2026年中考数学二次函数实际应用专题1（生活实际类问题）

2026年中考数学二次函数实际应用专题1（生活实际类） 类型一：拱桥问题 1．【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 2．一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞、、以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是、、、，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞、关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点、分别在、上，点、分别在、上，点、到的距离均为12米．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 3．为优化城市形象，提高生活品质，某景观步行大道两边种植了大量不同品种的月季供市民观赏．景观步行大道的起点是一座近似抛物线的花篮拱门，其横截面如图所示．已知花篮拱门的最高点距离地面的高度为米，拱门地面宽度为米．现以的中点为原点，拱门对称轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)为营造梦幻氛围，管理部门计划在拱门内临时搭建一个矩形支架，用来架设花灯装饰，方便市民夜间观赏．已知支架三边所用材料为米（边位于地面，无需支架），求支架左侧落地点到拱门端点的距离． 4．某主拱桥截面示意图如图所示，其截面可视为抛物线型，若该主拱桥的跨度为，其最高点（顶点）到桥面的距离为．以（与重合）为原点，桥面为轴，垂直于桥面且经过点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在主拱与桥面之间共设置15根等距的吊杆（垂直于桥面），如图所示，求从左到右第4根吊杆的长度． 5．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 6．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥（在的中垂线上），其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以所在直线为轴，的中点为原点，所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型的钢材支架，其中点、在拱桥上，点、在上，点在上，，，． (1)求拱桥所在抛物线的函数表达式； (2)若，支架“”所需钢材的总长为，用含的式子表示，并求出的最大值．（焊接处的损耗忽略不计） 7．某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 8．综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 9．如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 10．【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为． 【建立模型】 （1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式； 【初步应用】 （2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度； 【拓展应用】 （3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围． 类型二：投球问题 11．宇树人形机器人在2026马年春晚《武》中，完成全球首次全自主集群武术表演，翻桌、空翻、人机对打，以硬核功夫燃爆舞台．在一次活动中，宇树人形机器人为大家展示了投球表演，身高为的人形机器人站在指定点点处向上跳起，同时将球举在头顶上方处投球，球在空中运行的路线可以用一个二次函数来描述，并且，球在运行过程中到达最高点时，距离地面，与点的水平距离为．图中，，按如图所示的方式建立直角坐标系，那么 (1)求出表示球在空中运动路线的二次函数关系式以及点的坐标； (2)如果在距离点的地面上有一个高为的立杆，立杆顶部有一个按钮，那么机器人这次投球是否会击中这个按钮，如果不会，在其他条件都不变的情况下，机器人应该沿轴所在直线从点后退多少米就可以击中按钮？请你直接写出答案． 12．综合与实践 问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带．如图1，弟弟将弹力球抛出，球在空中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条抛物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内（未再弹起）． 素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并查阅资料以及技术还原得到如下素材（图中各点均在同一竖直平面内）： 素材①：弹力球出手点A距地面，第一次落地点为点B； 素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点A的水平距离为，距离地面； 素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同，但最高点明显降低．研究表明，普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在左右； 素材④：矩形表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度，宽度，绿化带边缘与出手点A的水平距离为． 建立模型：如图2，以地面上的某点O为原点，沿地面水平方向为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．设弹力球第一次运动轨迹为抛物线，第二次弹起后运动轨迹为抛物线，且与形状相同（即二次项系数相等）． 问题解决：根据上述素材，解答下列问题： (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部CF的中点M处，求该弹力球的恢复系数； (3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内（即线段上），弟弟应至少沿方向左移多少米？直接写出结论即可． 13．综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 14．小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 15．综合与实践 问题情境：已知羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图1所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）满足，某次发球时，数学实践小组测得的对应值如表： 水平距离 0 1 2 3 … 竖直高度 1 … 数学思考： (1)求y与x的函数解析式，并求出羽毛球本次飞行的最大高度． 问题解决： (2)求出表格中k的值，并判断当羽毛球场的球网高度为，发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网?说明理由． (3)若球员甲发球过网后，球员乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球（如图2），此时如果球员乙选择扣球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足一次函数；如果球员乙选择吊球，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足二次函数，上面两种击球方式均能使球过网．要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适． 16．在第十五届全国运动会乒乓球男单半决赛中，樊振东与王楚钦上演了世界级巅峰对决．已知乒乓球比赛用球桌长为米，王楚钦抽拉击球点位于桌面左上方，过作，垂足为，米，以为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，王楚钦抽拉过去的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与王楚钦击球点的水平距离为（米），到球桌面的垂直高度为（米），在球桌上的落点为，经测试，抛物线的表达式为，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)乒乓球桌正中间位置安装的球网的高度为米，问王楚钦抽拉过去的乒乓球能否越过球网？若能，请说明理由，并求点的坐标；若不能，也请说明理由； (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，樊振东球拍与球桌面垂直，球拍击球面的中心线长为米，下沿在轴上，假设抛物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点在点右侧），求出的取值范围． 17．掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 分值（单位：分） 成绩（单位：米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生）如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100． 18．海洋馆的海豚表演是深受孩子们喜欢的项目，如图1是海豚钻圈表演，在进行钻圈时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图2，在某次表演中，以海豚起跳点为原点，以点与海豚落水点所在的直线为轴，垂直于水面的直线为轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）之间满足函数关系式，海豚落入水面的点的坐标为，经测量，海豚这次表演的最高点距离水面． (1)求这次表演时，海豚运动路线的解析式； (2)如图2，饲养员小明将直径为的圈如图放置，轴，点的坐标为，海豚穿过圈时与的交点为，求的值； (3)为增加观赏性，小明准备了一个与圈相同的圈，并把以同样高度放置在圈的右侧，若海豚运动路线不变，设点的横坐标为，当海豚顺利通过时，直接写出的取值范围． 类型三：喷水问题 19．学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究． (1)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）； (2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式； (3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式； (4)已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由． 20．综合与实践问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）点喷出，其距水面的竖直高度（单位：m）与距喷口点的水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表：并解决以下问题： 0 7 14 21 28 0 4.5 6 4.5 0 (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出与的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度（单位：m）与距喷水点的水平距离（单位：m）近似满足关系式：．在距喷口点水平距离处有一个互动装置点，要求水柱能落在距互动装置点 的范围内（含），求的取值范围． 21．综合与实践 【问题情境】如图1，这是某地的一处音乐喷泉，可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化． 【实验数据】如图2，这是音乐喷泉其中的一根水管，喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点与水管的水平距离为10米． 【数学建模】如图2，以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，水管所在的直线为轴建立平面直角坐标系． 【问题解决】 (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为米的景观灯，且景观灯的顶端恰好碰到水流． ①求出水点与景观灯底部之间的距离； ②现计划将出水点A向下平移米，使新水流的落地处恰好在点处，求的值． 22．如图是一座“彩虹门”喷泉景观，喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，出水口高度米，且，，喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线形“彩虹门”的函数表达式； (2)为了避免游客被淋湿，设计团队计划在上安装6个挡雨伞，伞的顶端离地面的距离为3米，且相邻两个挡雨伞的间距相等．若最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度均为米，求相邻两个挡雨伞的间距． 23．根据以下素材，完成探究任务 项目主题 合理设置智慧洒水车喷头 问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化，如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口米； 素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为d米． 问题解决 任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 24．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 25．秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 26．如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点． ①当时，求的长； ②直接写出M点横坐标m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二次函数实际应用专题1（生活实际类）》参考答案 类型一：拱桥问题 1．(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，求出桥洞所在抛物线的顶点坐标为，设抛物线，将代入，即可得到答案； （2）由于点、到的距离均为12米，当时，求出，，得到，根据对称性可知，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，， ，即， 的长为40米，桥洞、关于轴对称， ，即， 桥洞最高点到湖面的距离为5米， 顶点坐标的横坐标为，纵坐标为； 设抛物线， 将代入， ， 桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由于点、到的距离均为12米， 当时，， ， 当时，， ， ， 根据对称性可知，， 故； 3．(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解； （2）根据的横坐标即可求出纵坐标的表达式，再由题意,列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：设的横坐标为，则纵坐标， 为矩形， , ， ， ，（舍）， ， ， ． 4．(1) (2)从左到右第4根吊杆的长度是 【分析】（1）由题意可得，点，顶点坐标是，设抛物线解析式为，再进一步求解即可； （2）先算出从左到右第4根吊杆对应的值，再代入函数值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，点，顶点坐标是， 故可设抛物线的函数表达式为． 将点的坐标代入表达式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵共设置15根吊杆，被分成16等份， ∴每一份的距离为， ∴从左到右第4根吊杆对应的值为， 把代入表达式，得， 故从左到右第4根吊杆的长度是． 5．(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】（1）根据题意可得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为6时x的值，再比较较小的x的值加上4与的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将代入，得，解得 抛物线的表达式为； （2）解：中，当时，， 解得或， ∵， ∴这辆货车能安全通过． 6．(1) (2)，的最大值为 【分析】（1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 7．(1)右边：或左边： (2)米 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． （）①右边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式；②左边：根据钢缆抛物线的顶点为，设其顶点式，再将已知点代入解析式，求解出系数的值，进而确定钢缆抛物线的完整解析式； （）先根据拱桥侧面抛物线的特征设解析式，将已知点代入求出，得到的解析式；再根据列出关于的函数表达式，求出该函数的最小值，即彩带长度的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 8．（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． 9．(1) (2)能 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先设 ，点，再根据得出答案； （2）先求出船航行所用时间，再求出水面上涨的距离，并与比较得出答案． 【详解】（1）解：设 ，点， 代入得 ， ∵， ∴， 解得， ∴ ； （2）解：， ， ∴， ∴ 船能安全通过． 10．（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3） 【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可， （2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可； （3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 把代入，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． 选图3，则，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把，得：， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：选择图2，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． 选择图3，抛物线为． 因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为． 从左到右第3根吊杆对应的x值为． 把代入，得 所以从左到右第3根吊杆的长度是． （3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得：，， 把代入，得：，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得， ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则， 设抛物线的解析式为，则其顶点为， 的顶点在正方形内，，，， 则，． ， ∴当和时，， 把代入，得，， 把代入，得，， 当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大， 当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大． 把，代入，得； 把，代入，得； ∴抛物线二次项系数的取值范围为． 类型二、投球问题 11．(1)， (2)不会，后退1米 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）设机器人往后退米，得到新的解析式，待定系数法求出函数解析式，即可． 【详解】（1）解：由题意，，即，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得： ，解得； ∴， 当时，解得或（舍去）； ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴机器人这次投球不会击中这个按钮， 设机器人往后退米，则， 当时，，解得或（舍去）； 故机器人应该沿轴所在直线从点后退1米就可以击中按钮． 12．(1) (2) (3)1米 【分析】（1）根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把点代入，求出a的值，即可； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得：四边形为矩形，可得，再求出点M的坐标为，对于，令 ，可求出点B的坐标为，再把点，代入可得到抛物线的解析式为，即可求解； （3）对于，令 ，可求出第二次球的落地点距离原点，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为，且抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴点M的坐标为， 对于，当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴设抛物线的解析式为， 当时，y的值最大，最大值为， 即第二次反弹高度为， ∵第一次飞行的最大高度为， ∴恢复系数为 （3）解：对于， 当时，， 解得：， ∴第二次球的落地点距离原点， ∵， 即弟弟应至少沿方向左移1米． 13．(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意可得，将代入解析式，求得函数值，与比较大小，将代入解析式，求得，将横坐标与比较，即可求解． （3）设的表达式为，点的横坐标为，则，，分别将，代入解析式，求得的值，结合题意，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ． 14．(1) (2)①不能；②小明应该后退米或前进米 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 15．(1)，羽毛球本次飞行的最大高度为 (2)羽毛球能越过球网，理由见解析 (3)球员乙选择吊球更合适 【分析】（1）根据表格将点，代入二次函数解析式，利用待定系数法可求得二次函数的一般式，再将二次函数一般式转为顶点式，即可求得结果； （2）先将代入二次函数解析式求得y值，即k值，再将k值与进行比较即可判断； （3）先求出乙选择扣球的函数解析式，球的落地点即函数图象与x轴的交点，此时，令一次函数关系式中的，解出对应的x值，再将代入乙选择吊球的函数解析式并求出，令二次函数关系式中的，解出对应的x值，通过比较二者的x值，选择出较大的x值可使羽毛球的落地点到原点的距离更远的方式． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴羽毛球本次飞行的最大高度为． （2）解：羽毛球能越过球网， 理由：当时，， ∴， 又∵， ∴羽毛球能越过球网． （3）解：当时，， ∴点， 将点Q代入，得，解得， ∴乙选择扣球，则y与x的函数关系式为， 令，即，解得，即羽毛球的落地点到原点的距离为， 将点代入，得，解得， ∴乙选择吊球，则y与x的函数关系式为， 令，即，解得，（舍去）， 即羽毛球的落地点到原点的距离为， ∵， ∴要使羽毛球的落地点到原点的距离更远，球员乙选择吊球更合适． 16．(1) (2)王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由见解析，点的坐标为 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式即可； （2）根据求出的长，从而可求出当时，对应的值，与米比较大小，即可判断；再令，求出对应的的值，即可得到点的坐标； （3）根据待定系数法求出抛物线的关系式，由抛物线的对称性知的最大值，令，可求得对应的的值，进而可得对应的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为，且当时，． ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网，理由如下： 根据题意得（米）， 由（1）得， 当时，， 王楚钦抽拉过去的乒乓球能越过球网， 此时，当时，即， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：抛物线经过点， ，解得（舍去）或， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为，即， 的最大值为（米)， 当时，即， 解得（舍去）或， 当时，（米)， ． 17．(1) (2)该女生在此项考试中的得分在分和分之间． (3) 【分析】（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （3）由题可设，把代入解析式即可求出，令即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设关于的函数表达式为： 把代入得：， 解得： ∴关于的函数表达式为：； （2）解：由题意得，当时， ， 解得，（舍去） ∴该女生在此项考试中的得分在分和分之间． （3）解：由题可设， 把代入得， ∴， ∴， 将代入得， ， 则当掷出点的高度至少达到时，可得满分100． 18．(1)； (2)； (3)的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数的实际问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）设点的坐标为，点在抛物线上，则，即可求出的值； （3）分两种情况进行讨论，①当在对称轴左侧时，若点经过抛物线，即纵坐标为3，解得，则，②当在对称轴右侧时，若点经过抛物线，则，解得，当点经过抛物线，即纵坐标为1，则，解得，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线过点，， 得， ， ； （2）解：点的坐标为，则点的坐标为， 设点的坐标为，点在抛物线上， 则， ， ； （3）解：抛物线对称轴为直线， 分两种情况： ①当在对称轴左侧时， 若点经过抛物线，即纵坐标为3，则， 解得，（舍去）， 则， ②当在对称轴右侧时，若 点经过抛物线，即纵坐标为3，则 解得（舍去），， 当点经过抛物线，即纵坐标为1，则， 解得（舍去），， 则， 综上所述，的取值范围为或． 类型三：喷水问题 19．(1) (2) (3) (4)能，理由见解析 【分析】（1）先设抛物线的顶点式为，再将点代入可得答案； （2）根据第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点可得答案； （3）将抛物线向上平移h米，经过点，可得，整理得出答案； （4）将代入关系式，求出解比较得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为， 将点代入，得， 解得， ∴水柱所在的抛物线的函数表达式为； （2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴抛物线的顶点式为； （3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得 ， 则； （4）解：能，理由如下： 当时，， 解得或（舍去） ∵，， 则， 所以绿化带能被水柱喷灌到． 20．(1)作图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为 （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 21．(1) (2)①出水点与景观灯底部之间的距离为米；② 【分析】（1）根据题意已知抛物线的顶点坐标及抛物线上一点，设抛物线的顶点式为，再将抛物线上一点代入即可； （2）①首先，根据题意把代入（1）中对应抛物线的表达式中，转换为关于的一元二次方程，解出方程的两个解，再根据题目中的实际意义舍去负值，然后，求得点对应的坐标，进而得出的长，最后，运用勾股定理即可求出的长； ②由平移的性质及题意设出平移后对应的抛物线的表达式，再将点的坐标代入即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意得抛物线经过点，顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①解：当时，， 整理得，解得． ， 点， ． 当时，， ， ． 答：出水点与景观灯底部之间的距离为米． ②解：根据题意得平移后的抛物线为， ∵平移后的抛物线经过点， ， 解得， 的值为． 22．(1) (2)米 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点，，设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为，将代入求出，即可求出抛物线形“彩虹门”的函数表达式； （2）求出最外侧两个挡雨伞顶端上方的水柱高度，进而求出最外侧两个挡雨伞的底端的横坐标，求出最外侧两个挡雨伞之间的距离，即可求出相邻两个挡雨伞的间距． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点，． ∴设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，． ∴最外侧两个挡雨伞之间的距离为（米） ∴相邻两个挡雨伞的间距（米）． 23．（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】（1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入即可求解； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移6米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下： ∵矩形， 米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 24．(1)抛物线解析式为； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可； （2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 由题可知，其图象顶点坐标为， 抛物线解析式为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线解析式为． （2）解：不能，理由如下： 如图，过点作于， 由题意得点的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ， ， ， ， 当时，， ， 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 25．(1)水管的长度为 (2)①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降 【分析】该题考查了二次函数的应用． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解； （2）①把代入解析式，即可求解； ②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为， ∴设第一象限抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴第一象限抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴． 答：水管的长度为． （2）解：①当时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：景观射灯与间的水平距离为． ②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴． 当时，， ∴， 答：水管要下降． 26．(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) ； 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解直角三角形等知识点． （1）根据，在抛物线上建立方程组求解b，c并将解析式整理成的形式即可得解； （2）①先求出直线的解解式，取表示任意位置的小树高，令解得M，N横坐标，即可求解； ②设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，m为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①∵点，，点C在x轴上， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，即， 解得：， 故直线的解析式为， 令d表示小树高，则， ，即， ， 整理得， 解得：，， 在左侧，故，， ； ②设，则在上有两解，且m为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或舍去， ， 又， 对称轴为直线， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $