2026年中考数学二次函数实际应用专题2（销售类问题）

2026年中考数学二次函数实际应用专题2（销售类问题） 一、解答题 1．某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． (1)若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） (2)若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 2．某连锁超市销售一种进价为元/千克的水果，销售时该水果销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调研发现，日销量（千克）与售价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)根据上述信息，直接写出与之间的函数关系式（不需要写出x的范围）； (2)超市要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 3．材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元． 材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完． 材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）． (1)求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？ (2)求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值 4．根据以下信息．按要求完成下列任务． 科技公司新品定价博弈：智能手环的利润密码 项目背景 2025年，星辰科技公司推出了一款革命性健康监测设备——“脉动手环”．这款手环能实时追踪心率、血氧和睡眠质量，定价策略成为市场突围的关键． 项目要求 运用一元二次方程、二次函数等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 公司选择在旗舰店进行为期两周的试销测试，初始售价定为70元／件，进价为50元／件，试销首日数据显示，日销量稳定在200件． 素材2 但市场部发现一个有趣现象，每降价1元，日销量就会激增20件． 素材3 为维护品牌价值，并且避免渠道冲突，公司要求售价不得低于67元且不得高于70元． 张先生召集数据分析团队，提出三个核心任务 任务一 构建利润函数 请你建立日利润y（元）与售价（元／件）的函数关系 任务二 达成盈利目标 公司要求单日利润突破4500元以覆盖研发成本．请问是否能实现这一目标？ 任务三 合规区间内的最优解 在合规区间内，如何定价使日利润最大化？ 5．红灯笼象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某超市在春节前以35元/对的进价购进一批红灯笼，经市场调查发现，红灯笼每对的售价为50元时，每天可售出98对，售价每上涨1元，则每天少售出2对．已知物价部门规定其售价不得高于每对65元，若设每对红灯笼的售价上涨x元，该超市一天售卖红灯笼获得的利润为y元． (1)当每对红灯笼的售价上涨x元（x为正整数）时，平均每天可售出_______对； (2)①求y与x之间的函数解析式； ②当每对红灯笼的售价为多少元时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 6．随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 7．唐代诗人孟郊在《游子吟》中写到：“慈母手中线，游子身上衣．临行密密缝，意恐迟迟归．谁言寸草心，报得三春晖．”母亲，是我们永远道不完的思念，写不尽的依恋．在“母亲节”前夕，某花店购进一批康乃馨鲜花，每束康乃馨鲜花的进价为20元，每天的销售量（单位：束）与销售单价（单位：元）之间的函数关系式如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当每束康乃馨鲜花的销售单价定为多少元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 8．为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱． (1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______； (2)求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式； (3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？ 9．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 10．某店铺销售一批文创产品毛绒玩具，每件毛绒玩具进价元，规定销售单价不低于元，且单件利润不高于，经市场调查发现，该毛绒玩具每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件售价/元 … 70 … 周销售量/件 … 300 … (1)求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)将毛绒玩具销售单价定为多少元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)当毛绒玩具销售单价是多少元时，商店每周销售毛绒玩具获利元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二次函数实际应用专题2（销售类问题）》参考答案 1．(1) (2)为了扩大销量，应上涨元 (3)当该种剪纸的销售单价上涨元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先得出销售单价上涨元后的销售量，再求出投入元的广告费后的销售量即可； （2）把代入（1）中表达式，根据总销售利润达到元列一元二次方程，解方程求出的值，根据销售单价不高于元得出符合条件的的值即可； （3）把代入（1）中表达式得销售量为幅，根据利润每件利润销售量即可得出与之间的函数表达式，根据二次函数的性质，结合求出的最大值即可． 【详解】（1）解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元， ∴每天销售量为， ∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅， ∴实际销售量为幅． （2）解：当时，，销售量为幅， ∵每天的总销售利润达到元， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵销售单价不高于元，即， 解得：， ∴不符合题意，舍去． 答：为了扩大销量，应上涨元． （3）解：不投入广告费时，则，销售量为幅， ∴ ． ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵销售单价不高于元，即， ∴当时，取最大值，最大值为（元）． ∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 2．(1) (2)售价应定为元． (3)销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】（1）根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为，从已知条件可以列出关于，的二元一次方程组，进而求出，； （2）设售价应定为元，根据题意可得，解方程舍去不符合题意的解即可； （3）设最大利润为元．根据题意可得，整理后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的一次函数，设函数解析式为． 因为函数图象经过点，，可得 解得 所以与之间的函数关系式为． （2）解：设售价应定为元．根据题意，可得 ． 解得（舍去），． 所以，售价应定为元． （3）解：设最大利润为元．根据题意，可得 ． 变形，得． 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，可以取得最大值，最大值为． 所以销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 3．(1)A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； (2)；当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）根据题意列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚， 由题意得， 解得， 答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚； （2）解： ， ， 抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大， ， 当时，w有最大值，最大值为（元）． 答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元． 4．任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程和函数模型求解． 任务一：利用日利润每件利润日销售量建立函数关系式即可； 任务二：由题意得，再解不等式即可； 任务三：根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：由题意：， 整理，得：； 任务二：不能，理由如下： 由题意得，当， 整理得，， ∵， ∴， ∴该不等式无解，即不存在任何实数，使得利润大于元， 答：每日盈利达不到4500元，故不能实现这一目标；    任务三： ∵ ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值为：； 答：当售价为67元/件时，日利润最大，最大利润为4420元． 5．(1) (2)①（，x为正整数）；②当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用及二次函数的最值问题． （1）原售价50元时，每天售出98对，每上涨1元，少售出2对，当上涨x元时，少售的对数为，从而利用原销售量−少售的对数，即可得出结果； （2）①利用利润公式：总利润=每队利润×销售量，得到利润表达式，展开并整理成二次函数形式，由于售价不超过65元，即，又x为上涨金额，从而得出x的取值范围； ②根据二次函数的性质，求出的二次函数开口向下，顶点为最高点，从而求出顶点的横坐标，由于，超出取值范围，需在取值范围内找最大值，故x取15，从而代入解析式求得其最大值． 【详解】（1）解：∵售价50元时每天售出98对，每上涨1元少卖2对， ∴上涨x元时，少售出对， ∴每天销售量为对， 故答案为：． （2）解：①∵进价为35元/对， 当售价上涨x元时，则每对的售价为元， ∴每对的利润为（元）， ∴， ∵售价不得高于每对65元，即，解得， 又∵， ∴，x为正整数， 即y与x之间的函数解析式为（，x为正整数）； ②在二次函数中，， ∴二次函数开口向下， ∴顶点横坐标为：， ∵， ∴x的最大值为15， ∴售价为：（元）， 当时，， 即当售价为65元时，一天获得的利润最大，最大利润为2040元． 6．(1)车道的宽度的值为 (2)每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用与二次函数的最值问题，关键是建立正确的面积模型和租金收入函数． （1）根据图形结构，将阴影车位拼接为一个新矩形，用含的式子表示其长和宽，结合面积列出方程求解； （2）设租金上涨元，用含的式子表示日租金和租出车位数量，建立日租金收入的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． （2）解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 7．(1) (2)当每束康乃馨鲜花的单价定为元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设与之间的函数表达式为，代入，进行计算，即可作答． （2）结合每束康乃馨鲜花的进价为20元，故得出，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设与之间的函数表达式为， 观察函数图象，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 设每天获得的利润为， ∵某花店购进一批康乃馨鲜花，每束康乃馨鲜花的进价为20元， ∴， ∵， ∴开口向下，且在对称轴为直线时，有最大值， ∴把代入， 得， 当每束康乃馨鲜花的单价定为元时，花店每天获得的利润最大，最大利润是元． 8．(1) (2) (3)每箱售价应为70元时，获利最多． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设降价的百分率为x，由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后化简即可； （3）由题意易得，然后由（2）及二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：设降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（舍去）； 故答案为：； （2）解：由题意得： ； （3）解：设周销量为y箱，则，解得， 因为，所以， 解得， 又因为售价不高于75元，所以， 对于二次函数， 其中，对称轴为， 因为对称轴在的左侧， 所以在上随x的增大而减小， 所以当时，W有最大值，， 答：每箱售价应为70元时，获利最多． 9．(1) (2)销售单价应为18元 (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 10．(1) (2)元，元 (3)元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，根据已知条件求出函数解析式，再结合函数性质求解． （）利用待定系数法求解可得； （）根据所获得总利润(售价进价)销售量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．因为，所以二次函数图象开口向 下，在对称轴处取得最大值， 又因，所以当时，有最大值，最大值为元； （）根据（）即可解答． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式， 将代入，可得方程组： ∴与之间的函数解析式． 已知每件毛绒玩具进价是元，且单件利润不高于，则售价满足， 又规定销售单价不低于元所以自变量的取值范围是， ∴与之间的函数解析式． （2）根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴将毛绒玩具销售单价定为元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大，最大利润是元． （3）令， 解得(不合题意，舍去)． ∴当毛绒玩具销售单价是元时，每周销售毛绒玩具获利元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $