1.4 线段的垂直平分线 同步课件 2025—2026学年北师大版数学八年级下册

第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理 1.4 线段的垂直平分线 知识回顾 1.全等的判定方法有：①SSS,②SAS,③ASA,④AAS,⑤ . HL 2.下列判断一定正确的是（ ） A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 B.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D.有两边对应相等,且有一个角为30°的两个等腰三角形全等 A 情境引入 问题：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ A B C 应建在C处. 你能说说你的理由吗？ 观察: 已知,点A与点A'关于直线l对称,如果将线段AA'沿直线l对折,则∠1=∠2=90°,点A与点A'重合,AD=A'D,即直线l既垂直于线段AA',又平分线段AA'. ● ● l A A' D 2 1 由上可知:线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 定义回顾 什么叫做线段的垂直平分线? 我们把垂直且平分某条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线. P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 新课导入 如图,直线l垂直平分线段AB. P1,P2,P3, … 是直线l上的点,请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长,你能发现什么? 试猜想:点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的关系． A B P1 P2 P3 l 猜想:线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等. 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.求证:PA=PB. 性质证明 P A B M C N 证明: ∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°, 又AC=CB,PC=PC, ∴△PCA ≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等. 性质学习 线段垂直平分线(中垂线)的性质: 线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等. 应用格式: P A B M C N ∵MN⊥AB,AC=BC, ∴PA=PB. 1.如图①所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上的一点,且PA=5,则线段PB的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 小试牛刀 3.如图,在△ABC中,AB＝AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D，若△DBC的周长为35cm,则BC的长为( ) A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm C 小试牛刀 新知探究 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 思考：你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这个定理的逆命题吗? 它是真命题吗?请证明自己结论的正确性. 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 探究二：线段垂直平分线的判定定理 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。 它是真命题吗？证明自己结论的正确性。 (1)你能写出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等”的逆命题吗？ 即：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 新知探究 B P A 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． 方法一：过点P作已知线段AB的垂线PC， C 证明：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）， ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上． 新知探究 A C B P . 方法二：把线段AB的中点记为C,连接PC. 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上． ∵C为AB的中点， ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上. 知识归纳 线段垂直平分线的判定定理： 注意：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一． 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. A B P 几何语言： 如图,∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 知识归纳 线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。 线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。 1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　） A．50° B．70° C．75° D．80° 2.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　 　度． B 24 连接中考 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　) A．5 cm　　 B．10 cm C．15 cm　　 D．17.5 cm 基础巩固题 C 课堂检测 2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 C C 课堂检测 3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm. 7.8 4. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上． AC 解析：∵BC=BD+AD， 又∵BC=BD+DC， ∴AD=DC. ∴点D在线段AC的垂直平分线上. 课堂检测 1. 如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？ 能力提升题 答：△ABC 三边垂直平分线的交点上. 课堂检测 2.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD. 证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C， ∴ED＝EC 在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE， ∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL） ∴OD＝OC. ∴O，E都在CD的垂直平分线上. ∴OE垂直平分CD. 课堂检测 如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． 拓广探索题 课堂检测 解：∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC. ∵AC＋AD＋DC＝14 cm， ∴AC＋AD＋BD＝14 cm. 即AC＋AB＝14 cm. 设AB＝x cm，AC＝y cm. 根据题意，得 解得 ∴AB长为8 cm，AC长为6 cm. $