第一章 特殊平行四边形 章末考点复习与小结 2025-2026学年数学北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形 章末考点复习与小结 菱形的性质与判定 1.如图,添加下列条件不能证明平行四边形ABCD是菱形的是 (　 　) A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD (第1题) (第2题) 2.如图,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 (　 　) A.28° B.52° C.62° D.72° 3.(2024·青岛)如图,在菱形ABCD中,BC=10,面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO= 　. (第3题) 4.(2025·重庆西附)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC. (第4题) (1)用尺规完成以下基本作图:作AD的垂直平分线EF,交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF;(不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中,求证:四边形AEDF为菱形.(请完成下面的填空) 证明:∵EF垂直平分AD, ∴①　 　,AF=DF, ∴∠EAD=∠EDA,②　 　. ∵AD平分∠BAC,∴③　 　, ∴∠ADE=∠ADF. 在△ADE和△ADF中, ∴△ADE≌△ADF(ASA), ∴④　 　,∴AE=DE=DF=AF, ∴四边形AEDF是菱形. 5.如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F. (1)求证:AM=AE; (2)连接CM,DF=2. ①求菱形ABCD的周长; ②若∠ADC=2∠MCF,求ME的长. (第5题) 矩形的性质与判定 6.下列说法正确的是 (　 　) A.矩形的对角线互相垂直且平分 B.矩形的邻边一定相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.有三个角为直角的四边形为矩形 7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交BC于点E.若△ABE的周长为12,AB=4,则AE的长为 (　 　) A. B.5 C.6 D. (第7题) (第8题) 8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点M在BC边上,连接AM,将△ABM沿AM翻折,得到△AB'M,MB'交AD于点N.若点N为AD的中点,则BM的长度为　　. 9.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接AE,CE. (1)求证:四边形OCED为矩形. (2)DB=6,AC=8,求AE的长. (第9题) 10.如图,点E在矩形ABCD的边CD上,连接AE,BE,过点A作AF⊥BE于点F,且CE=BF. (1)求证:BC=AF; (2)若∠AEB=2∠CEB,求∠EAF的度数. (第10题) 正方形的性质与判定 11.下列说法中正确的是 (　 　) A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.有一组邻边相等的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是矩形 12.如图,E,F,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD上的点,连接DF,DG,HE,且HE=DF,DG平分∠ADF交AB于点G.若∠BEH=52°,则∠AGD的度数为 (　 　) A.26° B.38° C.52° D.64° (第12题) (第13题) 13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE,DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,AE与OD交于点G,与DF交于点E,连接OE.若OE=,则AG的长为 (　 　) A. B.2 C.3 D. 14.如图,E是正方形ABCD的边CD右侧一点,CE=CD,CF平分∠DCE交BE于点F.下列结论: (第14题) ①∠BED=45°; ②∠BEC=30°; ③BF=CF+EF; ④连接BD,若BE=8,则四边形BCED的面积为32. 以上结论正确的有　 　.(填序号) 15.如图1,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,BE. (1)求证:BE=DE; (2)如图2,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. ①求证:矩形DEFG是正方形; ②若正方形ABCD的边长为9,CG=3,求正方形DEFG的边长. (第15题) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 章末考点复习与小结 菱形的性质与判定 1.如图,添加下列条件不能证明平行四边形ABCD是菱形的是 (　D　) A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD (第1题) (第2题) 2.如图,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 (　C　) A.28° B.52° C.62° D.72° 3.(2024·青岛)如图,在菱形ABCD中,BC=10,面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO= 　. (第3题) 4.(2025·重庆西附)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC. (第4题) (答案图) (1)用尺规完成以下基本作图:作AD的垂直平分线EF,交AB于点E,交AC于点F,连接DE,DF;(不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中,求证:四边形AEDF为菱形.(请完成下面的填空) 证明:∵EF垂直平分AD, ∴①　AE=DE　,AF=DF, ∴∠EAD=∠EDA,②　∠FAD=∠FDA　. ∵AD平分∠BAC,∴③　∠EAD=∠FAD　, ∴∠ADE=∠ADF. 在△ADE和△ADF中, ∴△ADE≌△ADF(ASA), ∴④　AE=AF　,∴AE=DE=DF=AF, ∴四边形AEDF是菱形. 解:(1)作图如答案图所示. 5.如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F. (1)求证:AM=AE; (2)连接CM,DF=2. ①求菱形ABCD的周长; ②若∠ADC=2∠MCF,求ME的长. (第5题) (答案图) (1)证明:如答案图,连接BD, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥DB,AD=AB,∴∠ADB=∠ABD. ∵ME⊥AC,∴ME∥BD, ∴∠AME=∠ADB,∠AEM=∠ABD, ∴∠AME=∠AEM,∴AM=AE. (2)①解:∵AM=AE,AD=AB,E是AB的中点, ∴MD=MA. ∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD, ∴∠F=∠AEM,∠FDM=∠EAM, ∴△MDF≌△MAE(AAS),∴DF=AE. ∵AB=2AE,DF=2,∴AB=4, ∴菱形ABCD的周长为16. ②解:如答案图,连接CM,记EF与AC的交点为点G, ∵AM=AE,△MAE≌△MDF, ∴DF=DM,MF=ME, ∴∠DMF=∠F,∴∠ADC=2∠F. ∵∠ADC=2∠MCF,∴∠MCF=∠F, ∴MF=MC=ME,∠EMC=2∠F=∠MDC. ∵ME⊥AC,AM=AE, ∴∠MGC=90°,ME=2MG, ∴MC=2MG,∴∠GCM=30°,∠GMC=60°, ∴∠ADC=60°,∴∠MCD=30°,∴∠DMC=90°, ∴△DMC为直角三角形. ∵DF=2,∴DM=2,CD=4. ∴CM==2. ∴ME=2. 矩形的性质与判定 6.下列说法正确的是 (　D　) A.矩形的对角线互相垂直且平分 B.矩形的邻边一定相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.有三个角为直角的四边形为矩形 7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交BC于点E.若△ABE的周长为12,AB=4,则AE的长为 (　B　) A. B.5 C.6 D. (第7题) (第8题) 8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点M在BC边上,连接AM,将△ABM沿AM翻折,得到△AB'M,MB'交AD于点N.若点N为AD的中点,则BM的长度为　2+　. 9.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接AE,CE. (1)求证:四边形OCED为矩形. (2)DB=6,AC=8,求AE的长. (第9题) (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,OC=AC. ∴∠DOC=90°. ∵DE∥AC,DE=AC,∴DE=OC,DE∥OC. ∴四边形OCED是平行四边形. 又∵∠DOC=90°,∴四边形OCED是矩形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴DO=OB=BD=3. 由(1),得四边形OCED为矩形, ∴CE=OD=3,∠OCE=90°. 在Rt△ACE中,由勾股定理,得 AE===. 10.如图,点E在矩形ABCD的边CD上,连接AE,BE,过点A作AF⊥BE于点F,且CE=BF. (1)求证:BC=AF; (2)若∠AEB=2∠CEB,求∠EAF的度数. (第10题) (1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠C=90°,CD∥AB, ∴∠CEB=∠FBA. ∵AF⊥BE, ∴∠AFB=90°=∠C. 在△BCE和△AFB中, ∵∠C=∠AFB,CE=FB,∠CEB=∠FBA, ∴△BCE≌△AFB(ASA),∴BC=AF. (2)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠D=90°,AD=BC. ∵BC=AF,∴AD=AF. ∵AF⊥BE,∴∠AFE=90°=∠D. ∵AE=AE,∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL), ∴∠AED=∠AEF. ∵∠AEB=2∠CEB,∴∠AED=∠AEB=2∠CEB. ∵∠AED+∠AEB+∠CEB=180°, ∴5∠CEB=180°,∴∠CEB=36°,∴∠AEB=72°. ∴∠EAF=90°-72°=18°. 正方形的性质与判定 11.下列说法中正确的是 (　D　) A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.有一组邻边相等的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是矩形 12.如图,E,F,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD上的点,连接DF,DG,HE,且HE=DF,DG平分∠ADF交AB于点G.若∠BEH=52°,则∠AGD的度数为 (　D　) A.26° B.38° C.52° D.64° (第12题) (第13题) 13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE,DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线,AE与OD交于点G,与DF交于点E,连接OE.若OE=,则AG的长为 (　B　) A. B.2 C.3 D. 14.如图,E是正方形ABCD的边CD右侧一点,CE=CD,CF平分∠DCE交BE于点F.下列结论: (第14题) ①∠BED=45°; ②∠BEC=30°; ③BF=CF+EF; ④连接BD,若BE=8,则四边形BCED的面积为32. 以上结论正确的有　①③　.(填序号) 15.如图1,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,BE. (1)求证:BE=DE; (2)如图2,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. ①求证:矩形DEFG是正方形; ②若正方形ABCD的边长为9,CG=3,求正方形DEFG的边长. (第15题) (1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠BAE=∠DAE=45°,AB=AD. 又∵AE=AE,∴△ABE≌△ADE(SAS). ∴BE=DE. (答案图) (2)①证明:如答案图,作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,得矩形EMCN, ∴∠MEN=90°. ∵E是正方形ABCD对角线上的点, ∴EM=EN. ∵∠DEF=90°,∴∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. ∵∠DNE=∠FME=90°, ∴△DEN≌△FEM(ASA).∴EF=DE. ∵四边形DEFG是矩形, ∴矩形DEFG是正方形. ②解:如答案图,连接EG, ∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形, ∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°. ∴∠CDG=∠ADE. ∴△ADE≌△CDG(SAS). ∴AE=CG, ∠DAE=∠DCG=45°. ∵∠ACD=45°, ∴∠ACG=90°.∴CE⊥CG. ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=9. ∵CG=3,∴CE=6. ∴EG===3. ∴DE=EG=3. ∴正方形DEFG的边长为3. 学科网（北京）股份有限公司 $