＝BC，利用圆规和无刻度直尺在AD上寻找点P，使△BCP和△ECP的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（2025•新乡二模）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规作出∠CBQ的平分线交射线AP于点M；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，CM＝6，求⊙O的半径． 18．（2025•渝中区校级模拟）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE＝∠BCF．这样所得的四边形AECF是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF＝∠DAE，交直线DB于点F，连接AF．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF＝∠DAE．求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，①　 　 ． ∴∠ADB＝∠CBD． ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD． ∴②　 　 ． 在△EDA和△FBC中， ， ∴△EDA≌△FBC（ASA）． ∴③　 　 ，∠AED＝∠CFB． ∴④　 　 ． ∴四边形AECF是平行四边形． 19．（2025•南岗区校级一模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ACD的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶顶点上，tan∠AEB，且三角形AE的面积为6，请直接写出AE的长． 20．（2025•安阳模拟）已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线BD上任意一点，连接PA，以PA，PD为邻边作平行四边形PAQD． （1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形PAQD； （2）当PQ的最小值为时，求正方形ABCD的边长． 2026年中考数学复习解答题专项集训之尺规作图 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025•湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形． 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质．版权所有 【专题】作图题；证明题；图形的全等；推理能力． 【答案】（1）如图，对角线AC的垂直平分线MN即为所求； （2）如图，设AC与MN交于点O， ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AMO＝∠CNO， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM＝CN， ∵AN＝CN ∴AM＝AN， ∴△AMN是等腰三角形． 【分析】（1）直接根据题意作图即可； （2）设AC与MN交于点O，由MN是AC的垂直平分线得到AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，由四边形ABCD是矩形证明∠AMO＝∠CNO，进而证明△AOM≌△CON（AAS），进而可证△AMN是等腰三角形． 【解答】（1）解：如图，对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N，MN即为所求； （2）证明：如图，设AC与MN交于点O， ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AMO＝∠CNO， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴AM＝CN， ∵AN＝CN ∴AM＝AN， ∴△AMN是等腰三角形． 【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 【考点】作图—复杂作图；三角形的外角性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；尺规作图；几何直观． 【答案】（1） （2）（答案不唯一）． 【分析】（1）作△ABC外接圆的圆心，则点D满足题意；设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'，则点D'满足题意． （2）延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则点E即为所求． 【解答】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点D，以点D为圆心，AD的长为半径画圆， 此时⊙D为△ABC的外接圆， ∴∠ADB＝2∠C， 则点D满足题意． 设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'， 此时∠AD'B＝∠ADB， 则点D'满足题意． （2）如图2，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 可得∠AEB＝∠CAE， ∴∠ACB＝∠AEB+∠CAE＝2∠AEB， 则点E即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的外角性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2025•珠海校级一模）如图，在△ABC中，BC＞AC． （1）实践与操作：用尺规作图法作AB垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：连接DC，若DA＝DC．求证：∠C＝90°． 【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】作图题；证明题；三角形；推理能力． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）∵DE垂直平分AB， ∴BD＝AD， ∵DA＝DC， ∴BD＝DA＝DC， ∠BCD＝∠CBD，∠DAC＝∠DCA， ∵∠BCD+∠CBD+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴2（∠BCD+∠DCA）＝180°， ∴∠ACB＝∠BCD+∠DCA＝90°． 【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据垂直平分线性质和等腰三角形的判定和性质得到BD＝DA＝DC．则∠BCD＝∠CBD，∠DAC＝∠DCA，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵DE垂直平分AB， ∴BD＝AD， ∵DA＝DC， ∴BD＝DA＝DC， ∠BCD＝∠CBD，∠DAC＝∠DCA， ∵∠BCD+∠CBD+∠DAC+∠DCA＝180°， ∴2（∠BCD+∠DCA）＝180°， ∴∠ACB＝∠BCD+∠DCA＝90°． 【点评】此题考查了垂直平分线的作图、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 4．（2025•泉港区一模）如图，在△ACD中，DE＝6．点P在DE的延长线上，连结CP． （1）尺规作图：过点A求作CD的平行线，与PC、DP的交点分别为B、F； （2）在（1）的条件下，若点F是DP的中点，AD∥CP．试求EF的长度． 【考点】作图—复杂作图；平行线分线段成比例；平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【分析】（1）在AC的下方作∠CAB＝∠ACD，射线AB交PD，CP于点F，B； （2）证明四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，再证明AF＝BF，利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵AB∥CD，AD∥CP， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵点F是PD的中点， ∴DF＝PF， ∵AD∥PB， ∴1， ∴AF＝BF， ∵AF∥CD， ∴， ∵DE＝6， ∴EF＝3． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【考点】作图—应用与设计作图．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】见解析． 【分析】（1）如图3中，根据平行，构造相似比是3：2的两个三角形，取格点M，N连接MN交AB于点Q，点Q即为所求； （2）取格点G，连接AG，取AG的中点T，连接BT，取格点E，使得CE⊥BT，CE交AB于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图3中，点Q即为所求； （2）如图4中，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2025•湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点． （1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．版权所有 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】（1）在DB的下方作∠BEF＝∠BDC，且EF＝CD，连接CF即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∵EF＝CD，EF∥CD， ∴AB＝EF，AB∥EF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE＝BE＝F，AE∥BF， ∴∠EAD＝∠FBC， ∴△EAD≌△FBC（SAS）， ∴∠AED＝∠BFC， ∵∠ABE+∠BFC＝180°， ∴∠ABE+∠AED＝180°， ∵∠AEB+∠AED＝180°，∠AEB+∠AED＝180°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴四边形ABFE是菱形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 7．（2025•阳泉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12． （1）作边BC的垂直平分线交边BC于点D，交边AB于点F，以点D为圆心，CD为半径作弧，交边AB于点E，连接CE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求CE的长． 【考点】作图—复杂作图；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权所有 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）利用尺规作图，根据题意作出图形即可． （2）连接DE，证明CE⊥AB，利用勾股定理以及三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）如图所示． （2）连接DE， 由作图过程可知，CD＝BD＝DE， ∴∠CED＝∠DCE，∠B＝∠BED． ∵∠B+∠BCE+∠BEC＝∠B+∠ECD+∠CED+∠BED＝180°， ∴2∠CED+2∠BED＝180°， ∴∠CED+∠BED＝∠CEB＝90°， 即CE⊥AB． ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13． ∵， ∴， ∴CE． 【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2025•安徽模拟）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）点D的坐标为（﹣1，2），以点D为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°至△A1B1C1； （2）点B通过（1）中旋转后，对应点B1的坐标为 　（1，4）　 ； （3）用无刻度直尺在边A1B1上作出一点E，使得C1E⊥A1B1（保留作图痕迹）． 【考点】作图—复杂作图；坐标与图形变化﹣旋转．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1）； （2）（1，4）； （3）． 【分析】（1）根据旋转的性质，找到A，B，C绕D顺时针旋转90°的对应点，A1，B1，C1，顺次连接，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）取C1为顶点1×4的格点F，连接C1F交A1B1于点E，则点E即为所求； 【解答】解：（1）如图所示， （2）根据坐标系可得B1（1，4） 故答案为：（1，4）． （3）如图所示， 【点评】本题考查了旋转作图，写出点的坐标，格点作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2025•连云港校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC， （1）①尺规作图：作∠BAC的平分线交BC于D，过AB上一点E作直线EF使得AE＝DE，EF⊥AD，与AC交于点F，连接DE，DF． ②求证：△ADE≌△ADF； （2）四边形AEDF的形状是什么特殊的四边形？　菱形　 ． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观． 【答案】（1）①见解答． ②见解答． （2）菱形． 【分析】（1）①根据角平分线的作图方法可得AD；作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF，即可得直线EF． ②根据全等三角形的判定证明即可． （2）结合菱形的判定可得结论． 【解答】（1）解：①如图，∠BAC的平分线AD即为所求． 作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF， 则直线EF即为所求． ②证明：设直线EF交AD于点O， ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠EAO＝∠FAO． ∵AO＝AO， ∴△AOE≌△AOF（ASA）， ∴AE＝AF． ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（SAS）． （2）解：∵△ADE≌△ADF， ∴DE＝DF． ∵AE＝DE，AE＝AF， ∴AE＝DE＝AF＝DF， ∴四边形AEDF为菱形． 故答案为：菱形． 【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2025•分宜县模拟）追本溯源 （1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？ 性质应用 （2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ的面积为27，则△OMP的面积为 　12　 ． 【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【专题】图形的全等；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）12． 【分析】（1）利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，再利用全等的性质即可证明； （2）证明出△MOP∽△OCQ，利用面积比等于相似比的平方即可求解． 【解答】1）证明：由题意知：∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴△OMP，△ONP都为直角三角形， 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）， ∴∠MOP＝∠NOP， ∴OP平分∠AOB； （2）解：∵QC⊥OA于点C， ∴QC∥PM， ∴∠MOP＝∠OCQ，∠MOP＝∠COQ， ∴△MOP∽△OCQ， ∴， ∵，即， 解得：S△OMP＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理． 11．（2025•长春）图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上． （1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形． 【考点】作图—应用与设计作图．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可； （2）根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求； （2）如图②中，△ABC即为所求； （3）如图③中，△ABC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 12．（2025•余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图． （1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF； （2）在图2中，画出△ABC的高CH． 【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行四边形的性质在图1中，过点E画出CD的平行线EF即可； （2）根据平行四边形的性质在图2中，画出△ABC的高CH即可． 【解答】解：（1）图1中EF即为所求； （2）图1中CH即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质． 13．（2025•珠海校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，AB＝4，AE＝6． （1）过点E作AB的平行线EF，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求四边形ABFE的周长． 【考点】作图—复杂作图；平行线的判定；平行四边形的判定与性质．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）20． 【分析】（1）根据平行线的判定，在BE的右侧作∠BEF＝∠ABE，交BC于点F，则EF即为所求． （2）由平行四边形的判定与性质可得四边形ABFE为平行四边形，则AB＝EF＝4，AE＝BF＝6，进而可得答案． 【解答】解：（1）如图，在BE的右侧作∠BEF＝∠ABE，交BC于点F， 则EF即为所求． （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE为平行四边形， ∴AB＝EF＝4，AE＝BF＝6， ∴四边形ABFE的周长为AB+AE+EF+BF＝20． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 14．（2025•宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在△ABC中，AB＞AC 求证：∠C＞∠B． （1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据作角平分线的步骤作图即可； （2）利用SAS判定出△EAD≌△CAD，再根据性质求解即可． 【解答】（1）解：如图，AD，DE即为所求． （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD． 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（SAS）． ∴∠C＝∠AED． ∵∠AED＞∠B， ∴∠C＞∠B． 【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等． 15．（2025•高要区一模）如图，点C，F在线段BD上，且BF＝CD，∠A＝∠E，AB∥DE． （1）求证：∠ACB＝∠EFD； （2）在线段AC，EF上分别找出点M，N，依次连接点F，M，C，N，使得到的四边形FMCN为菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权所有 【专题】作图题；证明题；推理能力． 【答案】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠D， ∵BF＝CD， ∴BF+FC＝CD+FC， ∴BC＝DF， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴∠ACB＝∠EFD； （2）解：如图，四边形FMCN即为所求； 理由：由作图可知，MN垂直平分CF， ∴CM＝FM，CN＝FN， ∴∠MFC＝∠MCF，∠NFC＝∠NCF， ∵∠MCF＝∠NFC， ∴∠MFC＝∠MCF＝∠NFC＝∠NCF， ∴△MFC≌△NFC（ASA）， ∴FM＝FN， ∴CM＝FM＝CN＝FN， ∴四边形FMCN是菱形， ∴四边形FMCN即为所求． 【分析】（1）由AB∥DE，得∠B＝∠D，然后证明BC＝DF，再由“AAS”证明△ABC≌△EDF即可得出结论； （2）作CF垂直平分线即可，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠D， ∵BF＝CD， ∴BF+FC＝CD+FC， ∴BC＝DF， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴∠ACB＝∠EFD； （2）解：在线段AC，EF上分别找出点M，N，依次连接点F，M，C，N，使得到的四边形FMCN为菱形， 如图，四边形FMCN即为所求； 理由：由作图可知，MN垂直平分CF， ∴CM＝FM，CN＝FN， ∴∠MFC＝∠MCF，∠NFC＝∠NCF， ∵∠MCF＝∠NFC， ∴∠MFC＝∠MCF＝∠NFC＝∠NCF， ∴△MFC≌△NFC（ASA）， ∴FM＝FN， ∴CM＝FM＝CN＝FN， ∴四边形FMCN是菱形， ∴四边形FMCN即为所求． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，作垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（2025•咸阳校级二模）如图，在四边形ABCD中，E为CD上一点，且EC＝BC，利用圆规和无刻度直尺在AD上寻找点P，使△BCP和△ECP的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—复杂作图；三角形的面积．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】见解析． 【分析】作∠DCB的角平分线交AD于点P，连接PB，PE，点P即为所求（连接BE交PC于点O，利用等腰三角形的性质证明OE＝OB，PC⊥BE可得结论）． 【解答】解：如图，点P为所求的点． 【点评】本题考查作图﹣0复杂作图，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2025•新乡二模）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规作出∠CBQ的平分线交射线AP于点M；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，CM＝6，求⊙O的半径． 【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；角平分线的性质；勾股定理．版权所有 【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）⊙O的半径为2.5． 【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）根据尺规作圆，角平分线的作法作图即可； （3）如图：过点M作MH⊥AQ于点H，由角平分线的性质可得MH＝CM＝6，结合锐角三角函数的定义可得AM＝10，进而得到AC＝4；由圆周角定理可得∠ACB＝90°，最后运用锐角三角函数的定义求得AB的值即可． 【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求． （2）如图所示：点M即为所求． （3）如图：过点M作MH⊥AQ于点H， 由条件可知MH＝CM＝6， ∴在Rt△AHM中，， ∴AM＝10， ∴AC＝AM﹣CM＝4， 由条件可知∠ACB＝90°， ∵， ∴，即，解得：AB＝5， ∴⊙O的半径为2.5． 【点评】本题主要考查尺规作角等于已知角、尺规作角平分线、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握尺规作图的作法是解题的关键． 18．（2025•渝中区校级模拟）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE＝∠BCF．这样所得的四边形AECF是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF＝∠DAE，交直线DB于点F，连接AF．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF＝∠DAE．求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，①　AD∥BC　 ． ∴∠ADB＝∠CBD． ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD． ∴②　∠ADE＝CBF　 ． 在△EDA和△FBC中， ， ∴△EDA≌△FBC（ASA）． ∴③　AE＝CF　 ，∠AED＝∠CFB． ∴④　AE∥CF　 ． ∴四边形AECF是平行四边形． 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．版权所有 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】（1）见解析；AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，AE＝CF，AE∥CF． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用全等三角形的性质证明AE＝CF，AE∥CF即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，①AD∥BC ∴∠ADB＝∠CBD． ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD． ∴②∠ADE＝∠CBF． 在△EDA和△FBC中， ， ∴△EDA≌△FBC（ASA）． ∴③AE＝CF，∠AED＝∠CFB． ∴④AE∥CF． ∴四边形AECF是平行四边形． 故答案为：AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，AE＝CF，AE∥CF． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19．（2025•南岗区校级一模）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ACD的面积为8； （2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶顶点上，tan∠AEB，且三角形AE的面积为6，请直接写出AE的长． 【考点】作图—应用与设计作图；解直角三角形；勾股定理．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）作图见解析部分． （2）作图见解析部分，2． 【分析】（1）作出底为4，高为2的平行四边形即可． （2）作底为6，高为2，且tan∠AEB的△ABE即可． 【解答】解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求作． （2）如图2中，△ABE即为所求作．AE2． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形，勾股定理等知识解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 20．（2025•安阳模拟）已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线BD上任意一点，连接PA，以PA，PD为邻边作平行四边形PAQD． （1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形PAQD； （2）当PQ的最小值为时，求正方形ABCD的边长． 【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；垂线段最短；平行四边形的判定与性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据平行四边形两组对比分别平行的性质画图即可； （2）设PQ与AD交于点O，根据平行四边形的性质可知，OP＝OQ，OA＝OD，得出OP最短时，PQ最小，再过O作BD的垂线，垂足为P′，此时OP′最短，再得出△DOP′～△DAB，根据相似比求出正方形边长即可． 【解答】解：（1）如图所示，四边形PAQD即为所求； （2）设PQ与AD交于点O， ∵PAQD为平行四边形， ∴OP＝OQ，OA＝OD， ∴OP最短时，PQ最小， 过O作BD的垂线，垂足为P′，此时OP′最短， ∵PQ的最小值为， ∴， ∵∠DP′O＝∠DAB＝90°， ∠ADB为公共角， ∴△DOP′～△DAB， ∴， 设正方形边长为a， ∴， ∴， 解得， ∴正方形ABCD的边长为． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用垂线段求最小值，相似三角形的判定与性质，熟练运用垂线段求最小值是解决本题的关键． 考点卡片 1．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 2．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 3．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 4．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 5．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 6．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 7．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 8．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 9．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 10．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 11．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 12．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 13．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 14．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 15．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 16．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 17．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 18．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 19．作图—应用与设计作图 应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中． 首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 20．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 21．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 22．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 23．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/14 16:33:57；用户：组卷2；邮箱：zyb002@xyh.com；学号：41418965 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $