狂练小题（三）选择题、填空题突破练-2026届高三数学三轮冲刺

冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（三） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 2．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北宜昌·二模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 6．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 7．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广西·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 10．（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆，抛物线的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点时，，直线l与E相交于A，B两点，则（    ） A． B．若，则直线PF与圆C相切 C．若M为C上一点，则的最小值为1 D．存在直线l，使得A，B两点关于对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·河南南阳·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，则______． 14．（25-26高三上·贵州黔南·期末）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·浙江宁波·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·江苏·一模）的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 10．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 11．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 13．（2026·北京·模拟预测）直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 14．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______. （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·河北张家口·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 5．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 10．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的是（    ） A．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 B．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） C．若数列满足，则数列是有限稳定数列 D．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 13．（2026·山东潍坊·模拟预测）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 14．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（三） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·福建泉州·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】设复数，则， 所以， 所以，解得或， 所以或. 2．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合， 因为，所以. 3．（2026·湖北宜昌·二模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为， 由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即， 故椭圆的离心率为. 4．（2026·湖北黄冈·一模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以函数的最小正周期为，所以，所以. 由函数的图象关于点对称， 得，所以. 所以正实数的最小值为. 5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以， 由，得， 所以，得， 所以是以4为周期的函数， 所以． 6．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 7．（2026·福建龙岩·一模）已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算将转化为与点相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设弦中点为，根据圆的性质，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 其方程为. 因为， 所以， 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2. ， . 故选：A. 8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断 【详解】由，，则有，， 由，有， 由，得，即， 则有， 由，得， 由，得， 所以. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广西·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 10．（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断CD. 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ，， 故不垂直，A错误； 设平面的法向量为，, 则，可取，而， ，故和平面不平行，B错误； ，，, 设异面直线与所成角为，则，， 则，C正确； 设平面的法向量为，,， 则，可取，而， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角为，D正确. 11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆，抛物线的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点时，，直线l与E相交于A，B两点，则（    ） A． B．若，则直线PF与圆C相切 C．若M为C上一点，则的最小值为1 D．存在直线l，使得A，B两点关于对称 【答案】ABD 【分析】根据焦半径公式求得判断A，求出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判断B，设，利用二次函数性质求得最小值为4，进而利用圆的性质求得最小值为判断C，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入求出，与判断D. 【详解】因为当P运动到点时，，所以，故A正确； 抛物线，其焦点， 圆的圆心，半径为， 设，则， 解得，则， 故直线PF的方程为，因为圆心到直线PF的距离为， 所以直线PF与圆C相切，故B正确； 由上可知，，即的最小值为4， 所以的最小值为，故C错误； 假设存在直线l使得A，B两点关于对称， 设直线，，， 由，消去x得，， 则，解得， 又，， 则，解得，符合题意，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·河南南阳·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】/ 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，则______． 【答案】2n 【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得，然后根据通项与前n项和的关系可得数列的通项公式． 【详解】因为，等式两边同时除以， 得，当时，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以当时，， 当时，也符合上式， 所以． 14．（25-26高三上·贵州黔南·期末）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为，则的数学期望为_____. 【答案】 36 / 【分析】根据题意有两名志愿者去同一场馆，进而根据排列组合分组分配问题得共有（种）分配方法；再结合的可能取值为1，2，求解对应概率计算期望即可. 【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者， 故有两名志愿者去同一场馆，有种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三个整体）分配到三个不同的场馆中, 故共有（种）分配方法. 的可能取值为1，2，且，， 所以. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·浙江宁波·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．（2026·湖北荆州·一模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解. 【详解】充分性分析：，，， ，，故充分性成立； 必要性分析：，， ，， ，，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件 3．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 4．（2026·江苏·一模）的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 5．（2026·贵州安顺·一模）记为各项均不相同的等差数列的前n项和，若，是与的等比中项，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题可得，即，解得， 所以， 故选：A. 6．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 7．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 故选：C 8．（2026高三·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义得到，，，得到三个具体的等式，构造函数，通过研究函数的单调性可比较大小. 【详解】由已知可得，，即，所以，即. 由得. 由得. 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【分析】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出，利用三角形面积关系，求出答案. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则， 又，所以，解得，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径，所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 10．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 11．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 并联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由A知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 【答案】/ 【详解】由题意得. 13．（2026·北京·模拟预测）直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】由等差中项的条件确定直线过定点，且定点在圆内，所以时，的值最小. 【详解】由题意得，即，直线， 整理得，令，解得，故直线过定点， 设圆的圆心为，半径， 且圆心到的距离， 定点在圆内，所以当时，的值最小， 即. 14．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 故答案为：. （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·河北张家口·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，所以， 所以. 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故复数在复平面内所对应的点的坐标为， 因为在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为，即. 3．（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 4．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 5．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 6．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【详解】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴， 同理可得，， 而， 即，解得，则的最大值为1. 7．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作图，利用正四棱台的性质可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，结合条件，求出正四棱台的高，再由棱台的体积公式求解. 【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接，易知，且， 过作交于，则平面，又平面，则， 故可得平面，则，则为侧面与底面所成的二面角的平面角，则， 又，则，， 由，得到，即， 又， 所以四棱台的体积为. 8．（2026·贵州毕节·二模）已知函数的图象过点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（    ） A． B．4 C．或 D． 【答案】A 【分析】由函数所过的点和推知，根据对数函数的图象无限靠近轴，类比分析得到，从而列方程组得解. 【详解】由题知，，即， 又，则，解得， 由对数函数性质，无限接近， 则时，，即， 故，解得，则 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 10．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】设结合双曲线的定义与勾股定理即可得的值，从而进行判断. 【详解】 如图，由，可设.因为，所以. 对于A、B：设则，解得，所以，故A正确，B错误； 对于C：在中，由，得，则，从而双曲线的离心率为，故C正确； 对于D：因为，所以直线的斜率为，故D 错误. 11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前项和，下列结论正确的是（    ） A．首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 B．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） C．若数列满足，则数列是有限稳定数列 D．若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 【答案】AD 【分析】对A，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对B，找出该等比数列公比为1时，也满足有限稳定数列条件，排除即可；对C，取，计算该数列是否是有限稳定数列；对D，数列是有限稳定数列，则有界，根据证明即可. 【详解】对A，设， 则相邻两项差的绝对值， 设， 则，故该数列是有限稳定数列，A对； 对B，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列， 因此公比的取值范围应为，故B错； 对C，取，满足， 但相邻两项差绝对值和，随n增大趋向于无穷大，无界， 因此该数列不是有限稳定数列，C错； 对D， 若数列是有限稳定数列，有界，进而有界， 而， 所以有界，即数列是有限稳定数列，D对. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 【答案】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 13．（2026·山东潍坊·模拟预测）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数性质计算即可得. 【详解】 ， 当时，， 由题意可得，即， 故实数的最大值为. 故答案为：. 14．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $