9.3.2旋转的特征 教学设计 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

《9.3.2旋转的特征》教学设计 课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课 教学内容分析 本课为华师大版七年级下册第九章《图形的旋转》第二课时，聚焦 "旋转的性质探究与应用"，是在第一课时 "旋转概念与三要素" 基础上的深化。教材通过三角形旋转实验和生活实例分析，引导学生发现旋转的本质特征：对应点到旋转中心的距离相等、对应角相等、旋转前后图形大小、形状相同，并渗透 "旋转角度等于对应点与旋转中心连线的夹角" 的核心规律。承接9.3.1的旋转概念，为 9.3.3"旋转对称图形" 奠定理论基础；与平移特征形成对比，强化学生对图形变换 "变中不变" 的认知。 学习者分析 学生已掌握旋转的三要素，能识别旋转现象；理解平移的特征，具备图形变换的初步经验；学生可能混淆 "旋转角度" 与 "对应线段夹角"；在复杂图形中，难以快速找到对应点并计算旋转角度；习惯用生活语言描述旋转，缺乏 "对应点与旋转中心连线的夹角为 60°" 的精准表达。 教学目标 1.能结合教材实验，说出旋转的特征：对应点到旋转中心的距离相等、对应角相等、旋转前后图形大小、形状相同； 2.能在简单图形中，根据旋转特征求旋转角度或对应线段长度； 3.通过 "实验操作→观察猜想→推理论证" 的探究过程，经历从直观到抽象的性质发现，发展几何直观与推理意识； 4.发现旋转在建筑、艺术、科技中的应用，体会数学对现实世界的抽象概括作用，增强 "用数学眼光观察旋转现象" 的意识； 教学重点 理解与应用旋转的特征； 掌握旋转角度的确定方法； 教学难点 旋转性质的综合应用. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：情境导入 教师活动1： 同学们坐过摩天轮吗？图形的旋转由什么决定的？ 图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 活动意图说明： 从实际出发，以问题导入，吸引学生注意力，复习上节内容，导入本节新课，旋转的特征． 环节二：新知探究 教师活动2：旋转的特征 探索1：在图9.3.7中， △AOB 绕点O(点O是三角形的顶点)逆时针旋转到△A′OB′处， 你发现有哪些线段相等? 有哪些角相等? 如图9.3.7，在旋转过程中， 图形上的每一点绕着点O转过的角度都相等， 即可得∠AOA′ =∠BOB′.除此以外， 我们还可以发现： OA = OA′， OB = OB′， AB = A′B′； ∠AOB =∠A′OB′， ∠A =∠A′， ∠B =∠B′. 探索2：在图9.3.8中， △ABC绕点O(点 O 不是三角形的顶点，而是在三角形外)逆时针旋转到△A′B′C′处， 你发现有哪些线段相等? 有哪些角相等? 如图 9.3.8， 在旋转过程中， 我们也可以发现类似的结果： ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′； OA=__OA′___，OB=__OB′__，OC=__OC′__； AB=__A′B′__，BC=__B′C′__，CA=__C′A′__； ∠CAB=__∠C′A′B′_，∠ABC=__∠A′B′C′_， ∠BCA=___∠B′C′A′___. [归纳总结]图形旋转的基本性质： (1) 图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度； (2) 对应点到旋转中心的距离相等； (3) 对应线段相等，对应角相等； (4) 图形的形状和大小不变； (5) 旋转中心是唯一不动的点. 学生活动2： 学生小组合作交流． 学生可小组合作交流，自主探究，得出结论 教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论. 活动意图说明：引导学生建立模型，通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质，能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形. 环节三：例题讲解 教师活动3： 例1 如图，已知∠BAC＝40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合. (1)△ABC旋转了多少度？ (2)连结CE，试判断△AEC的形状. (3)求∠AEC的度数. 【解】(1)由图可知，∠BAD是旋转角. ∵∠BAC＝40°，点C，A，D共线， ∴∠BAD＝140°， 即△ABC旋转了140°. (2)由旋转的性质可知，AC＝AE， ∴△AEC是等腰三角形. (3)由旋转的性质可知，∠CAE＝∠BAD＝140°. 又∵AC＝AE， ∴∠AEC＝(180°－140°)÷2＝20°. 【总结】本题考查的是旋转变换的性质，理解旋转三要素旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念，掌握旋转变换的性质是解题的关键. [针对训练]1.如图，点D是等边△ABC内一点， 若将△ABD旋转到△ACP的位置， 则旋转中心是 点A ； 旋转角是 ∠BAC = 60 度，若连结DP，则△ADP是 等边 三角形. 2.如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，若AC⊥B′C′，则∠C的度数是　 30° 　.  例2 如图所示，在8×8的正方形网格中有一个△ABC，画出以点B为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°后的图形(画图不写画法). 解：如图所示，△A′BC′即为所求. [归纳总结]旋转作图的方法： (1)定中心：先确定图形的关键点； (2)量角度：利用旋转的特征画出旋转角. (3)找对应点：利用旋转的特征画出关键点的对应点. 画图时一定要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度. [针对训练]3.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，请画出旋转后得到的△AB′C′. 解：旋转后得到的△AB′C′如图所示. 4.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形. 解：如图所示，△AB′C′就是所画的图形. 做一做：如图，已知△ABC和过点P的两条直线PQ、PR. 作出△ABC关于PQ对称的△A′B′C′，再作出△A′B′C′关于PR对称的△A″B″C″. 观察△ABC和△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？ 解：△A″B″C″可以看作是把△ABC绕点P旋转2∠QPR得到的. [拓展]平移和旋转的异同 ①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. ②不同： 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，巩固例题，学生尝试练习师巡视，个别指导. 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，会利用旋转的特征进行相关的证明和计算，以及画出图形经过旋转运动后形成的图形.从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善． 板书设计 9.3.2 旋转的特征 1. 旋转三要素：中心、方向、角度 2. 旋转性质： - 对应点到中心距离相等 - 对应点连线夹角=旋转角 - 对应线段/角相等 - 图形形状，大小完全一样 3. 应用： - 作图（步骤：定中心→量角度→找对应点） 例1 例2 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化.其中正确的说法是( ) A.①②③　 B.①②④　 C.①③④　 D.②③④ 2.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC=90°，则∠A的度数是( ) A.35°　 B.75°　 C.55°　 D.65° 3.如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线，若AB=12，AE=7，则线段CD的长为　 　.  选做题： 4.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°后得到△AB1C1，求∠BAC1的度数. 5.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°，△COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转α(0°<α<180°)，若△AOB绕着O点旋转到图2的位置，若∠BOD=60°，则∠AOC的度数为( ) A.150°　 B.120°　 C.60°　 D.30° 6.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°得到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAE的度数为　 　.  【综合拓展类作业】 7.如图，在△ABC中，∠CAB=100°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，点C的对应点为C'，点C'恰好在BC边上，且∠C'AB=3∠ABC'，则∠ABB'的度数为　 　.  8.如图，在长方形ABCD中，AB=3厘米，BC=a厘米(a>3)，点Q在边CD上(不与点C，D重合)，CQ=x厘米.将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'，且重叠部分的四边形PCQD'是长方形.连结A'B，C'D. (1)若BC=7厘米，CQ=1厘米，求△A'BP的面积； (2)用含有x，a的代数式表示△A'BP的面积； 答案：1.D；2.C；3.5； 4. 【解析】因为∠B=45°，∠C=60°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=75°， 由旋转的性质得：∠B1AC1=∠BAC=75°，∠B1AB=30°，所以∠BAC1=75°-30°=45°. 5.B；6.15°；7.64°； 8. 【解析】(1)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'， 所以QD=QD'，CQ=C'Q，A'D'=AD=BC， 因为BC=7厘米，CQ=1厘米，AB=3厘米， 所以A'D'=7厘米，C'Q=CQ=1厘米，PD'=1厘米，所以D'Q=2厘米=CP， 所以BP=5厘米，A'P=6厘米， 所以S△A'BP=×BP×A'P=×5×6=15(平方厘米) (2)因为将长方形ABCD绕点Q顺时针旋转90度后，得到长方形A'B'C'D'， 所以QD=QD'，CQ=C'Q，A'D'=AD=BC， 因为BC=a厘米，CQ=x厘米，AB=3厘米， 所以A'D'=a厘米，C'Q=CQ=x厘米，PD'=x厘米，所以D'Q=CP=(3-x)厘米， 所以BP=(a+x-3)厘米，A'P=(a-x)厘米， 所以S△A'BP=×BP×A'P=×(a+x-3)×(a-x)= (a2-x2-a+x)平方厘米. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为(　　) A.65° B.70° C.80° D.85° 2.如图，在正方形网格中，格点三角形ABC绕某点顺时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到格点三角形A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　　　°. 第2题图 3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上.若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是　　　. 选做题： 4.如图，在6×6的方格中，有一格点三角形ABC(顶点都在小正方形的顶点上)和点P，按下列要求画格点三角形. (1)画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'； (2)画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内(不包括边界). 5.如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？请你用旋转的性质说明上述关系成立的理由. 【综合拓展类作业】 6.如图，F为正方形ABCD内一点，△BFC逆时针旋转后能与△BEA重合. (1)旋转中心是点　　　，旋转角度为　　　°； (2)△BEF的形状为　　　； (3)若∠BFC＝90°，试说明：AE∥BF. 参考答案 1.B　2.90　3.50°　 4.(1)如图： (2)答案不唯一 5.BE＝DC.△ABE可以看作△ADC绕点A旋转而成，故这两个三角形的对应线段是相等的. 6.(1)B　90　(2)等腰直角三角形　(3)∵△BEA绕点B逆时针旋转90°得到△BFC； ∴∠AEB=∠BFC=90°，∠EBF=90°； ∴AE//BF. 教学反思 本节课通过进一步对图形旋转的认识，探究图形旋转的特征，在探究的过程中掌握旋转的特征（性质），并能运用旋转的性质解决相关的数学问题和按要求完成旋转作图．在作图的过程中进一步体会旋转的性质，提高学生的动手能力. 学科网（北京）股份有限公司 $