8.1 《平方根》（第1课时）知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.1 平方根（第一课时） 知识框架： · 平方根 · 算术平方根 一、平方根 探究：1．如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 讨论：由于，所以这个数是3或－3． 2．根据上面的研究过程填表： x2 1 16 36 49 x x2 1 16 36 49 x 1 －1 4 －4 6 －6 7 －7 总结： 平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即＝a，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根． 例题精讲 例1　求下列各数的平方根：（1）100； （2）； （3）0.25． 解：（1）因为，所以100的平方根是； （2）因为，所以的平方根是； （3）因为，所以0.25的平方根是； 例2　求下列各式的值：（1）；（2）；（3）． 解：（1）；（2）；（3）． 总结平方根的性质： · 正数的平方根有两个，它们互为相反数； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根． 练习1 1．如果a是负数，那么a2的平方根是（ ）．A．a B．－a C．±a D． 2.设，，那么xy等于（ ）．A．3 B．－3 C．9 D．－9 3．下列说法中正确的是（ ）． ①1的平方根是1；②1是1的平方根；③（－1）2的平方根是－1；④一个数的平方根等于它的算术平方根，这个数只能是零．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．判断下列各数是否都有平方根． （1）（－4）2；（2）0；（3）－0.04；（4）－x2． 5．求下列各数的平方根． （1）121；（2）0.01；（3）；（4）；（5）． 作业1 1．下列各数能进行开平方运算的是（　　）． A．－36； B．a－2b； C．； D．． 2．求下列各数的平方根： （1）64； （2）； （3）； （4）． 3．求下列各式中的x：（1）x2＝225； （2）x2－2＝0． 检测1 1．下列各数中，有且只有两个平方根的数是( )． A．π B．0 C．－32 D．－|－2| 2．下列说法中正确的是( )． A．4是8的算术平方根 B．16的平方根是4 C．是6的平方根 D．－3没有平方根 3．下列说法：①一个数的算术平方根一定是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；③15的平方根记为；④±表示7的平方根．其中正确的个数为( )． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )． A．x≥－2 B．x≠－2 C．x≥2 D．x≠2 5．若＋(y＋3)2＝0，则x－y的值为( )． A．1 B．－1 C．7 D．－7 6．求下列各数的平方根与算术平方根．（1）2.89； （2）； （3）172－82． 二、算术平方根 计算下面两个问题： 1. 求下列各数的平方 结果： 2. 若已知一个数的平方为下列各数，你能把这个数的取值说出来吗？ 结果：±5、0、±2、±2/5、±1/12、不存在、±1.3 归纳： （1）算术平方根的概念： 一般地，正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）算术平方根的表示方法： a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0． 例题解析 例　求下列各数的算术平方根： （1）；（2）；（3）． 解：（1）因为，所以的算术平方根是，即； （2）因为，所以的算术平方根是，即； （3）因为，所以的算术平方根是，即； 归纳：一个正数的算术平方根有1个，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 平方根与算术平方根的区别与联系 联系：（1）具有包含关系．平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种； （2）存在条件相同．平方根和算术平方根都只有非负数才有； （3）0的平方根、算术平方根都是0． 区别：（1）定义不同． （2）个数不同．一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示法不同．正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示为； （4）取值范围不同：平方根一正一负，互为相反数；算术平方根只有一个． 练习2 1．如果一个数存在算术平方根，那么（ ）． A．它的算术平方根只有一个，并且是正数 B．它的算术平方根一定小于它本身 C．它的算术平方根必是一个非负数 D．它的算术平方根不可能等于他本身 2．求下列各式的值：，，，． 3．求下列各数的算术平方根： （1）0.25； （2）1.21； （3）；（4） （5）7． 4. 若x是的算术平方根，则x＝（ ）．A．7 B． C．49 D． 5.比较下列各组数的大小：（1）与12；（2）与0.5． 作业2 1．化简的值是（　 ）．A．3 B．3或－3 C．9 D．－3 2．下列叙述中错误的是（ 　 ）． A． 16的算术平方根是4 B．3是9的算术平方根 C．13是(－13)2的算术平方根 D． 0.4的算术平方根是0.02 3．下列说法中，正确的是（　 ）． A．一个数的算术平方根一定是正数　　　　　B．22的算术平方根是2 C．－7是(－7)2的算术平方根 　　　　　　 D．如果a＜0，那么没有意义 4．求下列各数的算术平方根： （1）； （2）； （3）；（4）；（5）． 5. 12的负的平方根介于（ ）． A．－5与－4之间 B．－4与－3之间 C．－3与－2之间 D．－2与－1之间 检测2 1．(－4)2的算术平方根是( 　 )．A．4 B．±4 C．2 D．±2 2．已知是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根为( )． A．4 B．2 C. D．±2 3．新华网纽约2011年3月1日电，由于中东局势持续动荡，国际油价3月1日大幅上涨，纽约油价逼近每桶100美元，和伦敦油价一起创下两年多以来的最高收盘价．请问100的算术平方根是________． 4．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝.那么12※4＝________． 5．计算下列各式的值： （1）；（2）；（3）． 6. 与最接近的两个整数是( 　 )． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 7. 已知7＋的小数部分为m，11－的小数部分是n，求m＋n的值． 答案 练习1： 1、 C 2、C 3、B 4、解：（1）∵（－4）2＝16＞0，∴（－4）2有平方根．（2）∵02＝0，∴0有平方根． （3）∵－0.04＜0，∴－0.04没有平方根． （4）当x＝0时，－x2＝0，此时－x2有平方根；当x≠0时，－x2＜0，此时－x2有平方根． 5、解：（1）因为，所以121的平方根是±11； （2）因为，所以0.01的平方根是±0.1； （3）因为，所以的平方根是； （4）因为，所以的平方根是； （5）因为，所以的平方根是． 作业1： 1． C． 2．解：（1）因为，所以64的平方根是； （2）因为，所以的平方根是；； （3）因为，所以的平方根是； （4）的平方根是． 3．解：（1）因为x2＝225，所以，； （2）因为x2－2＝0，所以x2＝2，所以． 检测1： 1．A． 　2．D． 　3．B． 　4．C．　　5．C． 6．解：（1）1.72＝2.89，所以2.89的平方根与算术平方根分别是±1.7，1.7． （2）＝＝25，所以的平方根与算术平方根分别是±5，5． （3）172－82＝225＝152，所以172－82的平方根与算术平方根分别是±15，15． 练习2： 1、C．2、解：，，，． 3、（1）（2）（3）（4）（5）. 4、B． 5、解：（1）因为，而，所以； （2）因为，而，所以，则． 作业2： 1．A． 　 2．D ．　 3．B． 5.B 4．（1）； 　（2）； 　（3） （4）；（5）． 检测2： 1．A．　　 2．B．　　3．10．4．．6. C 5．解：（1） （2） （3） 7解：∵4＜＜5，∴11＜7＋＜12.∴m＝7＋－11＝－4. ∵－5＜－＜－4，∴6＜11－＜7． ∴n＝11－－6＝5－．∴m＋n＝－4＋5－＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $