狂练小题（一）选择题、填空题突破练-2026届高三数学三轮冲刺

冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（一） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·河北承德·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知， 又，所以. 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，，则，又n⊥，所以； 反之，若，，则，又，所以， 则“”是“”的充要条件. 3．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 4．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 5．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 6．（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， 则 ， 所以，， . 7．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为代数不等式，再通过参变分离构造函数求最值，最终得到参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 因为 所以是奇函数. . 由基本不等式，，当且仅当时取等号且， 得. 因此在上严格单调递增. 由，得    . 于是， 参变分离得，在上恒成立， 令，利用， 化简得， 设，因，故在上严格单调递增， 因此的取值范围为：， 令， ， 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值： ，即在上的最小值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 10．（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 11．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·四川内江·二模）设i为虚数单位，则________． 【答案】 【详解】，故. 13．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 【答案】 【分析】求导，根据导数的几何意义结合题意列式计算即可求解. 【详解】， ， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. 【答案】 【分析】作，垂足为，则为的中点，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，设， 由的面积建立的等式得到的值，从而得到圆锥的高的值，底面圆的半径的值，求出圆的面积，利用圆锥的体积公式求出体积. 【详解】如图，作，垂足为，则为的中点， ，，为二面角的平面角， 二面角为，， 在等腰三角形中，， 设，则，， 则， ， 的面积等于，解得， 则，， 圆的面积为， 圆锥的体积为. 故答案为：. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，再利用交集、补集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，则或， 解不等式，即，得或，则或， 因此或，所以. 故选：A 2．（2026·云南·模拟预测）若复数，则（   ） A．的实部为2 B．的虚部为2 C．为纯虚数 D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的实部为2，的虚部为，故A正确，B、C错误； 又因为，，所以，故D错误. 3．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理计算即可. 【详解】分析可得， 于是． 4．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 5．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲被安排到服务站的方法数，再求出甲，乙被派去同一个服务站的方法数，然后求其概率即可. 【详解】先求甲被派去服务站的方法数； 第一种情况：甲一个人去服务站，则有种； 第二种情况：甲和其中一人去服务站，则有种； 故甲被派去服务站的方法数共种； 再求甲乙被派去同一个服务站的方法数：有种； 故概率为. 6．（2026·河北承德·一模）已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求A、B两点坐标，根据得到点P的轨迹方程，根据点P在圆上，利用两圆的位置关系求解即可. 【详解】不妨设，，因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为，中点坐标为，所以点在圆上， 又因为在圆上仅存在一点，使， 且两圆半径相等，所以两圆外切，因此，解得或（舍）. 7．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的解析式，再求出的零点，再根据范围求得的取值范围. 【详解】由题可知， 令，即，即， 所以，或， 解得，或， 则非负根从小到大依次为，，，，⋯， 又因为在区间上有三个零点，所以， 解得. 8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】C 【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误. 【详解】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故为等差数列，首项为零，公差为， 故，故B错误； 对于C，因为，，故， 故，同理， 在中令， 则，由B的分析可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即， 故函数是奇函数，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 【答案】BC 【详解】抛物线的焦点，准线， 对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误； 对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误. 10．（2026·河北承德·一模）已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列中存在最小项 【答案】ABC 【分析】根据数列的递推公式，利用构造法可得，从而数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式利用分组求和法得，可判断ABC；利用数列的单调性判断D. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 由B选项分析可得，所以， 所以 ， 故C正确； 由C选项分析可得，所以， 所以恒成立， 所以数列为单调递减数列，所以数列中不存在最小项，故D错误． 11．（2026·广东广州·二模）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 【答案】BCD 【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定，进而得到，结合最值即可判断；对于D，对求导，利用导数确定单调性即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即， 令，， 当时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因， 则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式可求得角，利用等面积法可得，最后根据正弦定理进行边角互化即可求解. 【详解】，移项可得，即， 因为，所以. 由，则， 所以，利用正弦定理得， 又因为，则. 13．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围. 【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，如图所示 关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 14．（2026·湖北黄冈·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分别求出点，的轨迹，然后把问题转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离的取值范围，数形结合可得答案. 【详解】设，，∵， ∴，点的轨迹为． 又， 则，， 即， 化简得点的轨迹为． 在平面直角坐标系中作出，轨迹，设点轨迹与轴两个交点分别为， 点轨迹为圆，圆心为，半径，且与轴两个交点分别为，如下图所示， 结合图象得：， 又，， 所以． （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数型复合函数定义域求法，和指数函数单调性分别求解集合，再逐项判断即可. 【详解】由解得，即， 由解得，即， 则，， ，A错，，B错，，C错，，D对. 2．（2026·广西·模拟预测）若（，i为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，， 由题意，得. 3．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得. 【详解】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为， 即直线与圆相交，故充分性成立； 由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为， 则有，即点在圆：外，故必要性成立. 故是的充分必要条件. 4．（2026·安徽六安·模拟预测）葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由余弦定理可得，利用数量积的定义可求得的值. 【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：A. 5．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得，再逐项验证即可得. 【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径， 因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以，即， 因为，所以，又，即， 逐个验证各选项可知，当时符合题意． 7．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，，是上一点，若的周长为20，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“同心双曲线”定义求得，再由双曲线定义结合题设条件求出的值，再由余弦定理求出，再由三角形面积公式即可求得. 【详解】由可得其半焦距，且焦点在轴上， 故双曲线：即， 则其半焦距，且， 依题意，，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为，不妨设点为双曲线左支上一点，则①， 由的周长为20，可得，即②， 联立①② 解得， 在中，由余弦定理，， 则， 故的面积为. 8．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 10．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 【答案】AC 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 11．（2026·山东青岛·一模）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 【答案】ABD 【分析】函数的定义域为，关于原点对称，且函数为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13．（2026·河南开封·模拟预测）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 【答案】 【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析的可能取值，计算每个取值的概率，再计算的值 【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况： 一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率； 另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率， 则甲箱中恰有3个黄球的概率为， ②由题知的取值可能为4，5，6， 当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球， 或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率； 当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率， 所以. 14．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线的准线方程为，，是上不同于原点的两点，，，垂足为．若的轨迹为曲线，曲线上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则实数的取值集合为______． 【答案】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，利用向量垂直的坐标运算求得直线恒过点，然后利用求得点的轨迹是以为直径的圆（不含点），最后利用圆心到直线的距离列式求解即可. 【详解】的方程为，设直线的方程为， 的方程与的方程联立，消去得，设， 则时，， 由得，又，所以，直线的方程为， 所以直线恒过点． 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 方程为， 因为上到直线的距离为1的点有且仅有3个， 所以到直线的距离为1，所以，解得或； 又直线过圆心时，此时，， 点到直线的距离为， 此时圆上有含的四点到直线距离为1，由曲线不过点可知，符合题意． 故的取值集合为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺2026年高考数学分题型专项突破 狂练小题（一） （题组1） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·河北承德·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 5．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 6．（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 10．（2026·四川内江·二模）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 11．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（   ） A．若，则点P的坐标为 B．若，则的最小值为6 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·四川内江·二模）设i为虚数单位，则________． 13．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____． 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，，为圆锥的母线，，且二面角为.若的面积等于，则圆锥的体积为______. （题组2） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·广东汕头·模拟预测）已知集合，若，则为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·云南·模拟预测）若复数，则（   ） A．的实部为2 B．的虚部为2 C．为纯虚数 D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·一模）设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 5．（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北承德·一模）已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·河北承德·一模）已知把函数（）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数的图象，若在区间上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．点F到直线OM的距离为 10．（2026·河北承德·一模）已知数列满足，，设的前n项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列中存在最小项 11．（2026·广东广州·二模）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）设的内角，，所对的边分别为，，，且.若边上的高，则的值为________. 13．（2026·山东济宁·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 14．（2026·湖北黄冈·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为________． （题组3） （限时时间：40分钟 试卷满分：73分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2026·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·模拟预测）若（，i为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．（2026·安徽六安·模拟预测）葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 5．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线与的两个焦点重合，则称与互为“同心双曲线”.已知双曲线：与双曲线：互为“同心双曲线”，左、右焦点分别为，，是上一点，若的周长为20，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（    ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 10．（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 11．（2026·山东青岛·一模）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．恰有两个零点 C．不等式的解集为 D．若，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 13．（2026·河南开封·模拟预测）甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______. 14．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线的准线方程为，，是上不同于原点的两点，，，垂足为．若的轨迹为曲线，曲线上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则实数的取值集合为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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