学易金卷：七年级数学下学期期中模拟卷（新教材北京版，范围：七年级下册第4～6章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级下册第4~6章。 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（　　） A．a+1＜b+1 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣2a﹣1＞﹣2b﹣1 D． 2．计算：5x2y2•（﹣2xy3）＝（　　） A．10x2y6 B．﹣10x2y6 C．10x3y5 D．﹣10x3y5 3．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（　　） A．7.5×10﹣6 B．0.75×10﹣5 C．7.5×10﹣5 D．75×10﹣7 4．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … 2x﹣5 … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 … ﹣x+1 … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 … A． B． C． D． 5．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 6．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣3x3y2，﹣35x2y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 7. 若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当m＝4时，方程组的解也是x﹣y＝﹣3m+14的解；②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若3x﹣5y＝6，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．“x的3倍与2的差不小于9”列出的不等式是 　 　 ． 10．已知是关于x、y的二元一次方程3mx+y＝5的一个解，则m＝　 　 ． 11．不等式组的最小整数解为　 　 ． 12. 如果多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项，则k的值为 . 13. 已知a+b＝﹣3，则2a2+4ab+2b2＝　 　 ． 14. 如果关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 ． 15. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 　 ． 16. 某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放 　 　 个收银台． 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分） 17．下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　 　 ，第　 　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 18．解方程组：． 19．先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+4（xy﹣x2），其中x＝1，y＝3． 20. 计算： （1）a3•a2﹣（2a4）2÷a3； （2）[（x﹣2y）2+y（x﹣y）﹣3y2]÷x． 21. 已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，求a的取值范围． 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分） 22．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23．根据实数乘法（除法）法则可知： ①若ab＞0（或0），则或； ②若ab＜0（或0），则或； 根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集的过程如下： 解：原不等式可化为①或②． 解①得：x＞2； 解②得：x＜﹣3； ∴原不等式的解集为x＜﹣3或x＞2． 请你运用所学知识，结合上述内容解答下面的问题： （1）不等式（x+1）（x﹣3）＜0的解集为 　 　 ． （2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）． 24．很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为a2.用来表示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为ab．用来表示边长为b的正方形，其面积为b2.（a大于b） （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．阴影部分面积解释了学过的公式： 　 ； （2）请用几何模型解释：（a+3b）2＝ 　 （在空白图中将几何模型画出来）； （3）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解释等式：　 ； （4）若a﹣b＝5，ab＝3，则（a+b）2＝　 　 ． 25．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么C到B的距离为 　 　 ，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x取何值时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是 　 ； ②利用数轴解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并加以说明． 26．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝ 　 ，DF＝ 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 27. 【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版七年级下册第4~6章。 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（　　） A．a+1＜b+1 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣2a﹣1＞﹣2b﹣1 D． 2．计算：5x2y2•（﹣2xy3）＝（　　） A．10x2y6 B．﹣10x2y6 C．10x3y5 D．﹣10x3y5 3．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（　　） A．7.5×10﹣6 B．0.75×10﹣5 C．7.5×10﹣5 D．75×10﹣7 4．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … 2x﹣5 … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 … ﹣x+1 … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 … A． B． C． D． 5．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 6．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣3x3y2，﹣35x2y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 7. 若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当m＝4时，方程组的解也是x﹣y＝﹣3m+14的解；②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若3x﹣5y＝6，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．“x的3倍与2的差不小于9”列出的不等式是 　 　 ． 10．已知是关于x、y的二元一次方程3mx+y＝5的一个解，则m＝　 　 ． 11．不等式组的最小整数解为　 　 ． 12. 如果多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项，则k的值为 . 13. 已知a+b＝﹣3，则2a2+4ab+2b2＝　 　 ． 14. 如果关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 ． 15. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 　 ． 16. 某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放 　 　 个收银台． 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分） 17．下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　 　 ，第　 　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 18．解方程组：． 19．先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+4（xy﹣x2），其中x＝1，y＝3． 20. 计算： （1）a3•a2﹣（2a4）2÷a3； （2）[（x﹣2y）2+y（x﹣y）﹣3y2]÷x． 21. 已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，求a的取值范围． 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分） 22．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23．根据实数乘法（除法）法则可知： ①若ab＞0（或0），则或； ②若ab＜0（或0），则或； 根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集的过程如下： 解：原不等式可化为①或②． 解①得：x＞2； 解②得：x＜﹣3； ∴原不等式的解集为x＜﹣3或x＞2． 请你运用所学知识，结合上述内容解答下面的问题： （1）不等式（x+1）（x﹣3）＜0的解集为 　 　 ． （2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）． 24．很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为a2.用来表示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为ab．用来表示边长为b的正方形，其面积为b2.（a大于b） （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．阴影部分面积解释了学过的公式： 　 ； （2）请用几何模型解释：（a+3b）2＝ 　 （在空白图中将几何模型画出来）； （3）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解释等式：　 ； （4）若a﹣b＝5，ab＝3，则（a+b）2＝　 　 ． 25．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么C到B的距离为 　 　 ，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x取何值时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是 　 ； ②利用数轴解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并加以说明． 26．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝ 　 ，DF＝ 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 27. 【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B D D B A 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9．3x﹣2≥9 10．1 11．2 12. -1 13. 18 14. m≥4 15. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 16. 6 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分） 17. （5分） 【解析】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0的数，不等号的方向不变；第三步再移项时4x与3的符号没改变．（2分） 故答案为：不等式的性质2；三； （2）， 去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6， 去括号，得3+3x＜2+4x+6， 移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3，（3分） 合并同类项，得﹣x＜5，（4分） 系数化为1，得x＞﹣5．（5分） 18. （5分） 【解析】解：， ②+①×2得：15x＝60， 解得：x＝4，（2分） 把x＝4代入①得：12﹣2y＝10， 解得：y＝1，（4分） ∴原方程组的解是．（5分） 19. （5分） 【解析】解：（2x﹣y）（2x+y）+4（xy﹣x2） ＝4x2﹣y2+4xy﹣4x2 （2分） ＝﹣y2+4xy，（3分） 当x＝1，y＝3时，原式＝﹣32+4×1×3＝﹣9+12＝3．（5分） 20. （8分） 【解析】解：（1）a3•a2﹣（2a4）2÷a3 ＝a5﹣4a8÷a3 （2分） ＝a5﹣4a5 （3分） ＝﹣3a5； （4分） （2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+xy﹣y2﹣3y2）÷x ＝（x2﹣3xy）÷x （2分） ＝x﹣3y．（4分） 21. （5分） 【解析】解：， 解得：，（2分） ∵x+y＞0， ∴2a﹣1+a+3＞0，（4分） 解得：a．（5分） 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分） 22．（8分） 【解析】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意，得：，（1分） 解得：．（2分） 答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台， 依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400，（4分） 解得：a≤18．（5分） 答：A种型号的电风扇最多能采购18台． （3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060， 解得：a≥16． ∵a≤18， ∴16≤a≤18．（7分） ∵a为整数， ∴a＝16，17，18． ∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台．（8分） 23．（5分） 【解析】解：（1）原不等式可化为①x+1＜0，x﹣3＞0； 或②x+1＞0，x﹣3＜0， 解①得：无解； 解②得：﹣1＜x＜3， ∴原不等式的解集为﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3；（2分） （2）原不等式可化为①x+4＞0，1﹣x＜0；（3分） 或②x+4＜0，1﹣x＞0，（4分） 解①得：x＞1， 解②得：x＜﹣4， ∴原不等式的解集为x＜﹣4或x＞1．（5分） 24．（6分） 【解析】解：（1）∵图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∴阴影部分面积解释了学过的公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（1分） （2）画出边长为（a+3b）的正方形，如图， （2分） 可得：边长为（a+3b）的正方形由1个边长为a的正方形，6个长和宽分别为a和b的长方形，9个边长为b的正方形组成， 则（a+3b）2＝a2+6ab+9b2． 故答案为：a2+6ab+9b2；（3分） （3）∵图3的面积为：4ab，图4中空白部分的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2， ∴可解释等式：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（4分） （4）由（3）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，（5分） ∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+b）2＝52+4×3＝25+12＝37．（6分） 故答案为：37． 25．（7分） 【解析】解：（1）BC＝|﹣2﹣1|＝3，AB+AC＝|﹣2﹣x|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|， ∴C到B的距离为3，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|， 故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|．（2分） （2）|x﹣3|+|x﹣2|的几何意义是数轴上x对应的点分别到2和3对应点的距离之和， ∴当2≤x≤3时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是1．（4分） （3）①根据绝对值的几何意义可知，不等式|x|≥4的解集是x≤﹣4或x≥4． 故答案为：x≤﹣4或x≥4．（5分） ②根据绝对值的几何意义，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集在数轴上表示如图，解集为x＜﹣1或x＞3． 理由如下：∵|x+1|+|x﹣3|＞4的几何意义是数轴上x对应的点分别到﹣1和3对应的点的距离之和大于4，而且﹣1与3对应两点之间的距离为4， ∴|x+1|+|x﹣3|＞4的解集为x＜﹣1或x＞3．（7分） 26．（7分） 【解析】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2分） （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3；（3分） ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．（4分） 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，（5分） ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14，（6分） ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28．（7分） 27. （7分） 【解析】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解， ∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解， ∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解， ∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”； 故答案为：①③；（2分） （2）解不等式3x+a≤4得， 解不等式2﹣3x＜0得， 解不等式得x≥﹣2，（3分） 根据“相斥不等式”的定义得，（4分） 解得：a＞10；（5分） （3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”， ∴k＜0，（6分） 解不等式kx+3＞0得， ∴4， 解得：k．（7分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 14. _______________ 11. _________________ 15.________________ 12. __________________ 16. ________________ 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（5分） 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分）. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22. （8分） 23. （5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6分） 25．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（7分） 27．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 日 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][W1[/1 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.A1[BJ[C1[D1 5.[A][B][C][D] 2.A1[B][C][DJ 6.[AJ[B1[C1[D] 3.[A][B][C][D] 7.[A1[B1[C1[DJ 4.[A1IB1[C][D] 8.[AJ【BJ[CI[D1 二、填空题（本题共16分，每小题2分）。 9 10. 11 13 14 15. 16 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分)解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(5分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分).解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.（8分) 23.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(6分) 6 a a b b b 6 b a 图1 图2 图3 图4 25.(7分) 4-3-202含4 4-2-10124 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（7分) N R A G 3 27.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟卷 全解全析 一、选择题（本题共16分，每小题2分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（　　） A．a+1＜b+1 B．3﹣a＜3﹣b C．﹣2a﹣1＞﹣2b﹣1 D． 【答案】B． 【解析】解：A、在a＜b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即a+1＜b+1，此项正确； B、在a＜b的两边同时乘以﹣1再加3，不等号的方向改变，即3﹣a＞3﹣b，原变形错误； C、在a＜b的两边同时乘以﹣2再减1，不等号的方向改变变，即﹣2a﹣1＞﹣2b﹣1，此项正确； D、在a＜b的两边同时除以2，不等号的方向不变，即，此项正确； 故选：B． 2．计算：5x2y2•（﹣2xy3）＝（　　） A．10x2y6 B．﹣10x2y6 C．10x3y5 D．﹣10x3y5 【答案】D． 【解析】解：5x2y2•（﹣2xy3）＝﹣10x3y5． 故选：D． 3．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（　　） A．7.5×10﹣6 B．0.75×10﹣5 C．7.5×10﹣5 D．75×10﹣7 【答案】A． 【解答】解：0.0000075＝7.5×10﹣6， 故选：A． 4．小明用表格求代数式2x﹣5和代数式﹣x+1的值，观察表格里面的数据．其中既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … 2x﹣5 … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 … ﹣x+1 … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 … A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：观察表格中的数据，可得出：当x＝2时，2x﹣5＝﹣1，此时﹣x+1＝﹣1， ∴既是方程y＝2x﹣5的解，也是方程y＝﹣x+1的解的是． 故选：B． 5．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【答案】D． 【分析】解：方程组， ①+②得，10x+10y＝10k， ∴x+y＝k， 又∵x+y＝3， ∴k＝3， 故选：D． 6．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（　　） A．35x2y2，﹣3x2y2 B．﹣35x3y2，3x2y2 C．﹣3x3y2，﹣35x2y2 D．35x3y2，﹣3x2y2 【答案】D． 【解析】解：根据多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项如下： 被除式第一项为21x4y3，除式为﹣7x2y， ∴商的第一项为21x4y3÷（﹣7x2y）＝[21÷（﹣7）]x4﹣2y3﹣1＝﹣3x2y2， 设被除式中被污染的项为A， ∵商的中间项为5xy，且（﹣A）÷（﹣7x2y）＝5xy， ∴﹣A＝5xy×（﹣7x2y）＝﹣35x3y2， ∴A＝35x3y2， 综上，被污染的内容为35x3y2和﹣3x2y2，对应选项D； 故选：D． 7. 若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为y人，宿舍间数为x间，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：设学生人数为y人，宿舍间数为x间， 根据题意可得，学生的总人数为y＝4x+19， 如果每间住6人，那么还有一间不空不满， 则， 整理得， 故选：B． 8．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当m＝4时，方程组的解也是x﹣y＝﹣3m+14的解；②无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若3x﹣5y＝6，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A． 【解析】解：， ①×2，得4x﹣2y＝6m﹣4③， ②+③，得5x＝7m， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当m＝4时，，， ∴，﹣3m+14＝﹣3×4+14＝2， ∴x﹣y≠﹣3m+14，故①错误； ③若x＝﹣y，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴m＝0，5，10， 当m＝0时，x＝0，y＝2﹣0＝2， 当m＝5时，，， 当m＝10时，，y， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵3x﹣5y＝6， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 故选：A． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．“x的3倍与2的差不小于9”列出的不等式是 　 　 ． 【答案】3x﹣2≥9． 【解析】解：x的3倍与2的差不小于9，列出的不等式是 故答案为：3x﹣2≥9． 10．已知是关于x、y的二元一次方程3mx+y＝5的一个解，则m＝　 　 ． 【答案】1． 【解析】解：将 代入方程3mx+y＝5，得：3m＝3， 解得m＝1， 故答案为：1． 11．不等式组的最小整数解为　 　 ． 【分析】2． 【解析】解：解不等式得，x≥2， 解不等式﹣2x+5＞﹣3得，x＜4， 所以不等式组的解集为2≤x＜4， 所以不等式组的最小整数解为2， 故答案为：2． 12. 如果多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项，则k的值为 . 【答案】k＝﹣1． 【解析】解：x2﹣kxy+2y2+5x2﹣xy ＝6x2﹣（k+1）xy+2y2， ∵多项式x2﹣kxy+2y2与5x2﹣xy的和不含xy项， ∴k+1＝0， 解得：k＝﹣1． 13. 已知a+b＝﹣3，则2a2+4ab+2b2＝　 　 ． 【答案】18． 【解析】解：∵a+b＝﹣3， ∴2a2+4ab+2b2 ＝2（a2+2ab+b2） ＝2（a+b）2 ＝2×（﹣3）2 ＝2×9 ＝18， 故答案为：18． 14. 如果关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 　 ． 【答案】m≥4． 【解析】解：， 解①得：x≤4， ∵不等式组无解， ∴m≥4． 故答案为：m≥4． 15. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是 　 ． 【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解析】解：从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 将剩余部分可以拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 16. 某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放 　 　 个收银台． 【答案】6． 【解析】解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账， 依题意得：， 解得：． 设同时开放m个收银台， 则6my＞6x+n， 解得：m， 又∵m为整数， ∴m的最小值为6． 故答案为：6． 三、计算题（本题共28分，第17~19题每题5分，第20题8分，第21题5分） 17．下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6．第一步 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　 　 ，第　 　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 【解析】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0的数，不等号的方向不变；第三步再移项时4x与3的符号没改变． 故答案为：不等式的性质2；三； （2）， 去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6， 去括号，得3+3x＜2+4x+6， 移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3， 合并同类项，得﹣x＜5， 系数化为1，得x＞﹣5． 18．解方程组：． 【解析】解：， ②+①×2得：15x＝60， 解得：x＝4， 把x＝4代入①得：12﹣2y＝10， 解得：y＝1， ∴原方程组的解是． 19．先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+4（xy﹣x2），其中x＝1，y＝3． 【解析】解：（2x﹣y）（2x+y）+4（xy﹣x2） ＝4x2﹣y2+4xy﹣4x2 ＝﹣y2+4xy， 当x＝1，y＝3时，原式＝﹣32+4×1×3＝﹣9+12＝3． 20. 计算： （1）a3•a2﹣（2a4）2÷a3； （2）[（x﹣2y）2+y（x﹣y）﹣3y2]÷x． 【解析】解：（1）a3•a2﹣（2a4）2÷a3 ＝a5﹣4a8÷a3 ＝a5﹣4a5 ＝﹣3a5； （2）原式＝（x2﹣4xy+4y2+xy﹣y2﹣3y2）÷x ＝（x2﹣3xy）÷x ＝x﹣3y． 21. 已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，求a的取值范围． 【解析】解：， 解得：， ∵x+y＞0， ∴2a﹣1+a+3＞0， 解得：a． 四、解答题（本题共40分，第22题8分，第23题5分，第24题6分，第25~27题每题7分） 22．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【解析】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台， 依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400， 解得：a≤18． 答：A种型号的电风扇最多能采购18台． （3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060， 解得：a≥16． ∵a≤18， ∴16≤a≤18． ∵a为整数， ∴a＝16，17，18． ∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台． 23．根据实数乘法（除法）法则可知： ①若ab＞0（或0），则或； ②若ab＜0（或0），则或； 根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集的过程如下： 解：原不等式可化为①或②． 解①得：x＞2； 解②得：x＜﹣3； ∴原不等式的解集为x＜﹣3或x＞2． 请你运用所学知识，结合上述内容解答下面的问题： （1）不等式（x+1）（x﹣3）＜0的解集为 　 　 ． （2）求不等式0的解集（要求写出解答过程）． 【解析】解：（1）原不等式可化为①x+1＜0，x﹣3＞0； 或②x+1＞0，x﹣3＜0， 解①得：无解； 解②得：﹣1＜x＜3， ∴原不等式的解集为﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （2）原不等式可化为①x+4＞0，1﹣x＜0； 或②x+4＜0，1﹣x＞0， 解①得：x＞1， 解②得：x＜﹣4， ∴原不等式的解集为x＜﹣4或x＞1． 24．很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为a2.用来表示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为ab．用来表示边长为b的正方形，其面积为b2.（a大于b） （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．阴影部分面积解释了学过的公式： 　 ； （2）请用几何模型解释：（a+3b）2＝ 　 （在空白图中将几何模型画出来）； （3）图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解释等式：　 ； （4）若a﹣b＝5，ab＝3，则（a+b）2＝　 　 ． 【解析】解：（1）∵图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∴阴影部分面积解释了学过的公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）画出边长为（a+3b）的正方形，如图， 可得：边长为（a+3b）的正方形由1个边长为a的正方形，6个长和宽分别为a和b的长方形，9个边长为b的正方形组成， 则（a+3b）2＝a2+6ab+9b2． 故答案为：a2+6ab+9b2； （3）∵图3的面积为：4ab，图4中空白部分的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2， ∴可解释等式：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （4）由（3）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∵a﹣b＝5，ab＝3， ∴（a+b）2＝52+4×3＝25+12＝37． 故答案为：37． 25．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么C到B的距离为 　 　 ，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 　 　 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x取何值时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是 　 ； ②利用数轴解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并加以说明． 【解析】解：（1）BC＝|﹣2﹣1|＝3，AB+AC＝|﹣2﹣x|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|， ∴C到B的距离为3，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|， 故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|． （2）|x﹣3|+|x﹣2|的几何意义是数轴上x对应的点分别到2和3对应点的距离之和， ∴当2≤x≤3时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是1． （3）①根据绝对值的几何意义可知，不等式|x|≥4的解集是x≤﹣4或x≥4． 故答案为：x≤﹣4或x≥4． ②根据绝对值的几何意义，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集在数轴上表示如图，解集为x＜﹣1或x＞3． 理由如下：∵|x+1|+|x﹣3|＞4的几何意义是数轴上x对应的点分别到﹣1和3对应的点的距离之和大于4，而且﹣1与3对应两点之间的距离为4， ∴|x+1|+|x﹣3|＞4的解集为x＜﹣1或x＞3． 26．阅读下列材料 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形． ①MF＝ 　 ，DF＝ 　 ；（用含x的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【解析】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3， ∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5； （2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， 故答案为：x﹣1；x﹣3； ②（x﹣1）（x﹣3）＝48， 阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196， ∴a+b＝±14， 又∵a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 27. 【定义】 若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式x＞1的解都不是不等式x≤﹣1的解，则x＞1是x≤﹣1的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在不等式①x＞2，②x＜﹣2，③x≥﹣3这三个一元一次不等式中，是x＜﹣3的“相斥不等式”的有 　 　 （填序号）； （2）若关于x的不等式3x+a≤4是2﹣3x＜0的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若x≥4是关于x的不等式kx+3＞0（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【解析】解：（1）∵x＞2的解都不是x＜﹣3的解， ∴x＞2是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x＜﹣2的解有可能是x＜﹣3的解， ∴x＜﹣2不是x＜﹣3的“相斥不等式”； ∵x≥﹣3的解都不是x＜﹣3的解， ∴x≥﹣3是x＜﹣3的“相斥不等式”； 故答案为：①③； （2）解不等式3x+a≤4得， 解不等式2﹣3x＜0得， 解不等式得x≥﹣2， 根据“相斥不等式”的定义得， 解得：a＞10； （3）∵x≥4是关于x的不等式kx+3＞0的“相斥不等式”， ∴k＜0， 解不等式kx+3＞0得， ∴4，解得：k． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $