狂练小题（二）选择题、填空题突破练-2026届高三数学三轮冲刺

冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（二） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西西安·期末）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南鹤壁·一模）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东泰安·一模）如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·模拟预测）如图，在正方体中，点 P，Q 分别为线段， 上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知抛物线（）的焦点为，准线为，是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（   ） A． B． C．当的横坐标为1时，的最小值为 D．过作圆：的两条切线，切点为、，则四边形面积的最小值为 11．（2026·江西九江·一模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______. 13．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________． 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）盒子里装有6个小球，其中2个红球，4个黑球.从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放回盒子中.则 （1）取了3次后，恰好取出1个红球的概率为__________； （2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026高三上·福建厦门）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，椭圆的焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 4．（25-26高三上·湖南娄底·期末）从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 5．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 6．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 10．（25-26高三上·海南·期末）已知双曲线与，则（   ） A．的离心率大于的离心率 B．动直线与的交点的个数之和为0或2 C．绕坐标原点顺时针旋转可得到 D．的两条渐近线夹角的正切值为 11．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在直三棱柱中，，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）的展开式中的系数是______.（用数字作答） 13．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 14．（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26贵州安顺期末）已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数（   ） A．89 B．92 C．94 D．99 2．（2026河北沧州八县联考）已知全集，集合，，则的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026湖南永州第二次模拟）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26河南新未来期末）已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（   ） A．4 B． C．16 D．8 5．（2026内蒙古包头期末检测）已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 6．（25-26陕西西安期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026云南曲靖第一次教学质量监测）相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则 D．当从0增大到1时，随的增大而减小 8．（25-26广东中山市华侨中学周测）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26河南新未来上学期期末）设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 10．（2026安徽淮北第一次质量检测）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（   ） A．平面平面 B．存在使得为直角三角形 C．当为中点时，平面 D．若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 11．（2026吉林四平模拟）已知椭圆：的焦点分别为，，是上的动点，设直线与椭圆交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．点为线段的中点，则的周长为 D．是直线上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026届高三上学期期末质量检测数学）已知数列的前项和满足，则___________． 13．（2026吉林四平上学期模拟）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为______. 14．（25-26阜阳高三教学质量监测）已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围是__________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（二） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再由交集的定义求解即可. 【详解】集合，或， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·陕西西安·期末）若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】解复数方程求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得，即，解得， 故由模长公式得. 故选：B 3．（2026·山东威海·一模）将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得平移后的函数解析式，再结合对称中心求解即可. 【详解】函数图象上的所有点向左平移个单位得： ，此函数图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，. 故选：C 4．（2026·河南鹤壁·一模）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为， 双曲线的离心率为， 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以， 解得，故双曲线的方程为，所以，渐近线方程为． 故选：A 5．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，画出函数的图像，结合图像，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减， 可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的图像如图所示， 结合图像可得，不等式的解集为. 故选：A.    6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 7．（2026·山东泰安·一模）如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象与圆的公共信息，分别求出圆的半径、函数中的参数的值，再逐一判断选项. 【详解】由点在圆上， 所以，解得. 因为当时， ， 即，因为，取，则， 所以. 将代入圆的方程，得，解得或， 结合图象知，即，将代入，得， 所以，即，因为，由图象可知，即，所以取，得. 所以，将代入，得， 所以. 因此，A，B，C选项错误，D选项正确. 故选：D 8．（25-26高三上·安徽·期末）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，，得到 设和，利用导数求得和的单调性，结合函数的单调性，比较大小，即可得到答案. 【详解】令，，， 可得， 设，其中， 可得，所以在上单调递减， 所以，即，即， 故，所以； 设，其中， 可得，令， 可得，故在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以，可得， 故，所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·模拟预测）如图，在正方体中，点 P，Q 分别为线段， 上异于端点的动点，则下列结论中，可能成立的有（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据图形，选项A和C，假设图形中点为线段AC中点，点为线段中点，结合正方体图形性质可以判断；选项B，取线段靠近点的四等分点为，点为线段中点，可证明进而证明平面；选项D，根据经过点且垂直于平面的直线在平面可以判断. 【详解】选项A和C，如图所示， 令点分别为线段和中点，在中，根据中位线性质知， 因为，不在平面，所以平面，故A正确， 因为平面，，所以平面，故C正确；    选项B，如图所示， 取线段靠近点的四等分点，点为线段中点，线段交线段于， 易知,则在中由中位线性质知，且不在平面， 所以平面，故正确；    选项D，如图所示，平面平面， 点在平面，所以过点且垂直平面的直线在平面， 因为点不在平面，所以不存在平面，故错误，    故选：ABC. 10．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知抛物线（）的焦点为，准线为，是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（   ） A． B． C．当的横坐标为1时，的最小值为 D．过作圆：的两条切线，切点为、，则四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用焦半径最小值可判断A，利用抛物线定义可判断B，利用对称性求最小值可判断C，利用圆的切线长转化为两点间距离来求解判断D． 【详解】抛物线（）的焦点， 设，则， 则， 当且仅当时取等号， 对于A，由的最小值为2，得，解得，故A错误；    对于B，过作于，则，故B正确； 对于C，抛物线，，准线：，    当时，，令点关于直线的对称点为， 则， 当且仅当是与的交点时取等号，故C正确； 对于D，圆：的圆心，    半径，四边形的面积 ，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：BCD 11．（2026·江西九江·一模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，若 ，，则 ______. 【答案】155 【分析】根据等比数列的性质即可求解公比，即可得解. 【详解】由，故， ，故，由于，故 ， 故， 故答案为：155 13．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________． 【答案】 【分析】先由偶函数定义得到时解析式，求出切点坐标，再求导得到切线的斜率，由点斜式求出切线方程. 【详解】任取，则，，又为偶函数，， 所以， 所以，所以切点坐标为， 又，所以， 即切线的斜率，所以切线的点斜式方程为， 整理得， 故答案为：. 14．（25-26高三上·广东深圳·期末）盒子里装有6个小球，其中2个红球，4个黑球.从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放回盒子中.则 （1）取了3次后，恰好取出1个红球的概率为__________； （2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________. 【答案】 【分析】（1）对前三次中取出一次红球的序数分三种情况讨论，分别求出所对应的概率，再由互斥事件的概率公式计算可得；（2）利用相互独立事件的概率的乘法公式及等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）若第一次取红球，第二次、三次取黑球，则概率； 若第一次取黑球，第二次取红球，三次取黑球，则概率； 若第一次取黑球，第二次取黑球，三次取红球，则概率； 所以取了3次后，恰好取出1个红球的概率； （2）次所有红球刚好全部取出表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球， 所以 ， 记①， 则②， ①②得，所以， 所以 . 故答案为：； （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026高三上·福建厦门）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法计算可得. 【详解】由，得，则. 故选：A 2．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合子集的定义与运算，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，椭圆的焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和性质可得，从而得椭圆的短轴长. 【详解】因为， 由椭圆的定义可得：，解得. 设椭圆的焦距为，所以，即. 由，解得， 所以该椭圆的短轴长等于. 故选：B. 4．（25-26高三上·湖南娄底·期末）从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 【答案】B 【分析】利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可. 【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻， 则在中选数，共有符合，共个， 而从这五个数中任选三个数组成三位数，共有个， 可得符合题意的三位数共有个，故B正确. 故选：B 5．（25-26高三上·山西临汾·期末）定义在上的函数不恒为0，对任意均有，且.则下列说法正确的是（   ） A． B．周期为4 C． D．为奇函数 【答案】B 【分析】对于选项A，令，代入恒等式解出或，经验证答案为；对于选项B，令，代入恒等式解出，用代替，则，再用代替，则，由此得到函数周期为4；对于选项C，由函数周期为4得出，再通过赋值法得到即可；对于选项D，令，代入恒等式得出，为偶函数. 【详解】对于选项A，令，则， 整理得， 解得或； 若，令，则， 即，这与函数不恒为0矛盾， 所以，选项A错误； 对于选项B，令， 则， 所以； 用代替，则， 再用代替，则； 所以函数周期为4，选项B正确； 对于选项C，因为函数周期为4， 所以， 令，则，即， 因为， 所以，所以，选项C错误； 对于选项D，令，则， 即， 因为，所以，即， 为偶函数，选项D错误. 故选：B 6．（25-26高三上·云南普洱·期末）已知过原点且斜率为的直线与交于、两点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知是腰长为的等腰直角三角形，于是得出圆心到直线的距离，可知直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆心为，半径为，易知， 因为，所以是腰长为的等腰直角三角形， 且， 故圆心到直线的距离为， 由题意可知直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，解得. 故选：D. 7．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 【答案】D 【分析】先通过和求出等差数列的首项与公差，得到通项和前项和公式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立. 【详解】由，依据等差数列前项和性质，得； 又，利用通项公式展开得，结合，联立得； 故； 选项A：，选项A错误； 选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误； 选项C：，选项C错误； 选项D：，拆分前两项，对后续项放缩； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而， 因此，从到的和可以裂项为：， 合并放缩得，因为，所以， 综上，成立，选项D正确. 故选：D 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，解出这个方程组可得出的值. 【详解】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 【答案】AC 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 10．（25-26高三上·海南·期末）已知双曲线与，则（   ） A．的离心率大于的离心率 B．动直线与的交点的个数之和为0或2 C．绕坐标原点顺时针旋转可得到 D．的两条渐近线夹角的正切值为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算出离心率即可判断；对于B，分和两类情况，分别考虑与的交点个数即可判断；对于C，根据两双曲线的离心率不同，故两者无法通过旋转得到；对于D，利用到角公式计算即可判断. 【详解】由可知其焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为； 由可知其焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为. 对于A，的离心率，而的离心率，显然，故A正确； 对于B，因与的一条渐近线方程都是， 当时，与的交点个数都为0，则交点的个数之和为0； 当时，与的交点个数都为1，则交点的个数之和为2， 故动直线与的交点的个数之和为0或2，即B正确； 对于C，因的离心率不同，故绕坐标原点顺时针旋转不能得到，故C错误； 对于D，的两条渐近线的斜率为， 设它们的夹角为，则，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在直三棱柱中，，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】结合三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理判断A；利用余弦定理计算判断B；利用题目条件建立空间坐标系，根据异面直线夹角的余弦公式计算判断C选项；利用线面角夹角的向量公式计算判断D. 【详解】如图所示，连接与交于点，连接， 由三棱柱为直三棱柱，又，故四边形为正方形， 即与交点为两直线中点，又为的中点， 则中，，又平面，平面， 故平面，A选项正确； 由，则， 化简得，所以，B选项正确； 由，又为的中点，故，取中点，连接， 如图所示，以为原点，方向为轴建立空间坐标系. 则，， 由得，即， 故，，，， 则异面直线与所成角的余弦值： ，C选项错误； 由直三棱柱的性质可得：平面，平面， 所以，又，平面，故平面， 即为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）的展开式中的系数是______.（用数字作答） 【答案】24 【分析】利用二项式展开的通项公式，求出项对应的值，再计算该项的系数. 【详解】二项式的展开式通项公式为. 令，则含项的系数为. 故答案为：24 13．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量. 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14．（25-26高三上·湖南娄底·期末）如图所示，点是半圆柱底面的圆心，和是圆柱的母线，点D为母线的中点，若，和的弧长为.则点E到平面的距离为_______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 设中点为，中点为，由题意得，， 因为和的弧长为，所以与弧长为， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，取， 则到平面距离为. 故答案为： （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26贵州安顺期末）已知某学习小组一次数学测试成绩（单位：分）分别为78，82，85，90，，95，98，105，若该组数据的第50百分位数为92，则实数（   ） A．89 B．92 C．94 D．99 【答案】C 【分析】利用百分位数的概念和计算公式求解即可. 【详解】共有8个数据， 故该组数据的第50百分位数为从小到大第4个与第5个数据的平均值， 若，则第50百分位数，不合题意； 若，则第50百分位数，不合题意； 所以，解得. 故选：C 2．（2026河北沧州八县联考）已知全集，集合，，则的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由并集，补集定义结合题设可得答案. 【详解】由题可得，于是，其中共4个元素. 故选：B. 3．（2026湖南永州第二次模拟）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【详解】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则不一定成立.    所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（25-26河南新未来期末）已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（   ） A．4 B． C．16 D．8 【答案】D 【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可. 【详解】因为，是圆上的两个动点， 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 5．（2026内蒙古包头期末检测）已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（   ） A．64 B．128 C．-64 D．-128 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 6．（25-26陕西西安期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线的斜率与双曲线渐近线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围. 【详解】设点的坐标为.由题可知， 整理可得，即，所以， 则，即，则离心率. 故选：C 7．（2026云南曲靖第一次教学质量监测）相控阵雷达堪称作战飞机的“智能复眼”，是其核心感知器官.它通过调节相邻辐射单元的相位差，使电磁波波束定向传播，其波束传播方向与水平方向的夹角满足关系：（其中为电磁波波长，为相邻单元间距，为相位调节系数，且，，），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．若，则 D．当从0增大到1时，随的增大而减小 【答案】B 【详解】对于A：当时，，由，得，所以A不正确； 对于B：当时，. 由，得，所以，所以B正确； 对于C：若，则，所以，所以，所以C不正确； 易知，对于确定的，当从0增大到1时，随的增大而增大. 对于D：令是关于的一次函数，，， 所以随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， 所以随的增大而增大.所以D不正确. 8．（25-26广东中山市华侨中学周测）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数单调性的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有， 令时，，单调递减； 时，单调递增， 的极小值也是最小值为， ，又. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26河南新未来上学期期末）设，，，则下列说法正确的有（   ） A．若且，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，根据复数运算性质即可判断；对BD，利用待定系数法即可判断；对C，举反例即可判断. 【详解】对A，因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以选项A正确； 对B，设， 则 ， ， 即，即复数乘法对结合律成立，所以选项B正确； 对C，若，则，所以，所以选项C错误； 对D，设， 则， ，所以.所以选项D正确． 故选：ABD． 10．（2026安徽淮北第一次质量检测）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（   ） A．平面平面 B．存在使得为直角三角形 C．当为中点时，平面 D．若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，连接，设交于点，连接，先证明，，可得平面，进而结合面面垂直的判定定理判断即可；对于B，先假设为直角三角形，可得，进而得到，再结合即可判断；对于C，当为中点时，连接，可证明，进而判断即可；对于D，当时，分析可得到的距离与到的距离均为1，可得球的球心位于点，半径为1，进而求解判断即可. 【详解】对于A，连接，设交于点，连接，如下图： 在正四棱锥中，，平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，在正四棱锥中， 若为直角三角形，则，， 由，得，即， 而在正方形中，，由于，则，矛盾， 所以不存在使得为直角三角形，故B错误； 对于C，当为中点时，连接， 由于在正方形中，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，当时，，而，则， 在等腰直角中，到的距离为， 而到的距离也为1，则球的球心位于点，半径为1， 则球的表面积为，故D正确. 故选：ACD 11．（2026吉林四平模拟）已知椭圆：的焦点分别为，，是上的动点，设直线与椭圆交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆上存在点使得 C．点为线段的中点，则的周长为 D．是直线上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据无解可判断B的正误，利用点差法求出直线的方程，可判断直线经过椭圆的一个焦点，进而判断C的正误，根据椭圆的定义，将差的问题转化为和的问题，可判断D的正误. 【详解】椭圆：的焦点分别为，，则， 可得，，解得. 对于选项A，椭圆的离心率为，故A选项正确； 对于选项B，假设在椭圆上存在点，使得， 且，， 所以，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，故B选项错误； 对于选项C，设点， 由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，则由，可得， 即，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即，显然直线经过焦点， 所以的周长为：，故C选项正确； 对于D选项，因为到直线的距离为.， 所以，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026届高三上学期期末质量检测数学）已知数列的前项和满足，则___________． 【答案】 【分析】由求解. 【详解】由题，， 故答案为：. 13．（2026吉林四平上学期模拟）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为______. 【答案】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两不同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2不同色球的概率为. 所求概率为. .故答案为：. 14．（25-26阜阳高三教学质量监测）已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据条件，将问题转化成与的图象有两个交点，结合条件，数形结合得，，构造函数，利用导数求出的值域，即可求解. 【详解】因为，易知在区间上单调递增，在区间上单调递增，图象如图所示， 令，即，得到， 因为恰有两个不同的零点，则与的图象有两个交点， 由图可知，，且，所以，则， 令，令，则， 易知在区间上单调递增，又易知时，， 则，令，得到，当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，，当时，，显然， 所以的值域为，则的值为， 所以的取值范围是， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $